Merken

Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, nochmals Geodäten

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
wir wissen dass die Raumzeit in sich
gekrümmt sein muss und suchen ein mathematisches Modell dafür das Modell der Wahl nennt sich differenzierbaren Mannigfaltigkeit differenzierbar weil wir Ableitungen bilden können ein beliebiges Beispiel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist hier so ein fliegender Teppich eine gekrümmte Fläche das wäre eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit die hat 2 Dimensionen eine Ameise hier auf der Oberfläche kann ein zweidimensionales Koordinatensystem auf die Oberfläche mal Lokal zumindest und diese Idee benutzt man zum mathematischen Definition ich möchte dass zumindest kleine Teile dieser Mannigfaltigkeit sich Platz liegen lassen wie gesagt die soll zweidimensional seien mehr als gekrümmte Fläche ich möchte dass sie sich in eine Ebene zweidimensionale Fläche liegen lassen also hier gibt es 2 zum Beispiel ein Stückchen vielleicht so dass ich so hart gegen lässt es gibt also eine Abbildung von einem Teil der Mannigfaltigkeit auf zum Beispiel ein schwarzes Rechteck so eine Abbildung nennt sich nicht überraschenderweise hat diese Karte nämlich immer groß wie das funktioniert wie eine ganz normale Landkarte jeder .punkt hier sorgen nur ein Punkt hier auf der Karte entsprechen und umgekehrt jeder Punkt auf der Karte genau einem Punkt auf der Mannigfaltigkeit und das Ganze auch stetig wenn ich hier einen kleinen Weg habe auf der Mannigfaltigkeit hätte ich gerne auch einen Weg in der Karte und nicht 2 zerstückelte Teile oder Staub und umgekehrt in beide Richtungen für eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die Karte zweidimensional später wird sie dann natürlich vierdimensionalen für die vierdimensionale Raumzeit wenn ich eine weitere Karte habe deren Bereich sich mit der 1. Karte überlappt in Berlin Karte groß sie wenn die einen Überlappungsbereich mit der 1. Karte hat habe ich also einen Ausschnitt hier in der 1. Kanzler der in der 2. vorkommt und einen aus der 2. Karte der in der 1. vorkommt diese beiden Ausschnitte ja die muss ich jetzt auch wieder 1 zu 1 miteinander identifizieren können ein .punkt hier muss ein bestimmter Punkt auf der Mannigfaltigkeit sein muss ein bestimmter Punkt hier sein und umgekehrt dabei also eine Abbildung zwischen diesen beiden gemeinsamen Stückchen nicht die EC-Karte VI rückwärts wie hoch minus 1 zum Mannigfaltigkeit und dann wenn ich sie an und wenn dir diese Abbildung ist es also eine Abbildung von einer Teilmenge des R 2 auf eine Teilmenge des R 2 1 eindeutig und das macht jetzt den Begriff differenzierbare Mannigfaltigkeit aus dieser so oft differenzierbar sein wie es nötig ist das ist die Grundidee hinter Mannigfaltigkeiten lokale muss ich sie Platz liegen können natürlich wird sich dabei alles möglich verzerren aber ich muss sie 1 zu 1 steht Stadt liegen können und wenn Karten habe die dasselbe Gebiet abdecken dann muss der Wechsel zwischen den Karten differenzierbar sagen das hab ich hier so schön eine gekrümmte Oberfläche hingemalt hier diese gekrümmte Fläche lebt in der 3 offensichtlich wo soll denn die Raumzeit leben ich habe so eine Einbettung nicht dieser Einbettung ist nicht Bestandteil von dem Begriff Mannigfaltigkeit mal so eine Einbettung hat wird man von unter Mannigfaltigkeiten haben es aber in der Physik für die Raumzeit zunächst erstmal keine solche Einbettung der müssen die Einbettung vergessen dann haben wir wirklich erst den Begriff der Mannigfaltigkeit es gibt eine Menge von Punkten die einfach nur eine Menge an .punkt ich habe Karten die die Mannigfaltigkeit abdecken und wo die Karten gemeinsame Gebiete haben ist der Kartenwechsel eineindeutig objektiv und hinreichend oft differenzierbar aber ich weiß nicht wie das Ding wirklich aussieht ich habe keine Einbettung für die Begriffe die gleich noch kommen aber nicht auch meist erst so eine Einbettung hin und werde dann die Einbettung wieder vergessen sein wird dann wird man 1. gute Idee Ideen was man denn da eigentlich tut oder 3. dann diese Einbildung zu vergessen ist ohne die Einbettung zu machen wenn ich eine
Kurve innerhalb der Mannigfaltigkeit habe haben wir hier ist der Kurven Parameter -minus 1 sagen wir hier ist er nun sagen wir hier ist er 1 nicht so eine Kurve habe kann ich nach dem Parameter ableiten an dieser Stelle ist gleich 0 und Krieger einen Geschwindigkeitsvektor der Geschwindigkeitsvektor ist ein tangential Vektoren ist an dieser Stelle tangential zum einer gekrümmten Fläche mit den Geschwindigkeitsvektor meiner Frau und Vektor falle ich fand sie gar nicht mit weggefallen an sonst für das ganz konfus ich mach das mal nach Art der Mathematiker und auffallen und jetzt überlege ich mir wie ich den ausdrücken kann was so ein tangential Sektor ist ohne dass sich diese Einbettung habe das ist die mathematische Herausforderung ich weiß von der Raumzeit nachher nicht ob und wie sie irgendwie eingebettet ist ich hab nicht so schönes Bild will aber trotzdem sagen dass den tangentiale Vektoren sein soll ich muss also über eine Karte gehen sagen wir die Karte groß wie lebt hier in der Umgebung dann kann ich meine Kur wie auch in der Karte einzeichnen das hier der .punkt der =ist gleich -minus 1 entspricht dieser Punkt hier würde es gleich 0 entsprechend und dieser Punkt hier würde es gleich 1 entsprechen die habe ich meine Bahn in Koordinaten gegeben sagen wir mal es wird abgebildet auf X von es wenn in diesem System ja so eine Karte hatte ein Koordinatensystem in dieses System hier einfach X heißt kann meine Kur wir beschreiben in diesem Koordinatensystem der Karte und versuche ich jetzt was über Frau und zerlegt rauszukriegen dazu bin ich meine Kur vor mit der Karte den inversen der Karte ist andersrum auf die Mannigfaltigkeit also sowas wie die hoch minus 1 von der Kurve und nun interessiert mich der Geschwindigkeitsvektor also dieses ableiten nach dem Parameter an der Stelle ist gleich 0 so bekomme ich meinen tangential Vektor jetzt kann ich hier aber die mehrdimensionale Kettenregel anwenden oder was dasselbe ist das totale Differenzial anwenden eine Funktion 1 Funktion ableiten dass macht ich leite meine Funktionen