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Ricci-Tensor und Volumenänderung

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jetzt kommt ein konkreter Anwendung für die wir zu uns
Gleichung ich gucke mir benachbarte geodätischer an die alle mit demselben Geschwindigkeitsvektor starten wir sagen dass soll parallel transportiert werden hier vorne und ich gucke mir an was aus einem kleinen Volumen wird mit dem ich von Staaten wie entwickelt sich das Volumen der Volumenänderung entlang
von geodätischen und wenn man das beschreibt wie sich dieses Volumen entwickelt stößt man auf den Richie Zensur der hatte in der allgemeinen Relativitätstheorie eine herausragende Bedeutung mit die Reaktionsgleichung kräftig eine Abweichung hier und habe die Frau vor der ich hier n Abweichungen so viel ich Dimensionen haben 1 4 0 ist 1 von diesen Vektoren a 2 von 0 und so weiter und so viele wie ich Dimensionen habe dass sich hier wirklich ein n-dimensionalen das Volumen auf Spanne von München auf spannende aber gesagt und hier habe ich dann also kann Vektoren von einem Volumen 1 von S 2 von und so weiter und jeder von diesen kannten Vektoren entwickelt sich in der DDR zu uns gleich und die zwischen hatten ich möchte war das zu Beginn alle diese geodätischen eben quasi derselben Richtung starten ich möchte dass die kovariante Ableitung von jedem dieser Abweichung Sektoren irgendeine wurde und dass
diese kovariante Ableitung am Anfang nur lässt und jetzt möcht ich dieses kleinen Blümchen ja ausrechnen dass sein das Volumen zum Parameter es und das gegenüber als durchaus sucht den gab es schon mal die Determinante von folgenden ich wäre das Skalarprodukt jedes kannten Vektors mit jedem anderen also den Bankensektor wo zum Parameterwert erst mal den Kanten Victors Sigmar zum Parameter wird es das gibt eine Matrix honoriert die Zeilen durch sieht man nummeriert die Spalten durch davon möchte ich die Determinante der beschreibt dass man etwas informell so von dieser Matrix einen Determinante nannte bilden in wir sie noch nicht ganz fertig ist kommt ein Minuszeichen in der allgemeinen Relativitätstheorie sind geometrische "anführungszeichen in der allgemeinen Relativitätstheorie ein Minuszeichen sicherheitshalber
Zuwendung noch einmal warum ist dass das Volumen dieses Skalarprodukt ja gar nicht in Komponenten so schreiben ich nehme von dem abweicht Inspektor Aho zurzeit es die Komponente oben alle ich nehme von dem Abweichungsrecht Tour ,komma Sigmar zum Parameter wird es die Komponente oben Wetter und für das Skalarprodukt brauche ich nach dem metrischen Tensor die alpha hätte also wirklich ich das ja ausrechnen wenn ich jetzt in einem schönen Koordinatensystem werden in denen die alpha gleich ,komma Nigerdelta ist geometrische Situationen oder dem kostet so ist die Situation in der allgemeinen Relativitätstheorie dann ist wieder die Männer und 4 Frauen einfach nur die Kanten Vektoren in einem nannte genommen das Volumen was sich die Rechner ist für den Inhalt eines Produkts Produkte der Termin nannten das Volumen mal das Volumen mal die der Determinante nannte vom metrischen Tensor und die 3. von mir zwischen den so +plus 1 in der Geometrie und -minus 1 Minkowski das hebt sich gerade mit diesem -minus weg in einem schönen goldenen System wirklich also die Wurzel aus dem Volumen eines Quadrats macht das Volumen bestimmt ist aber nicht jeden Koordinatensystem weil das was hier steht ein Skandal ist nicht gegen jeden Koordinatensysteme selbe Skalarprodukt raus damit dieselbe Determinante raus letztlich sagen wie sich dieses Volumen entwickelt und dazu oder so ich mal dieses Skalarprodukt ihr den abweichend Sektor numuru zum Parameterwert des multipliziert mit dem Abfall Inspektoren war Signal zum Parameter wird es dieses Skalarprodukt nerve ich durch einen Teller Polen und nicht sagen das ist der Wert von diesem Skalarprodukt komplettieren den es gleich 0 ist Schluss jetzt kommt der Termin für die Tangenten gerade ich nehme die Ableitung von diesem Skalarprodukt nach es an der Stelle ist gleich 0 und multipliziere mit es bestehe die Tendenz gerade angelegt an die Stelle ist gleich 0 und so geht das weiter ich nehme die 2. Ableitung von dem Skalarprodukt nach es erstellen 0 mal das Quadrat über Fluss und hinten stehen der mir mindestens 3. Ordnung groß wovon es hoch 3 und jetzt richtig die Ableitung hier aus fahren mit der man die 1. Ableitung ich
