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Kosmologie der Friedmann-Gleichungen

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es geht weiter mit diesen ganz einfachen Modell vom
Universum ich stelle mir vor dass es eine kosmologische Zeit gibt es also eine Zeit die quer durchs Universum geht sozusagen dazu eine räumliche Mannigfaltigkeit mal kleiner mal größer aber eigentlich immer dieselbe Mannigfaltigkeit bis auf 1 Grad ein Faktor der sagt wie groß sie sein sollen und die Zeitabhängigkeit von diesen Skalen Faktor der ist keine Art von The ist wahrscheinlich der des Landes Aspekt in diesem Modell hier fängt der Skandal Faktor sehr klein an wird schnell groß und dann langsam größer also könnte er vielleicht so die räumlichen Koordinaten in diesem Spiel will man typischerweise Como wegen mit bewegt das heißt wenn dieser Punkt die Koordinate x hat soll auch dieser Punkt die Koordinate x haben obwohl sich das Universum vergrößert hat soll diese goldene hatte quasi mit dem Punkt mit fallen an dem .punkt kleben diese x-Koordinate misst also nicht tatsächlich Abständen sein ist quasi ein Name für eine Galaxie die hier mit dem Universum mit gepumpt wird wenn ich mir auch nicht als Kreislinie eindeutig ist das natürlich geflunkert wäre den eindimensionalen nicht dreidimensional und er wäre geschlossen für diesen Faktor wir die beiden Friedmann Gleichungen diesen Weg über zu den Einsteinschen Feldgleichungen wenn man dieses Modell einsetzt
die 1. Friedmann Gleichung sagt etwas über die Ableitung von Skalen Faktor in dieser Form Ableitung durch Momentanwert ins Quadrat ist 8 wie Gravitationskonstante Dichter ist natürlich Masse und Energie dann eingebaut in die dichte relativistische Drittel -minus Krümmung Lichtgeschwindigkeit ins Quadrat durch Skalenfaktors Quadrat plus kosmologische Konstante Lichtgeschwindigkeit Quadrat 3. die gleiche Nummer 1 und die gleiche Nummer 2 hatte mit der 2. Ableitung zu tun sozusagen mit der Beschleunigung von diesem Skalenfaktor und das war dann -minus 4 die die Gravitationskonstante Drittel und hier kann jetzt der Druck mit der eine dichte plus dreimal den Druck durch Quadrat der Lichtgeschwindigkeit und auch hier die kosmologische Konstante als C-Quadrat Drittel wenn man etwas Fundamentales über das Universum lernen will versucht man diese Differentialgleichungen zu lösen das in der gewöhnliche Differentialgleichungen keine partiellen Ableitungen hier allerdings nicht linear durch A Quadrat und hier auch das durch eine und so weiter das macht das nicht so einfach aber im Prinzip lassen die beiden sich überschaubar lösen die 2. Gleichung sieht auf eine komisch aus war und wo ich die 2. Ableitung meines Skalenfaktors bin ich doch schon die 1. aber ist die 2. Gleichung nicht eigentlich überall der Witz ist dass wir die 2. gleich mit weniger was über den Scan Faktor sagt als über das Verhalten von Dichte und Druck die müssen auch irgendwie von Skalen Faktor hängen und die 2. Gleichung schränkt das ein das ist in dieser Form AG verborgen gibt eine Art schwimmendes etwas offensichtlicher machen kann etwas hilfreicher hinschreiben kann und zwar so aus der 1. Gleichung folgt dass die Zeitableitung von derzeit Ableitung von Skalen Faktor durch den Skalenfaktors Quadrat dass diese Ableitung nämlich die Ableitung der linken Seite die Ableitung der rechten Seite sein muss also fragt die Gravitationskonstante macht die Zeitableitung der Dichte 3. hier wirklich ein Quadrat geteilt aber hängt von der Zeit ab Kettensäge macht also bloß 2 Krümmung Richtgeschwindigkeit bereits durch aber auch 3 mal ab .punkt und hier hängt nicht von der Zeit ab der fällt beim Ableiten weg diese Ableitung hier links die kann ich aber ausbuchstabieren ab .punkt Quadrat durch A Quadrat das Wort abgeleitet werden also ab .punkt Quadrat mal 1 durch ein Quadrat das möchte ich hier ableiten dass gibt hier auf
der linken Seite Produktregel der Linken ableiten dass macht zweimal ab .punkt A 2 .punkt man einst durch AG vertrat den echten stehen lassen den Schluss der 2. Teil der Produktregel den linken stehen lassen den rechten ableiten einzig R-Quadrat ableiten macht -minus 2 1 durch a hoch 3 mal ab .punkt die beiden kann ich zusammenfassend beiden steht mit 2 Beinen steht ab .punkt stehen genügend aber durch die geteilt werden schreibt mal durch aber dann bleibt über von den hier vorne A 2 .punkt durch eines dieser beiden 1 und von dem der hinten ab .punkt Quadrat durch 2 von diesen Jahres mit einem Minus A 2 .punkt durch aber ist ein Fall für die 2. Friedmann Gleichung ab .punkt Quadrat durch ein Quadrat ist ein Fall für die 1. Schritte Angleichung das wird sich dann wieder ein das macht
