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Krümmungsskalar, Volumen eines geodätischen Balls

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noch eine Anwendung der die Reaktionsgleichung ich
schaue mir geodätische an die alle am selben Punkt starten und in alle möglichen Richtungen gehen jeder von diesen geodätischen soll dieselbe Länge haben was sich dann im Endeffekt liege wenn ich alle diese Punkte zusammen nehmen ist denn hier die 1. Wahl eine Art voll Kugel auf meiner Mannigfaltigkeit dessen Volumen das eindimensionale Volumen wohlgemerkt kann man asymptotisch angeht das Volumen eines geodätischen bereits und dieser
sind und Entwicklung führt dann auf den so genannten Krümmung ist keine Krümmung der Mannigfaltigkeit zusammengefasst in einer einzigen Zahl der Grundskala ist dann auch in der allgemeinen Relativitätstheorie wichtig diese Bedeutung hier die lässt sich aber nicht so ganz leicht auf die allgemeine Relativitätstheorie übertragen jeder jetzt schon mal im Minkowski Raum sind sehr komisch sein ich hab ja Richtungen in die die Bogenlänge 0 ist nicht Licht verfolge dann ist die Bogenlänge 0 tagelang nicht bis ins Unendliche dann hab ich ja sogar Richtungen in die das Quadrat des Geschwindigkeitsvektor negativ ist was soll das sein also diese Konstruktion hier für den der allgemeinen Relativitätstheorie etwas heikel werden was ich jetzt sage bezieht sich auf die normale Geometrie in der man den metrischen Tensor zu Conny-Cup Eltern machen kann um die Delegationsleitung anzuwenden gucke ich mir erstmal hier so einen kleinen Ausschnitt aber es geht im Prinzip hier in die Richtung Frau mit ich verfolge in Abweichung Vektoren a 1 von 2 von ist und so weiter diese Abweichung Sektoren die werden alle immer größer und je weiter ich nach draußen ,komma dass wir mit dem Volumen passiert und nachher wirklich versuchen diese ganzen Volumina aufzuaddieren und dann auch noch einmal rundrum zu agieren und das Gesamtvolumen zu erhalten von diesen diätetischen Ball eine Abweichung Sektoren erfüllen also dass sie zum Parameterwert 0 gleich 0 sind da unten ist alles ganz winzig am Start .punkt Aldi sind wohl anders als bei der Herleitung des Richie Tensors vorgemerkt der Stadt annehmen werden wir der ethischen außerdem möchte ich jetzt noch Namen haben für die Geschwindigkeit mit dem diese Abweichung Sektoren im Zentrum losgehen die kovariante Ableitung von 1 nach dem Parameter an den Parameter wird nun also im Zentrum die nämlich wie 1 von 2 wenn ich für 2 und so weiter und jetzt ich vorhin den Sommer dieses Volumen jetzt wirklich aus mit Hilfe der Determinante der Skalarprodukt aller von diesen Abweichungen kommen wäre das dann durch eine zentrale also wie bei der Leitung von
Richie denn so war ich nehme mir die Abweichung vom Euro zum Parameterwert es ich nehme die Abweichung nur Sigmar zum Parameterwert es und versuche das jetzt nach den Aktionären das ist erst mal der Wert von diesem Ausdruck an der Stelle =ist gleich 0 dann kommt die Ableitung von diesen Ausdruck dazu an der Stelle ist gleich 0 man es bloß ist die 2. Ableitung nach es stelle ist gleich 0 man es Quadrat halbe so sah es auch bei der Leitung des Richie denn aus aber es geht es noch weiter ich ich brauch die 3. Ableitung an der Stelle ist gleich 0 man es hoch 3 durch 3 Fakultät 6 also und ich brauche noch die 4. Ableitung an der Stelle ist gleich 0 man es so viel durch 4 Fakultät also 24 +plus der Mann der Ordnung 5 oder höher und jetzt rechne man diese 5 Werte aus der Werteskala Produkts zum Zeitpunkt ist gleich 0 ist netterweise sofort 0 weil diese Abweichungen ja mit 0 starten Druck muss die 1. Ableitung Skalarprodukt ableiten dass es das kann so schon alles die denn so vor ich leite den linken kovariante ab +plus sicherte den rechten Kovarianz ab Produktregel den linken ,komma und ableiten plus den rechten kovariante ableiten an der Stelle ist gleich 0 sollen die Abweichungen aber 0 sein das heißt hier steht nun an der Stelle ist gleich 0 und hier steht nun an der Stelle =ist gleich 0 mit anderen Worten die 1. Ableitung an der Stelle =ist gleich 0 genommen ist 0 auch dieser hier ist 0 ansieht dann nicht warum man hier so viele Wortformen drinnen haben muss es viel zu viel weg am Anfang jetzt kommt die 2. Ableitung