möchte dieses Skalarprodukt abstreiten macht es diese ableiten dass es kann ich als kovariante Ableitung in das Skalarprodukt reinziehen und dann die Produktregel anwenden den 1. ableiten Kovarianz nach S den 2. stehen lassen +plus andersrum den 1. stehen lassen aber den 2. ableiten denn stehen so ist der der kovariante Ableitung verträglich also wenn ich diesen Skandal ganz normal ableiten darf ich Ihnen Skalarprodukt Kovarianz ableiten wenn ich hier nur die normalen ableiten klein die schreiben würde ich noch einen weiteren Termin in dem ich die metrischen Tensor ableiten lässt die steht ja eigentlich die Komponenten von dem Maler die Komponente des metrischen Tensors mal die Komponenten von dem es sich auch nach dem metrischen Tensor 12. ableiten unter Ableitung das elegante mich interessiert was das 1. Ableitung rauskommt ich es gleich 0 Einsätze ich =ist gleich 0 Ansätze steht da nur nicht wieder Parallelstaat haben und da steht 0 =ist gleich 0 das heißt 1 =ist gleich 0 liegt der Terra Pflichten begreifen raus ich brauche auch noch die 2. Ableitung also was ich gekriegt habe in Blau auch noch einmal ableiten die 2. Ableitung des Skalarprodukt nach ist der hier ist ja nur ein =ist gleich 0 gleich 0 ich muss ihn jetzt weiter mitnehmen und die 2. Ableitung zu berechnen also ich wenn auf den 1. der die Produktregel an Links ableiten rechts stehen lassen was umgekehrt links normal ableiten ist die 2. Ableitung nach es von dem abweichen Zweck zur Nummer 2. werde ist Schluss jetzt den linken stehen lassen den rechten ableiten und ihnen steht die einfache Ableitung nach des und rechts steht nun auch eine Ableitung denen sich ableiten +plus entsprechend ich in den vor links ableiten rechts stehen lassen das ist dieser noch mal hier kommt einfach den Faktor 2 davor und den stehen lassen den ableiten also steht aber auch wovon es und rechts steht die 2. Ableitung von bis Z wie Gefahr das kovariante fest diese beiden hier werden wieder 0 1 =ist gleich 0 das heißt damit ich hier fliegt raus und hier für die doppelte Ableitung endlich die die Versions Gleichung an das ist -minus Krümmungstensor ein Index hoben wird der Lander Mühe das Peter steht mit unserem Staat Rektor an der Stelle =ist gleich gleich 0 das Land darstellt mit unseren Abweichung Zweck zur Nummer und an der Stelle ist gleich 0 und von den Lander Komponente und das mir steht wieder mit unserem Staat Vektorformen entsprechendes passiert da hinten da hab ich -minus den Krümmungstensor mit in Index oben wird der Lander Mühe statt Vektor und jetzt als Sieg war an der Stelle 0 und davon den Lander Komponente mal vorne damit kann ich jetzt diese Täter Näherung ausbuchstabieren also das Skalarprodukt Abweichungen von Marokko und 7. beim Parameterwert S ist was
rauskommt wenn ich es gleich 0 einsetzen also am Hof von 0 mal Sigmar wollen nun das war der konstante tja ich kriege keinen linearen tat denn die Ableitung =ist gleich 0 an der Stelle des gleichen 0 ich kriege einen quadratischen der -minus sich die das -minus schon mal raus es Quadrat halbe Teller und entsteht hier der Krümmungstensor beschreibt man den einfach miteinander mit einer Frage mit der andere will Vorbild daher schreibe ich nochmal aber Hollander ohne die 0 vom Wetter war so hoch in der Form wie das Ganze zu modifizieren Skalarprodukt mit als also von als Sigmar die alpha Komponenten verhängten dass Sie das entsprechende nur sind sie klar und wo vertauscht also ich kriege +plus R Alpha-Beta anderen wie Frau Fekter hat Sigmar nahm der Frau Mühe Caro alpha +plus der von 3. oder höherer Ordnung entstehen die Komponenten von denen aber es alle so hübsch einzeln drinnen auch das iPhone kann ich also schreiben das schreibe ich jetzt auch mit Hilfe der Komponenten und von diesem Weg zur nämlich Untervariante Komponente alpha und von diesen kovariante Komponente alpha und addiere gibt viele Skalarprodukt jetzt kann ich mit den Vektoren a die bestehende zusammenfassen