also 2 Mal ab .punkt durch aber aus der 2. Friedmann Gleichung -minus 4 Kiew Gravitationskonstante der 3. Dichte plus 3 mal der Druck durch die Lichtgeschwindigkeit Quadrat +plus kosmologische Konstante C-Quadrat Drittel dieser Ausdruck und es kommt -minus fast 16. 1. Friedmann gleichen steht also
um minus 8 die Gravitationskonstante 3. dichte Flußkrümmung Lichtgeschwindigkeit Quadrat durch AK-Vorrat -minus kosmologische Konstante C-Quadrat Drittel ich was also haben dass dieser Ausdruck weil ich diesen Ausdruck ist nicht mal die ganzen Zwischenschritte hier vergesse kann ich so einiges wegstreichen zweimal Karadzic war ich auch 3 ab .punkt zweimal ab .punkt durch aber nochmal durch AAC-Format Karadzic C-Quadrat dieser hier und diese die fallen weg die seither wird der abgezogen und die beiden fallen weg und hab ich dir noch über und den und den da steht überall was von wegen Klima Gravitationskonstante Drittel die schmeiß ich weg Kinder Gravitationskonstante 3. Klima vermittelt uns konstante Drittel jetzt wirklich was über geblieben ist habe ich 8 Mal pro .punkt ist gleich zweimal ab .punkt strich aber -minus 4 pro plus 3 der Druck durch C-Quadrat -minus 4 Dichte zusammen der Druck durch C-Quadrat -minus 8 Mal die dicht zweimal 4 gibt 8 diese 8 Weg diese 2 wird diese 4 wird gegenwärtig 8 mal 2 sind 16 aus dieser 8 mit 1 2 damit hab ich eine Gleichung für ob .punkt hier steht nur noch froh .punkt die Zeitarbeit und der Dichte ist also ab .punkt durch aber -minus 2 -minus 2 Euro 10 also -minus 3 pro Woche -minus 3 durch C-Quadrat die -minus 13 raus sind also -minus 3 .punkt durch A Euro plus durch C-Quadrat statt dass sich die 2. Friedmann gleichen Benutzer kann ich also auch diese Gleichung 4 benutzen die mir was über die Zeitableitung Gedichte sagt diese Sätze Gleichung kann man aber noch etwas anschaulicher hinschreiben
möchten wir folgendes aus aber auch 3 mal die Dichte mal C-Quadrat auch dreimal die Dichte sollte irgendwas sein wie eine Masse was passiert wenn ich die Masse mal C-Quadrat also die Energie derzeit ableiten das sieht aus wie ein spannender Ausdruck ist es auch nicht gucken was passieren wird wenn ich den ableite Produktregel auch 3 ableiten also 3 A Quadrat ab .punkt O C-Quadrat +plus und jetzt das Gros ableiten aber auch 3 hoch .punkt C-Quadrat und für dieses Truppe .punkt setzt sich jetzt ein dass ich gerade eben noch gefunden haben also dreimal Vertrag ab .punkt roh C-Quadrat eben muss aber auch 3 und jetzt minus 3 Grad .punkt durch a Opus Dei durch C-Quadrat mal C-Quadrat 3 A Quadrat ab .punkt rot C-Quadrat wirklich -minus 3 auch 3 durch einen Nachtrag Fahrrad ab .punkt roh C-Quadrat diese hier in dieser hier geben sich weg und es bleibt über -minus 3 ab .punkt durch aber auch 3 mal so mal R-Quadrat die durch C-Quadrat Arts C-Quadrat mal G 8 3 A Quadrat mal ab .punkt hatten aber eben schon 3 R-Quadrat mal ab .punkt das ist die 2. Ableitung von hoch 3 wie besteht also im Endeffekt -minus der Druck war die Zeitableitung von hoch 3
statt der beiden Friedmann Gleichungen nämlich also die 1. Friedmann gleich und wie sie war die Ableitung des Charakters durch das kein Faktor ins Quadrat ist macht die Gravitationskonstante dichte Drittel -minus Krümmung C-Quadrat durch Vorrat +plus kosmologische Konstante C-Quadrat 3. und dazu nicht die 2. Friedmann Gleichung sondern die gleichen die wir gerade gefunden haben wenn nicht ableiten aber auch 3 mal pro C-Quadrat nach der 2. Pleite und zur Dierig das rüber und das ist ein Plus Druck mal die Ableitung von auch 3 nach der Zeit dann kommt 0 raus und so ist es viel anschaulicher als mit der üblichen 2. Friedmann Gleichung dieses 2. Gleichung bis hin zu etwas geworden was an die Thermodynamik geändert hier steht im Endeffekt die Änderung der inneren Energie Volumen Dichte ist die Masseinheit C-Quadrat ist die Energie die Änderung der inneren Energie nach der Zeit und hier steht was viel Druck war die Änderung des Volumens das kennt man aus der klassischen Thermodynamik insofern ist das nicht wirklich überraschend und hier oben die 1. die offizielle Friedmann Gleichung auch die kann verstehen auf der linken Seite steht etwas für die kinetische Energie V Quadrat der Geschwindigkeit ins Quadrat steht etwas für die kinetische Energie geschieht etwas wie -minus die potenzielle Gravitationsenergie und ein paar extra was man klassisch erwarten würde ist das kinetische Energie +plus potentielle Energie wenn man sie über bringt eine konstante ergeben dass es relativistisch der nicht mehr ganz dasselbe aber diese beiden Termine sind auch klassisch zu verstehen versuche ich diese 2. Gleichung durch einen zu lösen und zu gucken was die 1. Gleichung dann bedeutet für Mainz gar ein Faktor genauer gesagt für die Zeitentwicklung meines kleinen Faktors der übliche