die kann ja auch schon bei der Herleitung des Richie Zensus vor passieren steht nochmal ableiten was davon zweimal ableiten entstehen lassen Schluss den ableiten hab ich Ableitungen Ableitung plus den abgeleiteten hab ich mal Ableitungen Ableitung also zweimal Ableitung man Ableitung plus den
hinteren nochmal ableiten steht
wieder 0 ich =ist gleich gleich 0 einsetzen hier steht nur wird hier steht das Produkt aus wie wo und wie Siegmar an der Stelle =ist gleich 0 hat ich einen Namen wie für diese kovariante Ableitung jeweils zu die 1. Ableitung und die 2. Ableitung jetzt kommt die 3. Ableitung das geht
weiter nach demselben Muster ich leite das grüne ab nach der Produktregel kriege ich dann hier vorne die 3. Ableitung von 1 Euro plus stehen lassen den ableiten also die 2. Ableitung klingt die 1. Ableitung rechts 2. Ableitung belegen die 1. Ableitung rechts das war der 1. das mache ich hier weiter links ableiten dann steht da die 2. Ableitung die 1. richtig als zweimal noch dazu dass insgesamt 3 von dieser Sorte dann muss ich den stehen lassen und den rechten ableiten Linken stehen lassen und den Rechten ableiten der Gerichte ist also 2 Ableitungen bisher habe ich 2 von dieser Sorte ekelig aber noch einen indem ich den dicken ableiten den Rechten stehen lassen also Faktor 3 +plus das letzte was ich kriege ist den stehen lassen den ableiten die 3. Ableitung hier zig zigmal an der Stelle 0 steht hier der Generaldirektor hier steht der neue Rektor der trugen sie die 2. Ableitung an mit Hilfe der der Reaktionsgleichung das ist -minus Krümmungstensor irgendeinen Index oben wird der Lander Bemühungen den ich hier im Wesentlichen in die Richtung Frau sofort Wetter mit dem Lande steht die hier Abweichung also als Signal von 0 oben und mit dem die steht wieder unsere Richtung formell er sich davon nur
lässt aber 0 also nicht auf dieses Skalarprodukt raus und genauso wie ich dieses Skalarprodukt raus die 3. Ableitung wird also nur an der Stelle =ist gleich 0 noch
mal zurück zu unserem Teller nun bei der
2. Ableitung verwirklicht was passiert bei der 3. Ableitung steht schon wieder nur und ich will auch die 4. Ableitung haben diesen
Geräten Ausdruck muss sich jetzt also ableiten 4. Ableitung es den hier vorne ableiten ins ableiten +plus Recht ableiten links ableiten ist und die 4. Ableitung von Euro rechts stehen lassen bloß anders herum links stehen lassen und rechts ableiten damit hab ich dieses Skalarprodukt abgeleitet jetzt kommt dieses allerdings ableiten einmal rechts ableiten welche Links ableite ich dieses Jahr dreimal dazu aber insgesamt 4 von der Sorte Recht ableiten gibt mir dreimal 2. bei den Kings 2. Patentrechts bloß dreimal 2. Ableitung Lebens 2. Ableitung rechts damit hab ich dieses Skalarprodukt abgeleitet ist weil sich das ab Dienstag Pleite 2. Blatt und links das 2. Ableitung rechts hab ich 3 weitere 3 von dieser Sorte also hab ich nicht 3 von der Sorte sondern 6 von der Sorte plus 3 einmal links einmal ableiten rechts dreimal ableiten einmal
links einmal ableiten rechts einmal ableiten +plus das muss ich den letzten noch verarbeiten den einmaligen ableiten dass noch von der Sorte hier steht also keine 3 zu
1 4 und den stehen lassen nochmal ableiten so waren die 4. Ableitung von Hartz IV so und jetzt gucken was das an der Stelle gleich 0 und der hier wird 0 an der Stelle gleich 0 und wer sonst noch ein nacktes aber stehen da unten haben wir einen das anstehende das wird 0 an der Stelle gleich 0 wird wissen inzwischen auch dass die 2. Ableitung deswegen 0 wird an der Stelle =ist gleich 0 4 steht die 2. Ableitung der auch noch mal aber einmal 0 reicht mir was übrig bleibt sind diese beiden Termine mit den 3. Ableitungen jetzt versuche ich mal die 3. Ableitung mit Hilfe der die wir