hab ich hier und hier und hier immer 2 Komponenten von diesen aber damit fang ich mal an irgendeine Komponente von dem aber über den Weg zur Nummer 2 davon an Komponente oben und damit den Weg zur Nummer 1 Sieg war davon die alpha Komponente und mal den zwielichtigen erzeugen Alfa oben eine für unten da steht Land der verstecken Alfa hier schreibe ich ,komma Nigerdelta hin und den Namen der oben als war der geht mir genau das Land daraus dass gleich Alfa ist und dann steht da wieder dasselbe -minus es Quartal können für den hier das ist mal gucken was alles brauchen er mit 4 Indizes 1 Frau was mit dem 1. Index geht es gut eine Frau was mit dem letzten Index geht auch gut Harro brauche ich nur das Feuer wovon soll ich hab's nicht hingeschrieben Aero brauch ich mit dem Index landen da oben wunderbar dass dorthin ich schreib hier also einfach ändern dahin und als Sieg aber auch ich mit dem Index alpha und den haben wir auch nicht weil wir einfach das ein steht und der Platz den ich in der gelassen habe es einfach für dieses Harro von 0 an der das geht mit dem Index landen der 2. Teil hier alles noch in eine Klammer Jahr 4 Indizes verbesserter Form wie wird weiter so funktionieren Wetter und in der Mitte der indexieren muss mit dem Sigmar stehen dieser Index muss mit dem Sieg stehen habe jetzt aber Alfa und das heißt ich muss jetzt einfach oben hinschreiben fordere Index ist Alfa steht mit dem Euro da brauche ich als ein Land der aber und diese )klammer zu und dann auch noch diese )klammer zu hier Jürgen dafür Symmetrie Gründen draus machen er und holt das nach vorne als war müde und das bringt der Renten Namen der Beta das Mühe geht mit dem V das Wetter geht mit dem Frau dann kann ich auch hier ein bitte hinschreiben dann geht es nämlich auch mit dem VCI 1 Million schreiben dann geht es auch nicht den vor da hab ich da jetzt erhoben alpha und miteinander damit er oben einfach unten miteinander mit zweimal stehen das heißt hier unten steht das selbe wie da ich kann den wegstreichen und hier einfach dass ein halbwegs streichen +plus der immer höherer Ordnung auch noch ich wollte eigentlich das Volumen ausrechnen dazu brauch ich die Determinante von diesen Ausdruck hier interpretiert als Matrix mit Zeilen Index grob und Spalten Index Sigmar die Termine und von diesen Dingen und Sigmar ihr steht ein Produkt dreier Matrizen 1. Matrix 2. Matrix 3. Matrix die Determinante eines Produkts ist aber das Produkt der der Determinanten das ist die der Determinante nannte jetzt mit der Indizes Pro und landen dann von 1 Euro 0 wurden der mal die Determinante von Sigmar 0 und den Alfa hiermit mit Indizes sich und alle für die Determinante gebildet teilte
die Themen nannte von dem wir hinten also Delta und nicht an da oben alle -minus es Quadrat erproben alpha und beta da die Frau Peters Frau bemüht hier mitten der alpha und Lander der Determinante gebildet Schluss der 3. Ordnung und für diese beiden kann ich jetzt rückwärts wieder zusammenfassen das ist die der Termin nannte vor aber oho von 0 oben alle Fahrer halten sie nach vorne und unten also ich über das alles summiert und die Determinante billig bezüglich roh und Sieg war diese Matrix ist mit der Matrix multipliziert dann die Determinante das Produkt aus der Determinante der 1. Matrix mal die Determinante der 2. Matrix aber hier natürlich jetzt steht ist schlicht und ergreifend das Skalarprodukt an der Stelle 0 A von 0 mal habe sie nach vorn und damit ist der 1. dänischen geworden ich hab da die Determinante zum Parameterwert 0 stehen Dinge muss ich auch noch schönmachen eine Determinante von der Einheitsmatrix plus eine Störung ist ,komma Nigerdelta ist im Endeffekt die Einheitsmatrix gewürdigt die Determinante von eine Einheitsmatrix mit einer Störung also keinen neben
