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Kovarianz, Kontravarianz, Tensoren

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Beta
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die Gleichungen die man dann in der
speziellen Relativitätstheorie hinschreibt und erst recht in der allgemeinen Relativitätstheorie die sehen auf den 1. Blick ungewöhnlich aus für das ungeübte Auge das ist zum Beispiel die Gleichung für die Bewegung eines geladenen Teilchens in einer Welt die ich möchte anfangen zu erklären was das denn hier mit den griechischen Buchstaben auf sich hat den teilweise oben und unten erscheint es geht um pro und contra Varianz und es
geht um den so und diese Variante mit Indizes hier sind Komponenten von Tensoren und auch dass die CSU das P und sogar nackte Zahlen sind daher auch einfach Tensoren Spezialfälle von Tensoren ich Ihnen nicht erklären wo diese Gleichung tatsächlich er kommt zu mir war nur
klar machen wie sie denn zu lesen ist was für größten das Entstehen von der Physik her geht es offensichtlich um den Impuls und Landung Feldstärke elektrische und magnetische Feldstärke und um den Ort in Abhängigkeit von der Eigenzeit tau aber was hat dieses ganze Grafen mit Indizes oben und unten zu bedeuten darum soll es gehen was man am Anfang bei der
Welt der Geometrie nicht merkt ist dass es 2 Sorten an Vektoren gibt aber die
üblichen die wir kennen das sind in der einfachen Weg der Geometrie die Spaltenvektoren sowas hier die 4 5 6 als 2. XYZ aber es gibt genauso auch 2 Vektoren sagen wir 1 2 3 ich schreiben ;strichpunkt es dazwischen und klarzumachen dass es sich 123 S und 2 Vektoren Spaltenvektoren spielen zusammen und ich kann das was hier steht lesen als Multiplikation mit einer Matrix mit einer Zeile und 3 Spalten mit einem Vektor oder wenn man will noch einer Matrix nämlich mit einer Spalte und 3 Zeilen und wer diese Multiplikation ausführt wie eine kleine Zahl aus einer 4 +plus 205 +plus 306 sagen 32 gibt es einen Weg können also auf die Spaltenvektoren wir können sozusagen und produzieren dabei zahlen das ist eine wichtige Beobachtung das macht man abstrakter und kommt dabei auf den Begriff Kovarianz der Zahlenwerte wird sowas werden werden kovariante Rektor und contra Variante der Spaltenvektoren wird was werden wie ein Kontra Variante Sektor die übliche sollte das sind die Spaltenvektoren die Kontrolle Varianten aber die haben eben noch Partner die kovariante und sollte noch anmerken was hier passiert ist keine Skalarprodukt ich habe nicht geschrieben 1 2 3 Skalarprodukt 4 5 6 das ist eine andere Geschichte hier steht ein 1 Vektoren will sagen eine Matrix mit einer Zeile und so und so viel Spalten mal einen Spaltenvektoren hier werden 2 verschiedene Sachen miteinander multipliziert und Skalarprodukt hab ich 2 Reaktoren desselben Typs da komme ich später noch mal zu das ist dann der Begriff der mit also diese beiden nicht durcheinander werfen aktuell kommt das selbe dabei heraus aber das wird nicht so bleiben dass
ganz abstrakt betrachtet eine realer Vektorraum dreisten typischerweise V D guck ich mir an irgendeine allen Vektorraum darin 2
Vektoren ich frag mal keinen Fall über diese Sektoren bereits jetzt mathematisch jetzt dass sie gleich mit fallen höchst komisch aus in Mathematik schreibt man die Vektoren ohne kleine feine über den Buchstaben eine DLL Vektorraum das heißt ich kann jeden Vektor mit einer Wellenzahl einen beliebigen reellen Zahlen multiplizieren zum Beispiel kann ich den Vektor a verdoppeln das sie für 2 Jahre und ich kann 2 beliebige Vektoren addieren A und B in wird diesem Anliegen Abschluss diese beiden Operationen das Multiplizieren mit reellen Zahlen und die Addition von Vektoren die sind eingebaut in diesen Begriff reellen Vektorraum das muss gehen Fall und das müssen die üblichen welche Gesetze gelten dass die Reihenfolge der Addition egal ist dass sich Produkte ausklammern kann zweimal a +plus b 2 aber das war und so weiter das macht den Begriff Vektorraum aus das soll meine Normalenvektor und seien die haben die Rolle die bisher die Spaltenvektoren hatten Phonds zu diesen normalen Vektoren gibt es Partner
diese Partner heißen Co Vektoren und die bilden den dazu dualen Vektorraum
das ist also die Menge der so genannten Cofaktoren
Vektoren sind nichts anderes als linear vom noch ein neues Wort was in den ja von den Erfahrungen sind lineare Abbildungen von dem ursprünglichen Weg nachdem der Zahl 3