zu uns gleich zu fassen diesen Ausdruck hier die 3. Ableitung wovon es nach es kovariante Nichtleiter also die 2. Ableitung noch einmal ab und könnte man das schreiben die 2. Ableitung kenn ich aber von der die Reaktionsgleichung steht also kovariante Ableitung und jetzt die 2. Ableitung von der die Reaktionsgleichung -minus Krümmungstensor mit in Index oben wird der Lander Mühen jetzt kommt der Geschwindigkeitsvektor meiner zentralen geodätischen Abweichung der Norm Euro und davon den Landtag Komponenten und nochmal der Geschwindigkeitsvektor ich will wissen dass dies an der Stelle ist gleich 0 ist wenn die die kovariante Ableitung für nach Produktregel den 1. anwenden Plus auf den 2. anwenden +plus auf den 3. Platz auf den 4. anwenden denn wir denn es gleich 0 nur ein einziger Term übrig bleiben das sieht man so die kovariante Ableitung auf den Krümmungstensor anwenden weil diese Gelder steht an der Stelle nur mal aber wie er da steht eine Stelle nur das aber nur muss nicht weiter nachdenken dass sich daraus die kovariante Ableitung anwenden auf diesen Geschwindigkeitsvektor dann steht schon wieder einmal trennen was nur ist das Licht raus genauso wenig die kovariante Ableitung auf den Händen anwendet dann bleibt aber stehen wird wohl das einzige was übrigbleibt ist Krümmungstensor Geschwindigkeitsvektor und diesen Chor wollen und ableiten unterstellen nur und wieder der Geschwindigkeitsvektor das wird also -minus Krümmungstensor hintereinander Mühe dieser an der Stelle des gleich 0 ist Frau Bertha diesen kovalent ableiten an der Stelle ist gleich 0 ist wie Opel Lander und diesen an der Stelle ist gleich 0 das ist glaube mir jetzt was sie alles was die 3. Ableitung ist an der Stelle ist gleich 0 und Dinge kann ich auch angeben an der Stelle ist gleich 0 war der Geschichten der greifend wie das kann man jetzt zusammen sortieren die 4. Ableitung an der Stelle ist gleich 0 ist also nicht bloß 4 Mal -minus Krümmungstensor VwV weg bloß nichts plus 4 mal weg mal -minus Krümmungstensor VwVwS bloß nichts alles zusammen
4. Ableitung eines Skalarprodukt nach dem Parameter ist an der Stelle ist gleich 0 ist -minus 4 Mal dieser eher das oben Bildhauer Lander mir Frau Bertha wie Hollande Erfahrungen Mühe mal die 1. Ableitung und das war für ihn Sigmar und jetzt muss ich sie kontrollieren ich schreibe wie Siegmar nach unten alpha und hier oben eine dass wir der 1. Termin und dann gibt es noch den 2. minus 4 Mal in umgekehrter Reihenfolge für Frauen steht Ferrero alle Fahrer und hinten steht er alle Fahrten Wetter bemüht Frau Bertha wie in anderer Form dieses einfach unten als auch oben mache ich mal zulangen da oben denen da unten und dieses Land eine Nachricht zu Alfa oben alpha und und jetzt wird sich nach diesen mitfiebern Krümmungstensor tausche hinten und vorne aus dann steht da oben Allvar unten wie die beiden hinteren unten unter unten Wetter dieses Mühe geht mit den Frauen wie das Wetter geht mit dem Frau Bertha wirklich jedes mögen schreibt oder das Wetter macht keinen Unterschied XL-Version steht ist dasselbe wie das was da oben steht ja oben alpha unten Wetterlagen damit dass Großstädte miteinander oben 2 steht mit dem Land da oben unter Sigmar steht mit dem Eifer und ich kann also ne 2. ganz streichen und die um 1 8 draus machen damit hab ich jetzt die Zelle Annäherung zusammen die Entwicklung von
diesem Skalarprodukt ist also die 2. Ableitung an der Stelle nur mal das Quadrat halbe plus die 4. Ableitung an der Stelle ist gleich 0 weil es so viel 24. Kloster höherer Ordnung die 2.
Ableitung war zweimal das Skalarprodukt W wie Sigmar und die 4.
