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kovariante Ableitung, Dichten, Divergenz

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jetzt wissen wir was Rektoren und Sensoren auf Mannigfaltigkeiten sind dann können
wir uns den Ableitungen wird man die gute Nachricht wenn ein keine es Feld habe also eine Funktion die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen Wert gibt dann kann ich die partiellen Ableitungen bilden nach den Koordinaten in einer Karte und ich habe die Komponenten eines Kovariaten Vektorfeldes
das sich immer schnell nach was passiert in anderen Koordinaten mit dieser Ableitung ich halte nach dem anderen Koordinaten halbwegs strichen wie die Funktion eines kann bleibt die ursprüngliche Funktion des kommt die mehrdimensionale Kettensäge ich halt erst mal nach x ab und x nach x strich aber was ich jetzt hier als Faktor stehen aber ist der Nöte Basiseffekt wurde ursprünglich Nico Basis angewendet auf den Mythen Vektor der neuen Basis die Ableitung ist das was ein Vektor und geht da oben ist so was wie ein Korrekturen das ist genau der Faktor den ich Franco Variante des Transformations Verhalten brauche so weit so gut jetzt Probleme das mit einem Vektorfeld 11. Juni sollen die Komponenten eines contra werden
Vektorfeld sein dann würden wir doch hoffen dass die Ableitung nach der Mythen Koordinate von 11 ein Jahr ein Tensor ist mit einem Index oben einen Index und leider nicht das ist keine Zensur fällt das rechne man genauso schnell nach wenn ich dieses jetzt in einem anderen Koordinatensystem ausrechnen das Vektorfeld indem man ein Koordinatensystem ableiten nach den Koordinaten in diesem einen Koordinatensystem gibt es jetzt ja wieder mehrdimensionale Kettenregel ich leite ab 8 X von dem was da oben steht und mache weiter mit der Ableitung von x nach x strich versteht hier oben das muss ich jetzt transformieren das ist das Vektorfeld im ungestrichen System mit der richtigen Transformations Matrix verziert offensichtlich muss alpha und stehen und nie oben stehen das ist ein Contra Variante Rektor hier zu transformieren also genau umgekehrt E-Strich von je ich leite also nach den ungestrichen ab und oben gestrichen Koordinaten dass wir von
dem wir mit der Produktregel auseinander und den 1. ableiten und als die 2. Ableitung von x strichen die nach x alpha und dann nach x stammender Mann der Fall fahren meinte der in den Fluss den entstehen lassen den ableiten X strich genügend ableiten nach x alpha und jetzt 11 Alfa ableiten bald in den Händen der 2. Summand hier gefällt mir das ist die Ableitung ursprünglichen System verziert mit dem richtigen Matrizen für diese Transformation von dem einen System mit anderen der 1. Summand ist aber nervig der passt nicht ins Bild wenn dieses Ergebnis die Komponenten eines Tensors werden dürfe ich dann nicht den 1. sondern den habe ich dürfte nur diesen Ausdruck haben das
Problem ist dass wenn wir Sektoren ableiten reichlich Lektor in verschiedenen tangential räumen miteinander vergleichen das ist keine gute Idee wie hängen diese Tendenz zusammen das muss ich mir erst mal überlegen kann braucht einen
Zusammenhang und so als das lustigerweise auch in der Mathematik man braucht einen Zusammenhang zwischen den verschiedenen ja woran man so
ein Zusammenhang hat kann man tatsächlich dann die Vektoren an verschiedenen Punkten auf der Mannigfaltigkeit vergleichen und richtig kovariante Ableitung die liefert in der Tat an ein Tensor fällt
Performance kovariante Ableitung kommt muss man sich erst überlegen in welche Richtung weinen ableitet haben wir keine geraden Linien mehr entlang derer wir ableiten können wir haben Geodäten wichtige
und die Zeitartikel Geodäte da konnte man nur physikalische Argumente finden was den Test Partikel veranstalten sollen mit zeitartige Geodäte gab es eine Differenzialgleichung 2. Ordnung wenn ich meine Koordinaten zweimal nach der Eigenzeit ableiten und dazu ihre Christophe mal die Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeit zu ihrer Vektoren dann bekomme ich 0 raus und obendrein wissen wir dass dabei dieses Produkt der Fire Geschwindigkeitsvektor und mit sich selbst im Sinne von Minkowski vielleicht C-Quadrat ist die ganze Zeit dieses traut ist dann überall die Eigenzeit wenn ich dieses verallgemeinernde und das ist nicht nur zeitartige Geodäten gibt muss sich als allererstes auf die Eigenzeit verzichten für das Foton das Weltall fliegt vergeht zum Beispiel keine Eigenzeit kann kann schlecht nach der Eigenzeit parametrisieren also ich hier habe ich einen anderen Parameter nämlich mein Essen in der Serengeti natürlich nicht mehr zwangsweise C-Quadrat herauskommen jetzt gucken muss an dass diese Gleichung 4 den allgemeinen bedeutet wenn ich mich nicht mehr auf
zeitartige Geodäten beschränke ich zeig dir erst
mal dass dieser Ausdruck hier das Skalarprodukt dessen "anführungszeichen Geschwindigkeit des Sektors mit sich selbst dann zwar vielleicht nicht der Lichtgeschwindigkeit ins Quadrat ist aber konstant bleibt dessen Ableitung ist also hoffentlich gleich 0 und gucken uns das an die Ableitung von diesen Ausdruck ein Produkt