Begriffe für das selbe Korrekturen im Jahr vom lineare Abbildungen von dem ursprünglichen Weg darauf nachdem realen Zahlen und alle zugegebenermaßen ziemlich abstrakt ich zeigen wie man sich diese Vektoren vorstellen kann grafisch vorstellen können lineare
Abbildungen von ursprünglichen Vektorraum nachdem der einzahlen das sind so etwas wie schiefe Ebene die man den Ursprung und die kann ich schiefe Ebenen darstellen mit Höhenlinien tue ich das hier sollen eine Funktion die ganze Zeit 0 sein entlang dieser Linie entlang dieser Linie soll sie einst seine entlang dieser Linie sollte sie 2 sein entlang dieser Linie sollte 3 sein wird sie wohl offensichtlich entlang dieser Linie sinnvollerweise -minus 1 sein sollen und so weiter anderthalb bis hier P ist sie da die Höhenlinien auf einer schiefen Ebene steigt also hier eine nach rechts oben und sie welche ab nach links und das nämlich einen Chor Korrektur diese Funktion nämlich ein Kofaktoren sein wird sie diese Korrekturen sollen auch wieder einen Vektorraum Welt das heißt ich muss sie mit den Zahlen multiplizieren können und ich muss sie agieren können das gucken uns aber das ist das Doppelte von diesen Chor Vektoren namens C ich mir natürlich einfach überall die doppelte Höhe hier der Korrektur sie gleich 1 ist sage ich an den selben Stellen ist 2 C natürlich jetzt 2 wo man orginale 0 war bleibt das Doppelte 0 keinen Unterschied in der mit ihr Kommen und Gehen eineinhalb 4. 2 10. nun 1 werden hier wird es -minus 1 werden auf der halben Strecke zumindest alles beim Alten und so weiter das ist eine sehr plausible hat ein Vielfaches von einem solchen Korrektur zu der ich multipliziere die Höhe damit ich die Addition vorführen kann brauche ich noch ein 2. Korrektur einmal hier soll der 0 seine jetzt alle 1 seien 2 sein dann wird er hier irgendwo -minus 1 sei sein und nun überlege ich mir was die Summe ist von C und D und ist mir natürlich nicht begreifen die bilden wir sind beide zusammen gleich 1 D SC 0 C 1 dann ist hier die Summe aus beiden 1 hier unten ist sie aber auch eines der Ziele ist 0 die ist ein Ziel das sie auch 1 und immer noch ein bisschen nach den stellt man fest entlang dieser Geraden ist die Summe 1 ist sie gleich 2 hier ist die gleich 1 ist heißt die ist diese Nummer 3 und hier ist sie gleich ein hier ist die gleich 2 ist die Summe auch 3 2 Minuten nachdenken entlang dieser kompletten geraten jetzt die Summe 3 seien zwischen wird offensichtlich 2 seien hier müssen wir durch den parallel und haben 0 -minus 1 auf der anderen Seite also man kann auch ziemlich dummerweise diese Korrekturen mit Zahlen multiplizieren und zueinander addieren und natürlich gelten dabei die üblichen rächen Gesetze das ist kein Wunder warum sind das jetzt linear Formen lineare Abbildungen von Vektorraum 8. Weltstar das soll
heißen dass diese Korrekturen die normale Vektoren liegen ja nach wir Zahlen habe ich Zeit mal wieder ein Beispiel das so Manko
Vektoren namens Ziel sein hier ist eine 0 und 1. 1 1. 2. 1. 3 und die ist im Minus 1 hier natürlich die und hier ist der kurze 2 nicht Lichtzeichen auch nochmal 2 normale ein aus dem üblichen Vektorraum ihnen nicht mal aber denen nicht weg und nun soll ich es sagen wie dieser Chor Vektor c einen Normalenvektor zu einer seltsamen Nacht offensichtlich macht diesen Sektor aber zurzeit 2 alles andere wäre blödsinnig und diesen Weg durch den Markt der zurzeit an der Halle der Welt 2 und der Weg wird anderthalb auf diese Weise wird so ein Korrektur auf einen Normalenvektor und es kommt eine Zahl raus haben angefangen mit zu Vektor mal Spaltenvektoren =ist gleich eine Zahl da steckt eigentlich dahinter Isaaco Vektor ist sowas wie ein Zahlenwerk Direktor dieses anwenden hier ist eigentlich so was wie das Produkt zahlen Vektor mal Spaltenvektoren natürlich ist das lineare Indianerfrauen heißt es hat deshalb im Jahr soll heißen wenn ich das Vielfache eines Vektors Einsätze den Weg dahin zum Beispiel halbierte sich auch nur die Hälfte raus ist vielfach kann nicht ausklammern das ist ein Teil der Linearität und der 2. Teil der Linearität ist nicht eine Sommereinsätze dass sich dann die Sonne raus Krieger der Anwendungen für alle
anderer und für alle Vektoren b alle Sektoren