Ableitung hatten wir gerade steht
sie noch also habe ich das Skalarprodukt von am Hof von ist mit einem Sieg von S =ist gleich Der Beitrag von quadratischen Ausdruck Skalarprodukt von Vero und wie sie zweimal das Quartal ,komma sofort kürzen +plus den Beitrag mit es hoch 4 also minus 8 erhoben alpha und den beta aller anderen Mil Frau Wetter wehenden Maro entlang der oben schauen mal in dem man sich nur mit Eifer und mal es hoch 4 24. Deckenloch auch kürzen die 8 und da wird auch noch mit einem Plus der mit der Ordnung des hoch 5 und für diese beiden Ausdrücke
versichert zusammen wie schon bei der Leitung des Richie denn so von dem Direktor mit denen man auch so nämlich an da oben von dem Direktor mit der Nummer Sigmar nämlich eine Frau und große Klammer höherer Ordnung noch dazu am Ende in der Klammer brauche ich jetzt etwas von mir die Komponente mit der gleichen Nummer links und rechts rauszupicken ich brauche Geld da oben eine für unten landen da mal das Quadrat -minus es so 4 tritt für der Krümmungstensor steht jetzt mit dem pro Land wie Hollande und wie Siegmar muss ich also ganz besonders machen erproben alpha beta Lander müde Vorbild der Formel mit diesem Ergebnis kann ich jetzt einen Teil meines Volumens ausrechnen ich gehe noch mal ganz zurück dieses Volumen
in Abhängigkeit vom Parameter es kann ich nun ausrechnen dass endlich mal wollen es ganz bei der Leitung von Birgit den sorglich das Quadrat von diesem Volumen als Determinante nannte aus allen Skalarprodukt zwischen diesen Abweichens Sektor das Quadrat
von Volumen zum Parameter wird es ist die Determinante aus dieser Matrix ein Skalarprodukt am von ist aber die Nachfrage ist mit rund 7. als ein Index und Spalten Index und das buchstabiert ich jetzt aus mit
Hilfe der Teller Annäherung hier steht auch die Täter Annäherung die Determinante eines Produkts von Matratzen ist das Produkt der Determinanten die Determinante hier hiervon Maria von Mali hier die 1. beiden falls sich wieder zusammen wie schon bei der Herleitung publiziert den sollen und Kriege die Determinanten von dieser Matrix aus Skalarprodukt in Rio und gezielt mit Sigmar andere und sie kann durch mal die Determinante Billigtickets es Quadrat mal die Einheitsmatrix -minus es zu 4 3. Mal war was Komisches deswegen schreibe ich mal als im Winter geht weg mir geht weg demnächst eine und Index landen die bleiben über eine Matrix M mit diesen Einträgen hätte ich gern
Klostermühle höherer Ordnung bei denen muss man etwas vorsichtig sein ich habe eine Matrix in der jeder Eintrag von Dortmund SO so 5 oder größer ist und hier vorne hab ich eine Matrix in der jeder Eintrag von der Ordnung des Quadrat oder größer ist nicht die beiden hämische ist das Beste was ich kriegen kann sich Frauen in allen -minus 1 spalten das es Quadrats nehmen ihn noch in einer Spalte dass es hoch 5 nehmen dann habe ich zum Schluss das Quadrat hoch N minus 1 mal 1 hoch 5 ich zusammen es auch 2 1 -minus 2 +plus 5 hier also 2 1 +plus 3 bei dieser Determinante kann ich aus sich jeder Spalte den Faktor ist Quadrat rausnehmen in Spalten einmal den Fakt das Quadrat rausgenommen also zum Schluss des Quadrat hoch er es hoch 2 n rausgenommen war die Determinante nannte das 1. das Quadrat weg -minus und hier habe ich noch es quadratische es so 4 das Quadrat 3. diese Situation gab schon mal bei der Leitung von bezieht sollte der Termin nannte von der Einheitsmatrix mit einer Störung des hier 1 -minus die Spur der Störung des Quadrats Drittel die Struktur der Matrix M +plus der mindestens der Ordnung des hoch 4 die Spur dieser Matrix hier nicht jede M 1 1 M 2 2 1 3 3 schreibe also alle vor allem verhindern dass es schlicht und ergreifend die so kontrahiert mit Frau und Frauen die diese Spur ist der Richie Zensur Termine mit verbesserter Form jetzt weiß ich
was das Quadrat von Wohnungen ist ich ziehe die Wurzeln das