Ansatz ist dass diese Dichte aus 2 Anteilen besteht einmal einen Anteil von relativistischen Teilchenstrahlung Rat für die Entstehung und einmal einen Anteil aus kalter Materie pro Markt Materie von diesen beiden Anteilen kann ich nämlich sofort sagen wie die sich entwickeln werden die kalte der Materie verteilt sich einfach mit dem Volumen in das Universum wächst das heißt dieser Anteil muss was sein die eine konstante rechnen Sie mal 10 als durch a hoch 3 wenn sich aber verdoppelt wird sich dieses Jahr auf ein Achtel reduziert weil das Volumen verachtfacht worden ist mit der Strahlung ist das ein bisschen raffinierter werden erzählt hat für eine Konstante für die Strahlung nicht mehr Photonen vorstellen oder Neutrinos aber erstmal Foto und die Zahl der Photonen 40 entsprechend dem Volumen von denen aber wenn die Skalen sich ändern ändern sich auch die Wellenlänge dass es kurz erwähnt waren werden dann später lange Weltkriegen noch ein Faktor a dazu weil sich die Wellenlänge ändert sich die Größe des Universums in also hier steht dann zum Schluss dieser Strahlungsanteil ist eine Konstante durch aber hoch 4 nicht durch auch 3 damit entfernt etwas über die Dichte gesagt ich brauche auch den Druck der Druck für relativistische Materie ist ein 3. Mal die Dichte mal C-Quadrat sage ich gleich warum und hier die ich von kalter nicht relativistischen Materie aus ich sage einfach der den Druck 0 Randnotiz wie komme ich auf diesen Druck für Strahlung der Energie Impuls den mit beiden Indizes oben in einem "anführungszeichen schönen Koordinatensystem frei nicht rotierend üblich Einheiten war ja nicht um mehr über die verschiedenen Geschwindigkeiten die ich habe mit dem jeweiligen Lorenz Faktor des Quadrats der Dichte für die jeweilige Geschwindigkeit schwarze Quadrate geht es weiter mit 3 neuen drunter stehen 3 neue und diesen räumlichen dreimal 3 steht die Summe über alle Geschwindigkeitsklassen und 2. Quadrat Geschwindigkeitsvektor Tensorprodukt Geschwindigkeitsvektor mal die Dichte das war für Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit in diesen 3 mal 3 Burg steht also so weit ,komma Quadrat 303 Matrix mal von in dieser 3 mal 3 Matrix hab ich V x Quadrat VOX Frau Y und so weiter vor und Quadrat in der Mitte VZ Quadrat rechts unten und so weiter und so weiter die Summe hier auf der Diagonale gibt also das Quadrat der Länge meiner Geschwindigkeit bin ich mit der Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit gehe muss diese Summe ja zum Quadrat der Lichtgeschwindigkeit werden und wenn ich dann hier noch über alle möglichen Geschwindigkeitsklassen summiere müssen wir 3 gleiche Zahlen stehen wegen der Isotropie was dann also daraus wird wenn ich mit der Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit gehen muss etwas werden wie C-Quadrat 0 0 0 0 0 und da muss hier C-Quadrat 3. C-Quadrat 3. C-Quadrat 3. stehen und sonst lauter Nullen daherkommt ist es ein Drittel ich brauche 3 gleiche Zahlen deren Summe C-Quadrat fehlt hier oben im Energien Impuls steht 1 Euro mal C-Quadrat steht der Druck kommt es zu einem offensichtlich ein Drittel von Roman C-Quadrat das Erstnotiz am Rande von dieser Druck für Strahlung herkommt wie gesagt das soll jetzt mein Ansatz sein für diese 2. Gleichung für
den Einsatz einsetzen und gucken ob kommt habe ich also nach der Zeit abgeleitet aber auch 3 mal die Dichter hatten diese beiden Komponenten die eine konstante nicht aber auch 4 und die andere Konstante durch aber auch 3 mal C-Quadrat versteht hier muss der Druck das ist nur sehr Strahlungsanteil mal die Ableitung von hoch 3 nach der Zeit sind es wirklich die darum dass der 0
rauskommt dann ist die 2. Gleichung tatsächlich erfüllt hoch