haben die Eigenschaft dass man ein paar Vektoren braucht und alle anderen daraus zu bilden konnte man diesen Satz 1 Vektoren aus denen man alle anderen bildet minimal macht das keinen Weg zur davon übrig ist heißt das dann eine Basis für dieses hier diese beiden Vektoren werden zum Beispiel eine Basis um alle Vektoren in der Ebene zu bauen diesen Sektor hier immerhin aber den kann ich zum Beispiel bilden indem ich 1 Komma 3 mal die 1 nehmen und sagen wir 1 ,komma zweimal in 2 analoge geht das mit allen Sektoren in der Ebene leben egal welchen ich nehmen kann ich mit diesen beiden ausdrücken und um alle Sektoren der Ebene zu bilden kann ich nicht nur nehmen oder nur 2 ich brauche brauchen beide das heißt die Menge hier aus diesen beiden ist eine Basis
gegeben eine Basis eines Vektorraumes kann man sich nun überlegen wie man eine Basis für den du aber Raum bekommt aber also eine Basis für meine Frau Schreyer ausdrücklich eine unterstrichen was es gibt unendlich viele Blasen alle werden 2 Elemente haben für diesen Vektorraum nach in der Relativitätstheorie haben natürlich Blasen mit 4 Elementen es geht um 4 Dimensionen hier geht es um 2 Dimensionen zu dieser gegebenen Basis kann ich nun eine Basis bauen mit der ich alle Korrekturen werden kann die hat jetzt 2 Elemente in diesem Fall und diese beiden Elemente nämlich nicht überraschenderweise die hoch 1 sind hochstellen sieht man gleich ist ein raffinierter von Matrix und das 2. Element nämlich eher hoch 2 also ich meine aus und hier nicht das Quadrat sondern das 2. Element aus dieser was ist das mit dem hochstellen ist nur ein formaler Trick wie gesagt gleich sieht man uns raffiniert ist dieses wird eine Basis von Frau Stern werden dem du Rat und zwar die zu der 1. Basis an Basis jedes dieser beiden
Elemente sollte jetzt eine lineare Abbildung seines soll ein Original Vektoren in Hausfrau und eine reelle Zahl draus machen und der Gedanke ist ganz banal welche eine Zahl soll daraus gemacht werden die Zahl die ich als Komponente vor den jeweiligen Basiswerte steht also wenn ich die oben 1 Anwender auf anderen soll die 1 Komma 3 rauskommen wenn ich es oben 2 Anwender auf aber dann soll die 1 Komma 2 rauskommen immer zuerst die oben 1 1 auf dieser geraten in den alle Sektoren die einmal 1 trennen haben einmal 1 plus und zu viermal mal in 2 das heißt entlang dieser geraten ist wie oben 1 =ist gleich 1 Steed einmal 1 +plus irgendwas 2 hier aber ist das 0 1 0 die 1 +plus so ehemalige 2 Event ist -minus einzahlen und hier wird es 2 zweimal 1 +plus so und zu viele mal in 2 analog für und 2 mal auch mal die die oben 2 entlang von dieser geraten ist kann einen Anteil von je 2 Drittel diese Sektoren hier entlang dieser Karten sind so und so viel Mark E 1 und 0 mal äh 2 hier ist der Korrektur I und II gleich 0 entlang dieser Geraden ist einmal in 2 3 1 1 1 2 +plus unzufrieden war er einst hier oben haben wir noch ein Stückchen von einer geraden How I und II gleich 2 ist unten ist die Uhren zwar gleich -minus 1 so spielen die beiden Basel Hand in Hand also zu einer gegebenen Basis das Original Vektorraumes kann ich eine duale Basis des dualen Raums schreiben der einfach immer nur diese Komponenten herauspickt was heißt es
rechnerisch wie oben 1 angewendet auf den originalen Basis Nummer 1 das ist die Idee eines Komponente verrät mir dass wir hier von dem G 1 Basis schöne natürlich 1 das ist die 2. Komponente von dem als Basis Vektor natürlich nur in der es keine 2 trennen was ist die dir 2 Komponenten von Tele2 natürlich eines der besten noch einmal in 2 2. und so weiter allgemein kann man das mit mehr Dimensionen macht wird es dann so aussehen ich nehme den Weg zur Nummer K aus der dualen Basis wenn den auf dem Weg zur Nummer 1 EL aus der originalen Basis was werde ich rauskriegen 1 oder 0 1 wenn nicht gar gleich der aber 1 1 2 2 und 0 sonst wenn die nicht übereinstimmen dafür gibt es in kurzen aber der Tag hat er das sich das Chroniker Delta also dieses
Symbol des kleinen griechischen Delta oben K und L ist so definiert dass es 0 ist wenn dieses kam das er verschieden sind und dass es einst ist wenn es dieselben sind natürlich müssen nicht zwangsläufig Kartelle entstehen könnten auch oder alpha und beta daran stehen dasselbe Phänomen das gibt es aber unendlich
viele Bars und ich kann diese Basis nehmen oder ich kann eine ganz andere nehmen zum Beispiel
