Es gibt noch einen ganz anderen Zugang zum Kürmungstensor, nämlich über das Vertauschen von Ableitungen. Ich weiß, dass partielle Ableitungen vertauschen. Wenn ich ein Vektorfeld Vα nehme und ich leite das erst nach xµ ab und danach leite ich das nach xλ ab,

kommt, wenn dieses Vektorfeld glatt genug ist, dasselbe heraus, als wenn ich erst nach xλ ableite und dann nach xµ ableite. Partielle Ableitungen vertauschen. Die Frage ist, was ist mit Covarianten Ableitungen? Bevor wir dahin kommen, noch eine Kurzschreibweise

zur Wiederholung. Was hier auf der linken Seite steht, ist ja Vα abgeleitet nach µ, Komma µ und dann noch nach lambda. So rum. Und auf der rechten Seite steht Vα abgeleitet nach lambda und dann nach µ. Und jetzt gucken wir uns dasselbe für Covarianten Ableitungen an, wo dann hier einfach statt des Kommas ein Semikolon steht.

Aber die Covarianten Ableitungen werden im Allgemeinen eben nicht mehr vertauschen. Mich interessiert also Vα Covariant abgeleitet nach xµ und dann nach xλ minus umgekehrt erst nach xλ abgeleitet, dann nach xµ abgeleitet.

Was wird das werden? Das kann man versuchen aufzumalen. Ich bin in einer Karte. In dieser Karte gucke ich mir einen Rechteck an. Ich gehe ein Stückchen in Richtung eµ. K mal eµ. Ich gehe ein Stückchen in Richtung eλ.

H mal eλ und ergänze das zu einem Rechteck. V ist ein Vektorfeld. Das gucke ich mir erstmal hier an dem unteren Punkt an. So soll der Vektor V an diesem Punkt aussehen. Jetzt transportiere ich den mal in die eine und in die andere Richtung parallel.

Einmal so herum. Kommen wir vielleicht hier an und jetzt rauf. Kommen wir vielleicht hier an und andersherum. Einmal hier rauf, dann etwa vielleicht da und einmal rum, dann sind wir vielleicht da. Diese Differenz hier, die kennen wir schon vom Krümmungstensor.

Dieser rote Vektor hier wird bis auf thermo-hörer Ordnung werden. H mal k mal den Krümmungstensor. Ich schrei mal den oberen Index hier nicht hin. Da habe ich ja auch den Index nicht dran geschrieben. Beta lambda µ V Beta.

Eigentlich wollte ich ja mal auf das Vertauschen der covarianten Ableitungen hinaus. Ich baue covariante Ableitungen ein. Dieses Vektorfeld lebt ja nicht nur an dem Punkt da unten. Es lebt auch hier oben. Und es lebt auch hier. An jedem Punkt habe ich einen Wert für das Vektorfeld.

Und auch hier. Und nun gucke ich mir den Unterschied an. Das echte Vektorfeld minus die parallel transportierte Version. Hier zum Beispiel der blaue minus den violetten Vektor. Diese Differenz, die hat was mit der covarianten Ableitung zu tun. Das ist h mal

die covariante Ableitung meines Vektorfelds in die Richtung lambda und hier oben noch der Index von dem Vektorfeld. So war die covariante Ableitung gebaut. Das Vektorfeld minus den parallel transportierten Vektor in eine bestimmte Richtung.

Entsprechend habe ich hier unten k mal mein Vektorfeld covariant abgeleitet in die Richtung µ und hier noch der Index vom Vektorfeld. Das Vektorfeld an dieser Stelle minus die parallel transportierte Kopie hier von dem Vektor an der ursprünglichen Stelle. Und jetzt transportiere ich weiter. Das Vektorfeld hier an dieser Stelle transportiere ich weiter

bis dahin. Damit transportiere ich im Endeffekt auch diesen orangenen Vektor weiter. Und das Vektorfeld an dieser Stelle transportiere ich weiter. Und habe dann hier eine parallel transportierte Kopie von dem.

Ich kann aber auch hier oben an diesem Punkt dieses Vektorfeld ausrechnen und das wird dieser Vektor werden. Das ist k mal v covariant abgeleitet in die Richtung µ mit dem Index des Vektorfelds dann noch dabei.