3 mal konstante durch aber auch dreimal Konstante die beiden Autrey geben sich weg wenn ich nach der 2. Pleite kommt nur aus dem kann ich also streichen dann bleibt über diese Konstante C-Quadrat muss sich aber auch -minus 1 ableiten und hier habe ich ein Drittel Dichte der Strahlung C-Quadrat und die wie üblich dreimal R-Quadrat ab .punkt den richtig aus dem Welt ableiten -minus 1 des Quadrats mal die Ableitung dieser Dichte der Strahlung hatten wir auch das soll ja sein dass sie dort durch aber auch 4 was übrigbleibt 3 durch 3 Feldweg Quadrat durch aber auch 4 macht und in einer Quadrat C steht vorne Zierrat steht in den C-Quadrat steht vorne C-Quadrat steht hinten ab .punkt durch Quadrat ab .punkt durch ein Quadrat vorne mit einem Minus hin mit einem Plus des kommt tatsächlich nur raus die 2. Gleichung ist erfüllt durch diesen ich kann nun also einfach alleine mit der 1. Gleichung weitermachen wie stark die 1. gleich
nochmal den Zeitableitung von Skalen vertrete ich den Scan Faktor ins Quadrat ist macht die Gravitationskonstante 3. mir steht jetzt die Dichte der habe aufgespalten Strahlung und Materie "anführungszeichen dann kommt die Grund dazu und die kosmologische Konstante und was über das Universum aussagen zu können braucht man nun allmählich doch echte Werte für diese ganzen Zahlen die da drin stehen nicht optimal nachgeschlagen die heutigen Werte für diese Ausdrücke das Wichtigste ist dieses Verhältnis links schneller expandiert der Raum ab .punkt durch aber also ohne das Quadrat vorgemerkt dieser Größe sich in sich die habe Konstante der Ausfuhr konstant ist aber mit Vorsicht zu genießen sie ist konstant durch den Raum aber nicht konstant in der Zeit das ist ja gerade der Witz zu uns interessiert die Zeitabhängigkeit von dieses Verhältnis hier ist etwas bei 70 Kilometer pro Sekunde pro Megaparsec was ist eine Einheit die die Astronomen lieber ein paar sind ungefähr 3 Lichtjahre also wenn 2 Galaxien 1 Million Parsec auseinander haben Sie aktuell eine relative Geschwindigkeit von 70 Kilometer pro Sekunde das ist nicht gerade viel aber das Universum ist groß das multipliziert sich ja je weiter die Galaxien auseinander sind umso größer wird die ihre Geschwindigkeit mit der sie auseinanderfliegen Kilometer Megaparsec das sind beides länger man kann natürlich kürzen Standardeinheiten stünde hier 2 mal 10 hoch minus 18 pro Sekunde also man kann das so auffassen dass jede Länge pro Sekunde den Anteil von 2 mal 10 hoch 18 Länder wird durch die Expansion des Universums das geht natürlich über große Distanzen zwischen irgendwelchen Galaxienhaufen zum Beispiel nicht innerhalb des Sonnensystems oder innerhalb eines Atoms die werden jährlich Kräfte zusammengehalten die auf der rechten Seite hat man jetzt wie ein Teil der Strahlung und Materie Krümmung kosmologische Konstante die miteinander vergleichen kann die die werden ja alle addiert subtrahiert ich hab jetzt vergleichbarer Größe stehen und kann von diesen vergleichbaren Größen angeben wie viel Prozent sie denn zu diesem Quadrat der habe konstante beitragen die Strahlung kann man damit aber die Strahlung trägt aktuell 0 Komma 0 1 Prozent bei ist also aktuell nicht allzu wichtig die Materie dann auch diesen Vorfahrt oder zugenommen weil der Markt der jeweils etwas schwieriger die übliche Materie die man so sieht im Teleskop gewöhnliche Materie die trägt 5 Prozent bei aber es gibt es Materie die wir nicht sehen darf Meter wie das so schön heißt es würde sagen Materie die wir vermuten beträgt 25 Prozent bei die Krümmung macht im heutigen Zustand des Universums nicht allzu viel der Beitrag der Gründung Pflicht im Betrag unter 1 Prozent das Universum ist sozusagen schon glattgebügelt durch die Expansion und der wichtigste Teil ist der letzte hier von der Kosmologischen Konstante der macht 70 Prozent aus also bei weitem das meiste und heißt ein populärer gerne die DAK Energie AG Energie ist im Endeffekt nur ein anderer Name für die kosmologische Konstante die kosmologische Konstante ist also der als positiv könnte negativ sein also derart positiv dass dieser Termin im heutigen Zustand des Universums die anderen locker überrundet wenn das Universum expandiert ändert sich ja diese diese Dichte jedes Quadrat ändert sich der letzte bleibt gleich das heißt diese Verhältnisse zwischen diesen 4 Anteilen die werden sich verschieben sich im Laufe der Zeit die kosmologische Konstante
hier steht auch als Konstante in dieser Gleichung der wird nicht durch ein Quadrat geteilt oder ähnliches dieses verdient sich nicht in das Universum wächst ein konstanter Beitrag nicht abhängig war und ist aber auch nicht abhängig von der Zeit die Materie sowohl die gewöhnliche Materie wie die DAG Meter die geht mit 1 durch a hoch 3 deren Beitrag fehlt also ab und die Strahlung geht mit 30 aber auch 4 an das heißt die wir zu Beginn des Universums viel wichtiger sein als die gewöhnliche Materie aber dann extrem schnelle Abklingen so müsste der Einfluss der Strahlung aussehen das
