## Maximum-Likelihood-Schätzer

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 Title Maximum-Likelihood-Schätzer Title of Series Mathematische Statistik WS 2010 Part Number 10 Number of Parts 28 Author License CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license. Identifiers 10.5446/21445 (DOI) Publisher Release Date 2010 Language German

 Subject Area Mathematics Abstract Aufgabe der Statistik ist es, Rückschlüsse aus Beobachtungen zu ziehen, die unter dem Einfluss des Zufalls enstanden sind. Diese Vorlesung gibt eine umfassende Einführung in die zugehörige mathematische Theorie. Behandelt werden u.a.: Hauptsatz der Mathematischen Statistik, Dichteschätzung, nichtparametrische Regressionsschätzung, Punktschätzverfahren, statistische Tests, Bereichsschätzverfahren.
Probability distribution Expected value Estimator Realisierung <Mathematik> Average Estimation Mathematical statistics Set (mathematics) Sample (statistics) Estimator Random variable Subset
Polymorphism (materials science) Estimator Estimation
Addition Logarithm Greatest element Constraint (mathematics) Maximum (disambiguation) Structural load Gradient Variance Square Parameter (computer programming) Mittelungsverfahren Mass Function (mathematics) Variance Expected value Stochastic Estimator Arithmetic mean Population density Well-formed formula Estimation Summation Sample (statistics) Random variable
Point (geometry) Trail Logarithm Numerisches Gitter Raum <Mathematik> Block (periodic table) Set (mathematics) Function (mathematics) Parameter (computer programming) Line (geometry) Inequality (mathematics) Expected value Calculation Population density Well-formed formula Random variable
Expected value Forschungszentrum Karlsruhe Logarithm Population density Maximum (disambiguation) Integrationstheorie Mass Mittelungsverfahren Parameter (computer programming) Sample (statistics)
Logarithm Maximum (disambiguation) Maschinenbau Kiel Propositional formula Parameter (computer programming) Regular measure Inequality (mathematics) Entire function Theory Expected value Empirischer Prozess Estimator Population density Zusammenhang <Mathematik> Summation Nichtlineares Gleichungssystem Sample (statistics) Abschätzung
Logarithm Potenz <Mathematik> Maximum (disambiguation) Normal distribution Content (media) Variance Square Function (mathematics) Parameter (computer programming) Variable (mathematics) Expected value Estimator Arithmetic mean Term (mathematics) Moving average Estimation Summation Absolute value Partial derivative Factorization Derived set (mathematics)
Estimator Maximum (disambiguation)
Mathematics Potenz <Mathematik> Zahl Algebraic closure Prediction Estimation Function (mathematics) Absolute value
Stochastic Statistics Zahl Estimator Real number Prediction Square Mittelungsverfahren Sample (statistics) Number
Expected value Estimator Average Prediction Estimation Optimum Mittelungsverfahren Function (mathematics) Parameter (computer programming) Sample (statistics)
Metre Probability distribution Estimator Decision theory Moment (mathematics) Estimation Insertion loss Function (mathematics) Mittelungsverfahren Greatest element Number
die ja begrüßen Sie recht herzlich zur
heutigen Vorlesung in der mathematischen Statistik wir waren stehen geblieben beim
Thema period Schätzungen Aufgabenstellung dar ist die geben sind Realisierungen klein X 1 bis Klein XN von unabhängige den Schutthalden Zufallsvariablen Grosics 1 bis Grosics den Werten in einer Menge X mehr Familie von Verteilungen des Täter von Wahrscheinlichkeit maßen wie Täter Täter aus Täter das B x 1 gleich wie Täter ist für einen Täter aus Groß Täter ohne Funktion geht von Tätern nach erhoben K und gesucht ist eine Schätzungen von dem wert die von Täter also der Funktionswert von der Funktion geht an der an den waren habe der Täter ausgehend von denen gegebenen Daten x 1 bis 6 in das heißt Sie wollen Schätzungen konstruieren Tieren von X 1 bis 6 in vollen die Vertreter ich habe in der letzten vorgestellt die sogenannten nun und Ausgangspunkt beides Mal ist die Darstellung von die von Täter als in der er das integral also wir gehen davon aus wir können die von Tätern schreiben als ein Elvers in der integral von einer Funktion A von X 1 bis 6 EL wobei wir die X 1 bis X L L bezüglich wie Täter integrieren man sei die empirische Urteilen von x 1 bis x N und der 1. den konstruieren ist der Frau Schwätzer da schätzen einfach das Peter da oben durch die empirisch Verteilung setzen das in die Formel für die von der da ein und nehmen ja das was rauskommt als Schätzwert das gibt dann Tieren von x 1 bis x in meint es ausreichendes einst durch noch einmal zu die die 1 gleich 1 bis n ist die L gleich 1 bis M A von X die 1 bis X Stil dann habe ich als 2. hingeschrieben den sogenannten schätzt er deren Schlange von x 1 bis x L man genauso wie wir das für diese Nation diesmal nur über alle die zum einen machen wo die in ICSI 1 bis L paarweise verschieden sind und einen dann durch die neue Anzahl um man anstelle von NOL diese Baustelle Sätze sind immer Erwartungs treuen in dem Sinne dass der Erwartungswert Taiwan waren der Täter von dem Forscher zur ob es so rum immer gleich dem ist der gesuchten Größe ist das heißt wenn wir die Schätzung immer wieder wiederholen und uns davon den Mittelwert von 3 diesen