Hier bilde ich ja die Differenz von dem Vektor an dieser Stelle minus die parallel transportierte Version von dem Vektor hier. Den ziehe ich herüber bis dahin. Das muss diese Ableitung sein. Entsprechend kriege ich dieses Stückchen hier. Das ist h mal mein Vektorfeld

covariant abgeleitet in die Richtung lambda an dieser Stelle ausgerechnet. Hier oben ausgerechnet. Hier rechne ich ja das Vektorfeld an der Stelle da oben minus die parallel transportierte Version von dem Vektorfeld da unten. Den transportiere ich rauf und ziehe ihn ab. Gibt den orangen Vektor. Und hier kann ich jetzt eine Vektorgleichung ablesen.

Der rote Vektor h mal k mal, jetzt schreibe ich auch wirklich mal Index hin, r oben alpha, unten beta lambda µ mal v beta ist also diese Vektor hier oben minus den da unten. Aber das ist jetzt schon wieder eine covariante Ableitung. Dieser da oben minus den da unten.

Ich habe ein Vektorfeld an dieser Stelle da oben minus die parallel verschobene Version von dieser Stelle da unten. Der minus den ist k mal v alpha war ja nun mein Index covariant abgeleitet in die Richtung µ.

Das ist das Vektorfeld als solches, aber jetzt der oben minus den. Ich leite noch mal covariant ab in die Richtung lambda und kriege noch das h dazu. Das wird diese Differenz sein. Und es kommt noch dazu der linke minus der rechte orange Vektor, wenn ich den roten Vektor bilden will.

Der linke minus den rechten. Einfacher ist der rechte minus den linken. Das ist nämlich schon wieder eine covariante Ableitung. Dann muss ich aber abziehen. Ich habe also h mal v alpha covariant in die Richtung lambda abgeleitet. Das ist das Vektorfeld hier an dieser Stelle. Minus parallel transport von da.

Also kriege ich noch einen Faktor k und die covariante Ableitung in Richtung µ. Plustherme höherer Ordnung. Aber wenn man jetzt einfach sich anguckt, was in dieser Ordnung h mal k passiert, das kann ich rausstreichen und ich stelle fest, wenn ich die

covarianten Ableitungen vertausche, erst µ dann lambda, erst lambda dann µ. Wenn ich die vertausche, kriege ich eine Differenz. Es ist nicht dasselbe und die Differenz hat mit dem Krümmungstensor zu tun. Man kann sich auch merken, die erste Richtung, in die ich hier ableite, erst nach µ, danach lambda. Das ist auch hier die erste Richtung für den Krümmungstensor. Ich gehe erst in Richtung µ und dann in Richtung lambda.

Ganz nebenbei sieht man auch noch mal aus dieser Gleichung sehr schön, dass der Krümmungstensor wirklich ein Tensor ist. Das ist definitiv ein Tensor. Das ist ein Tensor. Die Differenz ist ein Tensor. Links muss auch ein Tensor stehen.

Das war jetzt, was passiert, wenn ich die covarianten Ableitungen für Kontravariante Vektorfelder vertausche. Man kann sich das auch noch für Covariante Vektorfelder angucken. Trick 17 ist, ich gucke mir so einen Ausdruck an. Ein Vektorfeld Z unten alpha Covariant, ein Vektorfeld V oben alpha

Kontravariant und das kontrahiert und das leite ich Covariant ab. Einmal in Richtung µ, einmal in die Richtung lambda. Hier innen steht ein Skalar. Das heißt, wenn ich das hier mit vertauschten Rollen mache, lambda gegen µ vertauschen, dann kommt ein Null dabei raus. Und jetzt nehme ich einfach diese Ausdrücke auseinander und weiß,

was mit dem Covarianten Vektorfeld passieren wird. Ich bilde erst mal die Covariante Ableitung in Richtung µ hier vorne. Produktregel. Ich habe also Z unten alpha Covariant in Richtung µ abgeleitet, V oben alpha plus Z unten alpha V oben alpha Covariant in Richtung µ abgeleitet und dann zum Schluss Covariant in Richtung lambda abgeleitet.

Das jetzt noch mal auseinander genommen. Zwei mal die Produktregel. Z unten alpha in Richtung µ und dann in Richtung lambda Covariant abgeleitet, V alpha. Den ersten abgeleitet, jetzt den zweiten ableiten. Also Z unten alpha in Richtung µ ableiten und V oben alpha

in Richtung lambda ableiten. Das ist der erste Teil gewesen. Zweiter Teil. Ich leite den in Richtung lambda ab plus Z unten alpha Covariant in Richtung lambda V oben alpha Covariant in Richtung µ.