Universum hat also mindestens 3 Wochen eine in der die Strahlung dominiert dann kommt eine in der die Materie dominiert und dann kommt eine in der die kosmologische Konstante dominiert und jeweils kann man sich
jetzt überlegen was denn mit den Skalen Faktor passiert in der Strahlungs dominierten Epoche wird aus der 1. Friedmann gleich im Endeffekt 16 verstehen was mit 1 durch auch 4 geht die Strahlung den mit 1 durch auch 4 an einen Termin lass ich weg diese Differentialgleichungen sich der Ansatz einfach eine Potenzfunktion a von t ist proportional zu irgendein festen Exponenten Kuh und dann gucke ich was passiert wenn ich das Einsätze der oben steht dann LTE Hochchor -minus 1 unten steht T O Q das ganze ins Quadrat also bleibt links im Endeffekt T hoch 2 1 -minus 2 -minus 2 CO 2 CO -minus 2 -minus 2 QC und auf der rechten Seite beteiligt durch die 4. Potenz von Theo Hochkomik Exponent rechts ist also -minus 4 Q 2 -minus 2 sich weg ich
lerne Komus muss Einhalt sein und das heißt es kann ein Faktor gilt in der Strahlungs dominierten Epoche also mit Theo Reinhardt mit der Wurzel von T ganz ähnliche Rechnung für die Materie dominierte er brauche ich aber ab .punkt durch a eines Quadrats ist proportional 1 durch a hoch 3 D Materie Teil ging mit 1 durch auch 3 alle anderen ignoriere ich gebe ich Ansatz etwas vorsichtiger sein und der Strand dominierten die Woche habe ich ganz dreist eingesetzt wenn die Zeit knapp ist ist auch das kein Faktor 0 Gedichtbänden passiert bei gleich 0 das hab ich hier eingebaut sich erlauben dass die dergleichen auch woanders liegen darf und die ineinander übergehen lassen zu dürfen also mein Ansatz wäre das der Skalen Faktor proportionales T minus irgendeine Zeit 0 Q ansonsten diese Berechnung auf die Seite steht nicht -minus 4 sondern -minus 3 und die habe ich dann eben nicht einhalten 2 Viertel sondern 2 Drittel ist 2 Drittel an stammend ist der Skalen Faktor proportional zu T minus dieser Anfangszeit 10 0 hoch 2 Drittel Epoche Nummer 3 in das Universum ist und ihn jetzt durch die kosmologische Konstante steht in der 1. Friedman gleichen gab .punkt durch R-Quadrat =ist gleich kosmologische Konstante mal C-Quadrat 3. das 1. was man sieht das geht wohl nur wenn die kosmologische Konstante größer ist als 0 sonst müsste das Quadrat negativ sein diese Differenzialgleichung ist besonders einfach ich alte also ab .punkt durch A =ist gleich die Wurzel aus kosmologische Konstante 3. Mal C im Prinzip könnte doch noch ein Minus davor stehen aber offensichtlich ist das nicht das was bei uns stattfindet und jetzt hab ich also dass die 2. Ableitung einer Funktion aber durch die Funktion aber gleich einer konstanten ist also eine Exponentialfunktion als Lösung des kein Faktor muss in dieser Woche proportional zu ihrer hoch Wurzel lachender 3. Mal Lichtgeschwindigkeit mal die Zeit sei sagen exponentiell wachsen in der Strahlungs dominierten Epoche geht der Skalen Faktor also wie eine umgekippte Parabel dann in der Materie dominierten Epoche wird der fast linear hoch 1 ja aber es ist hoch 2 Drittel etwas nach unten abbiegend und in der Landtag dominierten Epoche wächst er exponentiell das
versuche ich mal in dieses Diagramm einzuzeichnen verhängte Skalenfaktor ab von der Zeit wegen Strahlung hätten hätten wir hier einfach eine umgekippte haben irgendwann kommt aber der Übergang zur Materie dominierten Epoche wurde es kein Faktor fast linear wächst und jetzt kommt auch das ist 0 Endspiele geben sich den Anschein als ich früher angefangen haben mit dem Materie dominierten Universum das die beiden sich hier so schneiden können Staaten mit der blauen Kurve dann kommt eine Übergangszone und ich wünsche auf die grüne Kurve und dann kommt wieder ein Übergang in die Lande dominierte brauchen eine Exponentialfunktion also quasi so von hier kommt und hier wir über das von der grünen Kurse in unser Exponentialfunktion der strahlendsten jedenfalls und damit die dominierten Phase sieht man dass die Kurve nach rechts weg geht in der Lander dominierten Phase geht sie nach links weg der heutige Zustand ist in dieser Übergangsphase am Anfang von den roten Bereich ist das jetzt die 2. Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit ist bereits positiv denn guckt sich die 2. Friedmann Gleichung an A 2 .punkt durch aber welche von internen ist heute der Gewinner ist der mit der Kosmologischen Konstante und wir wissen dass die positiv ist mit diesem Artikel dominierten Teil können wir das Alter des Universums schätzen