werden angucken dann ergibt es Asse methodisch mit wachsender Anzahl an Wiederholungen den richtigen wert es kam beim letzten Mal zum Ende noch die Nachfrage der Frau Scherzer der schätze sieht ein bisschen komisch aus weil eigentlich würde man ihn durch warten dieser Schätze war sollte die metrisch einen bezüglich den X 1 bis ja XL muss es ja heißen nicht XL bezüglich dem X 1 besiegt wenn das heißt ich die X 1 bis 6 in der mutiere dann sollte ich dergleichen Schätzer auskommen und das ist ja nicht ganz offensichtlich zu sehen das machen sich aber leicht klar dass es doch ist wenn sich überlegen wenn ich die menge Allah L Tobel von Indiz ist ein Cookie 1 bis sie L wo sie paarweise verschieden sind und ich gucke im Gegenzug die Menge an bestehend aus allen die 1 die sie L O E 1 aus 1 bis n s i 2 ist aus 1 bis n aber ungleich die 1 die 3 ist aus 1 bis n aber ungleich die einzeln und gleich die zweite und so weiter bis die Erlöse aus 1 bis und gleich die 1 und gleich die 2 und so weiter bis um gleich wie 1 wir müssen sich klar machen oder können sich klar machen diese beiden Mengen sind gleich das 1. nicht offensichtlich das wird aber dann offensichtlich wenn sich überlegen Jahr die Mengen sind gleich genau dann wenn eben die 2. 1 Beziehungen bestehen es ist klar die der Menge die unter Menge hier ist natürlich ne Teilmenge von Obermenge weil hier sind die Indizes paarweise verschieden umgekehrt machen sich klar wenn die Indizes paarweise verschieden ist dann ist natürlich die 1 N 1 bis N E 2 ist auch in 1 bis Ende aber ungleich I 1 weiß er aber so beschieden war ich 3 ließen 1 bis n ungleich die einzelnen gleich die 2 bereits Weise paarweise Verschiedenes und so weiter das heißt die untere bedienen sind auch für das heißt ja noch die andere teilnehmen mit 7 also in der Tat das was ich dann geschrieben habe da oben dieser Schätzer ist komplett symmetrischen der Stichprobe wenn sie Stichprobe um mutieren konnte gleich wieder an wir so um die ein bisschen komisch ok Fragen noch so weit fragen keine Fragen
können darauf Prüfungsfragen eingehen sich aber fragen sind 1 2 Stück das eine war der restliche Teil von der Frage der eigentlich schon hatten von Satz von Don und
dann fragen Nummer 13 erläutern Sie die in der Vorlesung gehandelten Prinzipien zur Konstruktion von period Schätzverfahren wäre also Bau Schätzungen schätze er wollte und heute kommt noch die Maxime lud Schätzungen müsse sie auch erweitern und führt 14. definieren Sie war eine Schätzung TN erwartungsvoll für die Wand hätte es sind bzw. steht Frau Schätze im allgemeinen erwartungsvoll begründen Sie Ihre Antwort wird also es war beim letzten Mal schon gesehen Schätze sind immer erwartungsvoll wir werden jetzt heute sehen der Frau es eine Modifikation von Schwätzer und deswegen nicht immer Beratungs- wir kommt gleich als nächstes ich habe die entsprechende
weitere ist davon Prüfungsfragen schon wieder hochgeladen Tukan also können sich ausdrucken wenn sie wollen oder eben erst auch aber das Ausdrucken ganz zu Ende des Semesters ok wir bräuchten wir Licht was unter Deck danach zu dem Bemerkungen warum der der Frau Schwätzer im Allgemeinen nicht erwartungsvolles wir gucken uns mal in Schätze für die Schätzung der Varianz an also im Fall der Schätzung der Varianz die Varianz bewahren Parameter darf einer Zufallsvariablen X 1 soll geschätzt werden wir machen nochmal den gleichen Tag wie letztes Mal zu beschreiben das heißt schreiben es als jeder wir das integral um ist das gleiche wie Erwartungswert von X 1 übertrat minus Erwartungswert von X 1 in Klammern zum war trat was sie umschreiben können als den Erwartungswert da war und damit der Täter von x 1 x x 1 minus x 2 wenn eben x 1 x 200 her identisch verteilt sind und das war jetzt ein zweifaches integral denn Sigrid bezüglich wieder da nein die X 1 mit Hertha Dix 2 ok wir das machen ergibt sich ein anderes als Schätze machen Sie entweder von X 1 bis dann brauche ich eben die Summe von vielleicht I 1 gleich 1 bis 1 und 1 I 2 gleich 1 bis n wobei die 2 ungleich wie ein sein sollte von den darum mit Text einsetzt durch x Sie 1 x 2 ersetzt durch x die 2 geteilt durch die Anzahl der Summanden das N 1 bis N X N minus 1 okay und das möcht' ich jetzt an Formeln ja die 1. Bemerkungen Beobachtung ist wenn die 1 gleich die 2 ist dann ist der Termine gleich 0 und dessen man sowieso gleich 0 insofern kann ich eigentlich die Nebenbedingungen hier mit der auch genauso gut weglassen weil wenn die einst Leiche 2. zu mir nicht nur die 0 auf und wenn ich jetzt weglassen dann ist das bis auf diesen Vortrag Tor das gleiche wie beim letzten Mal beim letzten erhalten werden wir Schätze uns angeguckt das war einst durch ein Quadrat mal diese Summe das heißt ich komme mir auf wenn Quadrat durch einmal N minus 1 jetzt kommt der Wert vom Frau Scherzer und der wird vom Frau Scherzer doch einfach das arithmetische Mittel der XI zum Quadrat Minus in Klammern das armenische Mittel der X wie zum parat ja ich kann da gute Schweiß meinen 1 durch denn Summe I 1 oder die gleich 1 bis 1 sie zum Quadrat sowie zur zum Quadrat und dann sehen Sie das ist eben das Gleiche wie N durch N minus 1 wir unser C 1 von X 1 bis 6 N aber eben dieses T 1 Winser will Frau Schätze war ja und das wollt ich jetzt eilig ich anders hinschreiben das ist nämlich dann 1 durch in S 1 nur