dreier Faktoren ableiten dass die Produktregel den 1. Arbeiten macht die 2. Ableitung es vom nächsten die anderen beiden stehen gehen die nächsten ableiten bloß den mittleren ableiten den 1. dass stehen hier gehe ich über Experten die Mühen der Experte ableiten und die Ableitung von x später nach dem Parameter mal im letzten Jahr gibt nämlich nach dem Parameter ableiten Schluss den letzten Faktor ableiten die beiden 1. stehen lassen macht hier die 2. Ableitung bei den Ärzten Dingen ein bisschen um das nachher besser zusammenfassen zu können und wenn die nicht im German Game müde ich alpha alpha Lügen Gammakamera bemühen nicht Nicht-Gamer Kamera und sich ein was ich in die 2. Ableitung war es nicht aber man Differenzialgleichung für die Tierwelt die diese 2. Ableitung ist -minus Christoffel Mühe und 2 neue Indizes Alpha-Beta und die 1. Ableitungen analog hier bei dieser 2. Ableitung das ist -minus Christoffel genüge um 2 neue Indizes Alphabet der die Ableitung von x alpha mal die Ableitung von x Wetter macht es und jetzt kann ich
zusammenfassend nix alle Fahrten nach Experten nach SX kamen nach es alpha beta gamma alpha beta gamma die kann ich alle ausklammern übrig
bleibt -minus Christophe Symbol oben viel Alphabet mal geh und Kamera diese metrische Tensor bringt aber nur dass wir nach unten und macht es zum gemacht das ist also -minus Christophe (klammer auf und Alphabet haben hier kommt die Ableitung von die alpha gamma Wetter und hier wieder -minus Christoffel das G und den Gemeinden bringt das Sony nach unten das wird Christoffel Gamer Alpha-Beta ich hab also
zweimal das selbe Christophersen Symbol abzuziehen und jetzt kann ich ihr diese Klammer ausbuchstabieren -minus 2 dass Christophersen von minus 2 dass Christophersen wurde mit den Indizes und eineinhalb mal kritischer Tensor das können wir uns die ,komma los in der Mitte dieses Gamer ,komma dahinter -minus hinten das Gamma abgeleitet danach Plus-Linie Mittel für den Saal Abbitte abgeleitet einem Museum noch schreiben Alphabet erheblich Alfa durchkamen setzt also BR-alpha ableiten alpha Bitterfeld ja zur Ableitung gesteht Alphabet -minus einmal die alpha gamma nach bitte ableiten plus einmal die EU-Vorgaben nach Bedarf leiten die beiden geben sich weg und hier sieht man nicht hier Gamer gegen einfach austauschen kriege ich den da hinten das ist Ausdruck in der blauen Klammer ändert aber sein Vorzeichen wenn ich hier alle vergeben Wärmeaustauscher bleibt dass das selbe symmetrisch mal antisymmetrisch geben sich weg ist kommt er oft nur aus insgesamt
ich lerne also dass dieses Produkt konstant ist wenn diese Differenzialgleichung gefüllt ist ausgehend von dieser
Differenzialgleichung sage ich jetzt was eine Licht Arten hätte sein es sollte sie
Differenzialgleichung gelten und obendrein möchte ich dass dieses Produkt des "anführungszeichen Geschwindigkeitsvektor ist mit sich selbst am Anfang gleich 0 ist dann weiß ich nämlich ist es immer gleich 0 das haben wir gerade gesehen das heißt diese Geschwindigkeitsvektor ist immer Licht artig wenn ich den nur in einer nicht artigen Richtung Staaten so eine Geodäte beschreibt offensichtlich die Planung eines Photons verstehst Artikel im frei fallenden Bezugssystemen sieht man hier Lichtgeschwindigkeit das sagt diese Gleichung man kann das auch als Grenzfall auffassen und Festplatte können die immer schneller werden bis sie zum Schluss ganz ganz dicht an der Lichtgeschwindigkeit sind wenn es
Zeit und Licht artige reagiert werden geht dann natürlich auch traumartige Geodäten dafür muss diese
Differenzialgleichung gelten und ich starte mit einem in "anführungszeichen Geschwindigkeitsvektor essen "anführungszeichen Quadrat einer Zahl kleiner als 0 ist und dann weiß ich jetzt dieses Quadrat bleibt immer gleich dieser Zahl die kleiner ist als nur für die hornartigen
Geodäten gibt es keine wirklich überzeugende Anschauung man könnte versuchen sich
die Raum Aktivität als gespannten Faden vorzustellen was mach ich dann aber mit der Vergangenheit dieses Verhaltens und mit der Zukunft dieses fahren und vor allen Dingen was ist hier mit der Gleichzeitigkeit sind alle Punkte hier gleichzeitig bestimmt ist wahrscheinlich nicht wie kann ich in der gekrümmten Raumzeit Ungleichzeitigkeit reden ein anderer Weg ist über die eigene Wege zu gehen dass man sagt ich hier mit dem Parameterwert a an und hellhörig mit dem Parameterwert B auf kann ich eine eigene berechnen wie ich vor einer Eigenzeit berechnet habe also ein
analoger Ausdruck zu eigen zeigt jetzt mit einem Minus unter der Wurzel wollte dieses Skalarprodukt ja negativ wird dann kann ich immerhin sagen dass dieser einigen längeren stationären gegenüber Störungen ist für eine traumartige Geodäte siehst nicht minimal und sie ist nicht maximal das ist schon etwas traurig aber immerhin ist die stationären gegenüber Störungen das heißt so was wie ein .punkt 1. Ordnung bis sie den konstant gegenüber Störungen
ähnlich wie zum Beispiel normale in Groß-Gerau ohne ,komma und andere Sperenzchen diese Verbindungslinie angucke dann ist es offensichtlich eine traumartige Georgette wenn in der XY eben ein und ich gehe dann wird die eigene offensichtlich größere nicht aber mit dieser Verbindung Vergleiche in Richtung der Zeitachse rauf und dann wieder runter dann wird die Alten länger kleiner die eigenen von diesem Stück kann ich praktisch nur machen indem ich dicht an eine Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit gehen genauso kann ich diese eigene praktisch nur machen diese blaue Verbindungslinie kann also nicht die maximale und auch nicht die minimale eingesehen haben wir traumartigen
Geodäten sind also ein bisschen knifflig aber sie sind das gradeste was im Raum als Richtung haben gegeben