Den abgeleitet und jetzt noch hinten ableiten. Also plus Z unten alpha V oben alpha erst in Richtung µ und dann in Richtung lambda Covariant abgeleitet. Wenn ich das jetzt abziehe mit den vertauschten Rollen, fliegt einiges raus. Hier steht µ vorne, lambda hinten. Da steht lambda vorne, µ hinten. Wenn ich das mit vertauschten Rollen abziehe, fliegt der raus und der raus.

Die beiden bleiben. Minus mit vertauschten Rollen. Das gibt also, 0 ist gleich. Z unten alpha abgeleitet in Richtung µ und dann in Richtung lambda. Minus mit vertauschten Rollen von dem Term da hinten, also

lambda µ. Beides mal V oben alpha. Plus, hier kann ich Z unten alpha ausklammern, V erst in Richtung µ, dann in Richtung lambda. Minus mit umgekehrten Rollen, V erst in Richtung lambda und dann in Richtung µ ableiten.

Das hier hinten ist, was passiert, wenn ich die Covarianten ableitungen für ein Vantavariantes Vektorfeld vertausche. Das kennen wir schon, das haben wir gerade bestimmt. Das ist also R oben alpha beta lambda µ V beta. Und damit ich das mit dem da vorne verrühren kann, werde ich die Indizes noch schöner. Da ist V alpha, da ist V beta.

Das gefällt mir nicht. Ich mache aus dem beta ein alpha. Da habe ich noch ein alpha. Daraus muss ich ein beta machen. So ist das hübscher. Jetzt sehe ich nämlich V alpha. Ist hier hinten dran multipliziert. Da ist V alpha dran multipliziert. Das heißt, was hier steht, muss, damit das ganze Null wird sein,

Z unten beta, R oben beta, unten alpha lambda µ mit einem Minuszeichen. Das Minuszeichen ist ein bisschen nervig. Wenn ich lambda und µ vertausche, dann ändert sich ja das Vorzeichen. Also das ist auch Z unten beta mal R oben beta alpha µ lambda ohne das Minuszeichen.

Damit habe ich eine Vertauschungsregel für doppelte kovariante Ableitungen von kovarianten Vektorfeldern. Die erste Richtung, nach der ich ableite, ist also die zweite Richtung, in die ich parallel transportiere.

Jetzt kann man Kovariant nicht in Richtung der Koordinaten ableiten, sondern auch allgemein in Richtung von Vektorfeldern. Dann kommt noch ein weiterer Derm dazu. Sagen wir, ich starte von einem Punkt x, gehe ein Stückchen in Richtung eines Vektorfelds. Das Vektorfeld soll heißen w und ich gehe das K-Fache von diesem Vektorfeld an der Stelle x und ich habe ein anderes Vektorfeld, u,

und ich gehe hier ein Stückchen in die Richtung von dem Vektorfeld an der Stelle x ausgerechnet, h mal u von x. Bisher hatten wir immer den Fall, dass sich das dann schließt zu einem Parallelogramm,

zumindest in der Karte zu einem Parallelogramm schließt, wenn ich jetzt hier aber allgemeine Vektorfelder nehme, wird das nicht mehr funktionieren. Wenn ich hier oben jetzt weiter arbeite, an dieser Stelle das Vektorfeld w ausrechne, gehe ich hier also k mal w, aber nun von x plus h mal u von x.

Das ist im Zweifelsfall nicht derselbe Vektor wie der da unten. Wenn ich hier jetzt in Richtung des Vektorfelds u gehe, ist das im Zweifelsfall nicht derselbe Vektor wie hier, sondern hier habe ich h mal u von x plus k mal w von x. Hier oben entsteht also eine Lücke, typischerweise.

Aber ich kann abschätzen, wie groß diese Lücke wird. Wie weicht dieser Vektor von dem Vektor ab? Das ist der pinkfarbene Vektor hier, das kriege ich mit der partiellen Ableitung. Ich bilde die partielle Ableitung von u in die Richtung w, damit kriege ich diesen pinkfarbenen Vektor raus. Das Vektorfeld u nehmen und die partielle Ableitung in Richtung w bilden.