Summe vielleicht 1 bis n ist Ihnen das das heißt Sie sehen da kommt genau die empirische Varianz raus als Schätze und Sie jetzt beachten der Umstürzler wissen wir ist Erwartungs treu dann kann der Frau Schwätzer nicht auch Erwartungs treu sein weil der Wartungs- wird von Frau Scherzer ist ja wenn man es einst durch in einem Erwartungswert von also eben die quer das Schätzung Patent entweder als Schätze erwartungsvoll ist das ist eben das 1 ist die wegen TN von X 1 bis 6 an ich es eines solchen und während wir von X 1 bis 6 6. für n größer 1 nicht erwartungsvoll oder auch gleich 1 nicht ja ist eben nicht darauf und streuen nicht Erwartungsdruck mehr und damit eine gesehen die Frau Schwätzer sind im Allgemeinen nicht auf uns und okay fragen so wollte ja es eigentlich trivial steht doch alles im Skript aber jetzt kommt das diese 1 nächstes Lämmer stetig 1 Grad denn machen Motivation von Maxim
leid die Halt mehr und es gibt es wenn 5 1 ist diesen relativ kurzes wenn auch im kurzen also wenn Sie überlegen was ich Ihnen was sie schon wissen was der Einführung die Stochastik habe ich ja damals auch Maximum Nike wird moderiert das war mir nicht so ganz klar warum es in der Stadt sei nicht genau so definiert mein anschaulich was ein bisschen okay aber es war auch so also ich finde immer so bisschen schwammig das Ganze und wir der mathematische Sachverhalts der dahintersteckt oder ein mathematisches Sachverhalt mit dem muss motivieren kann konnten den und zwar motivierende direkt den ja leid Wo che zur oder damit kann man direkt in obgleich Lutscher zu motivieren und die Idee es wenn sie eine Zufallsvariablen X mit der 11 haben dann Worte Erwartungswert von Locke von G von X für eine beliebige dichte G maximal den geht gleich F ok verzweigen ist die des der zu war ja mit F unnötig denn meine ich dichte bezügliches verwertbare Maß ist und es geht von der des Nacherbe die Gedichte wieder bezüglich LB Maß so geht wenn ich mir den Erwartungswert von verlockt F von X angucke dann ist die Aussage der Erwartungswert von dort F von X ist größer gleichen heißt Erwartungswert von Locky von nix Sendungen sieht jemand von Ihnen was das werden wir gleich Schätze zu tun hat also für diejenigen die den doch gleich Chats habe schon kennen sie können sagen es lockert kommt bei also in der Anwendung wenn sie ist das Produkt über Gedichte bestimmen dann tun sie anschließenden Logarithmus draufhauen und Minimum Maximum der das dann auch gleich Ute Cerne also gleich Mutter zur sagte in einer Stadt der leitenden und Funktionen wie weit und funktionales Produkt I gleich 1 bis n f Täter von X die also wir 11 Täter ist ihre Dichte bei Vorliegen habe der Täter und x 1 bis x enden sind die beobachteten Zufallsvariablen tun Sie direkt den Logarithmus davon maximieren was das Gleiche ist weil der Logarithmus monoton wachsen ist das wird dann auf die Summe I gleich 1 bis Ende der Logarithmus von der XI aber jetzt aber noch die Frage warum maximieren Sie diese Summe und ich behaupte in diesem Lemma können Sie begründen warum sie so eine Summe oder motivieren und sie so eine Summe maximieren wir müssen Sie es mir um die sagen was diese Summe der mit den Erwartungswert hier zu tun hat also sie haben unabhängige denn die Schutthalde Zufallsvariablen die X und statt diesen Erwartungswert von Opfern von F von X betrachten Sie jetzt die Summe II gleich 1 bis n von XI Logarithmus von Evonik sie Vorschlag wenn ich eben darum war es arbeite wird der Erwartungswert gerade zu einem festen Werte aber ich meine wie der Summe vom Funkmasten arbeitet aber hätt ich komme nicht oder also also haben wir meinen Sie das Richtige als wir period ist sie in Anwendung können Sie das natürlich also in Anwender können wir jetzt sagen okay und Gedichte zu schätzen suchen wir eine dichte zur Last Erwartungswert von Opfern des von X möglichst groß wird dummerweise um diesen Erwartungswert auszurechnen brauchen sie die Verteilung von X zum Beispiel die Dichte aber die wollen sie ja gerade schätzen also gezogen bin ich aber sie jetzt machen können wir schätzen diesen Erwartungswert durch Stichprobe Mittel und wenn sie unabhängig den Schutthalde Zufallsvariablen haben in dem sie einfach 1 durch immer die Summe I gleich 1 bis in der Logarithmus G 1 X E und dann maximieren Sie das anstelle von dem Ausdruck und ob sie da 1 durch immer maximieren oder ohne Einstig in ist nicht okay so weiter ich weiß ungemein gut wenn wir einen Beweis beweist einig relativ trivial wer weiß wie's geht die Frage ist weiß ich wie es geht okay wenn sie ziehen die eine Seite von der andern ab und zeigen Erwartungswert von Opfern G 1 X minus Erwartungshaltung Opfer der von nächstes wäre kleiner gleich 0 wenn jemand der können wunderschön mit den werden Logarithmus rechnen sowie immer dann steht der Erwartungswert von Logarithmus von G von X durch Evonik soll klar gleich 0 sein und um das zu machen wenn sie einmal ungleiche von Jensen an auf die Kate Funktion Logarithmus und sind fertig er war sich aber vorne weg machen muss ist alles so wie es geht was ich vorne weg machen muss ich muss irgendwie sicher sein ok ich kann es wirklich auf die andere Seite bringen und dann irgendwie den Logarithmus zusammen basteln und da habe ich natürlich um den Problemen hier oben und besteht wir ja aber oh kann ich natürlich auch zur voraussetzen das G von X nur mit Wahrscheinlichkeit 0 gleich den Wert 0 annimmt weil wenn es G 1 nix mit der Wahrscheinlichkeit größer als 0 1 0 1 und dann steht auf der rechten Seite minus endlich und die wir müssen nicht mehr zeigen also wieder an sonst rechte Seite gleich endlich was ich