einige Geräte auf der Mannigfaltigkeit und gegeben ein tangential direkt am Anfang der Georgette ich sagen wie dieser tangential Vektor entlang der Georgette parallel transportiert wird von einem tangential Raum zum nächsten das Rotieren soll einer Geodäte seien Sie irgendeine gegen Geräte mit einem Staat Vektor Weg Geschwindigkeitsvektor in dieser Art zeitartige nicht artig Dramatik sein was auch immer ich gucke mir nur noch eine 2. Geodäte an nämlich eine mit dem Staat Vektor wie E-Plus haben mal Frau dieser Stadt Rektor aber noch ein bisschen das Haar so klein sein von diesem Sektor v dazu diese geht deaktiviert also Abdriften in diese Richtung Frau auf beiden Geodäten jetzt von den Parametern 0 bis zum Parameter es gehen kann ich diese Differenz die als Vektor auffassen wenn alles mit rechten Dingen zugeht müsste dieses Stückchen ja seinen dieser Vektor vo parallel transportiert an unser Kurve entlang schreiben mal Frau transportiert von erst mal Haare und dann vergrößert und die "anführungszeichen Zeitdauer und die wir weiter gegangen sind wir fangen erst mit einer kleinen Differenz an und die wächst 1. proportional zu es ist natürlich alles ein bisschen Ende weder und und und genau so Betrachtung gilt umso besser je kleiner es ist und je kleiner habe ist das wir aber wirklich interessiert ist mit welcher Geschwindigkeit und in welche Richtung dieser Weg Torfrau beim parallel Transport Weg gibt wie dreht der sich so wie ich den parallel transportiert Bauer wird er metrischer scheinen die Länge des Vektors bleibt erhalten und
sowie der gebaut ist der parallel Transport ist obendrein Pensionsfrage Optionen Verbindungen hätte ich in der Vektor beim Transport hier so eine Bewegung machen würde und die Gier der der votieren würden
jetzt muss ich noch hinschreiben wie diese Prioritäten denn im Prinzip aussehen würde die Differenz und dann weiß ich wie man parallel Transport funktioniert gucken was das
allgemein an einige Georgette mit Start Vektor ich minimal und allgemeinen hat die Differenzialgleichung die 2. Ableitung nach dem Parameter los Christoffel war die 1. Ableitung mal die 1. Ableitung ist 0 das kann ich dem und formulieren die 2. Ableitung ist also -minus Christophe mal Ableitung mal Ableitung des verbindlich die Täter Entwicklung wie sehen meine Koordinaten auf der Geräte einen Wert des des Parameters aus wie sehen so aus wie am Anfang bloß Parameter mal die 1. Ableitung am Anfang das ist die 1. Ableitung am Anfang der Stadtwette u also erst mal so Lander und jetzt kommt bloß es Quadrat halbe Fehler eingeschlichen habe denken es Fahrrad halber mal die 2. Ableitung am Anfang ist nicht die 2. Ableitung am Anfang sein wird -minus Christophe 1. ableiten die 1. Ableitung die 1. Ableitung ist aber o also hier steht -minus Christophe Hug Alu +plus Terme höherer Ordnung ich mach das mal so ein bisschen unseriös mit 3 Punkten streng mathematische müssen tatsächlich jetzt hinschreiben +plus Ordnung von ist hoch 3 und dann ganz lange nachdenken folgenden ich belasse es mal bei diesem Fest in diversen hat daraus
nicht ich mir jetzt den parallel Transport zusammen nehmen
Diktiergeräte mit Start Hamer V -minus die hier mit Start Vektor W beide am Parameter wird es Erwartungen ungefähr dieses Geld zu haben ist man aber mal die transportierte Version von unserem Vektor v schreiben wenn mal
Hamadi die transportierte Version von unserem Vektor v ist also der mal ein unseriöses gerundet Zeichen ich fange an mit der GdL den mit statt Wiktor W +plus Hamer V für U 70 leblos Hamer V 1 also x 0 muss erst mal die andere +plus haben Frauen an der ISS Quadrat halbe Christophe Devine +plus haben Frauen Mühe und das wir mit den die das ist das Ergebnis auf der einen Geodäten der gestörten Geodäten -minus das Ergebnis auf der original hier gelten nur mit Weg nicht mit Hamer V und ich hab
natürlich Terme höherer Ordnung ganz dreist ignoriert können zusammenfassen anfangs Koordinaten anfangs Koordinaten die fliegen raus erstmal Wilander ist mal wieder an Pflicht auch aus und legen kann ich gleich auch noch zusammenfassen ich habe also ihr bleibt nur erstmal haben aber von anderen wenn ich hier aus modifiziere immer wie geht sich das mit dem er gegen entdecken der es wird sein wie man am Mann Frau und dann kriege ich auch noch einmal formal wie wenn beide Christof Symbole symmetrisch sind kann ich die beiden zusammenfassen macht also -minus das Quadrat halbe zweimal das Tor für die Mühe haben alle Frauen die von den Griechen noch HV HV und -minus es Quadrat halbe Christophe A. Frauen einmal Haar Frauen +plus Terme höherer Ordnung jetzt kann ich ablesen was
in die transportierte Version von einem Vektor v ist es mal haben transportierte Version des mal haben aber das muss transportierten Version gehören natürlich aus dem Tierheim hier ist H ausklammere muss das zu
transportierten Version gehören hier sieht man es Quadrat H Quadrat das verbuchen wir unter höherer Ordnung wie es darum festzustellen wie diese transportierte Version Weg gibt wie sie den orginal wird und das Tier muss das wirklich es sein proportional zu es je weiter ich rausgehe gibt die ich mehr und mehr weg Christophe Symbole mal diesen Richtungsvektor Weg geben mehr als eine Idee wie der beim parallel Transport wir haben also um die Komponenten des Vektors v wenn ich Ihnen parallel transportiere einen Parameter wird es werden seien die orginal Komponenten -minus es Christophe landen dann genüge der Richtungsvektor der Stadtwerke um eine geodätischen Frau genügend erweckte den ich parallel transportieren will Schlusstermin höherer Ordnung die Christophe Symbole liegen also nicht die überdecken sie wegen auch den parallel Transport für die