diese Basis hier mit E 1 Strich und E 2 ,komma aus diesen beiden Vektoren kann ich auch alle Sektoren der Ebene bilden und in der Physik muss egal sein welche Basis ich nehme die Basis ist was handgemachtes was ich benutzt Koordinaten einzuzeichnen was passiert darf nicht von einem Koordinatensystem abhängen das interessiert man sich dafür was passiert wenn man auf eine neue Basis transformiert die Physik was selber bleiben diesen 1. 9 Basis den muss sich mit den alten ausdrücken können beschreibt das jetzt mal allgemein eine in allen Dimensionen muss sein so so viel mal der 1. ursprüngliche Basis Vektor bloß so unzufrieden war der 2. ursprüngliche war weg +plus +plus +plus +plus Unzufriedenheit der letzte ist eine Nummer in ursprünglich über als Vektoren wenn jetzt wissen wir welche Komponenten welche Zahl wir vor dem 1. was Vektor steht kann ich ja wieder mein du allen Basiswert oder zunehmend der sagt mir dass die 1 angewendet auf dem gibt es mir was hier vorne drin steht und die hierzu zu wissen nämlich wie oben 2 angewendet aufstehen und so weiter der steht also zum Schluss etwas wie folgendes ist diese Zahl hier Vektoren Gesellschaft Vektor gibt eine Zahl die Komponente der Anzahl sowie um 1 angewendet auf den 1. Aspekt der neuen Basis mal diesen Sektor E 1 Zahl Marktsektor +plus ist diese Zahl der 2. Vektor der ursprünglichen dualen Basis angewendet auf den 1. Sektor der neuen Basis Zahlen mal den 2. ursprünglichen was Rektor +plus und so weiter Schluss und hier steht dann als letztes den um den angewendet auf ihr einen Strich mal die kennen das schon professioneller Weise mit einem Sonnenzeichen und
formuliert es sowieso allgemeiner wenn ich hier nicht den 1. 9 Basis zerlegen wäre sondern den mit der Nummer L dann kriege ich eine Summe über in denen ich immer wieder durch mit K K gleich 1 bis n K gleich 1 2 Vergleich ich nehme den so und so vielten Vektor aus der dualen Basis wie oben kam wenn die ihn aber auf dem Weg der der hier steht Ihnen was 1 strich jetzt ist die 11 strich strich und Multiplizieren mit dem so und so vielten Vektor der ursprünglichen das SEK das ist das Informationsverhalten die
werden die alten Basis Sektoren zu den neuen Basis Vektoren ich habe er eine Summe und diese Faktoren das nennt sich kovariante Transformationsphase es
variiert mit der Basis Co ich gucke mir an was die Basis macht also deshalb ist dass die Definition von Kovariaten Transformations Verhalten so transformiert sich die Basis die Größen die sich auf dieselbe Art transformieren von einer Basis zu anderen die heißen dann eben Kovarianz weil sie mit der Basis geben die Basis geht so die
normalen Vektoren gehen allerdings gegen die Basis contraria und das gucken wir uns an geben einen Normalenvektor aus dem Vektorraum V den zerlege ich den Basis Vektoren so unzufrieden ARD 1 Plus so so viele Male 2 +plus +plus +plus +plus und so weiter so und so viele Male in n jeweils Direktoren der normalen Basis also kurz gesagt die Summe von Karl gleich 1 bis Ende sonst so viermal K der Karte Vektor der normalen Basis und der schreibt man den es formal aber oben K für die Komponenten also besteht da oben 1 auf zwar auch um den es soll nicht heißen aber Hochkar sondern die Komponente Nummer K in einer anderen Basis sieht der selben Sektor so aus die Basis Sektoren sind die J Strich von der Basis ich zu über J wird auf weit über Kasimir können das ist recht raffiniert der Welt die sich in der von der ARD im Zweifelsfall andere Komponenten schreiben mal A Strich oben J derselbe Rektor aber es ist nicht mehr fünfmal in 1 ProSieben HD 2 sondern weil sich die Basis Vektoren geändert haben brauch ich andere Komponenten und jetzt dass ich
mal den Eltern weg zu der neuen dualen Basis drauf los strich oben der Eltern Vektor der neuen Basis angewendet auf meinem Weg A das ist der Job von diesem dualen Basis Vektor der Diktion heraus wie viel mal ;strichpunkt L in 8 drinnen ist wie viel mal ist die strich unten LNA drinnen ,komma oben L da kommt also jedenfalls Hausanstrich oben alternativ kann ich mir auch angucken wie den zusammengesetzt ist wichtig also ;strichpunkt angewendet auf diese Summe nun hab ich einen Coup
Sektor angewendet auf eine Summe von Zahlen mal Vektoren das sollte dir ja sein die Summe kann ich das Vorziehen diese Zahlen kann ich davor ziehe macht also die Summe gleich 1 bis n a u n k e strich um angewendet auf BKA war das jetzt vergleichen mit der Transformation von eben
Kovariaten Transformations Verhalten steht da ein Weg aus der alten dualen Basis angewendet auf einen neuen Basis Vektor