Filioque -minus 1 nach der Koordinaten makaber aber an dieser Stelle x von 0 und leitet die Karte Koordinate von X der Bahn das meine ich jetzt hier mit diesem Text nach es an der Stelle ist gleich 0 und so mir über alle K das wäre diese Ableitung für aufgedröselt in dem ich über meine Koordinaten x KG die Koordinaten dieser Karte diese beiden Termine haben lustigerweise eine anschauliche Bedeutung Proben aus den 1. an der 1. sagt was passiert wenn ich ein Stück in Richtung X KG in den nächs Koordinaten die ich ein Stückchen in Richtung Dixgard zum Beispiel in Richtung x 1 was passiert wenn ich ein Stück in Richtung X 1 gehe dann kriege ich einen tangential Vektoren der diesen hier entspricht wenn ein Stückchen in Richtung x 2 G 2 Koordinate wenn ich ein Stück in Richtung x 2 gehe ich einen tangential Rektor der eben lokal diesen x 2 entspricht hier vorne steht eine Basis für die gesamte tangential Ebene oder allgemein gesagt für den tangentiale um der zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist eine tangential Ebene wir haben dann als 4 Dimensionen dann ein vierdimensionale tangential Raum dieses klar durchläuft die Werte 0 1 2 3 statt hier 1 und 2 für die Elemente so einer Basis hat schon Bezeichnungen E und kam so wie es das seinerzeit einen Tensoren in der speziellen Relativitätstheorie und hab ich hier so eine Summe einen Weg zur Basis Vektor mal eine Zahl x ist eine Zahl abgeleitet einer Zahl ist eine Zahl zum mit über alle klar dass hier sind die Komponenten ich einfach mal Frau oben K Komponenten eines contra Varianten Vektors summiert über K Basis Victor mal Komponente mit den Weg zur eine der möglichen Tricks und jetzt diese Einbettung zu vergessen ist dass ich mir nur diese Komponenten hier angucken und mir angucke wie die sich transformieren sowas hatten wir ja auch bei den Zensoren in der speziellen Relativitätstheorie wie transformieren sich die Komponenten eines Tensors und das machen wir jetzt genauso wie transformieren die sich hier wenn ich in diesem Fall zu einer anderen Karte gehen und damit kann ich dann beschreiben ohne Einbettung beschreiben was den Vektoren sein soll dies ist der kritische Teil hier konnte sich diese Einbettung vor diesen Teil will ich ignoriere ich möchte man den Saal Vektoren ohne die Einbettung beschreiben also kommt für eine 2. Karte an und das Transformations Verhalten zu studieren und wird immer wieder große ziehen dort sieht die Kurve irgendwie anders aus ich fehlende die Koordinaten hier in der Karte zieht strich das ist der Weiterbildung ist der Parameter der Chor wird abgewählt aufträgst Strich von S und jetzt will ich wissen was mit Ziel und vor allem mit x strich passiert und das gibt mir dann die Komponenten von diesen tangential Sektor bezüglich dieser ganzen bezüglich dieser Koordinaten also die Komponenten
des tangential Sektors Frau bezüglich dieser Karte dieser Koordinaten Aufstrich L wie kriege ich die ich leite ab die X strich dieses nach der es an der Stelle gleich 0 jetzt kann ich
nix strich aber ausdrücken mit Hilfe von X nämlich x strich bekomme ich nicht indem ich mit X startete dann mit 4 hoch minus 1 zum Mannigfaltigkeit gehen und dann von der Mannigfaltigkeit mit sie 6 Strich gehen das
ist also die Ableitung nach es Angestellte =ist gleich 0 von folgendem gehen Sie nach wie hoch minus 1 Formen der Chor jetzt in den nächs Koordinaten an der Stelle ist davon hätte ich gerne die LTE Koordinate schreibt dass man so das kann ich jetzt wieder auseinander
nehmen mit der mehrdimensionalen Kettenregel oder den totalen Differenzial eine Funktion eine Funktion den 1. ableiten genauer gesagt dessen gelte Koordinate ableiten dass Sie nach 4 wie hoch minus 1 davon die Erde Koordinate ableiten nach der Karten Koordinate von x an der Stelle an der wir der die ganze Zeit sitzen X von 0 mal Dinge ableiten dessen Karte Koordinate ableiten und was mach ich vorne eigentlich Sie nach wie hoch minus 1 7 4 1 1 X strich er steht schlicht und ergreifend die Ableitung von x strich nach x klar an der Stelle x von 0 und hier steht was wir schon kennen gelernt haben als die Karte Komponente von Frau X ist und damit sich wie die Komponenten von tangential Vektoren transformieren das sind die Komponenten im alten System das sind die Komponenten im neuen System schon das normale in die
Komponenten im neuen System kriege ich als Summe über alle Koordinaten Ableitung der 9 X nach den alten nix an der Stelle an der wir das jetzt mal die alten Komponenten des kann man diese Einbettung über Bord schmeißen ist anschaulichen Bild der Grund vielleicht und so weit über Bord schmeißen und sagen ok ein tangential Vektor ist ein Ding und dessen Komponenten sich so transformieren genauer
gesagt einen tangential Vektor 1 x 0 im existieren einen tangential Vektor an dieser Stelle ist ein Objekt dessen Komponenten sich so transformieren man kann sich
zurückerinnern an Direktoren und allgemeiner die Zensoren aus der speziellen Relativitätstheorie derartig dass die Komponenten eines contra Varianten Sektors transformieren sich falls die neue dualer Basis angewendet auf die alte Basis mal die alten Komponenten das war das Contra Variante Transformations verhalten ich merke mir das umgekehrt über die Basis die Basis transformiert Kovarianz das LTE Element der neuen Basis kriege ich indem ich dieses E-Strich nach den alten Basiselementen zerlege E und K von E-Strich L E und K also in dieser Reihenfolge ist es Kovarianzterm ist es andersrum contra Variante wird hat man hier offensichtlich Analogie dieses ist also nur in unserem neuen Spiele das selbe wie das wir haben also E-Strich
oben wäre von E und K ist nichts anderes als die Ableitung der neuen Koordinaten Nummer allen nach der alten Koordinaten makaber an der Stelle an der der unsere eingezahlt Vektoren anguckt das heißt es
gibt folgende Analogie in der Karte was ist Sekte ist anscheinend so etwas wie die Ableitung nach der Karten Koordinaten und