kovariante Ableitung brauchen wir gleich den Transport rückwärts nicht hin zum Parameter S 1 zurück vom Parameter es zu 0 hinten dieses Frau kann ich ja mit dieser selben Gleichung schreiben als Frauen wie transportiert und diesem rüberbringen +plus es wärmer mal irgendwas konnte nicht dass es auch Hollande auflösen habe ich Palander wird sein die transportierte Fassung von denen bringen +plus des Mark-Christoph Staatssektor Frauen mittransportiert +plus mal irgendwas +plus höherer Ordnung das verbuchen wir hier unter den verbindlichen wieder damals ein bisschen unseriös und so kam ich also zurück wenn ich einen Vektor aber an einer anderen Stelle entlang der Geodäten und wir wieder zurück kann nicht so recht mit plus Lust Christophe Symbol
jetzt haben wir alles bereit für die kovariante Ableitung ja
heißt übrigens in der Mathematik nicht verwirren lassen der Tibeter Zusammenhang ich gucke wieder
einige Täter einen mit Staatssektor wenn ihnen nicht X und ich gucke mir obendrein ein Vektorfeld an das ist das Ding was abgeleitet werden soll gleich diese soll das Vektorfeld 1 x von 0 sein das ist 0 und die soll das Vektorfeld 1 X von es ist der Parameter ist ich möchte jetzt das Vektorfeld nach dem Parameter s ableiten an dieser Stelle wie ändert sich das Vektorfeld wenn sich der Parameter es ändert aber ich möchte vernünftig ableiten ich möchte den parallel Transport berücksichtigen das nennt sich dann die kovariante Ableitung von diesem Sektor fällt in die Richtung ich an der Stelle x von 0 nicht werde den handelsüblichen Differenzen Quotienten und davon den Grenzwert naiv würde man sagen ich nehme das Vektorfeld an der Stelle x von es gehen hier -minus die das Vektorfeld an der Stelle x von 0 diese Differenz durch es Grenzwerte das ist die Ableitung des so wird nicht weil diese beiden Sektoren nicht im selben System leben die kann ich nicht voneinander abziehen auf sinnvolle Weise muss dieser Sektor zurücktransportieren von der Stelle x und zur Stelle X von 0 dann kann ich im Vergleich mit F von X von 0 hier brauche ich also den Rücktransport wieder
Rücktransport geht müssen wir aber nun ein Komponenten ist das der orginale Sektor an der Stelle x von S Plus erstmal Gamma statt Rektor der Geodäten und der Vektor den nicht zurücktransportieren +plus höherer Ordnung das X von es dank der Geodäten ist X von 0 +plus höherer Ordnung die weiteren Termine kann ignorieren weil da schon den 1. vorsteht und ich mache die Arbeit in der es an der Stelle =ist gleich 0 bilden vorne muss sich mehr aufpassen da steht x 0 +plus erst mal den Staat Vektor +plus für Ordnung und ich hätte aber es Bilder eingestellt ist gleich 0 so ziemlich ähnlich dem es Quadrat und so weiter kümmern das heißt das Vektorfeld iPhone kann ich so schreiben das ist das Vektorfeld am Start .punkt los ist es mal die Ableitung den Weg Richtung also partiell nach x ableiten zum Beispiel mal die den Schlusstermin höherer Ordnung ein bisschen aufräumen das Vektorfeld am Start .punkt das Vektorfeld am Start .punkt die beiden fliegen raus es bleibt dieses durch es Grenzwert also das bloß dieses durch es Grenzwert also das ich kriege also die Koordinaten landen davon der kovariante Ableitung mit der ganz schlichten Ableitung und dann kommt noch eine Korrektur mit dem Christophe Symbolen dazu die
kovariante Ableitung eines Vektorfeldes in Richtung weg davon die Komponenten und ein anderer wird also sein wie ganz normale Ableitung kontrahiert mit dem Staat Staatssektor los dass sich aus dem Christophe Symbolen bekomme Christophe Land Nil statt Vektor unserer Vektorfeld helfen die an der Stelle x von 0 dass sie den Kunden X von 0 ersetzen das kann ich mir netterweise noch das Leben wir ausklammern ja also einfach die Ableitung und dann kommt noch Christopher dazu die kovariante Ableitung ist also in dem Jahr in diesen Richtungsvektor weg wenn ich ein Vielfaches davon nehme ich das vielfach von der Ableitung in eine Summe steht von 2 Richtungsvektoren kann nicht entsprechenden Konferenzen Ableitungen agieren sie in
Zusammenhang steht ist die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes davon die Komponente abgeleitet in die Richtung die die Mühen der Mythe das ist Rektor der mit Basis ist abstrakt die Ableitung nach x wie und das Schreiben die Physiker kurz als das Vektorfeld Komponenten anderer abgeleitet nach der Mythen Koordinate kovariante abgeleitet nachdem Mythen Koordinaten ;strichpunkt meint ,komma würde heißen ,komma eine partielle Ableitung dem ;strichpunkt sagt man kovariante abgeleitet können wir also abschreiben was soll das heißen er flammender Kovarianz abgeschaltet nachdem den Koordinaten das ist die normale Ableitung partielle Ableitung also ,komma müde und dann kommt dazu Christoffel mal unser Vektorfeld das ist die übliche Art wie man die kovariante Ableitung kennt schreibt und das nette
ist das sind die Komponenten eines Tensors die sie für sich sind nicht die Komponenten eines Tänzers die partielle Ableitung haben wir gesehen funktioniert nicht mit dem Christophersen hier das werden wohl auch nicht die Komponenten eines Tänzers werden aber schön ist diese Kombination bringt es dann die Kombination macht einen Tensor draus machen kann und 2 der 4 Seiten füllen indem man das nachrechnet wie transformiert das wie transformiert das das ist ein bisschen wie sich nach der Konstruktion liegt es nahe dass das ein denn so sein muss nicht nur das im Fall von den lokalen Bezugssystem sind die Kristoffersen 0 und dort ist die kovariante Ableitung die übliche partielle Ableitung
jetzt aber natürlich nicht nur Vektorfelder ableiten sondern auch kompliziertere Tensoren ableiten man fordert einfach dass die kovariante Ableitung die die Produktregel erfüllt dann geht der Rest von selbst fangen wir an mit einem skalaren Feld da sag ich einfach Funktion kovariante ableiten möchten Koordinate das so und nicht anders sein als dass ich sie ganz normal partielle Ableitung der Funktion dient ja nichts schief wenn ich ein Contra Variante Sektorfeld ableiten durch das was wir eben