Volumen selbst ist also groß und das diese Determinanten Produkte zwischen den Direktoren mal zum wegen es hoch 2 und dann der blaue Ausdruck eines -minus das Quadrat 3. gezielt auf plus der mit der Ordnung sucht 2 n +plus 4 aber ich hab ich sowieso schon der mit der Ordnung des O 2 und +plus 3 also )klammer zu +plus Ordnung versucht 2 1 +plus 3 das versuche ich jetzt noch
weiter auseinander zu nehmen
wenn diese Determinanten hier vorne nicht 0 ist könnte ich diesen Rest der mit zu diesem Produkt nämlich könnte mich hier Klammern vorstellen so arbeite ich mal weiter als ob hier klammern stünden den ich sie nämlich noch einmal es hoch 2 n aus der grünen Klammer gleich rausnehmen ich kriege also die Wurzel aus der Determinante von allen diesen Skalarprodukt es auch 2 in sich aus der Wurzel ausmacht ist hoch werden und in der Wurzel steht da dieser noch drinnen 1 -minus das Quadrat 3. Richie V V und diesen hier wie gesagt nämlich zu dem Produkt rein es hoch 2 n hab ich schon weg steht noch wovon es hoch 3 in der Wurzel der letzte Faktor hier ist Wurzel aus 1 und eine Störung und das gab schon bei der Leitung von bezieht denn so war das nämlich mit der Tangenten gerade 1 plus Störung unter der Wurzel wird 1 plus die Hälfte der Störung in der Näherung 1 -minus und nun das Quadrat 6. die Hälfte Richie V auch V und mehr hiervon die Hälfte bleibt wovon es hoch 3 dieses Volumen ist ein kleines Stück von dem was sie eigentlich ausreichen würde letztlich zurück zum gesamten geodätischen war eigentlich
völlig einig dieses Volumen ausrechnen sondern das Volumen des geodätischen bereits ausrechnen wie viel
dieses Volumen ja jetzt also aufsummieren entlang dieser geodätischen und einmal darum um alle Winkel ich entlang dieser ethischen aufzunehmen muss etwas vorsichtig sein nach außen wird dieses Volumen der Größe nach in wird das kleine feine aber Inspektor längs des Radius ja auch mit wächst es gibt ein Faktor es zu zuviele muss hier also Vorsicht hatten sie es hoch N minus 1 benutzen wenn ich integriere und da muss ich noch über alle Winkel integrieren kriegen also das Volumen von geodätischen Ball mit Radius r ist ein
Integral irgendwie überwiegend Details sind egal ich wollte ja auf jeden Fall kommt bei diesem Link Integral aus welche Frau ich nehmen sollen und welchen Weg ich nehmen soll und ich kriege ein Integral links des Radius also von 0 bis er über den Parameter es von diesen Ausdruck hier die Determinante von wie Ovids Sigmar nach und sieht ,komma wie gesagt jetzt ist hoch N minus 1 und das Lumia immer größer wird mal den blauen Ausdruck ihrer 1 -minus das Quadrat 6. Richi V V ich schon jetzt die Details nicht im Kloster mehrere Ordnung im Endeffekt hab
ich hier jetzt aber ein Integral über einen ganz normalen lachen Ball sozusagen im euklidischen Raum mehrfach Integral über die voll Kugel mit Radius r n n um den Ursprung der noch in X zu diesem integraler werden deswegen Integral sondern auch hier das Integral längst den Radius dieses Volumen hier gehört dazu Besuch Innenminister 1 gehört dazu dieser blaue Urteil hier den muss ich noch hinschreiben 1 -minus das Quadrat 6. R und den Peter Mühe Open Beta bemüht Schlusstermin höherer Ordnung hoch 3 V hat die Richtung angezeigt in die ich rausgehen aus dem zentralen Punkt erstmal V ist damit schlicht und ergreifend der Radius Vektor streichen ein ist und dieses Frau Bertha und mache es zu X später die Koordinaten x mit der Nummer bitter bestreichen noch ein ist und dieses Frauenhaus zunächst müde und hinten das ist 3 ist also die Länge von x hoch 3 jetzt nutzt sich aus dass der Wirt schicken sollten symmetrisch ist ich kann die Koordinatenachsen so wählen dass dieser sie metrische Tensor diagonal wird dann zierliche nicht mehr kreuzen querfeldein ist zwar nicht haben nach der 1 1 mal x 1 x 1 der 2 2 mal x 2 x 2 und so weiter ich drehe meinen Koordinatensystem so dass der Diagonale wird