der älteste der dualen Basis wenn ich hierfür E-Strich einfach mal eh wieder Einsätze dasselbe System nehmen ist dann so etwas wie die Koordinaten Funktion XL allerdings interessiert mich von dieser Koordinaten funktionieren nur das Verhalten unmittelbar in der Umgebung von x 0 nicht die gesamte Koordinaten Funktion dass wir dann wenn man sich das genauer anguckt eine Differentialformen eine 1 vom genauer gesagt die XL das Differenzial gelten Koordinate also die Basis Sektoren sind sowas wie Ableitungen und die Basis Sektoren der dualen Basis sind sowas wie Differentiale an dieser Stelle setzen die Mathematiker ein und definieren dann unten "anführungszeichen richtig was der tangential Vektoren sind dieses es den Physikern oft zu abstrakt und kommt auch ohne das zu Rande aber einen Begriff sollten wir noch haben ich bilde die Basis Sektoren aus den Koordinaten das müsste ich natürlich nicht tun ich könnte die Basis Vektoren auch quer legen kann man das so tut hat man eine Pronomen Basis oder vom heißt sowas wie ganz gesetzlich dieser Begriff hat eine etwas verwirrende Herkunft typischerweise verwendet man nur solche Blasen blasen die aus den Koordinaten stammen man könnte auch andere nehmen wir
nicht nur eine Mannigfaltigkeit haben wir sie mal M darauf Punkte 3 Punkte vielleicht einen P Q und R dann kann ich jeden dieser Punkte ein tangential Ebene an tangential Raum im Allgemeinen angeben die Menge der jeweiligen tangential Vektoren und diese Mengen haben nichts miteinander zu tun diesen tangential Raum hier an dem Punkt P wird man den Tee und den PIN den ja den tangentiale Raum an der Stelle RAM und hielt eine Zerrung Q qm an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ist damit zu einem tangential Raum geheftet in der speziellen Relativitätstheorie gab es nur einen einzigen tangential Raum weil die Raumzeit nicht begründet ist in der allgemeinen Relativitätstheorie wirklich Krümmung haben und damit kann ich nicht mehr mit einem einzigen tangential Raum arbeiten ich werde an jeder Stelle einen eigenen tangential Raum bilden müssen auf jeden dieser tangential Räume kann nicht wie üblich Tensoren bilden wie die Vektoren an verschiedenen Punkten lassen sich damit auch die Zensoren an verschiedenen Punkten erstmal nicht miteinander vergleichen das heißt ich muss insbesondere auch bei Ableitungen vorsichtig sein wenn ich zur Seite gehen und Werte vergleichen das heikel werden damit im allgemeinen was schief gehen ich habe erstmal nur Vektoren und Sensoren jeweils an einem Punkt meiner Mannigfaltigkeit und ein Vektorfeld heißt dann ich gebe ich eben .punkt meiner Mannigfaltigkeit einen tangential weckt waren das
Wichtigste denn so fehlt ist der metrische Tensor den Kinder im Prinzip ja auch schon aus der speziellen Relativitätstheorie jetzt wird eben ein Tensor fällt auf der Raumzeit Kuchen ein .punkt an auf einer Mannigfaltigkeit die 2 tangential Vektoren an dem Punkt den wir sie a und b dass das mal klar zu machen dass die tangential laufen zu starten darunter A und B sollen aus dem tangential Raum an der Stelle P an die Mannigfaltigkeit sein und jetzt möchte das Skalarprodukt dieser beiden tangential Vektoren bestimmen oder in der Relativitätstheorie das Wittkowski Produkt dieser beiden vektoren bestimmen a mal b und ich möchte es wieder mal bestimmen ohne von irgendeiner Einbettung zu reden ich möchte das also nur aus den Komponenten bestimmen ich gucke mir also eine Karte an wieder groß genannt wird hat dieser .punkt irgendein Entsprechung die beiden Vektoren haben auch irgendeine Entsprechung des AKH BL der Komponenten dieser beiden tangential Vektoren bezüglich dieses Koordinatensystems dieser Karte dann kann ich jetzt in der Torah ausbuchstabieren das ist die Summe über alle K die Komponenten von in diesen Systemen AK mal die entsprechenden Basis Sektoren wie denen ihr Leben und dasselbe für B B l e l das Skalarprodukt und das Minkowski Produzent sind aber wir sehen ja ich kann die Summen rausziehen ich kann diese Komponenten sind ja nur Zahlen rausziehen und damit habe ich das wieder so sein die Summe über kann die Summe über L a k b l e Menschen das Skalarprodukt oder Minkowski Produkt von den Bases Victor und das ist eigentlich nichts Neues genauso stand es da schon bei der speziellen Relativitätstheorie und dieses hier nämlich jetzt wie vorher schon den metrischen Tensor die Komponenten des metrischen Tensors g und k l ich diesen metrischen Tensor habe an dieser Stelle kann ich mit Hilfe der Komponenten ausrechnen was das Skalarprodukt ist oder das Minkowski Produkt ist ohne von der Einbettung zu reden mit dem metrischen Tensor kann
ich nun das über die Bogenlänge Gelände einer Kurve sagen euklidischen fallen oder in der Relativitätstheorie zu Minkowski geht Geschwindigkeit mal Eigenzeit zu einer Kurve gegeben von Parameter gleich aber bis Parameter gleich die wüsste ich gerne was deren Länge "anführungszeichen ist jetzt wirklich die Länge gemeint und hier ist zehnmal Eigenzeit gemeint dazu die ich wieder in meine Karte gucken wir die Kurve der Anfragen nicht viel Sand ist denn so ein kleines Stückchen näher auf der Kurve sagen wir von X von 1. bis x von S Plus älter ist brisant ist denn dieses kleine Stückchen ungefähr auf der Mannigfaltigkeit und dann zu mir ich über diese kleinen Stückchen dessen Predigt mit dem metrischen Tensor aus ich bilde das Skalarprodukt von diesem Weg damit sich selbst und sie dann die Wurzel hat das Skalarprodukt von dem damit mit sich selbst will sich mit Hilfe des metrischen Tensors steht also nix von S Plus Delta ist -minus x von es x von S Plus Delta ist -minus 6 von S und hier steht der metrische Tensor ist das natürlich alles auch mit Indizes versehen K K l k l und der metrische Tensor an unserer gewünschte Stelle x Fairness und summieren über K und L das natürlich ein bisschen gelogen ich kann die Punkte nicht voneinander abziehen und Krieger in der Mehrzahl Vektor aber es fühlt sich an wie ein tangential Vektor das hier vorne steht ist der dann ungefähr die Ableitung von x von es nach es erstmal mal Delta es verändert sich extra wenn ich ein Stückchen gelte es weitergehe das bekomme ich so und dass hier hinten ist ungefähr die X nach der 1. Mal stellte es als habe ich hier gelte es täte es machte der ist das Quadrat kann ich aus der Wurzel ziehen und in der wohl steht dann auch wenn ich dieses es dieses Essen das X 1 weglassen weil selbstverständlich ist so über K und L die Ableitung der Karten Koordinaten nach es mit den soll kl die Abwertung der 11. Koordinaten nach S und wenn ich jetzt über die gesamte Kurve summiere dieses Ziel über die gesamte Kurse ihre und ist gegen 0 gehen lassen muss dass exakt werden das ist