hier aber ist es genau umgekehrt einen Vektor aus der neuen dualen Basis angewendet auf einen alten Basis Vektor das hier
ist contra Variante des Transformations verhalten wenn man
sagt dass diese Komponenten A u n k contra Varianz transformieren und was
sollte etwas verwirrend ist man nennt aber einen contra Varianten Vektor
eigentlich ist ja nicht wirklich a Contract Varianz sondern seine Komponenten transformieren contraria und wir haben also gelernt dass die eigentlichen Vektoren die aus dem Original Vektorraum contra Variante sind ihre Komponenten wenden sich gegen die Basis es gibt
aber auch Vektoren deren Komponenten sich mit der Basis ändern nämlich die Korrekturen die aus dem dualen Vektorraum nicht so einen Korrektur einmal mit der Original was ich schreibe also so und so viele Male die Vektoren der dualen Basis Ideologen K und diese Komponenten jene ich natürlich jetzt sinnvollerweise B unten kam und ich schreibe denselben Weg zur auch in einer anderen Basis ich strich oben J und dann analog die Komponenten -minus unten J kann ich jetzt versuchen ein Zusammenhang zwischen diesen BKA und den -minus zu finden ich werde mal diesen Chor weckt vor allem auf das älteste Element der neuen Basis neue Basis -minus und dann die Nummer 11 ich nehme es diese Form von D entsteht hier also die die Summe gleich 1 bis 10 strich unten J e strich OBJ angewendet auf die strich und er nämlich ein Element der dualen Basis angewendet auf ein Element der orginal Basis das war unser Koch Nigerdelta wenig obgleich er jetzt kommt ja 1 raus wenn J ungleich ist kommt 0 raus ein Element der dualen Basis nicht gerade immer das eine Element was gehört aus den normalen was ist daraus das heißt von dieser Summe hier bleibt nur ein einziger so Summand übrig nämlich der von J gleich L ist ein Städtchen EL strich mal 1 hier haben wir also die Ehre ,komma ich hätte diese Zerlegung angewendet ich kann aber auch diese Zerlegung anwenden entsteht hier das ist die Summe über gleich 1 bis ist n wie unten K und jetzt Groben kann angewendet auf den Strich um eine und jetzt gucken uns an was da steht weg strich fehlt kann ich also so ausrechnen -minus L kriege ich indem ich die Dekane mit diesen Zahlen multiplizieren dann Aufsummieren der Weg zur der alten Dual Basis außen erweckte der neuen Basis in wir gucken zurück
das ist kovariante es Transformations Verhalten der
Komponenten eines Co Vektors eines Vektors aus dem dualen Vektorraum transformieren also Kovarianz deshalb nennt man dann diese Vektoren auch kovariante Vektoren obwohl es ja eigentlich alle Komponenten sind die Kovarianz sind und
jetzt wir zu den Dienern mit ganz vielen Indizes ,komma unten wie oben das sind die wahren Tensoren diese Zahlen hier aber oben IJU von KLM sind die Komponenten eines Tensors und zwar ist der Controller Variante von der Stufe 2
und der ist Kovarianz von der Stufe 3 insgesamt hatte die Stufe 5 im Englischen heißt Stufe wenn dass das Ganze etwas verwirrend macht weil es auf den Begriff Garant für eine Matrix gibt der aber auch kommt etwas anderes bedeutet so eine Sammlung von Zahlen das unter lauter Komponenten mit Indizes dran so eine Sammlung von Zahlen heißt dann Komponenten eines denn so dass wenn sie richtig transformiert Kovarianz in jedem dieser Indizes und contra Variant in jedem dieser NEC ist das heißt diese
Komponenten müssen in einer anderen Basis dann so aussehen aber ,komma wenn die nach oben P Q und den SC für die ganz vielen Indizes nehmen die original Komponenten I J K L M die sollen jetzt contra Variant e n i j zu sein also muss stehen wie es strich von E für das I bis II mussten hier unten her dass ich Strichmuster IP haben das macht die Variante Transformation in diesem Index was vorher für das Normalenvektor haben und die natürlich auch eine Summe i gleich als bis er vor in diesem Index J soll dasselbe passieren also eh ,komma J -minus Rektor braucht das Q und sowieso überall J auch noch von 1 bis n Kovarianzen KLM heißt aber auch ich jetzt noch ein Faktor Arbeit und damit war das Produkt seiner Arbeit in und die und die 2. ein Produkt E und jetzt das strich innen drin in Bulgarien und halt doch nach wie kovariante Transformationen gegen den ich je gehört dass K ein dieser Index darüber zu mir und das was rauskommt dass er gehört dahin und genauso für S und T beziehungsweise L und M 4 kommt also das Geld hinten und vorne NIE strich es endlich zu mir auch noch über allen hier kommt es in den Händen von E strich