rechne einfach somit dass ich sage der Logarithmus von 0 Berlin müssen endlich mich rechnen eben auch den Erwartungswert der von er weitere wärtigen Zufallsvariable so aus wir sehen standardmäßig auch machen wenn dieser werden müssen endlich damit einem Wert größer als 0 auftaucht wir dann der entweder nicht existent oder eben gleich müssen endlich auch müssen endlich können wir nicht ausschließen ok das zweite was ich gerne hätte dass er von Xtra auch nicht gleich 0 sein wir gucken uns mal die Wahrscheinlichkeit an wen F die Dichte von ICEs ja das ist einfach die Wahrscheinlichkeit Proteine von X von der Menge aller klein X ausersehen wo er zunächst gleich 0 ist ja Netzes F die Dichte von X dann wissen Sie das können das integral schreiben ja aber die Integrationsminister und das in die Grand eben gleich 0 es integrieren Sie eigentlich nur noch über die 0 Komma 0 aus fragen zu weit diesen ist ein Xtra dran oder welches den meinen Sie an diesen also ich schreibe das um das ist X von der Menge aller klein X diese Bedingung erfüllen also von der vorne kann es gut lesen ich weiß natürlich nicht okay ja und jetzt habe ich es geliebt zu zeigen ich bringe einfach den Erwartungswert Block F von X auf die andere Seite fasst die beiden Erwartungswerte zusammen und Teil dann durch wir können die Rechner die für den Logarithmus seine genügt zu zeigen also beziehungsweise machen nochmal WDR jetzt wissen wir beides doch nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auf jetzt kann natürlich sogar voraussetzen dem die Zufallsvariablen auf eine Menge vom Mars nun ab Ende das ist immer größer als 0 also wir die der von nix Norweger nur einig F von X größer 0 und die von x größer 0 in dem Sie mir das mehr es war Nixon ohne gar größer als 0 ist für alle und wieder aus dem Grund des zugrunde legen Wahrscheinlichkeit Raums und genauso gehe von X Norweger alle ohne gar nämlich einfach die Verteilung auf eine Müllmenge abändere was er natürlich nicht seinen Ausdrücken wie hier stehen das geliebte zeigen Erwartungswert vom Logarithmus von der von X durch er von nichts Rechnung das ist klar aber gleich 0 und das machen wir jetzt und das mache ich jetzt in dem ich die Ungleichungen von Jensen für die Kommentare Funktionen Logarithmus anwenden also wenn sich erinnern wie sie der Logarithmus aus sie haben den Logarithmus da könnte ich bisschen das gebogen sollen vielleicht das deutlicher sieht sie nehmen vor 2 Punkte sie nehmen die Verbindungs- gerade dann als die Verbindungs- gerade Unterhalt von der also zwischen den beiden Punkten unterhalb von dem Logarithmus das heißt wenn mir konvex Kombinationen von den beiden Argumenten des Logarithmus nehmen und sie konnten sich den Logarithmus an dieser Comdex Kombination an dann ist der eben kleiner gleich als die entsprechende konvex Kombination der Funktionen der beiden Funktionswerte an den beiden Stellen und er und jetzt wollten sie den Erwartungswert da hier steht das ist die entsprechende konvex Kombination was haben Erwartungswert von Lok-Fans von hat und ich vergleiche mit ja wir berichten aus an der zwischen Stelle und die 7 größer gleich Vockensohn das gilt für die Kommentarfunktionen Logarithmus von X Geldregen nein Graf diese Erwartungswert von Logarithmus wenn die für nächste helfen wächst er ist kleiner als klar gleich dem Logarithmus von Erwartungswert geht von X durch nix alles da ist ja mit in der Zeichnung der Logarithmus einer Zwischenstände und hier haben Sie die einzelne Logarithmus müssen würde man werde die sie gemietet haben das entspricht der Geraden das entspricht ein Punkt auf der großen Wirkung geraten period auf der großen beschreiben jetzt noch morgen also wir
wissen jetzt X hat der F oder er festigte von nix dann haben wir den Logarithmus und es in schreibe ich um als integrale mit Hilfe der Dichte ist dann integral über die von nichts durch eine Felix Mader Felix liegst dann sehen Sie dass er von X kotzt sich raus das heißt übrig bleibt ja nicht ganz in die greifen die von XTX was kann der Fall auftreten dass er von X gleich 0 ist wenn wir dann nur durch neues stehen nur durch nun würden erst mal ansehen das heißt über sind die gerade bei die von x x Indikator Funktion dass er von nix und gleich 0 ist das sie Schreis war so hinten die Karte von der von Phonix ungleich 0 gemeint es sei nicht Indikator zur Menge aller Z wurde von Zeitungen gleich 0 ist ausgewertet an der Stelle x und was ich jetzt bräuchte ist dass das gleich 0 ist dann sind wir fertig den Vorschlag das integral mit 1 das heißt er die Funktion hier ist ja nicht negativ der Logarithmus ist monoton und ich schätze es ist integraler oben ab durch integral über die von XTX man darf von den Logarithmus dabei gleich als Logarithmus von integral über die abhilfe nix Wegs und ich weiß gehst Gedichte also übrig bleibt der Logarithmus von 1 was gleich 0 ist ok