dann die Formel für die Bogenlänge und 14 mal die Eigenzeit von A bis B integrieren also über die gesamte Kurve Wurzel aus diesem Ausdruck hier ebenso mit kl die Karte Komponente ableiten die EKL an der jeweiligen Stelle und die LG Komponente ableiten jetzt können uns angucken
was denn eine zeitartige Geodät in der allgemeinen Relativitätstheorie ist zeitartige soll wenn der speziellen Relativitätstheorie heißen dass wenn ich die Ableitung nach dem Parameter Bildern und davon dass Skalarprodukt mit sich selbst in Kostis Skalarprodukt mit sich selbst dass ich dann eine Zahl größer als 0 Kriege nicht gleich noch nicht kleiner als 0 das heißt insbesondere dass die Wurzel in dem Ausdruck eben für die Rentenberechnung klar geht unter der Wurzel steht etwas Positives aus der speziellen Relativitätstheorie weiß ich wie schnell die eigene Zeit verstreicht das geht ja gerade mit der Wurzel von diesen Ausdruck dieses mal das Intervall und das im Parameter meint dagegen gibt in immer bessere Ernährung Lichtgeschwindigkeit mal Änderung der Eigenzeit wenn ich also als Parameter nicht irgendeine nehmen wir die Eigenzeit selbst nehmen dieses S =ist gleich dem Tau dann muss die Wurzel gleicht der Lichtgeschwindigkeit werden ich habe also wenn nicht nach der Eigenzeit ableiten statt nach irgendeinem Parametern das hier C-Quadrat rauskommen muss man die Wurzel gleich C ist das ist die übliche Parametrisierung für zeitartige Geodäten nicht parametrisieren Sie einfach nach der Eigenzeit dann ist dieser Ausdruck konstant gleich C-Quadrat
mein Ziel ist es eine Gleichung für zeitartige Geodäten zu kriegen und zwar aus dem metrischen Tensor eine Gleichung für Freizeitaktivitäten zu kriegen ich sage mal tau wird abgebildet auf X von Taro soll eine zeitartige Geodäte parametrisiert nach der alten Zeit die Staaten mit der Eigenzeit 0 CDU auf 0 zurück und enden mit der alten Zeit groß The den Anfangspunkt dass sich fest und diesen Endpunkt hier bei X von Großstädten dass ich auch fest und ich gucke mir an was passiert wenn ich diese beiden etwas verbiege etwas störe wissen ja zeitartige Geodäte wenn diese Bahn lokal etwas stören muss die Eigenzeit kürzer werden dass irgendeine Störung die Vektoren die ich hier dran gemalt habe die sollen y heißen wird abgebildet auf y von Tau und das soll eine lokale Störung sei irgendeine lokale Störung eine beliebige lokale Störung und was mich interessiert ist wenn ich zu meiner und in einer Kurve der Geodäten der roten Kurve einen kleinen Teil dieser Störung addieren dann darf die Eigenzeit nur kürzer werden ihm das sieht also die Bahn X von Tau und Erzähler ein kleines bisschen von der Störung für sehr kleine y immer kleinere Erzähler die jetzt aber diese gestörte Kurve die wird natürlich nicht nach der Eigenzeit parametrisiert die Arcor soll nach der Eigenzeit parametrisiert sein die Sie hier wird es nicht mehr sein im allgemeinen die wird ja nicht die gesamte Eigenzeit Großzeh haben sondern wird eine kleinere Eigenzeit haben da sieht man schon dass es da auch für diese Kur nicht die Eigenzeit sein kann jetzt hab ich Ihnen dass Sie die Eigenzeit dieser gestörten dann ist das Integral der
Wurzel nehmen dieses hier die Mythe Koordination Machthaber ableiten die mit Mühe an dieser Stelle x +plus y y und die Nöte Koordinaten machte ableiten und gleich 0 ist soll dies hier maximal sein wenn es noch ein kleines bisschen von 0 abweicht positiv oder negativ soll das je jetzt kürzer werden mit anderen Worten die Ableitung nach y an der Stelle y gleich 0 davon muss nur sein das buchstabiert man jetzt aus und kriegt eine Gleichung für diese Geräte mit Hilfe des metrischen Tensors die
Ableitung darf ich in das integral ziehen nicht die Wurzel ableiten sich die Ketten regeln das wird also 1 durch zweimal die Wurzel an der Stelle zum gleichen 0 genommen mal die Ableitung von dem was in der Wurzel steht an der Stelle zu und ich nur genommen was steht in der Wurzel für selbst ungleich 0 x ableiten wie von X mal X C-Quadrat die Geodäte sollte er nach der Eigenzeit parametrisiert Zahl unter der Wurzel steht C-Quadrat hier das ist die Wurzel =ist gleich c das kann ich aus integraler ausziehen 1 durch 2 C kommt nach vorne mal das Integral und die Ableitung von den Tieren unter der Wurzel dieses Mal dieses Mal dieses Produkt mit 3 Faktoren gibt mit 3 Summanden den 1. ableiten nach Y dann steht er nur y abgeleitet Nachttau auch hier setzt jetzt gleich 0 1 das ist jetzt ungleich 0 1 die von X-Trap ich mich Ihnen wird mir zu eng und hinten dort x stehen für den 2. Summanden muss ich den mittleren ableiten den vorne wird schon gleich 0 nehmen nur x den Händen Phelps 0 nehmen auch nix und den mittleren ableiten ,komma steht X hinten steht X und in der Mitte muss sich ableiten Nacherzählung das gucken was gleich ausführlich mit dem 3. Summanden als ich den letzten ab sich die Erbsen gleich 0 halb ungleich 0 macht dicksten abgeleitet gehen von X schreibe ich nicht hin und y abgeleitet
,komma Grad den mittleren an ich will also ableiten geben mühevollen x +plus y y nach Epsilon an der Stelle selbst und gleich 0 dass sie damit den mehrdimensionalen Kettenregel ich leite ergeben nach der Koordinate x Lander ab und dann leidlich X Lander danach nach y aber das ist X flammender ich werde y unterkriegen versteht sich gleich als raffiniert heraus wenn ich in allen diesen Ausdrücken ein y anderer übrig habe y weil unsere Störung unsere die beliebige Störung nicht versuchen es hinzukriegen dass in allen diesen sogenannten y nahm der einzelnen dabei steht bei den 1. Pflicht ist dem in dem ich diese Ableitung überwälzt partielle Integration das geht ganz harmlos war der Rand der 0 dass sich irgendein Land mit y mal und so weiter aber y so eine lokale Störung sein 0 und bei groß die ist y gleich 0 und hinten ich dasselbe Konzert Integration ich wird sie diese Ableitung über auf die beiden anderen dann steht der einst durch 2 10 das Integral durch die partielle Integration kriecht ein Minuszeichen y steht er nun nackt und dass die nach der Glaube ist auf die beiden anderen hinten angewendet am