gesehen haben das Vektorfeld Landa ;strichpunkt wie Orient abgeleiteten nach der Koordination und mir soll sein die übliche Ableitung ,komma +plus Christoffel Lander in NÖ nun eine
Kovarianz Vektorfeld Tag würd ich mich jetzt mit der
Produktregel Lichtbilder vorkommen dass die unten langsam mal 11 oben ein kovariante Sektorfeld kontrahiert mit einem Contra Varianten Vektorfeld das möchte ich kovariante ableiten nach der Koordinaten Mühen dieses da drinnen ist aber ein Skalar den leidlich ab in dem ich ganz normal partiell ableiten für die
partielle Ableitung gilt die Produktregel das ist also die landen da machen abgeleitet 11 flammender +plus und die Namen der 11 flammender da macht der Koordinaten mit Aktien abgeleitet ich möchte dass auch für die kovariante Ableitung die Produktregel gehört also habe ich hier auf der linken Seite gegen Abend da Kovarianz nach der kommenden nannte mich flammender +plus gelang der Elf flammender kovariante nach der Koordinaten und abgeleitet Untervariante Vektorfelder kann ich aber schon ,komma und ableiten hier steht also die übliche Ableitung ,komma +plus Christophe lahmender Menüs helfen die jetzt wirklich für die beiden letzten Gleichungen an die sich ergeben die der 11 flammender abgeleitet nach mit Koordinaten das haben wir da schon interessiert mich nicht damit bleibt
diese hier Schellander kovariante nach Mühen an dem ich nicht weiß was es werden soll der flammender los gehen haben da ist doch schon oben und unten Menü helfen =ist gleich der hier gehen Namen haben partiell nach Termiten Koordinate in Flammen ist möchte ich ein bisschen aufräumen flammender es genügt das ungeschickt aussehen und wie mache ich landen da der bekommt noch mal an der damaligen daraus dann ist die Welt wieder in Ordnung wenn das hier gilt für alle Vektorfelder in flammender dann muss es auch gelten ohne dass das in Flandern steht und damit habe ich das die kovariante Ableitung dieses Kovarianzen Vektorfeld es sein wird die partielle Ableitung -minus den rüberbringen -minus das Tor von oben wie unten im Namen der G Ü München kovariante das Vektorfeld ableitet wie also -minus Christophe hatten Kontrollbeamten als +plus Christof im allgemeinen Fall wie
das dann logischerweise so aus ich möchte einen Tensor fällt mit Indizes alpha und so weiter oben und Wetter und so weiter unten kovariante Ableitung nach der Koordinaten Nummer Lander dann kriege ich die übliche partielle Ableitung dieser Komponenten also ,komma Lander und für alle Kontrahenten Indizes kriege ich einen Beschluss Christophe und für alle Kovarianzen Indizes kriege ich ein -minus Christophe Abschluss für die kovariante dieses alle jetzt oben los nach leidlich ab und müssen über meine Komponenten summieren sich die O'Malley verspricht den neuen Index ,komma und es geht mit den anderen Indizes oben weiter unten bleiben alle Indizes so stehen das ist der finden demnächst alle fahren das geht mit jedem Index oben so weiter immer Abschluss Christophe mit den Indizes unten analog zu den hier die Komponenten dachte ich ableite steht unten und oben steht der Index über den ich zu mir nicht in der Welt ,komma T E R ,komma alle übrigen Indizes 1 Tee bleiben wie sie waren und erfährt natürlich den Experten noch scheinbar daher logischerweise -minus entsprechend für jeden Index und und das sind dann natürlich wieder die Komponenten eines den Saalfelds eine Szene die
check abgucken an einem einfachen Beispiel ob auch nichts kaputt gegangen ist was passiert wenn ich den metrischen Tensor kovariante ableiten das ist die übliche Ableitung ,komma anderer habe ich 2 kovariante Indizes also -minus Christophe -minus Christophe jeweils mit diesen Tänzer dahinter nach der Komponenten Malanda leite ich ab dass da unten stehen nämlich über den 1. Index ist nämlich über den 2. Index über will muss ich noch unterbringen da haben wir nie haben wir wir und hier haben wir genügend da haben wir das wäre diese Regel angewendet den 1. schreib ich wieder hin ,komma gar nicht retten -minus Kristoffersen Bohlmann metrische Tensor das heißt wichtig ist ist dass dafür Symbol mit 3 Indizes unten Mühen andere Mühe das war eine Halle in den Sommer kosmetische Tensoren -minus mit der für den Sommer dieses nie was davon steht Mühe damit wir dann in der Mitte und stand hinten Wanderer und müssen die beiden anderen Indizes miteinander und mit dem anderen in Luft hier im Mittelfeld ebenso ist symmetrische Ansicht dass ich einfach in diesem Ausdruck über alle Mühe durchwühlt und mythischen widersetzte unterstrich den Ausdruck hier kommt also -minus ein halb in die Mühle nachlassender losgehen dann der Mühe nach NYC -minus g anderen Mühe machen will wollen wir gucken Ableitungen nach der Koordinaten Normalanwender untereinander damit Vitense symmetrisch Mini oder nicht ist egal das Minister hat davon -minus hat davon geben sich weg Ableitungen Nach-Mühe Mindestinhalt +plus -minus 1 -minus die die beiden neben sich weg Ableitungen nach Nähe -minus 100 -minus -minus hat plus die beiden hätten sich weg es kommt nur heraus die kovariante Ableitung des metrischen Tensors ist 0 das ist doch sehr schön auf
Mannigfaltigkeiten will ich natürlich nicht mehr ableiten ich möchte auch integrieren da ,komma auf den Begriff der Dichter den gab auch schon in der speziellen Relativitätstheorie