dann kriege ich dann das selbe Integral wie vorher über die vor Kugel mit Radius r 1 n und den Ursprung schreib immerhin DX DY tz und so weiter und was sich integrieren wird werden 1 -minus des Quadrates Weg 6. und nur die Diagonale nennt er 1 1 mal x 1 x 1 1 x x 1 1 mal x Quadrat R 2 2 1 mal x 2 x 2 also er 2 zweimal zum Quadrat und so weiter Klostermühle Ordnung nämlich die Länge des Vektors x hoch 3 und jetzt rächt es sich dass sich dieses X und das X nicht auseinanderhalten kann weil ich Unwetter Fallarbeit Arbeit die nicht verkettete Liste ein Vektor Fall darüber und über den auch der Fall ich muss also wissen was passiert wenn ich über die vor Kobe einsichtige wäre endlich das Volumen der voll Kugel und was passiert wenn ich über die Kugel x Quadrat integrieren entsprechend wie das Mittel zum Quadrat und so weiter gehen dann kann ich das Zusammenbauen nicht
viel also integrieren über die volle Kugel mit Radius r um den Ursprung in der N x Quadrat DX DY erzählt und so weiter wenn ich mir zum dreidimensionalen vorstelle zartfaserig also die voll Kugel im Kreis Scheiben die Fläche jeder dieser Kreis schreiben wird mit x Quadrat multipliziert ist kann ich auch schreiben als das Integral von minus 1 bis plus 1 DM freundlich ich bei -minus er an +plus er auf X läuft von minus 1 bis plus er und jetzt brauche ich die Fläche der Kreisscheibe das ist also im allgemeinen Fall das Volumen der voll Kugel in allen -minus 1 Dimensionen mit den passenden Radius nach Pythagoras also Wurzel R-Quadrat -minus x Quadrat dieses Volumen das ist im dreidimensionalen die Fläche dieser Kreisscheibe und ich multipliziere mit x Quadrat endlich Lübecks möglicherweise auch ich keine Formel für dieses Volumen der vor Kugeln je für die Fläche der Kreisscheibe wenn in gleich 3 ist in -minus 1 gleich 2 ist es reicht dass ich weiß dass dieses Volumen hier eine konstante mal den Radius hoch N minus 1 ist und Radio zu werden -minus 1 also Wurzel R-Quadrat -minus x fordert hoch N minus 1 konstant ist mehr oder minder fürchterlichen hohen Dimensionen ich muss sie gar nicht wissen stellt sich gleich heraus auf jeden Fall wird dieses Volumen 1 N -minus 1 Kugel proportional zu ihrem Radius hoch N minus 1 das heißt ich habe jetzt ein relativ schlichtes
Integral zu lösen das Integral von minus 1 bis plus eine konstante mal Wurzeln R-Quadrat -minus x Quadrat hoch N minus 1 mal x Quadrat Steaks ich arbeite mit Substitution sage es ist er damals Sinus einen Winkel dann ist die X vielleicht eher mal den Cosinus von denke mal dass die Differenzial von Winkel und ich kriege meine konstant X soll von minus 1 bis plus erlaufen der Sinus also von minus 1 bis plus 1 laufen wie soll also von minus 4 bis plus die halbe laufen hier steht jetzt die Wurzel aus R-Quadrat -minus vertrat als R-Quadrat Sinus Quadrat hoch N minus 1 und x Quadrat ist der Quadrat das Quadrat und DX ist er Cosinus viel von dem ein paar Faktoren heraus aus der
Wurzel kann ich das R-Quadrat rausziehen das R-Quadrat wird von der Wurzel zu er hoch N minus 1 zu ziehen aber er hoch N minus 1 lediglich noch 2 Faktoren er und hier noch ein Faktor also bloß 3 Exponenten Integral von minus 4 bis plus 4 haben wir jetzt steht Kinder noch 1 -minus Sie das Quadrat die Wurzel hoch N minus 1 Quadrat Cosinus 4 1 -minus 7 das Quadrat ist groß und das Quadrat nach Pythagoras aus dem Sinus bereit hier mache ich auch 1 -minus Cosinus Quadrat und dann steht hier das ist zehnmal mehr hoch N minus 1 +plus 3 Integral von minus 4 handelt ist für die Wurzel aus Cosinus Quadrat ist hier der Kosinus wird der Kursus nicht negativ also keinen Ärger Betrag strichen die Wurzel aus dem großen Scrollrad ist hier der Kosinus hoch N minus 1 und noch ein Faktor Kursen mussten habe ich den großen hoch n mal 1 -minus Quadrat die gefiel wir sind die Gallier mit dem großen sucht er ist etwas ungemütlich ist kommt ein kleiner Trick wenn nicht allgemein das Integral großen sucht in lösen könnte dann könnte ich dieses lösen einmal 1 und auch dieses lösen Kurses Sorin +plus 2 also versuche