2. Tag schreibe ich Ihnen was ich hier schon hatte nix mit ableiten nächsten ableiten die nach x ableiten und zueinander und
hin und wieder die partielle Integration ein Minuszeichen für die partielle Integration y übertönten alleine stehen und die beiden davon muss ich ableiten also die Mühe macht den Tau die Mühe die beiden ableiten die sich immer wieder zu Beta auf wo ich wollte überall y Lande einzeln haben bei den mittleren hab ich Ibsen an der einzelnen ist jedes y müde aber das ist einfach nur ein so Nations Index müde ist nach außen nicht sichtbar ich kann dieses auch einfach Land nennen und sich das Münchner Unternehmen und nichts ist passiert dass Nachricht hier das Lander entsteht wirklich überall y an der einzelnen geben dieser 3 Summanden ganz am Anfang
Bekleidungskette stand 0 gleich 0 =ist gleich 1 durch 2 C also ist das gesamte Integralzeichen Zeichnungen und das Integral ist von der Form y haben da mal etwas Fürchterliches was 100 drinnen hat Dieter auf dieser Welle der Kasten umfasst dieses -minus und diese Ableitung diese beiden und dieses inklusive des -minus wird wirksam aber eine
beliebige lokale Störung und daraus kann jetzt mit war so folgern dass dieser Geräte Kasten 0 sein muss kann man sich leicht überlegen wenn
zum Beispiel die servierte Kasten für den Index unter gleich 2 so aussehe eben nicht 0 wäre sondern so aussehen abhängig von Tau natürlich y 2 sowie allen und die übrigen y Komponenten als Y 3 gleich 0 wählen welches das Produkt aus Rechner bleibt y zweimal den hier das Produkt wird an dieser Stelle ungleich 0 zu 1 das Integral wird gleich 0 sein das kann nicht sein dass sobald das was in den Kasten steht ungleich 0 ist wird im Herbst angeben können so dass auch das hier ungleich 0 ist Mathematiker wenn es etwas über Stetigkeit voraussetzen wollen aber anschaulich ist das für die Physiker so weit in Ordnung das heißt dass dieses immer gleich 0 ist für jede Störung kann nur funktionieren wenn in diesem Kasten immer 0 steht ich
weiß also wie man es vielleicht das was in den Kasten steht ohne wenn und aber steht in dem Kasten das war -minus die Ableitung Nachttau von Lüge DX nach Tettau +plus G x Mühe nach Tettau partielle geben nachgeht Lander und dann auch die Ableitung von x die nach der Taufe -minus das war die andere partielle Integration hier X Mühe Nachttau ableiten die im Lande aber wenn dieses X 1 nach der Eigenzeit parametrisierte Georgette ist muss das hier nur sagen da sieht man schon ein Ausdruck nur mit X und dem metrischen Tensor wunderbar das versuchen wir jetzt noch ein bisschen hübscher zu machen welche
einfach mal diese Ableitungen aus Produktregel G an der Stelle x und auch weil das Jahr ableiten Nachthauch da kommt die Kettenregel Lichtleiter erstmal gehen nach Izmir ab und gucke mir dann an wie XML von Tau abhängt mal den da hinten durch den 1. abgeleitet vorsichtig 2. ableiten dann über stehen und denen sich ableiten dass wird also die 2. Ableitung von x 1 nach Tau den das stehen und die hinteren
Buchstabe durchaus mit der Produktregel den 1. ableiten wird also die 2. Ableitung von x Mühe macht auch mal geben -minus 14 1. stehen lassen den 2. ableiten X-Men Nachttau ableiten wie den 2. ableiten würde es eben hatten erst mal die lahmende ableiten nach irgendeinem X Index ist Gratin auf auffallen und dann gucken wie sichten entwickelt habe ich die 2. Ableitung von x Nachttau hier habe ich die 2. Ableitung von x nach auch die beiden richtig zusammenfassender steht müder steht mir das ist nicht so lustig also ich bin ich ein bisschen und Mythen wie schreib alpha alpha müde müde weshalb ich auch einfach alle fahren dann kann ich die besser zusammenfassen darstellt also
nur jede die 2. Ableitung von x hier die 2. Ableitung von x Mitte stehen so ist symmetrisch kann als austauschen also hab ich dann -minus 2 Lande als war die 2. Ableitung von x alle nach darauf die übrigen ausgegangen ist alle Erwartungen von nachtrauern Hexennacht Nacht auch nix Nachttau Nachthauch Ex-Machthaber Exil nach die 40 mal so
zusammen dass dann -minus 2 halbe davor steht das erweist sich gleich als hilfreich also -minus 1 davor steht mit dem an dieses -minus habe ich da schon da habe ich also ich das man der Kurzfassung Girlanden abgeleitet nach Mythen Koordinate gibt sie mir nicht warum diese Kurzschreibweise entstanden sind das wird viel weniger Schreibarbeit dieser hier das Minus ist es schon erledigt die Mühe abgeleitet nach den Mythen Koordinaten dann nach dieser hier mit einem Plus Minus -minus geben dem abgeleitet nach der Lander Koordinate und was jetzt
steht mit dem einhalb davor nennt man Gamma und den Namen der Navy eine 2. Zoltan Christophersen wo wir hatten schon kurz Symbole mit klaren da oben irgendwas unten unten stand oben mal 0 =ist gleich diese -minus 2 kann nicht rausnehmen dann habe ich 0 =ist gleich G landen alle fahren die 2. Ableitung von x alpha Nachttau Schluss diese Sorte an Christopher Symbol mal diese Ableitungen ich möchte gerne nach der 2. Ableitung 4 auflösen deshalb multipliziert ich alles mit dem inversen des metrischen Tensors das funktioniert genauso wie vorher in der speziellen Relativitätstheorie das Inverse des metrischen Tensors ist einfach die Konter Variante Version davon wie schreibt die vorbei davor kontrahieren über das Land dann entsteht hier und sind Matrix Machern Matrix einfach Chroniker Delta oben weiter unten anfangen
und damit hab ich den insgesamt 0 =ist gleich dieses Grauen Delta liegt das All voraus was gleich Beta ist also die 2. Ableitung von x später nach Tau +plus G anderer Kamera und den anderen diese Ableitung von x 1 und x genügen diese Gleichung muss für die zeitartige Georgette gelten und wir hatten dieselbe Gleichung vorher schon aber stand hier das Christophersen wurde mit der da oben mit viel Mühe
beziehungsweise 2 Arten und zu dieser Gleichung für die Gier der zu kommen einmal steht hier was was aus einem frei fallenden lokalen Bezugssystem ausgerechnet worden ist und jetzt das ist der neue Weg steht hier etwas was mit Hilfe des metrischen Tensors berechnet worden ist beide Resultate bis zu denselben Christophe Symbol für das kann man so sehen wenn ich sage Großstädter oben Wetter und nehme sollte Differenz sein zwischen der alten und der neuen Christopher auszurechnen nicht das Multiplizieren mit extremen bereitet nach und X 10 abgeleitet Nachttau für die zeitartige Geodäten muss nur rauskommen denn ich hab ja beides mal dieselbe Beschleunigung des ist die sehr Begierde hätte also abstrakt habe ich folgende Situation ist groß Erde