die einfach nur von der grünen Kurve aus und sage ich mal ganz dreist die fängt bei T gleich 0 1 nicht Stückchen vorher dann habe ich also des klaren Fakten Abhängigkeit von der Zeit ist irgend eine konstante Martin hoch 2 Drittel des CIA mit 10 ungleich 0 das heißt Ableitung des Charakters nach derzeit mit seinen sehr konstanten hat 2 Drittel extreme Form und Materie hoch minus ein Drittel der nochmals reduzierte das heißt wenn ich die beiden durcheinander Teile ab .punkt durch aber die konstant heraus dass 2 Drittel bleibt stehen und ich habe Tenjuch -minus ein Drittel durch die hoch 2 Drittel also -minus 3 3. sagen 1 durch durchziehen einst durch ist also 3 a .punkt durch 2 a t ist 2 aber durch 3 ab .punkt ab .punkt durch A erkennen wir das ist die aber konstant hier steht also 2 Drittel mal 1 durch 2 mal 10 hoch minus 18 pro Sekunde das sind ungefähr 3 mal 10 hoch 17 Sekunden oder 11 Milliarden Jahren immer die 1. Friedmann Gleichung geweckt löst nicht mit dieser stark vereinfachten Annahmen dann werden sie dann nicht 11 Milliarden Jahre sondern knapp 14 Milliarden Jahren genauso überschlagsmäßig kann man sich überlegen man den Übergang von der Strahlungs dominierten zur Materie dominierten Epoche war und zwar mit Hilfe der kosmischen Hintergrundstrahlung die sozusagen der Schlussakkord dieser Woche hier nach dem Übergang für die kosmische Hintergrundstrahlung freigesetzt
die kosmische Hintergrundstrahlung Cosmic Background verlegerischen sag ich jetzt einfach nur die sehen wir bei 3 Kelvin ungefähr statt wo sie hingehört bei 3 Tausend Kelvin die Temperatur eines ionisierten Gases sollte 3 Tausend Kelvin sei nicht reicht der kann sein und damit kann ich jetzt zurückrechnet die Temperatur der Strahlung hat mit der Energie pro Teilchen zu tun die Energie der Strahlung müssen inzwischen geht wie einst durch aber auch hier die Zahl der Teilchen GT 1 durch a hoch 3 das heißt die Temperatur geht wie einst durch Aachen wenn sich das Universum um Faktor 2 vergrößert im Raum wird die Temperatur insbesondere kosmischen Hintergrundstrahlung um Faktor 2 herunter gehen damit kann nicht folgern dass kein Faktor zum heutigen Zeitpunkt durch den Scan Faktor zu dem Zeitpunkt an dem die Hintergrundstrahlung ausgesendet worden ist dieses Verhältnis muss umgekehrt das Verhältnis der Strahlungstemperaturen sein also 3 Tausend Kelvin durch 3 Kelvin wir sagen 1000 beseitigen Sie die Längen im Universum also um den Faktor 1000 gewachsen und jetzt rechtlich rückwärts mit dem Materie terminierten Universum die Zeitableitung zu diesem Zeitpunkt an dem die Hintergrundstrahlung ausgesendet worden ist durch den Wert des klaren Fraktus zu dem Zeitpunkt ins Quadrat das ist was auf der linken Seite der 1. Friedmann Gleichung steht das ist jetzt in der dominierten Phase die danach kommt irgendeine konstant durch diesen Skalen Faktor hier steht hoch 3 und es konnten bisher Bruchrechnen das schreibe ich als selber Konstante durch den Kanal Faktor heute hoch 3 Mal den Skalenfaktor heute hoch 3 das 70 Weg durch diesen Skalen Faktoren zum Zeitpunkt in dem die Hintergrundstrahlung ausgesendet worden ist hochtragend und konnte 1. zufrieden
Angleichung ich weiß dass dieses hier in der Arterie dominierten Phase die aber konstant ins Quadrat ist mit 1. Friedmann Gleichung also 2 mal 10 hoch minus 18 pro Sekunde ins Quadrat und dies hier weiß ich es 1000 hoch 3 das Verhältnis der beiden Skalen Faktoren ist Tausend also mal 1000 hoch 3 ich hab jetzt also mit der Materie dominierten Phase quasi rückwärts gerechnet was dieses Verhältnis sein muss ableiten dass keine Faktors durch den Skalen Faktor in dem Moment in dem die Hintergrundstrahlung ausgesendet wird jetzt rechtlich vorwärts vom Anfang des Universums bis
zur Aussendung der Hintergrundstrahlung was nicht ganz stimmt Herr groß wurde dann
habe ich in dieser Epoche ist der Faktor eine konstante mal die Wurzel der Zeit und die Ableitung des Skalenfaktors gleich derselben Konstante durch zweimal die Wurzel Zeit das heißt wenn ich die beiden durcheinander Teile ab .punkt durch aber wirklich einst durch 2 zweimal die Zeit raus ab .punkt durch aber habe ich jetzt aber gerade sozusagen von hinten bestimmt nicht rückwärts rechne die Materie dominierte auch rückwärts rechnet damit hab ich ab .punkt durch aber am Anfang dominierten Epoche am Ende der Strahl brauchen das setzt sich jetzt eine in der also der Zeitpunkt zu dem die Hintergrundstrahlung ausgesendet worden ist ist meine halb mal 1 durch Art .punkt durch aber sie gleich mehrfach umgestellt von diesem Zeitpunkt natürlich hier passiert steht hab ich gerade eben bestimmt das ist also eine Art mal 1 durch die Wurzel heraus Quadrat die Wurzel heraus also hier steht 2 mal 10 hoch minus 18 pro Sekunde und dann die Wurzel aus Tausend hoch 3 mal 1000 hoch 3