eine Skala würdigte dass so ein Ding zu sein ein Tier auf der Mannigfaltigkeit das sich in jeder Karte integrieren kann und überall dasselbe raus bekommen wenn diese Menge auf der Mannigfaltigkeit in dieser Karte Menge B ist und in dieser Karte die Menge B Strich ist möchte ich gerne wenn ich hier in Tegel wieder über diese Menge meiner dichte abhängig von nix dass ich das selber rauskriegen als wenn ich das hier zu ihrem lediglich die jetzt aussieht und diesen Koordinaten Geschrei der 11 strich für die transformierte dichte ich mein jetzt -minus nicht die Ableitung rein mathematische als ich diese beiden die Kalauer ineinander und Formen durch diese Flächen
Städtchen TXT Gibson aufsummieren mir dir dann Parallelogramme auf die Fläche seines Barlow Grenchen ins ich mit der Jacoby Determinante /schrägstrich ableiten nach x x strich ableiten nach y y strich ableiten nach X Y strich ableiten nach y diese Fläche wird sein diese Determinanten malte X y Mitte der genannte rechtlich die Fläche eines Parallelogramms aus dieses hier mal die X ist dieser Sektor physikalischer Sicht und dieses hier meinte y ist dieser Sektor aus physikalischer Sicht dieses Integral kann ich also aufschreiben als das Integral über die 11 strich nun von X passend umgerechnet mal diese Jacobi Determinante der 2 x 1 für alle Indikationsgebieten der gelten soll weiß ich wie sich eine dichte transformieren muss muss sich so transformieren dass sich hier das selbe besteht wie wir das in der Weißen die gerade über das Gebiet B das kann ich jetzt
also als Gleichung für das Transformations Verhalten einer wichtigen schreiben eine
dichte so transformieren die neue dichte mal Jacobi der Termin nannte ist die alte dichte wir sagen die neue dichte ist die alte dichtet durch die Jakobiten Termin nannte schreibt erstmals ein bisschen in der Welt und so alle Ableitungen bilden X strich nach X .punkt mir die Matrix Herbert durch die Determinante einer Matrix ist aber mal die Determinante der Umkehr Matrix davon kann nicht die Umkehr Matrix einfach andersrum ableiten aber wieder Punkte für die Komponenten die Determinanten oder dann die ganzen Komponenten durch und gibt es selben trägt wie in der speziellen Relativitätstheorie mit was zu bauen was diese Determinante ihres Transformations vertrat er gucken uns dem metrischen Tensor
waren wie transformiert der metrische Tensor Strich ist die im Original System jetzt muss ich
Kovarianz transformieren das heißt die unbestrichenen dualen Basis Vektoren und die gestrichenen Basis Vektoren brauche ich unten Menü oben Alphabet dieses hier kann nicht auffassen als das Produkt dreier Matrizen wenn ich jetzt überall die Determinante Bilder erweist sich als die der Termin und von strich mit seinen beiden Indizes ist die Determinante eines Produkts von Matrizen ist das Produkt der Determinanten also die Determinante von GE mit seinen beiden Indizes mal Determinante nannte der Ableitung von XFX strich mit ihren Indizes und noch mal dieselbe der Termin nannte diese ins Quadrat die Determinante des metrischen Tensors als Matrix verstanden man gerne einfach die hier habe ich dann zufolge G ,komma und sich aus dieser Gleichung die Wurzeln müssen sehr vorsichtig sein geh hat eine negative der Termin nannte das aber schon in der speziellen Relativitätstheorie gesehen also dass sich dann -minus vor und ein Minus vor und sie dann die Wurzel also ist die Wurzel
aus -minus die strich die Wurzel aus -minus die Determinante es nicht denn das eingestrichene Systemen gleich die Wurzel aus -minus und geh mal diese Determinanten es
positiv wenn ich mein Raumzeit bei dieser Transformation nicht umstülpen jetzt hab ich ja sein Ding gefunden was ich mit dieser Determinante transformiert das ist genau
die Determinante die ich brauche für eine Dichte und
damit weiß ich wie ich beliebige skalare dichten werden kann ich bilde die Wurzel aus -minus der Determinante des metrischen Tensors mal ein Skalarfeld und kriege damit eine skalare dichte diese Wurzel sorgt dafür dass ich den richtigen Transformations Faktor bekommen das Skalarfeld ändert sich ja nichts man kann dichten auch noch allgemeiner definieren wo ich hier dann noch ein Exponent steht aber diese sollte ein Dichte ist die die man üblicherweise braucht nun einen Sektor
dichte ich möchte dass folgendes gilt wenn ich über irgendein Gebiet der Raumzeit integrieren einen Vektor Dichter mal irgend Vektorfeld dies ein jedes Vektorfeld das soll
das selbe sein wenn ich in beliebigen anderen Koordinaten Rechner da hab ich ein Gebiet -minus Daten als Indiz strich aber transformierte weckte Dichte und ein Transfer mit das Vektorfeld wenn man das so ausbuchstabiert wie eben ist klar wie kriege einen würdigte ich bitte die Wurzel aus -minus der Determinante des metrischen Tensors mal ein Vektorfeld und kriege damit eine Sekte Dichte diese Definition gibt es auch wieder mit einem Exponenten hier aber das ist erst mal das was man typischerweise braucht und die
Divergenz auf Mannigfaltigkeiten die Quellen Dichte die brauch ich dafür Erhaltungssätze klassischen dreidimensionales Divergenz eines Vektorfeldes ja DX Komponenten nach x ableiten +plus wirksamen Komponenten nach wirksamen ableiten +plus Komponenten nach Z abgeleitet und jetzt versucht das entsprechende zu machen in der vierdimensionalen Raumzeit nehmen die Mühe Komponente eines Vektorfeldes ich leite kovariante ab und kontrahieren und diese beiden Indizes also 11 0 kovariante abgeleiteten 8. 0 +plus F 1 kovalent abgeleitet nach 1 und so weiter das ist von dieser Form wird offensichtlich ist das ein Skandal wie sich das gehört das wird funktioniert dieses ist die Verallgemeinerung der Divergenz man hätte auch Dinge probieren können helfen die partiell ableiten und dann kontrahieren helfen will ,komma haben das klappt aber im Allgemeinen nicht ich kann mir