die Differenz mal mir Frau Müü =ist gleich 0 für alle zeitartigen Vektoren v ich gerne einen missliebigen anfangs Vektor einsetzen derzeit derartig ist muss sie sehr schonend rauskriegen nicht bezahlt hatte muss er sein weil ich nach der Eigenzeit ableitet muss das ausge Produkt von diesem Weg mit sich selbst gleich C-Quadrat Quadratzahlen in dieses hier gilt für alle diese Sektoren dann gilt das auch wenn die nicht so normiert sind wenn ich das Dreifache oder es -minus einfach eines solchen Weg das nämlich keine Faktor herausziehen -minus wieder neu das ist also überflüssig das zu fordern dieses Ziel muss gelten für alle zeitartigen Vektoren v
wenn ich aber habe das Frau Zeit artig ist dann ist Frau plus ein kleines bisschen von RWE auch Zeit artig für einen beliebigen Vektor fähig gegen ein kleines Stückchen zur Seite nicht y hinreichend kleinmachen wird fortgesetzt und wie auch Zeit artig sagen also
muss für Forbes Erbsen weg dasselbe gelten den y den den Betrag
klein genug ist dieses Feld
einmal V +plus y Komponente und jetzt mal die Mühe Komponente muss also 0 sein wenn der Betrag von y hinreichend kleine ist das Gemüse
aus multiplizieren das hier
ist Geld da mal formal V +plus Delta y GVO Delta V Y W also 2 y Delta V wie gehe ich benutze dabei das ist der der ist in Millionenhöhe die alte und die neue alte Kristoffersen wohl auszurechnen asymmetrischen und dass der Bericht auch symmetrische verstanden welche zusammenfassen Fluss verletzte wird Quadrat von dem und dem Delta mit üm sie wie ihnen das muss nur sein NY klein genug ist besteht eine Parabel NY das kann nur dann konstant nur werden wenn alle diese 3 aus der konstanten nur sind das 1. und das ist nichts Neues mussten schon V ist Zeit artig das muss nun sein was neu ist ist dass dieser hier nur sein muss und diese hier nur sein muss das heißt ich kann hier einen beliebigen Vektor Weg nehmen wir war ja beliebig ich kann einen beliebigen Vektor weg so nehmen mit der Eltern multiplizieren kontrahieren und das muss nur sagen das entspannt hat dieselbe Argumentation und einmal machen kann statt eines zeitartigen Sektors nämlich nun einen beliebigen Vektor und hier muss dann wieder nur rauskommen insbesondere muss das dann wohl sein und ich sehe dann zum Schluss dass folgendes gelten muss das Delta bitter Mühe mal wie einst minimal zuweilen Mühe gleich 0 sein muss für alle Sektoren W 1 W 2 insbesondere kündigte die Basen durchgehen und mir dann genau die einzelnen Elemente herauspicken aus diesem Delta das geht nur dann wenn das Delta gleich 0 ist das ist die sehr kurz
gefasste formale Begründung dafür warum die alte und die neue Art diese Christophe Symbol ausrechnen das selbe Ergebnis liefern müssen die
wesentliche Zutat über etwas versteckt die wesentliche Zutat ist dass die Christophe Symbole symmetrischen münden wir sind in der alten rechnen wie auch in den neuen dazurechnen schreiben wir das das Ergebnis noch mal
in die größte wurde in der neuen als auszurechnen sind also eineinhalb Mal das Inverse des metrischen Tensors gehen miteinander und dann kommt da die langen da abgeleitet nach der Mythen Koordinator +plus die Mühe Belanda abgeleitet nach den Nöten Koordinate -minus geben abgeleitet nach der Kontendaten Normalanwender kann man sich am einfachsten merken dieses Ziel wenn man sich anguckt was mit dem Index passiert taucht hier auf und hier auf und hier auf also 1. auf der auch als Index des metrischen Tensors auf und zum Schluss wird nach dem Mehr abgeleitet richten -minus diese beiden 1. stammten aus der partiellen Integration und der hier stammt aus dem mittleren haben und diese 2 stammte daher dass ich die 2. Ableitung und zweimal hatte und zusammenfassen kommt ganz
wichtig diese sind nicht die Komponenten eines Tensors das sieht von der Schreibweise also aus davon
darf man sich aber nicht irreführen lassen einfache Begründung ich ein
frei fallende Lokales System habe nun einmal das
gestrichene System wieder als dieses System dann geht es darin für wir die zeitartige George hätten dass die 2. Ableitung von den Koordinaten nach der Eigenzeit gleich 0 ist zumindest in der Mitte des Systems an der richtigen Stelle durch keine Gezeitenkräfte habe wenn aber die 2. Ableitung macht einen Tag gleich 0 ist kann man so argumentieren die eben heute noch mal auf und kann diese
Argumentation nachmachen und
daraus folgern dass die Kristoffersen wurde nur sagen müssen in diesem System also in
diesen gestrichen System in dem Fall für einen lokalen müssen an dieser Stelle zumindest die Christophersen wurde nur sein wenn die Christophe
Symbole die Komponenten eines wäre dann müsste
ich die Komponenten in einem anderen jetzt umgestrichen System so ausrechnen kann seinem Alfa oben und die unten ich nehme die Komponenten gestrichen Systemen Beta oben wir hier unten ankommen wird sie die ganzen Koeffizienten für die Transformation Wetter ist ein Contra Variante Index da steht dann also eh strich alle für dieses alpha-forum E Eltern Mühe kovariante Index da steht die Mühe E-Strich wo das selbe führen diejenigen Frauen die Strich B gestrichen Systems einiges dafür Symbol aber nur in den Städten 0 das heißt in dem ungestrichen Systemen sind sie auch 0 in jedem System wären sie 0 das wäre höchst komisch die einzige Chance ist die Christopher Symbole Komponenten eines Tänzers sind ist dass sie überall nur sind es ihm gleich ein Beispiel wo sie nicht nur sind also können sie keine Komponenten eines sonst sein dass Christophersen wurde keine
Tensoren sind es vielleicht überraschend wenn man diese Gleichung sieht das ist
ein Vektor das hier ist ein Sektor mir das ja auch ein Vektor ist müsste der ein Tensor stehen der Witz ist dass hier vorne ist kein Sektor die 1. Arbeiten gibt einen Vektor die 2. Ableitung gibt typischerweise keinen Sektor ist ist neu gegenüber der speziellen Relativitätstheorie aber eigentlich ganz naheliegend und ich mir so eine gekrümmte Fläche angucken und darauf eine Kurve und der die 2. Ableitung die 2. Ableitung empfiehlt nicht tangential sagen zu der Mannigfaltigkeit geht kein Vektor sein das wäre also höchst überraschend wenn das sie entdeckte im Sinne der Mannigfaltigkeiten ist ein