T nicht ließen ihre über ihr wenig eine Sammlung Anzahl der Komponenten haben die sich so transformiert von einer Basis zunächst egal auf welcher Basis ich gehe dann ist das ein Tensor beschreiben diese Zahlen eine Zensur sowie vorher die Zahlen ein Vektor beschrieben haben schreiben Sie daher denn so in diesem Falle konnte während 2. Stufe und Kovarianz 3. Stufe Direktoren sind ein Spezialfall konnte aber ihre 1. Stufe Core nur der Stufe und umgekehrt und auf die nackten Zahlen die Skandale sind als Spezialfall Stufe 0 zu 0 habe steht hier gar nichts und die Zahl ist dass er neuen System wie sie im alten System war das ist eine Verallgemeinerung von skalaren Vektoren und obendrein haben wir und ich drüber nachgedacht dass es 2 Arten von Vektoren gibt die kann nun
ausgegebenen Tensoren neue Tensoren bauen oder zum Beispiel aus Vektoren Tensoren bauen ich auf jeden Fall erstmal agieren wenn ich eine Gänsehaut vom K L und M und einen anderen denn so aber oben und dann unten im und oben K zum Beispiel mit gewürfelt kann ich die agieren und Kriege wieder einen Tensor die Summe wird das selbe Transformations verhalten haben ist das natürlich nicht wenn mir zum Beispiel einen Index fehlt das würde nicht funktionieren ich muss gleichartige Sohn habe dann kriege ich damit einen neuen denn so haben zum Beispiel A K L oben und unten immer das ist eine Verallgemeinerung der Tradition Durchgang Tensoren multiplizieren wenn ich einen denn so habe n oben k unten und modifizieren jede von diesen Komponenten mit der Komponente der L um eines anderen Tensors offensichtlich einen könnte aber härter hier kriege ich ein Ding das sich transformiert wie ein Tänzer und den K U L und M ich kann auch einzelne Sektoren wie nehmen zum Beispiel einen Kontrahenten Vektor H mal einen Kovarianzen Vektor dem mal ein Kontra weil den Weg durch Ärzte und Pfleger ein Tensor von der Sorte und K U L und M ich habe extra L und immer vertauscht und klarzumachen dass die Reihenfolge der Indizes noch ein Thema für sich ist das Ziel wäre was man als Tensorprodukt von Vektoren bezeichnete dieses Produkt von Tensoren ist eine Verallgemeinerung davon vor das ist eine Verallgemeinerung des üblichen Produkt bezahlen wenn ich eine einfache Zahl habe aber eine etwas kompliziertere den soll er es unten Kunden oben und noch ein Tensor P und dann kommt ja auch wieder ein Tensor aus der Zeit der 4 Indizes und die können im Zweifelsfall auch andersrum stehen man muss aufpassen wie sie gerade gemeint sind werden so der rauskommt als auch wieder die Indizes SPD und der Q oben haben sagte muss man aufpassen welche Reihenfolge stehen die können zum Beispiel zu stehen und dann gibt es noch die Kontraktion das ist die Verallgemeinerung von dem womit wir gestartet sind zeigen Vektor mal Spaltenvektoren gibt eine Zahl die man den mit
Indizes Runden gegen einen Vektor mit einem Index oben kann ich einen Index rund und einen Index trugen gleichsetzen und darüber sinnieren und wie wir in diesem Fall wird nur noch einen Vektor raus das K ist raus ich kriege noch einen Vektor eine Kovarianzen Vektor diesen Fall oder etwas kompliziert aber ich nehme an den Sohn mit 2 Indizes konnten 2 Indizes oben und einen Tensor mit einem Index hoben 2 Indizes konnten vielleicht diesen Index hier und in den Index für die Kontraktion und auf diesen Index und den am selben denn so eine die Kontraktion zu mir über diese beiden also über P und über Kuchen und die anderen das sich über K M und L kommt an den so aus von der Form des unten oben M oder je nach Definition was man gerade bei und vielleicht auch das eben an der 1. Stelle aber auf jeden Fall ob oder ganz schlicht ich
nehme einen kovariante ebenso mit Komponenten wie und K 1 Kontrahenten sollen mit Komponenten und gar zu mir über das kann und habe eine Zahl aus einen Skandal oder ein Tensor Unterstufe da kommt das Ganze eigentlich eher Fußnote streng genommen ist eigentlich nur das was ich hier dem passiert eine Kontraktion ein und derselbe den Sowjets um 2 Stufen runter gesetzt was ist eigentlich die Kontraktion ich hab hier schon stillschweigend das Tensorprodukt miteingebaut bilde das Tensorprodukt und kontrahiert das Tensorprodukt das ist formal nach weiß man einfach was man machen kann mit den Sensoren man kann sie miteinander multiplizieren wenn die Indizes alle verschieden bleiben unabhängig von einander oder man kann 2 Indizes gleichsetzen einen oben einen und egal wo und über diesen Index dann summieren und weil das so häufig vorkommt dass zu minimieren über gleich Indizes oben und unten gibt es die Einsteinsche sondern Konventionen dass