Fragen so weit also ich finde und Gäste ganz hübsche Sache wirklich mal begründet warum war ich in der maximaler Gluthitze nehmen soll also müssen kleines technisches wärmer beweist einig nichttrivialen ungleiche von Jensen muss bisschen drauf achten kann ich die Umfragen machen wenn man so will ich noch ein bisschen drauf achten müssen existieren die Erwartungswerte auch der mir vielleicht da drauf achten können was ist kann ich auch nicht mehr so ist es ja der Versicherte hier ausgenutzt Erwartungswerte Differenz ist die Differenz der Wartungs- werden da müsste vielleicht ein bisschen drauf achten wenn wir das noch auf einem bescheidenen rein machen aber das sollte ich einfach sein beziehungsweise was sie eigentlich bräuchten dafür und werde es sauberer Maß theoretische also tat wenn Sie so maßen die auseinander ziehen können und das können sie eben nicht nur wenn die beiden endlich sind sein das können Sie auch noch also Sie können es eben nicht wenn es ein die gerade müssen endlich ist nur andere wie das endlich das doch nicht auftreten war um um das mal was theoretisch zu sehen also wahrscheinlichen Integrationstheorie nicht gemacht dabei aber auch so 20 Minuten das bisschen bisschen unschöne Sache ok okay hatten die
Verteilung Peter davon nix eine dichte FZK bezüglich des der Bäckerei ist so gilt hätte ist eben das Argument Maximum vom Erwartungswert Bahnparameter der Tag quer vom Logarithmus von der Täter hat Vorteile bietet davon X der würdigte 11. das bezüglich ist bedeckt war bei ist weg für Twitter aus größter dar so gilt dieses Täter dieses Argument von Maximum von Täter quer aus Groß Tretter vom Erwartungswert wir waren vermittelte das quer im Logarithmus dem Defterdar Tag quer von nix wir schätzen nun diesen Erwartungswert hier brechen Stichprobe Mittel und wir nehmen dann das Maximum und die maximal stellten sprechende Stichproben mittels Einschätzung wir schätzen Jungen ach so ja Entschuldigung ich mich verschrieben ich dachte ich haben schwarze Landscape bat ich nicht und nicht beschreibt wäre hier rein gemacht ich meine natürlich nicht dass da soll ich meine ich nehme jeden Bahnparameter Täter auch noch den Logarithmus von 11. Tag nix weil das wir genau in der Situation also gehe es nämlich wenige dichteste des 11. da quer und X hat aber in einmal die Dichte FZ da nur wurde auszugeben maximal 4 Täter gleich der mehr man schätzen wir diesen Erwartungswert waren Parameter davon lockt der 11. Tag wir von Aids durch das entsprechende Stichproben Mittel Mittel also 1 durch ein Sony gleich 1 bis den Logarithmus das wir von wobei eben die x x 1 bis x n unabhängige
den Streit sind in der mir einen sogenannten Laubkleid Wo che zur durch möchte Verdacht dieses Argument von Maximum klettert wer aus der Twitter von diesen der Ausdruck ihren ok und die Alternative kennen sich schon alle ich höre der 8. ich kann die Summe einziehen als Produkt ich beachte der Logarithmus es monoton wachsend und maximiere direkt das Produkt das sollte nativ noch der dieses 1 durch ein ist recht 1 durch einmal Logarithmus jetzt von dem Produkt und eben etwas abgebildet auf 1 durch den x es monoton wachsend in der Niere den sogenannten Maximen Alt-J Scherzer durch Kündigung also der Rache sehen es als Maximum gut der Tag wo es Täter von 11 enthält erklären mit 11 unter der wär es genau dieses Produkt dichten indes das dass die sogenannte Laiki und Funktion Kundenberater ok Fragen so weit was
ich mache dann gleich noch ein Beispiel vielleicht noch eine abschließen werden sondern immer 5 1 was jetzt mit der X 5 1 machen können als nächstes sich zu überlegen wenn sie den Abstand von einer Dichte gehen zur dichte F im Sinne des Abstandes von dem Erwartungswert von Locke von der von dazu Erwartungswert von Opfern des von nix müssten also wenn Sie das irgendwie beschränken können können Sie dann irgendwie zurückschließen auf zum Beispiel in L 2 Abstand zwischen den dichten oder X 1 Abstand zwischen dichten oder super Abstand zwischen den dichten und so was und da gibt es Zusammenhänge das war mit der cool Bleiber Distanz die sie wieder zurückführen können auf ich brauche 2 Abstände von dem dichten und dann können Sie ja als nächstes sich überlegen ja können Sie irgendwie den Abstand zwischen den Erwartungs werden so Stich vom Mitte gleichmäßig über diesen Parameter Täter in die Fresse bekommen und das können sie mit maximalen Gleichungen überzieht hatten wir sogar schon mal ein Theorien von Didenko kein Termin wurde auch nächstens Jahr Ungleichung geleitet haben zwischen Abstand Uniformen Abstand von Stichproben Mitteln über wer zur Wartungs- werden gleichmäßige 1 ganzen Funktionen aber eigentlich weiß dann Funktion aber wenn die Karte Funktion war und damit können Sie diesen noch Kleid Jud Schätzer und welche Konsistenz Aussagen oder Konvergenz erhalten erlangten also eine ganz lustige Sache machen sie in der Theorie der empirischen Prozesse führt aber auf recht und schön Regularität zur Umsetzung insgesamt dieser Kuchen aber damit können Sie eben mit solchen Ungleichungen zwischen ungleichen zwischen wohl Abschätzungen zwischen der Stichproben Mitteln Erwartungs werden die gleichmäßige und Funktion Raum des können Sie auf ja viele Abschätzung führen wer nur zu kommen ok möchte ja bei der vorgesehen nicht machen werden stattdessen noch ein Beispiel Maximum Leitbild Prinzip machen und das war es dann so weit mit der Vorstellung der Schätze Funktion erforderlich noch die Tafel wischen mache es 5 Minuten Pause und wir machen dann um eine ja was hat diese Uhr diese Uhr sagt er also 3 Uhr 18 dann ungefähr weiter geht gut okay dann würde ich ganz gern