Rechnung die Determinanten von der Einheitsmatrix -minus das Quadrat es ist eine der Zeit nicht bei 0 an irgend eine Matrix bei aus steht jetzt etwas mit den Krümmungstensor das jetzt ansatzweise hinschreiben würde ich habe die Einheitsmatrix Heinz Heinz und so weiter auf der Diagonale dann zieh ich hier oben links ab es Quadrat mal M 1 1 1 3 3 8 1 1 1 hier steht eine 0 vorne Matrix aber -minus es Quadrat M 2 1 und so weiter hier steht eine nur von einer Matrix aber -minus es Quadratmeter im 1 2 und so weiter hier die einst von der Matrix und es kommt noch der Weg des Quadrats M 2 2 von dieser Matrix diese Determinanten mächtig ich ausrechnen wenn ich diese Determinante jetzt vollständig entwickelt ist das Wesentliche was ich bekomme das Produkt entlang der Hauptwerk und 1 zu 1 -minus es Quadratmeilen Mainz 1 mal 1 1 ist Quadratmeilen 2 2 und so weiter und so weiter was ich auch noch Kriege ist zum Beispiel so sowas wie in diesem Fall diesen etwas aus der 3. Spalte und so weiter aber stehen schon ganz viele Faktoren ist der Trend den ich hier nicht auf der Haut der Kunde an den habe ich ja immer mindestens 2 von diesen ausdrücken wird es Quadrat trennen also was noch dazukommt ist mindestens von der Ordnung hoch 4 das hier vorne das Produkt entlang der ob der Kunde kann man auch zusammenfassen 1 mal 1 mal 1 2 1 und so weiter ist 1 klar jetzt kann ich aus dem 1. der das -minus s Quadrat 1 1 nehmen und aus dem 2. die einst aus dem 3. die 1 und so weiter dann hab ich die oder ich nehme aus dem 1. Faktor die 1 und das zum 2. des Ministers Quadrat in 2 2 dann habe ich den dieses das Quadrat M 2 2 aus dem 3. die 1 aus dem 4. die 1 und so weiter das macht man durch mit allem was ich da noch machen kann ist dass sich aus mehreren dieser Faktoren es Quadrat irgendwas der nehme ab dann hab ich wieder was von dort ging es hoch 4 oder für das was ich alles in den Ausdruck hier hatten wir so viel wenn ich also die Einheitsmatrix ein bisschen stören ist die Determinante 1 -minus die Spur so winzig dass die Summe der Diagonale meinte -minus die Spur der Störung und das wird sich jetzt ein diese Determinante
ist 1 -minus es Quadrat und jetzt die Spur davon ist mit der Diagonale lehnte er alpha beta Alfama Mühe Frau Bertha Frau Mühe sich die Hitze durch 1 1 2 2 3 3 und so weiter aufsummiert oben Frau und ein einfach hier steht die Spur eigentlich diesen wird und das Volumen zu berechnen
wir nochmal zurück das Volumen
bekomme ich als Wurzel Plus oder Minus in dem auch geometrische der Relativitätstheorie Determinante von dieser Matrix aus Skalarprodukt da setzt sich jetzt wieder an unsere Volumen beim
Parameter wird es ist also die Wurzel aus +plus -minus die Determinante was weiter der Termin nannten es fängt an
mit der dem Land von Skalarprodukt zurzeit 0
mal Plusminus das Volumen zurzeit nur ins Quadrat mal den haben wir den
1. Termin war eines Ministers könnten hat die Spur des Krümmungstensor noch kontrahiert mit V V unten
Alfa und hier brauche ich noch Frau und Frau und da gab es auch noch Ordnung von versucht 3 als bilaterale plus minus mal plus minus 70 weg weil das -minus haben wird auch wieder ein Plus und wenn ich annehme dass das Volumen beim Parameter der 0 nicht 0 ist als das insgesamt rausholen den bleibt offen hoch 3 stehen dass wir dann also das
Volumen zum Zeitpunkt 0 mal die Wurzel aus 1 -minus es Quadrat und jetzt erhoben alpha alpha in der Mitte und den Täter wie auch in der und wir kriegen noch Terme höherer Ordnung der zu ihr steht jetzt die Wurzel aus 1 mit einer Störung trennen die Wurzel aus 1 plus Epsilon sozusagen nicht mehr das mit der Tangenten gerade dann kriege ich hier das ist 1 selbst durch 0 Einsätze +plus leidlich nach Epson ab das geht 1 durch zweimal die Wurzel 1 +plus nur sozusagen schon ableiten mal y gesteht die angehenden gerade los Terme höherer Ordnung ist die Wurzel aus 1 +plus y ist 1 plus 1 Halle Epsilon +plus Terme höherer Ordnung das wenn ich auf diese Wurzel an und kriegen wir haben