man sagt wir schreiben diese Summen gar nicht hin das nervt ja nur wenn ein Index unten steht und derselbe Index steht oben dann heißt das gefälligst darüber wird summiert und im Ergebnis stieg der Index dann daraus noch eine Konvention in die Indizes griechische Buchstaben sind Alphabet der Kamera Land Nil auch gerne dann heißt das stillschweigend dass die von 0 bis 3 laufen 0 für die Zeitkomponente 1 für die x 2 für die und 3 für die Zeitkomponente
ein Beispiel der Drehimpuls denn so war es bei der klassischen Drehimpuls der es gerne
Großeltern und ist Ortsvektor er am Kreuz Impuls Vektor p also in Komponenten geschrieben XYZ Kreuz X Komponente Impuls Y und Z Komponente von Impuls macht also y -minus ist der Markt y und in der 1. Komponente C 2 px -minus x mal und in der Zeitkomponente x-mal PY ISY halbwegs dieses muss in 4 Dimensionen auch hier irgendwie gehen der Ärger ist dass man die 4 Dimensionen keine Vektorprodukt mehr hat was wir brauchen ist sowas antisymmetrisch es wenn ich die die Komponenten Austausch im Original dann muss hier das negative rauskommen y z z y mit einem Minuszeichen dazwischen man
probiert folgendes ich nehme X Mühen P mir -minus das umgekehrt x 2 Minuten Mühe Cleo bemühen wir stets das Tensorprodukt zweier Variante Rektoren die steht auch das Tensorprodukt 2 Kontrahenten Lektoren die beiden darf voneinander abziehen gibt schon wieder einen Tensor denn solche in denen man allen oben Menü der Drehimpuls denn so ein Tensor 2. Stufe contra und zu wichtigen geschrieben habe und es obendrein antisymmetrisch wenn ich diese Indizes vertauschen Millionen wie in der ich das Vorzeichen ist also gleich -minus l ne Mail Mylord von 0
bis 3 in läuft von 0 bis 3 ich hab 4 mal 4 16 Zahlen 16 Komponenten sind das ja das könnte man als Matrix mal mit 4 mal 4 Einträgen die schreibt das mal so auf dass in diese Richtung der Index Mühen läuft 0 1 2 3 und das in diese Richtung der Index Mühen läuft 0 1 2 3 und die beiden gleich sind wir gleich 0 gleich 0 zum Beispiel X um 0 4 Uhr 0 -minus x Umgruppierungen und kommt nur raus wenn womöglich auch nur aus da da kommt nur aus lauter Nullen auf der Diagonale das muss automatisch zu sein Finanzen metrischen Tensor bemüht gleich 1 ist und mir gleich 2 ist hab ich hier x oben 1 das DX Komponente nicht ob nicht selbst ich Zeit DX Komponente und hier habe ich die 2. y Komponente und hier umgekehrt hier steht also x p y -minus y x will sagen die Zeitkomponente vom Drehimpuls genauso kann man sich klar machen dass hier die X Komponente vom Drehimpuls stehen wird und hier wird -minus Tipps und Komponente von Drehimpuls stehen unterhalb der Diagonale steht das selbe wie oberhalb nur mit einem Minuszeichen nicht die beiden Indizes vertauschen konnte das negative raus ein antisemitischer Tendenzen und hier oben in der Zeile Nummer 0 4 links in der Spalte Nummer 0 gibt noch was neues auffällig jetzt gar nicht eingehen mir ging es nur darum hier vorzuführen wie man nun aus einfachen Vektoren denn so bauen kann jetzt wenn wir zurück zur
kleinen vom Anfang was hat das zu bedeuten zuallererst das können hier einen Experten und unten ein Indexwert oben hier gilt die Summation Konventionen und zwar von 0 bis 3 griechische Indizes laufend von 0 bis 3 ihr steht vor Wetter der ganz normale Ortsvektor genauer gesagt die Komponenten des Fire Ortsvektors die sind automatisch dann auch contra waren und das ist ein normaler vektor hier haben wir den Feldstärke Tensor und der ist so wie er hier steht Kovarianz 2. Stufe das wo die Ladung ist ein ganz schlichter Scalar keine reine Zahl und hier steht vorne als Ergebnis die Ableitung von 4 Impuls allerdings tätig als Kovariaten Rektor das ist ein Thema für sich das kommt demnächst wie mache ich aus dem Kontrahenten einen Kovarianzen Vektoren ist so eine Form einer Gleichung hier den nennt man Manifest Kovarianz Manifest