weitermachen mehr also machen am Beispiel der betrachten ja Schätzung der Parameter der Normalverteilung also Erwartungswert und Varianz Beispiel der X 1 bis 6 N unabhängig normalverteilt mit Erwartungswert Mühen Variant Apparat geschätzt werden sollte da gleich müßigen aber Apparat ja wir haben sie jetzt die Dichte 11. da von X ja ich dem der Normalverteilung er habe ja da die wächst die Dichte 11. davon nichts also 11 Mü sieht aber hat von nix auch der gleich 1 durch Wurzel 2 die Sigmar ja minus X minus 1 durch 2 Siege aber mehr und ich schreibe hier vielleicht das Signal Quadrat als Wurzel darunter die Wurzeln weil ich ja das Siegerbeitrag als Paar mit aufnehmen also ich schätze separat direkt nicht man selber nein die erklärt Funktionen 11 von Tata ist das Produkt gleich 1 bis in die Hälfte davon nix dpa ja dann müssen sie eben klein nächste X die ersetzen dann können Sie das Produkt neben den Faktor können als Faktor mit den wechselnden ein ausziehen und das Produkt an nie als zu den Exponenten schreiben dann kommen wir auf Zweitjob minus in halbe dann ist die Beratung die das in Inhalte man hoch jetzt kommt die Summe die gleich 1 bis Ende x 7 es Mühe durch 2 Siege aber der es an der Stelle bietet sich eine Staat der leicht wir direkt Funktionen direkt die Lok Laiki und Funktion Logarithmus davon zu maximieren Maximierung von ob unter da und dann sehen Sie dann bekommen wir eben das Produkt verwandelt sich eben in die Summe der einzelnen Logarithmen und der Ex-Mann zahlt am versteht das EU verschwinde komplett und bei dem anderen kann ich die kann ich jedem vor daraus sehen hier dass ich einfach stehen bleiben wenn ich nach ableite Spiele der 1. Frage da sowieso keine Rolle mehr Logarithmus von Zweitjob minus Inhalte bloß und ich mir sehr man sieht nur Quadrat und dann minus wir müssen es 1 bis n x 7 mit dem Betrag durch 2 Siege Draht jetzt hat sie die partiellen Ableitungen gleich 0 führt auf 0 soll gleich sein wäre demnach das mit mir an die nach dem Willen dann sehen Sie der erste Term verschwinde bei der Ableitung der 2. Termin gar nicht von mir ab schwindet auch bei der ableiten Ableitungen das heißt da kommt 0 minus 0 raus und dann der 3. Jahr noch Mühe abgeleitet ja ja ich glaube das sehen Sie auch mit einem schlage ich kann die 2 nach vorne ziehen dann wieder 2 hier kurzen Rede noch von minus 1 von der inneren Ableitungen comma Sohn ist Herr Plus Summe die gleich 1 bis n und das mehr durch 7. Beirat aus und dann können sie direkt nach mir auflösen und sehen Summe der Weg sie also das sich mit Sieg aber trat dann noch durch Beziehungen er bleibt noch Summe ich leicht 1 bis n x 7 ändern wie soll gleich 0 sein das heißt man ist es genetische der dich sehen wir das also der Schätze würden Erwartungswert der Standard Schätze und das 2. Ich leidet
aber nach und er dem Beispiel ich leide wirklich nach den Sigmar aber es nicht nach Sigmar als etwa der mich interessiert dich Quadrat haben wir frei doch nicht wenn nach die Sigmar Quadrat er dich ab vom Täter einfach weil dann kann ich die Ableitung oder dann bekomme ich ein bisschen schöner und zu den schreiben ich ganz anders genauso ausrechnen der 1. Termin wieder gar nicht und sieht Barbara ab der zweite gibt will nach Siegerbeitrag abgeleitet wir alles die Variable gibt und wie das N 1 x 1 des Siegburger trat und der dritte wäre nach 7. Apparat abgeleitet also dieses one half x diese Summe wird eine stehen und das sieht bereit abgeleitet habe schon zigmal gerade um minus 1 minus 1 x bis 7 Uhr trat minus 2 also wir 1 durch sie Chorquadrat zum Quadrat wir werden sehen Sie dann können Sie das jetzt mit Siegburger Bad durch meine beziehen oder noch besser mit 7. auch 4 also mit sich noch etwa zum beitrat und ich Teil noch ja ich bringe den 1 Jahr nur noch auf die andere Seite Teil noch mit Inhalte durch unser Signal Quadrat ist dann gleich also das ist ist nur multipliziert dass auf der einen Seite müssen es noch durch Inhalte teilen das Minus hat sich der minus in Merkel mehr der weggehoben das heißt es kommt 1 durch ziemlich leicht 1 bis 1 X die Mühe Quadrat raus und wer kennt schon das wär 1 durch den nicht vielleicht 1 bis die sie Minus arithmetische Mittel der XI und also ist eine sichere Maximum
Leid Lutscher zur noch eine hier der andere
hier dann sehen Sie der Maximum Schätze für aber trat stimmt hier mit dem V Scherze über ein ja nicht treu ist und es daher im Allgemeinen auch nicht Wartungs- toll also allen meisten leiten Schätze stimmte die mit dem Bau Scherze über überein und damit den wir damals so so er ist allgemein nicht der Wartungs- Trolle okay Fragen so weit das klingt nicht direkt nachfragen dann comma zum nächsten Abschnitt also wir hatten jetzt gerade dann
angefangen period Schätzverfahren Werten ein Abschnitt über Definition was sind period Schätzverfahren wir am 2. Abschied jetzt gab durch in einige Beispiele gegeben hatte period Schätzverfahren und jetzt wollen wir nicht auf das zu stören was der Mathematiker ich interessieren würde wenn ich über nicht nur ein Verfahren haben wir wollen möglichst in ein möglichst gutes Verfahren habe sein optimales Verfahren haben dann ist noch die Frage auf nach optimalen Schätzverfahren und da sage ich was