das Volumen am Anfang mal 1 und jetzt die Störung halbieren also -minus es Quadrat oben alpha alpha unten in der Mitte später auch im TV Möbius Terme höherer Ordnung dieser den soll hier der Krümmungstensor kontrahiert über den vordersten und den vorletzten Index eine Spur gebildet das ist der Welt steht also in nennt man dann sinnvollerweise er unten Berta Mühe der Richie denn so regelt also wie sich Volumina entwickeln wenn man in eine bestimmte Richtung geht offensichtlich kommt diese Richtung dann quadratisch vor mit dem schicken soll und diese Abweichung ist auch quadratische in den Parameter im Endeffekt ist diese Richie denn so einen Mittelwert der Krümmung in Richtung V und
weitere Titel unserer so eine Art Mittelwert ist vom Krümmungstensor hatte nicht mehr alle Informationen wie der Commons Ransome hatte in der Krümmungstensor 0 ist dann ist es klar der denn so muss nur seinen verwendet entschieden so 0 ist also der Mittelwert dann ist noch lange nicht klar dass der Krümmungstensor gleich 0 ist das sieht man später insbesondere dann bei den Gravitationswellen eine Mannigfaltigkeit auf der überall der Welt für den sondern ist die als relativ flach ist nicht wirklich flach und noch eine letzte Bemerkung zum bezieht sollte ist symmetrisch wenn ich bete und vertauschen kommt das selbe raus dass sieht man so sehr von der Termin ist nach Definition der oben Alfa und in der Mitte alpha beta davor wieder hinter mir das einfach runter mit dem metrischen Tensor also zumal verlangte und jetzt Lander und dann später als fahren und kann ich die Indizes von Krümmungstensor vorn hinten vertauschen und das was passiert hier steht also die Wahl verlangen da ja alle Fahrten im Namen der ETA war der mit mit dem metrischen Tensor gebe das Alfa jetzt wieder haben wir erhoben werden da das alle für gehobene im Namen der ETA und das ist laut Definition der richtigen somit Indizes mit dem Etat der ist also symmetrisch
Diagramm
Volumen
Gleichung
Aggregatzustand
Parametersystem
Skalarprodukt
Matrizenmultiplikation
Determinante
Vektorrechnung
Allgemeine Relativitätstheorie
Diagramm
Kante
Volumen
Ableitung <Topologie>
Richtung
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Faktorisierung
Kovarianzfunktion
Linienelement
Determinante
Vektorrechnung
Allgemeine Relativitätstheorie
Diagramm
Kante
Gleichung
Biprodukt
Vektor
Index
Skalarprodukt
Quadrat
Rechenbuch
Volumen
Koordinaten
Geometrie
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Matrix <Mathematik>
Skalarprodukt
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Determinante
Vektorrechnung
Betafunktion
Ordnung n
Kovariante
Diagramm
Volumen
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Summe
Faktorisierung
Skalarprodukt
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Determinante
Diagramm
Diagonale <Geometrie>
Computeranimation
Quadrat
Hitze
Volumen
Diagonale <Geometrie>
Computeranimation
Parametersystem
Skalarprodukt
Matrizenmultiplikation
Determinante
Relativitätstheorie
Volumen
Computeranimation
Quadrat
Skalarprodukt
Volumen
Parametersystem
Quadrat
Ordnung n
Diagramm
Volumen
Term
Parametersystem
Index
Quadrat
Linienelement
Krümmung
Mittelwert
Ordnung n
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Volumen
Gravitationswelle
Richtung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Ricci-Tensor und Volumenänderung
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 20
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/19926
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 22:06

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

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