wichtiges Beispiel für die Christoffel Symbole der 2 mit Polarkoordinaten also keine Krümmung nur 2 Dimensionen und selbst da hat man schon sie viel zu Recht in 2 Dimensionen hab ich ja nur 2 mal 2 mal 2 macht 8 Einträge in Nickelsdorf und Symbole in der Raumzeit habe ich 4 mal 4 mal 4 Einträge in die Christophe Symbolen sind 64 gegen diese Symmetrie ist nicht ganz so schlimm aber trotzdem schon eine Menge Holz zu hacken an der Stelle in 2 Dimensionen des erträglicher das gucken was es mal an nehmen denn er 2
irgendwo liegt der Ursprung und als Karte nämlich das was sich durch Polarkoordinaten kriegen die eine Achse ist also X 1 ist einfach der Radius die Entfernung vom Ursprung und die andere Achse X 2 ist der Winkel der Winkel zur positiven x-Achse wirkendes angucken was jedes einen kleinen Quadrat wird hier an der unteren Kante lauffähig bei konstanten Winkel mit dem Radius konstanten Winkel auf ich mit dem Rad ist ich entferne mich vom Ursprung bei konstanten Winkel hier in der rechten Winkel bei konstantem Radius Radius konstant ich ändere den Winkel laufen herum und den Ursprung hier ändere ich den Radius bei diesem Winkel und die auf der rechten Seite warf ich wieder zurück schreiben das mit dem metrischen Tensor in Indizes J und K das ist der metrische Tensor jk k ist 1 oder 2 1 4 Radius 2 versinken wird kann ein 1 zu 1 oder 2 sondern 4 Einträge in den metrischen Tensor die 1 1 Eintrag was passiert wenn ich den Radius Richtung ausgehen diese Kante ist dass es passiert nichts mit der Länge der ändert sich nichts Eintrag ist 1 wenn es spannend ist hier 2 2 was passiert meinem Winkel diese ganze da sieht man oder passiert was in den Ländern gibt halte ich draußen bin umso länger wird das werden das gibt einen Faktor R-Quadrat ich wir wissen bei metrischen Tensor wenn ich hier einen Vektor habe den bringen den auf die Mannigfaltigkeit als tangential Vektor was passiert mit der Länge des Vektors ins Quadrat das Produkt des Vektors mit sich selbst das geht mal R-Quadrat in diesem Fall also was gemischtes was passiert mit dem Skalarprodukt dieser beiden dieser Sektor dieser Sektor wird das auf der Mannigfaltigkeit sagen die beiden senkrecht das ist Skalarprodukt wird 0 werden und das ist natürlich symmetrisch sein muss auch mal stehen damit haben wir den metrischen Tensor und ich brauche gleich auch mal das Inverse des metrischen Tensors dass es hier besonders einfach weil die Mittelstand stehen so eine Diagonale Matrix ist 1 0 0 R-Quadrat das Inverse einer Matrix kriege ich indem ich einfach auf der Diagonale inversen Bilder versteht also 1 0 0 1 durch R-Quadrat jetzt
kommen die Zutaten für die Christoffel symbolisch braucht 3 Indizes und möchte denn diese diversen Ableitungen ausrechnen geh ich jz l nach K e k eigentlich Ort nach L und G h l nach J das Gewicht gleich unten J K L und zum Schloss aber oben J und K l l Nachricht ich abwechselnd 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 8 Fälle werden 2 mal 2 mal 2 K 1 1 2 2 1 1 2 2 und stirbt ist 1 1 1 1 2 1 2 2 2 jetzt völlig ableiten die JL nach K e 1 1 nach dem Radius gleich 1 ableiten die 1 1 8 oder das ableiten dass die Konstante kommt wohl aus der nächste G 1 2 abgeleitet nach 1 nach dem Radius 1 2 abgeleitet nach dem Radius von Arbeiten passiert nichts und so weiter und so weiter und so nicht denkt 3 angucken müssen bis dann freilich etwas hier zum 1. Mal was 2 1 2 geh ich J 2 2 abgeleitet nach den Radius der 18. abgeleitet ist zwar eher der Rest wird wieder nur werden der nächste der den Christopher Symbolen steht hier einfach nur die Reihenfolge vertauscht das heißt ich kriege weiterhin 7 0 und einmal 2 er versteht es zu einer anderen Stelle 2 2 1 der stets 2 1 2 2 1 K gleich 2 ich obgleich 2 L gleich 1 K gleich 2 J gleich 2 L gleich 1 der 2. von unten da muss jetzt 2 stehen und der Rest ist nur das selbe Spiel mit den 2 2 1 2 das einzige was passierte K gleich 2 EL gleich 2 ich obgleich 1 K gleich 2 gleich 2 J gleich eines der 4. von oben steht wieder 2 er vor 3 nur unter hinter vielen und jetzt kann ich die Christophe Symbol ausrechnen mit den Indizes und dem das war einfach halb dieser und dieser -minus der dann nur da nur da nur ein Highlight dieser und dieser -minus der also -minus er besteht nur innerhalb dieser und dieser -minus der also eher gekommen ja und hier kommt nun das sind die Kristoffersen wurde mit Index und jetzt richtig Christophersen wurde mit dem Text oben dazu muss sich die inverse Matrix anwenden wenn wir gleich 1 ist passiert nichts wenn wir gleich 2 ist muss sich durch R-Quadrat Teil der Serie steht 0 0 0 minus er passiert nichts 0 aber jetzt muss ich gleich 2 durch Quadratzahlen 1 durch R 1 durch er nur das sind die Kristoffersen wurde jetzt die
Weichen für die Gier der hätte man es gleich die 2. Ableitung der X 1 Koordinator also des Radios nach der Länge jetzt nicht Eigenzeit nach der Länge plus was sich aus dem Christophersen von rausholen mal die 1. Ableitung nach der Länge ich brauche das Christophersen von mit der 1 um es geht um die Ableitung der 1. Koordinate hier ich die mit der ganz oben das ist der einzige Beitrag -minus R 2 2 es geht um die Winkel Koordinate DVI nach L DVI-I nach der 1. Gleichung 2. Gleichung 0 =ist gleich die 2. Ableitung der 2. Koordinate fiel nach der Länge los was aus dem Christopher Symbol kommt jetzt demnächst 2 oben das sind die beiden ja einst durch er da sieht man aber da wo ich jetzt diese gemischten Ausdrücke die Ableitung von r nach der Länge und die Ableitung von vielen nach der Länge das kommt gleich zweimal so müsste eine
Geodäte in 2 aussehen der wissen natürlich für die aussieht das ist eine gerade das hier muss also verklausuliert die Gleichung einer Geraden seien 1 nach ihrer Länge parametrisiert den Kragen obendrein das prüfen wir noch
ist dass die Gleichung einer Geraden die üblichen
Koordinaten x y dass er 2 kriege ich als er Ehrenmal Kosinus Winkel Sinus Winkel und nicht gekommen und den Geschwindigkeitsvektor an von dieser Bewegung in der Geschwindigkeitsvektor konstant ist weiß ich es muss eine gerade leitet