und das macht 8 mal 10 hoch 12 Sekunden oder 300 Tausend Jahren 300 Tausend Stück nicht so ganz dass wir sehr simpel gerechnet die offizielle Antwort ist der 400 Tausend das heißt eines
der kommt zurückgeht dieser
Zeitpunkt hier die Ausdehnung der kosmischen Hintergrundstrahlung nach dem Übergang von Strahlungsdruck nominiert in Materie dominiert ist etwa bei 400 Tausend Jahren dann sieht man dass das nicht ganz maßstabsgetreu ist 14 Milliarden Jahren bis zum jetzt aber nur 400 Tausend Jahre ein winziger Bruchteil davon bis zur Ausdehnung der kosmischen Hintergrundstrahlung sollte man eine Idee von den zeitlichen Größenordnung des Universums jetzt den räumlichen Größenordnungen nicht seine noch einmal den Verlauf des es beginnt mit wurzelt in der Strahlungs dominierten Phase dann geht es mit The hoch 3 halbe also fast 10 Jahre weiter und dann kommt exponentielles Wachstum das möchte ich jetzt im Raum betrachten natürlich wieder in Como wegen koordiniert das hier und jetzt befindet sich da niemand die x-Koordinate 0 einfach ist egal welche ich nehme in der Homogenität und 14 Milliarden Jahre nach dem Big Ben das Universum beginnt im Plasma ist dann irgendwann dichtet das ist der Moment in dem die kosmische Hintergrundstrahlung ausgesendet wird jetzt wüsste ich gerne was passiert wenn ich zum Zeitpunkt 0 also beim Big Band an der Koordinate x 0 1 Lichtimpuls aussehende das ist natürlich ein Gedankenexperiment in der wir sind Wasser untergehen Lichtimpuls hab ich's gleich 0 T gleich 0 das ist jetzt nicht ganz so einfach weil ich hier in Komoren koordiniert werden in hier ein Galaxienhaufen entsteht bleibt der Index Koordination und hier und hier und so weiter das war ja gerade der Witz bei diesen Koordinaten ist die mitwachsen mit dem Universum am Anfang des Universums scheint nicht also schneller zu sein in diesen Koordinaten als es derzeit ist bei dieser Entfernung in realen Kilometern gemessen sehr viel kleiner war auch wenn sie mal nix Koordinaten gleichgroße in diesen Koordinaten muss sich für Licht also haben das X .punkt proportional zu 1 durch a ist in meinem Universum um den Faktor 2 in den Längen größer geworden ist ist das nicht in diesen Koordinaten nur halb so schnell der sich nicht für die verschiedenen Epochen durch was das bedeutet in der Strahlungszone den ich auch habe ich nix .punkt ist proportional zu 1 durch Wurzel Wurzelziehen mit anderen Worten ich selbst ist proportional zur Wurzel Themen dieses integrieren in der Materie dominierten Epoche habe ich nix .punkt ist proportional zu 1 durch Theo hoch 2 Drittel also proportional zu den auch -minus 2 Drittel sagen X selbst ist proportional zu hoch bloß ein Drittel diesen integrieren das ist noch nicht ganz plus eine konstante muss von den nicht weitermachen was vorher in der Strahlungszone mitten in der Woche rausgekommen ist und nun in der Woche die durch die kosmologische Konstante dominiert 4 habe ich es .punkt ist proportional die hoch -minus irgendeine positive konstante Marty der vierteilig 1 durch eine wachsende Exponentialfunktion das Integrieren bekomme ich das x propertional ist zu 1 -minus EU -minus sagte konstante mal C +plus eine konstante nämlich die Position die ich zu Ende der Mann der dominierten Phase das heißt wir fangen wollte für mich an diesem Diagramm also habe ich mich dafür dass Tor noch ausgesehen hat aber dann wird es zu C hoch ein Drittel dieses fertige hoch 2 Drittel jetzt hab ich die hoch ein Drittel das muss im Verlauf also deutlich flacher werdende das übersteigt immer noch jede Zahl aber langsam und in der letzten Woche hier auf wichtigen 1 Tote eher hoch -minus eine konstante sie mit viertägigen endlich zu 0 werden hier kommt das Licht nicht mehr mit mit der Ausbreitung des Universums ich beginne gegen eine als Tod zu laufen und werde niemals weiter nach rechts ,komma das war nicht was ab x gleich 0 startet ob ich hier starten oder da oder da darf kein Unterschied machen das ist homogen nicht starten weil mir so dass unser Licht heute bei der Erde ankommt das kann ich auf der anderen Seite auch das Licht was wir heute sehen aus dem Universum und also von hier oder von da oder im Raum geben rings herum habe ich in einer Raumrichtung dies ist das