ich folgendes Integral hinzukriegen ich nenne das Integral n +plus 2 das soll sein von -minus Pia ist hier aber der Kosinus hoch n +plus 2 Frauen wie das Integral die ich jetzt mit partieller Integration an ich sage der Kursus hoch im Kurs 2 ist der Kurs hoch n +plus 1 von 4 mal den Cosinus von den 1. deren gar nicht hübsch ableiten da auch n +plus 1 gibt er plus 1 mal was da steht auch n und gerade in der Ableitung den Kursus ableiten gibt -minus 7 aus dem Tier den Kursus von den brauche ich eine Stammfunktion was leitet sich ab vom einfachsten den Sinus dann kriege ich den großen jetzt habe ich alles dafür die partielle Integration in den eckigen Klammern -minus 4 bis +plus pi halbe stehen die beiden nicht abgeleiteten Funktion und Kosinus hoch n +plus 1 mal ziehen aus ist aber an beiden Enden 0 aus in eckigen Klammern kommt 0 raus jetzt Innenminister sind Integral mit vertauschten Rollen die beiden die und stehen noch mal ein Minus macht wieder 1 plus 1 plus 1 und das Integral von minus 4 bis plus 4 Jahre wir große muss auch in 7 das Quadrat sehen das Quadrat ist aber schon wieder 1 -minus Kosovos ins Quadrat ich hab schon wieder ein Integral von dieser Form Cosinus Hochebenen und Kursen so n +plus 2 zusammengefasst dieses Integral mit den Exponenten n +plus 2 vom Cosinus wird also sein Entschluss 1 mal jetzt das Integral nur mit den Exponenten n i n -minus das Integral mit dem Exponenten 1 +plus 2 beim Kursen aus das ist eine ganz wichtige Gleichung
stelle sich auf ich bringe n +plus 1 i n +plus 2 auf die linke Seite den hab ich hier n +plus 2 e n +plus 2 und anteilig durch ein +plus 2 Kriege damit die 1 +plus 2 =ist gleich 1 +plus 1 durch 1 +plus 2 IN mit dieser Erkenntnis die ich zurück zu meiner ursprünglichen Fragestellung dieses
Integral ist also die den großen Suche Einmaleins 1 -minus e n +plus 2 großen such Narkose das Quadrat deshalb würde endlich ihren plus 2 durch ihren auswirken kann ihren steht IN -minus 1 plus 1 durch den +plus 2 e n das was ich noch zusammen Wievielmal die IN habe ich 1 -minus n 1 +plus 1 durch 1 +plus 2 also 1 durch 1 +plus 2 gekonnt raus wenn jetzt geschickt weiter zusammenfassen das ist meine Constanze mal ich er hoch n +plus 2 im Endeffekt er hoch n eines Quadrats 1 +plus 2 habe noch von denen man das Integral IN zumal das Integral von -minus ky habe das Plus PH Cosinus hoch n von vielen die die diese hindere Teil ist jetzt aber das Volumen des n-dimensionalen bereits mit Radius r das sieht man hier oben wenn ich ein Einschreiben
würde statistics Quadrat durch die Funktion eines über die vor Feuerkugel integrieren hätte das Volumen der vor der n-dimensionalen voll Kugel hier stünde eine 1 er stünde eine
einzige stünde kein R-Quadrat sehen das Quadrat ich bekomme dieses
Integral das ist das Volumen der voll Kugel mit Radius r n r a n d e n dimensionale voll Kugeln doch mal zusammengefasst wenig
x Quadrat über die vor Kugel integriere bekomme
ich Madison Square trat durch den 2. Dimension plus 2 Mal das Volumen der vor Kugeln das setzt sich jetzt einen hier
steht das Volumen dieser voll Kugel mal 1 -minus 1 6. R 1 1 und dieses Extra 3 haben wir gerade gesehen wird Suchradius Quadrat durch n +plus 2 die Zahl der Dimension und das passiert mit dem Y und so weiter und die höheren Ordnung hier hinten gehen mindestens wie er hoch 3 was sie jetzt aus dem entschieden so gebildet worden ist regelt also wie Sie das Volumen des geodätischen Balls mit Radius entwickelt das hier nun ist mal bis sogar 2. Ordnung gleicht dem Volumen im unbegrenzten Raum das Schreiben
zusammen ich habe also das Volumen von geodätischen Ball mit Radius r das ist das Volumen von der euklidischen voll Kugeln ohne Common heißt das