So sieht das aus, wenn ich das mit Hilfe der Komponenten ausbuchstabiere. Und dann habe ich noch ein Faktor h vor dem u stehen und ich kriege einen Faktor k von der Ableitung. Das ist die Differenz zwischen

diesem echten Vektor und der Kante des Parallelogramms. Entsprechend geht das hier oben. Hier muss ich w ableiten in Richtung u. w ableiten in die Richtung u und ich kriege wieder meine Faktoren h und k dazu. Den Faktor k, weil der mit w steht, den Faktor h von der Ableitung, weil ich h mal u

weiter gegangen bin. Ich kann jetzt also sagen, wie groß diese Lücke hier ist. Die Differenz dieser beiden Ausdrücke muss das sein. Und diese Differenz ist von der Ordnung h mal k, genau wie das, was wir beim Krymungstensor hatten. Also eine Ordnung, die ich berücksichtigen muss und nicht unter den höheren Ordnungen verstecken kann.

Wenn ich nun einen Vektor v einmal so parallel transportiere und dann da oben hin und einmal so parallel transportiere, dann hier hin, jetzt zeige ich dir aus dem Bild raus, egal, kann ich nicht diese beiden Vektoren da oben direkt vergleichen. Ich muss noch weiter transportieren, den hier zum Beispiel so

transportieren und dann diesen vergleichen, den grünen und den blauen vergleichen. Das heißt, ich kriege nicht nur einfach den üblichen Ausdruck mit dem Krymungstensor, ich kriege auch noch einen Ausdruck für diesen Transport hier, diesen grünen Transport. Wenn ich also folgendes mache, ich nehme meinen Vektorfeld, leite es in Richtung w ab. So wäre das in

und das Ergebnis leite ich in Richtung u ab. So sieht das aus. Minus umgekehrt, ich nehme mein Vektorfeld und leite es erst in Richtung u ab

und dann in Richtung w. Dann muss ich also kriegen, das was wir kennen mit dem Krymungstensor, r oben Alpha, unten Beta Lambda Mu, Beta verziert mit unserem V, das Lambda geht mit dem Feld, das als zweites dran ist, also u und das Mu geht mit dem Feld, das als erstes dran ist,

aber ich muss diese Lücke hier noch beachten. Ich muss mein Vektorfeld einen Schritt weiter transportieren, parallel transportieren, also mit der Kovariantenableitung. Ich kriege plus und jetzt etwas mit der Kovariantenableitung in die Richtung des Orangenfalls, also u oben Gamma, w abgeleitet in Richtung Gamma,

u oben Gamma, w abgeleitet in Richtung Gamma. Dieser Index hier ist der, der übrig bleibt, der muss mit dem Beta gehen. Minus umgekehrt, w ohne Ableitung, u mit Ableitung. Ich laufe entgegen dem Pinkfarben und fahre.

Wenn ich also Kovariantenableitung in Richtung von Vektorfeldern vertausche, kriege ich nicht nur den Krümungstens, sondern ich kriege hier auch noch einen Ausdruck, der sagt, wie gut die Vektorfelder vertauschen, ob hier eine Lücke bleibt, in welche Richtung eine Lücke bleibt. Das ganze schreibt man gerne koordinatenfrei. Mein Vektorfeld V leite ich

Kovariant ab in Richtung W. Schreibt man dann so. Und das Ergebnis leite ich Kovariant ab in Richtung u. Minus mit vertauschten Rollen. Ich nehme V, leite Kovariant ab in Richtung u und leite das Kovariant ab in Richtung W. Und was ich dann rauskriege ist der Krümungstensor, den schreibt man gerne so.

Erst in Richtung W, dann in Richtung U. Angewendet auf das Vektorfeld V. Plus und dieses hier, wie gut das Vektorfeld u und w vertauschen miteinander, wie gut oder schlecht sich dieses Parallelogramm oder nicht Parallelogramm schließt.

Das nennt sich die Lie-Klammer. Das ist die Lie-Klammer von u und w angewendet auf das Vektorfeld V. Die Lie-Klammer sagt, was passiert, wenn ich erst in Richtung vom Vektorfeld W gehe, dann in Richtung vom Vektorfeld u, minus umgekehrt. Ob diese beiden Vektorfelder sozusagen vertauschen.

Die Richtung der ersten Kovariantenableitung, die ich mache, ist also auch die erste Richtung hier im Krümungstensor und ist auch die erste Richtung in der Lie-Klammer. Erst in Richtung W, dann in Richtung u, minus umgekehrt.