dazu in Abschnitt 5 3 also die Frage um die es hier geht ist was ist ein optimales Schätzverfahren und da stellt sich erst mal raus das ist gar nicht mal ganz einfach zu definieren wann der ein Schätzverfahren als optimal verstehen und ich möchte mir mal 3 verschiedene Prinzipien vorstellen gemäß den sie ein Schätzverfahren als optimal auswählen können wir gehen davon aus dass ich eine Verlust Funktionen vorliegen habe die Ihnen bei Vorlage von G von Täter und oder bei gegeben die von Täter und Vorhersage durch durchziehen von x 1 bis x in ein Verlust an gibt wenn sie bei dieser Verwendung dieser Schätzung bei diesen Warenwert machen also gegeben Verlust Funktionen Rüstung zur L Funktion von oben kam nach der oben K ja und gar grollte Augen kann nach Abschluss wieder Eigenschaft wenn der wahre Wert IV ist in die Vorhersage sah und V ist davon ist gleich 0 also wenn Sie es richtig vorhersagen werden Sie diesen Verlust wird gleich 0 ich 0 für eine Frau aus K unweit Vorhersage von G von der dadurch die n von x 1 bis x in sei eben L von Tieren von x 1 bis x in die von Tata größer gleich 0 der auftretende Verlust 2 11 von Tieren von X 1 dieses Handy die von Tatar große gleich 0 der auftretende Verlust einfaches Beispiel wenn K gleich 1 ist der der die Nieren und 11 von einfach als der Betrag von minus V Buch einer mit einer gewissen Exponenten des besten Zahl größer gleich 1 Beispiel K gleich 1 also
wir die von der das jetzt eine reelle Zahl und LUV definieren wir die Frage von ist Frau okay so sein kleines wir wollen die größer gleich 1 meistens immer wir gleich 2 Mal so viel von dem comma Ausgleich um das auch zum Quadrat jetzt in der Statistik oder der Stochastik ist ja normalerweise nicht so dass die ja sie können
natürlich sagen ich möchte mal optimalen Verlust haben für meine gegebene Stichprobe aber das werden sie normalerweise nicht schaffen sollen sie gehen immer auf auf so was hinaus wie optimaler Verlust im Mittel also wir stellen uns vor wir kriegen immer wieder seine Stichprobe gemäß Wahrscheinlichkeit wird härter wir machen immer wieder das setzen wir wieder unseren Schätze T N 1 machen die Vorhersagen machen dann jeweils ein Verlust der Verlust gibt eine zufällige Zahl und wir gucken uns an wie groß diese zufällige Zahlen Mittel und das ist so so genannte das Risiko also bei Vorliegen des war mir das Täter
und oder wer sage von die von der dadurch die von x 1 bis x in tritt Mittel der Verlust bei Vorliegen ist kamen dass Täter und wiederholter Vorhersage von die von der dadurch die in Felix 1 bis N mit dem Mittel der Verlust ja von deren Freund hätte aber das ist der Mittelwert bei Bahnparameter Täter von 11 deren von 1 besiegt werden die von Täter und dass ist so genannte Risiko also 1. Schritt ist wir gehen von dem zufälligen Verlust für eine Stichprobe eben auf den Verlust der Mittel über und hat für mehr als ein nicht nicht mehr oder es ist nicht wer das ist und was anderes zu minimieren wenn sie die Daten mit Fehlern beobachten ja wünschenswert ist jetzt dass wir Schätze Funktion finden ein minimales Risiko hat für alle Täter also wünschenswert schätze Funktion ich wenn die x-te N comma Abt also für die optimale Schätze Funktion mit minimalem Risiko für alle Zeit aus der dar das heißt wenn es mir vorschreiben wollen mit der Eigenschaft ja von Tieren oft wenn die Eigenschaft mal stammen von der ist klar gleich als Jasmintee entfernter dar für alle Täter und für alle Schätze Funktionen ziehen also für alle Täter aus Twitter und Funktionen alles sehr naheliegenderweise das 1. Ziel passen sich versuchen könnte zu erreichen also wollen der Schätzung sollen finden so dass die Vorhersage im Mittel im Vergleich zu allen anderen Chats Funktion bei allen vorliegenden Situationen wir neben der oder das Risiko minimal ist also Vorhersage Fehler Mittel und das Problem was jetzt auftritt ist das wird in aller Regel nicht gehen und das ist relativ einfach zu sehen also Problemen solche Schätze Funktion existieren im Allgemeinen nicht mehr also Probleme T 1 comma decimal 8 existiert nicht oder solche Schätze Funktionen ja und wie sehen Sie das ja ganz einfach wenn ich mir ich kann jetzt meine Schätze Funktionen für jeden einzelnen Parametern konstruieren die immer Risiko 0 hat und zwar das mache ich in dem sie für diesen oder den diese Schätze Funktion guckte eben kurzerhand die Stichprobe gar nicht mehr an zu sagt immer diesen einen Parameter der voraus oder in dem Fall es gehe von Täter man sagt immer für ein des ist der 0 immer die von Tätern und vorher und dann ist ist klar wenn Täter nur der Bahnparameter ist dann ist es von ist gleich 0 das ist klar dann wird natürlich auch dieses Risiko für diesen Bahnparameter gleich 0 sein für diesen ein für alle andern ist nicht nur gut er für diesen eine sie gut ja wenn es jetzt diese klären ob diese Eigenschaft Standard da muss sie aber für diesen ein mindestens genauso gut sein das heißt auch ja das können für jeden einzeln machen dann muss er auch entfernt ja von sehen ob dem für alle Täter gleichen sein was in aller Regel nicht schaffen also den wir betrachten T 1 Komma Täter 0 von x 1 bis x n und die sehr schätze Funktion ignoriert einfach fertig die Stichprobe und sagt immer die von der dann will vorher hat Risiko wenn die ja dann eben Risiko erfahren die ein 2.