Radius er war und jetzt kommt die Korrektur 1 -minus das Quadrat durch 6 mal 1 +plus 2 und erscheint jetzt in unserem schönen Koordinatensystem er 0 0 vom bezieht den sorglos R 1 1 +plus und so weiter +plus Terme höherer Ordnung das ist natürlich dass ein bisschen fadenscheinig in einem schönen Koordinatensystem stimmt das aber offensichtlich ist das nicht Basis unabhängig wie es da steht ich bilde das ist unabhängig er oben und er unten und schloss er oben 1 unten 1 und so weiter also wenn man so will den Richie Tensor mit einem Index Milgrom und einen Index müde unten oder mit dem metrischen Tensor geschrieben wird sie den Song mit Brettern unten an der mit dem metrischen Tensor mit mit der Mühe oder dem Wetter egal ob hier gilt es also quasi die Spur der Spur der Welt denn so schon eine Spur von Krümmungstensor wird noch mal die Spur gebildet das hier nennt sich der Krümmung Skala groß er dann nur noch von Indizes oder der britische kann oder die Skala Krümmung noch ein Name der für die kriegen dann also
das ist das Volumen im euklidischen Fahr mal 1 -minus den Radius ins Quadrat durch 6 mal die Zahl der Dimensionen plus 2 Mal den Krümmungsgrad war der mit höherer Ordnung und man sieht mir nicht mit dem alles rückwärtsgehen würde müsste das selbe rauskommen kann eigentlich gar nicht stellen von der Ordnung er auch 3 das muss mit er auch 4 weitergehen
Länge
Kugel
Punkt
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Volumen
Richtung
Geschwindigkeit
Parametersystem
Kovarianzfunktion
Determinante
Vektorrechnung
Linienelement
Allgemeine Relativitätstheorie
Krümmung
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Biprodukt
Zahl
Unendlichkeit
Richtung
Skalarprodukt
Quadrat
Herleitung
Volumen
Geometrie
Ableitung <Topologie>
Lag
Herleitung
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Index
Skalarprodukt
Faktorisierung
Verschlingung
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Richtung
Lag
Skalarprodukt
Ableitung <Topologie>
Division
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Index
Skalarprodukt
Drei
Diagramm
Term
Ableitung <Topologie>
Lag
Quadrat
Skalarprodukt
Betafunktion
Ordnung n
Diagramm
Ableitung <Topologie>
Ausdruck <Logik>
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Skalarprodukt
Quadrat
Determinante
Ordnung n
Diagramm
Volumen
Parametersystem
Index
Quadrat
Skalarprodukt
Matrizenmultiplikation
Herleitung
Determinante
Volumen
Biprodukt
Faktorisierung
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Determinante
Ordnung n
Diagramm
Determinante
Diagramm
Volumen
Biprodukt
Quadrat
Skalarprodukt
Faktorisierung
Determinante
Diagramm
Volumen
Parametersystem
Radius
Faktorisierung
Verschlingung
Determinante
Diagramm
Volumen
Integral
Radius
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Linienelement
Betafunktion
Euklidische Ebene
Diagramm
Vektor
Integral
Richtung
Mittelungsverfahren
Quadrat
Kugel
Ordnung n
Volumen
Diagonale <Geometrie>
Koordinaten
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Kreis
Radius
Faktorisierung
Kreisscheibe
Scheibe
Fläche
Diagramm
Integral
Differential
Quadrat
Kugel
Volumen
Substitution
Ableitungsfunktion
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Faktorisierung
Quadrat
Stammfunktion
Ende <Graphentheorie>
Betrag <Mathematik>
Exponent
Partielle Integration
Rollbewegung
Diagramm
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Integral
Mathematische Größe
Radius
Dimension n
Quadrat
Einmaleins
Volumen
Ausgleichsrechnung
Integral
Radius
Dimension n
Quadrat
Kugel
Diagramm
Volumen
Radius
Quadrat
Kugel
Ordnung n
Volumen
Zahl
Index
Radius
Quadrat
Linienelement
Krümmung
Ordnung n
Diagramm
Volumen
Term
Koordinaten
Radius
Quadrat
Analogieschluss
Ordnung n
Diagramm
Volumen
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Krümmungsskalar, Volumen eines geodätischen Balls
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 21
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/19917
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

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