das also nach der Länge ab das macht erst
mal den radius ableiten nach der Länge der bewegte hinten plus gerade stehen lassen und dieses ableiten nach der Länge das gibt es -minus Sinus und in den Kosinus und ich muss auch die innere Haltung haben also die Ableitung von Winkel nach der Länge und jetzt will ich wissen ob das konstantes dazu will ich noch mal die Ableitung und setzt die gleichen eigentlich eben hatte ich prüfe also einfach auf die
Ableitung von diesem hier nach der Länge 0 ist wirklich nur noch aus den ich bilde die Ableitung hiervon nach der Länge und das kann ich so machen gewürdigt ableiten es mit den 1. ab das ist die 2. Ableitung von Herrn nach der Länge mal diesen Sektor jetzt muss ich den ableiten dass bleibt stehen der hier wird zu -minus Sinus Kosinus Krieg aber noch die innere Ableitung von v i damit hab ich den 1. erledigt den hab ich 13 Jahre ich fange an er abzuleiten er nach etwa 4 ableiten -minus 7 des großen aus das haben wir lustigerweise schon der also zweimal diesen Ausdruck einseitig den hier ab er einmal 2. Ableitung von Vieh ließen sich die hinten ableiten gibt mir -minus Cosinus -minus Sinus mal die Ableitung von Vieh als innere Ableitung alles negative hier von -minus er mal die Wiener Nacht del und jetzt noch mal von der inneren Ableitung die vielen nach der des die beiden Gleichungen an die wir über die Christopher Symbole gefunden haben die 1.
sagt die 2. Ableitung von eher nach der Länge ist er einmal die Ableitung nach der Länge von Finke quadriert na super die 1.
Gleichung sagt dieses ist 0 und hier unten Überraschung die
2. Gleichung sagt dass sie
unten ist nur das hat also wirklich in der Hand die Gleichung einer Geraden gefunden auf etwas komplizierte Art das witzig aber nun dass diese Formalismus auch im vierdimensionalen geht der gekrümmten Raumzeit
Ebene
Topologische Einbettung
Große Vereinheitlichung
Punkt
Physik
Abbildung <Physik>
Rechteck
Fläche
Stellenring
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Richtung
Teilmenge
Menge
Differenzierbare Mannigfaltigkeit
Gebiet <Mathematik>
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Topologische Mannigfaltigkeit
Dimension 2
Numerisches Modell
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Topologische Einbettung
Punkt
Vektorrechnung
Kurve
Fläche
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Vektor
Zahl
Richtung
Summe
Differential
Tensor
Kettenregel
Spezielle Relativitätstheorie
Mathematiker
Koordinatentransformation
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Differential
Vektorrechnung
Homogenes Polynom
Kettenregel
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Kovarianzfunktion
Topologische Einbettung
Spezielle Relativitätstheorie
Diagramm
Koordinatentransformation
Vektor
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Äußere Differentialform
Physikerin
Differential
Vektorrechnung
Rand
Mathematiker
Diagramm
Extrempunkt
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Ebene
Topologische Einbettung
Gewichtete Summe
Punkt
Linienelement
Vektorrechnung
Krümmung
Allgemeine Relativitätstheorie
Relativitätstheorie
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Zahl
Summe
Vektorfeld
Skalarprodukt
Tensor
Menge
Minkowski-Raum
Spezielle Relativitätstheorie
Stützpunkt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Geschwindigkeit
Parametersystem
Länge
Kurve
Linienelement
Relativitätstheorie
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Vektor
Skalarprodukt
Quadrat
Minkowski-Raum
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Parametersystem
Vektorrechnung
Linienelement
Kurve
Allgemeine Relativitätstheorie
Geodätische Linie
Diagramm
Parametrisierung
Gleichung
Zahl
Computeranimation
Integral
Skalarprodukt
Vorzeichen <Mathematik>
Spezielle Relativitätstheorie
Ableitung <Topologie>
Aggregatzustand
Faktorisierung
Summand
Linienelement
Geodätische Linie
Diagramm
Gleichung
Zahl
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Integral
Kettenregel
Partielle Integration
Diagramm
Ausgleichsrechnung
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Gradient
Integral
Ausdruck <Logik>
Summand
Partielle Integration
Welle
Betafunktion
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Integral
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Physiker
Rechenbuch
Stetigkeit
Mathematiker
Diagramm
Integral
Linienelement
Kettenregel
Partielle Integration
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Index
Ableitung <Topologie>
Linienelement
Spezielle Relativitätstheorie
Inverse
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Multiplikation
Linienelement
Betafunktion
Geodätische Linie
Diagramm
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Faktorisierung
Quadratzahl
Vektorrechnung
Diagramm
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Stützpunkt <Mathematik>
Diagramm
Vektor
Index
Linienelement
Partielle Integration
Inverse
Diagramm
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Tensor
Diagramm
Gezeitenkraft
Extrempunkt
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Betafunktion
Koeffizient
Kovariante
Diagramm
Extrempunkt
Kurve
Tensor
Spezielle Relativitätstheorie
Fläche
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Gleichung
Vektor
Ableitung <Topologie>
Topologische Mannigfaltigkeit
Radius
Faktorisierung
Länge
Matrizenmultiplikation
Linienelement
Vektorrechnung
Krümmung
Inverse
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Kante
Vektor
Computeranimation
Richtung
Konstante
Skalarprodukt
Quadrat
Menge
Polarkoordinaten
Symmetrie
Rechter Winkel
Diagonale <Geometrie>
Konstante
Inverse Matrix
Index
Radius
Länge
Quadratzahl
Diagramm
Gleichung
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Ausdruck <Logik>
Sinusfunktion
Länge
Geodätische Linie
Diagramm
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Gerade
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Lag
Länge
Wiener-Hopf-Gleichung
Gleichungssystem
Ableitung <Topologie>
Gekrümmte Raumzeit
Formalismus <Mathematik>
Gleichung
Gerade

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, nochmals Geodäten
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 13
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/19923
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...