nicht was wir heute sehen wir gucken also in die Tiefe des Raumes und gleichzeitig in die Vergangenheit Milliarden Jahre zurück und je weiter wir zurück gucken desto rotverschoben wird dieses Licht weil das Universum ja hier viel kleiner war als es heute ist das nicht die sich quasi auf dem Weg durch das Universum die Wellenlänge weltgrößte das älteste was man sehen kann stammt von hier und von mir das ist die kosmische Hintergrundstrahlung das Ende dieser Plasma Phase jetzt kann man noch was den räumlichen Größenordnungen sagen diese Distanz die Distanz aus der die Kosmische Hintergrundstrahlung abgeschickt worden ist von Milliarden Jahren das sind 42 Millionen Lichtjahre wissen aber schon von da bis da ist das Universum und den Faktor 1000 größer geworden das heißt wenn ich hier an der selben Stelle Universums eine Galaxie entstanden ist es ein Galaxienhaufen entstanden ist ist der heute tausendmal weiter weg genauer 46 Milliarden Lichtjahre Milliarden wohlgemerkt führen sind Millionen ich kann diese nicht signalisieren noch etwas weiter draußen stark nämlich dieselbe Kurve und schieben noch ein bisschen weiter nach draußen so dass die =ist gleich 0 Achse die also Tote wird von dieser Kurve die gleichen Axel wird niemals erreicht von diesem Lichtsignal genauso auf der anderen Seite das heißt hier bildet sich ein Ereignishorizont was hier hinterlegt werden wir niemals sehen genauso auf der anderen Seite stehen noch die Galaxien tauchen nach und nach in dem Ereignis Horizont ein sieht der täglich hatte für das Licht ausgehen sondern Rotverschiebung wird stärker und stärker irgendwann sind sie dann ganz dunkel Mehr und mehr Galaxien tauchen Weg hinter dem Ereignishorizont bis wir dann mit der Andromedagalaxie irgendwann alleine sind und der Abstand zum Ereignishorizonts das sind aktuell 16 Milliarden Lichtjahre das sind also die räumlichen Größenordnungen des Universums im Standardmodell für das Universum verfeinert man das Ganze noch ein bisschen in die Anfangsphase wo zum Beispiel noch eine Inflation
Zeitabhängigkeit
Faktorisierung
Punkt
Feldgleichung
Mannigfaltigkeit
Diagramm
Gleichungssystem
Grundraum
Koordinaten
Gradient
Quadrat
Faktorisierung
Verschlingung
Energie
Krümmung
Differentialgleichungssystem
Kosmologische Konstante
Partielle Differentiation
Gleichung
Grundraum
Ableitung <Topologie>
Gewöhnliche Differentialgleichung
Dichte <Physik>
Quadrat
Punkt
Kosmologische Konstante
Gleichung
Dichte <Physik>
Geschwindigkeit
Innere Energie
Zeitabhängigkeit
Faktorisierung
Punkt
Krümmung
Thermodynamik
Gleichungssystem
Charakter <Topologie>
Gleichung
Dichte <Physik>
Gradient
Potenzielle Energie
Quadrat
Einheit <Mathematik>
Energie
Kinetische Energie
Kosmologische Konstante
Volumen
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Geschwindigkeit
Impuls
Länge
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Rand
Gleichung
Zahl
Tensorprodukt
Dichte <Physik>
Maßeinheit
Null
Isotropie
Konstante
Summe
Quadrat
Energie
Volumen
Diagonale <Geometrie>
Grundraum
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Konstante
Quadrat
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Dichte <Physik>
Mathematische Größe
Geschwindigkeit
Zeitabhängigkeit
Länge
Faktorisierung
Krümmung
Abklingen <Physik>
Kraft
Gleichung
Dichte <Physik>
Ausdruck <Logik>
Konstante
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Ganze Zahl
Kosmologische Konstante
Meter
Grundraum
Quadrat
Faktorisierung
Exponent
Differentialgleichungssystem
Kosmologische Konstante
Grundraum
Diagramm
Quadrat
Faktorisierung
Kurve
Kosmologische Konstante
Berechnung
Exponentialfunktion
Gleichung
Grundraum
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Aggregatzustand
Konstante
Bruchrechnung
Länge
Quadrat
Faktorisierung
Energie
Kurve
Charakter <Topologie>
Gleichung
Grundraum
Zahl
Ableitung <Topologie>
Faktorisierung
Quadrat
Momentenproblem
Gleichung
Grundraum
Konstante
Quadrat
Faktorisierung
Strahl
Ableitung <Topologie>
Länge
Faktorisierung
Total <Mathematik>
Position
Kurve
Momentenproblem
Standardmodell <Elementarteilchenphysik>
Tiefe
Exponentialfunktion
Ereignishorizont
Zahl
Index
Diagramm
Kosmologische Konstante
Größenordnung
Raum <Mathematik>
Bruchteil
Grundraum
Koordinaten

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Kosmologie der Friedmann-Gleichungen
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 24
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/19913
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

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