das Transformations Verhalten angucken was passiert wenn ich das in einem gestrichenen System ausrechne das Vektorfeld muss transformiert werden und ich muss nach den transformierten Koordinaten ableiten ist ableiten nach den transformierten Koordinaten die Seite erst mal das nicht transformierten ab und dann einseitig die nicht transformierten ab nachdem transformierten das Vektorfeld muss sich transformieren mich also die Komponenten des ursprünglichen Vektorfeld verziert mit der Transformation Smart fixieren x strich abgeleitet nach Izmir und das gibt mir so was
ähnliches haben wir schon gesehen in denen er sich stehen den 1. ableiten also die 2. Ableitung von x strichen nie nach X und dann nach x Solana plus den 1. stehen lassen und den 2. ableiten gehen hier und den kann ich zusammenfassend sodass sich dann eben tatsächlich FÜR abgeleitet nach Excel mit dieser Kontraktion habe und der hier vorne ist einfach Murks mit dem kann ich nichts anfangen da diese wird im Allgemeinen nicht die richtige Art sein die Divergenz ganz auszurechnen es gibt aber
tatsächlich noch einen anderen Weg die Divergenz auszurechnen nehmen ein Vektorfeld und das mache ich zu einer Vektor Dichte mit der Wurzel aus Minus der Determinante des metrischen Tensors steht dann einen Vektor dicht die Geometrie also in diese Dichter eingebaut und dann kann ich lustigerweise die ganz naive Divergenz bilden mit der partiellen Ableitung Krieger eines kann raus und diese skalare Dichte kann ich wieder in einen Skandal verwandeln mit 1 durch Wurzel -minus Determinante des metrischen Tensors das gibt lustigerweise dasselbe wie das was wir eben hatten FÜR kovariante Ableitung von kurz nachgerechnet auf dieser Seite steht die übliche Ableitung +plus Christoffel mit dieser Index dann der Ableitung des Index der ist mir und zu mir über die Komponenten des Vektors und ich weiß was Sie Christophe Symbole sind das ist dreieinhalb Mal die alle Fahrer die +plus B -minus die das er versteht ist vorne und dann in der Mitte und dann hinten Mühlen hab ich noch ein 2. Indizes Mühe bemühe ich mich jetzt nicht etwas genauer gucken dass Inverses metrischen Tensors ist symmetrisch in mir und alle für dieses hier ist antisemitischen mir und Alfa wenn ich viel Mühe und einfach austauschen Küche Minuszeichen das muss ich zum Schluss weggeben das war die rechte Seite so weit verarbeitet wie's geht die linke Seite ist etwas komplizierter weil ich hier eine Determinante ableiten muss die Wurzel von minus eine Determinante ableiten muss wie leitet man
die Determinante aber dafür gibt es einen Trick den ich in dieser Situation die Determinante ausrechnen Einheitsmatrix bloß ein bisschen irgend einer quadratischen Matrix dann steht da ja sowas wie 1 1 1 1 und so weiter quer durch die Matrix stehen jetzt noch irgendwelche Störungen auch diese einzeln sind gestört wenn ich das jetzt entwickle hab ich erst mal hier einmal einmal 1 1 1 1 los ist kann ich gucken welche ausdrücklich habe mit H genehmigt haben den Eintrag aus der Matrix A mal als man als man 1 und dann nämlich um die 1 und hier der Eintrag mit H und wieder 1 mal als man 1 dass wir zum Schluss seiner haben mal die Struktur der Matrix A die Summe der Diagonalen in der Matrix A und alles andere hat mindestens ein H Quadrat ist höherer Ordnung den Trick benutze ich und die Determinante abzuleiten die Determinante wird zur Spur werden ich
will also ausrechnen 1 durch die Wurzel aus -minus der Determinante des metrischen Tensors partielle Ableitung von dieser Wurzel Wurzeln mal Vektorfeld kontrahiert das geht mit der Produktregel 1 durch die Wurzel bleibt stehen mal den 1. ableiten +plus 1 durch
die Wurzel mal die Wurzel hat die Ableitung von f mit kontrahiert hier
brauche ich jetzt die Ableitung der Wurzel Kettenregel die äußere Ableitung ist 1 durch zweimal die Wurzeln des kommt die innere Ableitung -minus die Ableitung von je mehr ich es also das Problem ich muss die Determinante ableiten können jetzt überstehen würde wie die Determinante von der Einheitsmatrix plus eine kleine Störung dann könnte ich die Idee von eben trägt anwenden und die Determinante zu Spur machen aber hier steht ja nicht die Einheitsmatrix plus eine kleine Störung da muss man noch ein bisschen nachhelfen versteht
nämlich die Ableitung der Determinante vom metrischen Tensor Schreib wieder Punkte für die Indizes der gegen den Willen der der dem Funktion weg und jetzt schreibe ich jeweils raffinierte sogar das schreibe ich als die Ableitung von der der Termin nannte diese Matrix der 1. Index Zeit Index ich Wallander mal den inversen metrischen Tensor Sandalen an einer zentralen Stelle an der ich ableiten lässt schreibt man 0 dafür mal den metrischen Tensor genügend andere Koordinate derzeit einer Matrix auch an dieser zentralen Stelle dieses Produkt hinten ist die Einheitsmatrix schreibe einfach diese Matrix als sie selbst mal die Einheitsmatrix dann kann ich aber diese Determinante auseinander nehmen das ist die Determinante des 1. teils die 1. beiden Faktoren mal die Determinante des 2. teils und jetzt greift man
trägt mit der Spur hier steht jetzt unter General stellte die Einheitsmatrix besteht eine Störung der Einheitsmatrix für diese Ableitung kriege ich also die Spur von der Ableitung dieser Matrix metrischen Tensor ableiten nach der Mythen Koordinate diese Matrix ist sehr konstant und diese Determinanten brauch ich noch das ist natürlich ein G an meinen ursprünglichen Stelle eine Spur aus ich summiere über diesen Index oben und unten nicht in Malmö dann kriege gegenüber der abgeleitet Nach-Mühe Girlanden da NYT dieser Index an meinen ursprünglichen Stelle mal die Determinante an der ursprünglichen Stelle wird dem wir das mal vorsichtig