für handgreiflich gemacht wie kann ich mit Händen greifen dass meine größten sich kovariante transformieren oder contra Variante an der Stelle ist ein bisschen und sinnlichen Ausdruck also hier gibt es auch andere Varianten Größen drin aber trotzdem wenn man sie gleich Manifest Kovarianz alle physikalischen Gesetze wo sich in so einer Art Manifest Kovarianzen vorschreiben können sonst hab ich irgendwas falsch gemacht das wäre so als ob ich zum Beispiel sage irgendeinen Vektor =ist gleich 42 das kann nicht funktionieren es müssen also die Einheiten Stimmen von den ist der gar nicht die Rede und es muss das Transformationsraten Stimmen und selbst dann ist noch nicht gesichert ob die Gleichung auch sinnvoll ist aber mindestens das Transformations Verhalten und die Eigenheiten müssen schon mal stimmt was nicht erlaubt wäre wäre wir hier ein Fahrradständer und Vertreter ins Quadrat das für sich nicht richtig transformieren oder wenn der der Sinus-Studie von Alpha-Beta das würde auch nicht richtig transformieren oder wenn ich 2 Paar Schuhe agierende sowas stünden wie er unten Alpha-Beta plus X Beta X Transfer mit auf seine Weise 11 Alphabet auf seine Weise zusammen mit das Murks oder wenn dieser Index Peter dreimal vorkäme oder wenn das alle von hier oben stünde und auf der linken Seite und unbestimmten und so weiter und so weiter alle das wäre nicht Manifest Kovar sichert man solche Ausdrücke drin hat und seinen Gesetzmäßigkeiten weiß man irgendwas ist schiefgelaufen
Einfach zusammenhängender Raum
Tensor
Allgemeine Relativitätstheorie
Spezielle Relativitätstheorie
Diagramm
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Varianz
Impuls
Vektorrechnung
Physik
Diagramm
Sorte <Logik>
Geometrie
Computeranimation
Multiplikation
Kovarianzfunktion
Skalarprodukt
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Diagramm
Vektorraum
Zahlenwert
Vektor
Zahl
Geometrie
Addition
Algebraisch abgeschlossener Körper
Multiplikation
Mathematik
Vektorrechnung
Reelle Zahl
Gruppoid
Diagramm
Vektorraum
Normalvektor
Biprodukt
Vektor
Gesetz <Physik>
Wellenzahl
Lineare Abbildung
Vektorrechnung
Menge
Diagramm
Extrempunkt
Zahl
Lineare Abbildung
Addition
Summe
Strecke
Homogenes Polynom
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Höhe
Diagramm
Vektorraum
Geneigte Ebene
Gesetz <Physik>
Gerade
Zahl
Linie
Vektorrechnung
Diagramm
Vektorraum
Normalvektor
Vektor
Zahl
Ebene
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Menge
Vektorrechnung
Relativitätstheorie
Diagramm
Element <Mathematik>
Vektorraum
Lineare Abbildung
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorrechnung
Reelle Zahl
Dualraum
Diagramm
Vektorraum
Vektor
Zahl
Gerade
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorrechnung
Physik
Diagramm
Vektor
Koordinaten
Zahl
Computeranimation
Summe
Faktorisierung
Multiplikation
Vektorrechnung
Diagramm
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Mathematische Größe
Summe
Kovarianzfunktion
Vektorrechnung
Diagramm
Koordinatentransformation
Vektorraum
Normalvektor
Vektor
Summe
Vektorrechnung
Diagramm
Dualitätstheorie
Vektor
Zahl
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Diagramm
Koordinatentransformation
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Zusammenhang <Mathematik>
Summand
Vektorrechnung
Diagramm
Dualitätstheorie
Zerlegung <Mathematik>
Vektorraum
Ausgleichsrechnung
Vektor
Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Kovarianzfunktion
Tensor
Vektorrechnung
Diagramm
Koordinatentransformation
Vektorraum
Zahl
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Summe
Faktorisierung
Kovarianzfunktion
Matrizenmultiplikation
Tensor
Vektorrechnung
Verallgemeinerung
Diagramm
Normalvektor
Vektor
Zahl
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Kovarianzfunktion
Euler-Winkel
Vektorrechnung
Diagramm
Vektor
Zahl
Tensorprodukt
Summe
Index
Tensor
Verallgemeinerung
Rundung
Koordinatentransformation
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Gewichtete Summe
Tensor
Diagramm
Zahl
Tensorprodukt
Einfach zusammenhängender Raum
Impuls
Diagramm
Drehimpuls
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Linienelement
Diagramm
Drehimpuls
Zahl
Tensorprodukt
Null
Richtung
Tensor
Vorzeichen <Mathematik>
Diagonale <Geometrie>
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Impuls
Kovarianzfunktion
Vektorrechnung
Diagramm
Gleichung
Vektor
Gesetz <Physik>
Zahl
Maßeinheit
Ausdruck <Logik>
Index
Quadrat
Tensor
Eigenwert
Koordinatentransformation
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Kovarianz, Kontravarianz, Tensoren
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 09
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/19916
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

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