0 vom 10. 0 ja das ist 0 weil noch unter Voraussetzung war eben dieses 11. geht unter der 0 Komma geht und immer gleich 0 also Erwartungswert darüber auch gleich nur also vor Gericht an also oder also impliziert Sternen ja eben das er von Tieren comma Haupt von Twitter 0 klare gleich 0 es also und zehren ob es comma Z 1 0 muss gleich 0 sein und der dann über beliebige also muss hervor Ferienort unter da gleich 0 sein für alle Täter und das können Sie eigentlich nicht schaffen also im Allgemeinen unmöglich also geht's nicht und das einzige wie wir jetzt doch noch eben zum optimalen Schätze Funktion kommen ist dass wir dieses dieses Kriterium für die Optimalität Sternen wurden die ab abschwächen als Ausweg Abschwächung von Schlamm oder Abschwächung des obigen Optimalität Kriterium haben Sie Fragen so weit keine
Fragen dann an anstellen 3 dadurch bei den letzten 1 3 Möglichkeiten vorstellen wenn da wollte wohl nicht mehr alle schaffen wie sehen diese Sterne abschwächen können die 1. Möglichkeit ist das sogenannte Minimax bezieht ja minimieren das maximale Risiko so Möglichkeit 1 mehr Minimax Prinzip minimiere das man das maximale Risiko bitte aber an wir wollen also dass unser denn ob die Eigenschaft hat wenn ich das maximale Risiko was bei Tieren Ort auftaucht dass es so Bremen-Walle alle Täter aus der wenn er von 10 Opfern Täter dann soll das eben im Vergleich zu allen anderen der ausdrücken minimal sein also ein ausdrücken bei allen andern Schätzverfahren also in 7 Wale Schätze und von 2 Premieren 3. Muster der der Frauen Themen von Tätern eine schöne Deutung von dem Dinge Sie können das Ganze deuten als der Verlust bei einer optimalen Spielstrategie werden 2 Personen spielen und zwar sie spielen gegen die Natur im 1. Schritt er will die Natur eine für sie möglichst ungünstige Situation wo sie schätzen müssen und im zweiten Schritt wählen Sie dann einen möglichst guten schätzt auch und wenn jetzt beide Spiele optimal spielen dann kommt es Nemax Risiko heraus ein ich ein ganz wichtiges Prinzip also sie gucken sich über können Sie auch im realen Leben machen nur wenn sie Entscheidungen treffen kommen sich den ungünstigsten möglichen Fall an aber ist also ich mache das meistens nicht immer wenn sie sie mir machen würden dann würden sie gar nichts mehr machen also also wenn Sie zum Beispiel Haus kaufen was der ungünstigste mögliche Falle und dann wissen sie wurden die bezahlen und dieses bezahlen geht ja das wenn Sie in den Supermarkt gehen sieht bezahlen kriegen Sie da die Ware und sie geben dem Geldschein rüber aber wenn sie es irgendwie so mit 400 Tausend Euro machen dann gehen sie natürlich nicht so hier der Geldkoffer ich weiß wann sie schon gar nicht machen dann müssen die Beine gehen diesen 4 Tausend Euro rauskomme also zumindest nicht sie Minimax Prinzip anwenden sich in diesen 4 Tausend Euro durch die Gegend laufen aber auch 1 überlegen Sie überweisen des dann überweisen Sie mal das Geld in ja aber Sie kriegen ich das Haus versehen sollen sie mit müssen Grundbucheintrag bekommen also eigentlich und jetzt und in dem Moment wo sie das Geld überweisen der Bauträger Pleite gehen oder so was oder möglich Geschäftspartner Pleite gehen das ganze Geld das sind in der Insolvenzmasse es kann wirklich so machen dass man sie über 100 Notar er sie können die Zahlen unter Artikel in der Tat ein konnte wo einzahlt aber dann kann es Probleme auftauchen der Notar könnte mit dem Geld durchbrennen es kommt auch vor dass wir auch nicht also wenn es zur zuende denken wollen sie alle hin kaufen Minimax Prinzip was aber Sie kriegen nicht Ihnen also gewisse Risiken müssen sie ja aber in vielen Situationen können Sie es machen und das zweite machen wo es das nächste Mal wer das so genannte erst Prinzip da werden sicherlich nicht zu bringen einfach bilden sollen sie wurden das ganze Mitteln bezüglich Annahmen für wie wahrscheinlich halten Sie ein paar Meter also wollen sich überlegen ob die Wall Street wahrscheinlich auf Astrid vielleicht nicht auf welche Verlustes für mich besonders schlimmen welche nicht so schlimm dann würden sich die Eigenmittel machen von alle diesem sinnfälligsten bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den mit die müssen wir durch und die vorgeben und dann sollen sie versuchen darüber das optimal ist und des geschätzt Problem zu finden was wir bezüglich diese Mittel optimal ist beides Vorlesung einig nicht machen sondern und das 3. machen wir werden im Prinzip wäre dieses Kriterium Sterne schon mehr oder weniger nehmen aber wer neben zum Vergleich nicht mehr alle Schätze Funktion zu lassen sondern auch alle Erwartung streuen Schätze Funktionen und da zeigen da kann man dann sowas ok aber ich glaube wir sind alle schon mehr oder weniger am Ende wird sagen warum sollte Schluss sie am Montag