zusammen was hat ich
eigentlich 1 durch die Wurzel nochmal die Wurzel gibt also einst durch -minus geht das Minuszeichen Feldweg aber einst durch 2 mal geh mal den grünen Tee am Mahnmal Vektorfeld übrigens 1 durch
2 geh mal diesen Gründen der natürlichen alles an der ursprünglichen Stelle genommen und sie nicht mehr hinschreiben mal ein Vektorfeld plus die naive den Weg in's die und das geht ,komma kürzen und jetzt kommt der spannende Moment diesen hier Einhalt gegeneinander ,komma Mühe gelang hab ich hoffentlich auf der rechten Seite auch ursprünglich stand
daher dieses Ziel die
naive Divergenz bloß ein halb gehen wir alle Farben alle ,komma in die derselbe Ausdruck nur die Indizes müssen um das heißt diese Frau tatsächlich in die kovariante Divergenz kann ich alternativ kriegen indem ich mein Vektorfeld zu einer Sekte dichte mache die übliche Divergenz der Sekte dichte nehme und das Ergebnis zu einer klaren Nacht
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorfeld
Faktorisierung
Punkt
Mannigfaltigkeit
Koordinatentransformation
Partielle Differentiation
Vektor
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Topologische Mannigfaltigkeit
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Vektorfeld
Matrix <Mathematik>
Summand
Tensor
Kettenregel
Koordinatentransformation
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Tensor
Mathematik
Kovariante
Mannigfaltigkeit
Ableitung <Topologie>
Richtung
Geschwindigkeit
Parametersystem
Vektorrechnung
Geodätische Linie
Gleichung
Koordinaten
Geschwindigkeit
Parametersystem
Faktorisierung
Skalarprodukt
Quadrat
Spieltheorie
Gravitationsgesetz
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Linienelement
Ableitung <Topologie>
Mittelungsverfahren
Tensor
Vorzeichen <Mathematik>
Spieltheorie
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Geodätische Linie
Gleichung
Differentialgleichung
Aggregatzustand
Richtung
Quadrat
Geodätische Linie
Gekrümmte Raumzeit
Differentialgleichung
Zahl
Skalarprodukt
Ungleichung
Geodätische Linie
Störungstheorie
Richtung
Geschwindigkeit
Parametersystem
Länge
Kurve
Vektorrechnung
Geodätische Linie
Mannigfaltigkeit
Haar-Integral
Vektor
Richtung
Parametersystem
Quadrat
Punkt
Ordnung n
Term
Differentialgleichung
Vektor
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Parametersystem
Geodätische Linie
Vektor
Quadrat
Ordnung n
Vektor
Term
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Quadrat
Vektorrechnung
Geodätische Linie
Ordnung n
Gleichung
Vektor
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Parametersystem
Vektorfeld
Zusammenhang <Mathematik>
Mathematik
Quotient
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Richtung
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Vektorfeld
Quadrat
Geodätische Linie
Ordnung n
Vektor
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Richtung
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorfeld
Kovarianzfunktion
Physiker
Zusammenhang <Mathematik>
Tensor
Partielle Ableitung
Normale
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Richtung
Vektorfeld
Tensor
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Vektorfeld
Kovarianzfunktion
Partielle Ableitung
Gleichungssystem
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Skalarfeld
Einfach zusammenhängender Raum
Algebraisch abgeschlossener Körper
Index
Vektorfeld
Kovarianzfunktion
Tensor
Partielle Ableitung
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Index
Linienelement
Tensor
Spezielle Relativitätstheorie
Mean-Field-Theorie
Topologische Mannigfaltigkeit
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Determinante
Homogenes Polynom
Menge
Flächentheorie
Fläche
Mannigfaltigkeit
Parallelogramm
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Integral
Einfach zusammenhängender Raum
Matrizenmultiplikation
Determinante
Linienelement
Spezielle Relativitätstheorie
Diagramm
Koordinatentransformation
Gleichung
Jacobi-Verfahren
Ableitung <Topologie>
Kovarianzfunktion
Quadrat
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Determinante
Linienelement
Spezielle Relativitätstheorie
Dualitätstheorie
Gleichung
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Faktorisierung
Exponent
Linienelement
Determinante
Koordinatentransformation
Skalarfeld
Dichte <Physik>
Vektorfeld
Linienelement
Rechenbuch
Determinante
Exponent
Vektor
Gebiet <Mathematik>
Koordinaten
Computeranimation
Dichte <Physik>
Quelle <Physik>
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorfeld
Erhaltungssatz
Verallgemeinerung
Dimension 3
Koordinatentransformation
Koordinaten
Topologische Mannigfaltigkeit
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Dichte <Physik>
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorrechnung
Linienelement
Determinante
Inverse
Kovariante
Partielle Differentiation
Vektor
Dichte <Physik>
Vektorfeld
Index
Ableitung <Topologie>
Geometrie
Vektorfeld
Summe
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Linienelement
Determinante
Partielle Ableitung
Ordnung n
Störungstheorie
Diagonale <Geometrie>
Determinante
Kettenregel
Cartan-Ableitung
Ableitung <Topologie>
Index
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Linienelement
Determinante
Inverse
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Vektorfeld
Momentenproblem
Vektorfeld

Metadaten

Formale Metadaten

Titel kovariante Ableitung, Dichten, Divergenz
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 14
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/19914
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

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