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Ableitungen von Tensoren, metrischer Tensor

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Automatisierte Medienanalyse

Beta
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nun geht es um ein paar mehr oder minder komplizierte Standard
Tensoren der billigste von 1 der 0 schreibe mal ob den gibt es mit beliebig vielen Indizes oben und unten zum Beispiel sowas hier Alpha-Beta contra Variante Gambar Kovarianz stellt der Controller Variante in diese Komponenten von 0 sollten einfach schlicht und ergreifend immer durch überraschend und wenn in einer Basis der Fall ist ist klar in jeder anderen Basis müssen die Komponenten auch 0 sein Bruchstrich Alphabet Angaben handelte gleich 0 die transformierten Komponenten kriege ich indem ich die orginal Komponenten mit irgendwas vonwegen E-Strich Platform II oder III von -minus und so weiter multiplizieren nun mal irgendwas bleibt 0
demnächst kompliziertere denn so wird der Einheitstensor das
ist das Analogon zur Einheitsmatrix der üblichen Vektoren Matrizenrechnung schreiben weil die für den Einheitstensor hat einen Konter Varianten Index und eine Kovarianz Index und dessen Komponenten sind in allen Bars gleicht dem konnte der Eltern ganz billig will sagen wenn die beiden Indizes gleich sind ist die Komponente 1 für sind die beiden Indizes verschieden sind ist die Komponenten 0 sicherheitshalber überlegen muss dass das wirklich ein Tensor ist ich gucke einfach mal wie die Komponenten transformieren in einer anderen Basis kriege ich die strich sagen wir Mühe oben unten und wenn dieses Ding korrekt transformiert ist dass das was wir vorher hatten den ursprünglichen System und jetzt die Transformation für den Kontrakt Varianten Index E-Strich bemühen Frau die alpha ich hab schon gar nicht mehr die Summe über alle Vereine die versteht sich inzwischen von selbst Nations Konventionen mal was ich brauche für die Transformation von diesem kooperierenden Index Bertha von E ,komma auch wieder die Summe über Wetter nicht reingeschrieben versteht sich von selbst in der Orginal Basis kenn ich die Komponenten aber das ist etwas das in der Tat dass es bei diesen Summen überall für und über bitte aber gibt es nur da einen Beitrag wo alle Vergleich Wetter ist und da ist diese Komponente gleich einem ist im Endeffekt zu mir ich also nur noch zum Beispiel überall vor habe dann die strich von dem alle Fahrer mal wie etwa gleich einer Festung erzwungene alle Fahrer von E-Strich Menü und die Summe über alle Fragen wie sie es mit Index oben sollen wir leben ja Frauen zahlen eine Basis für den dualen Vektorraum diese gehen ja in diesem Argument was da drin steht das heißt ich kann dieses Ziel mitsamt der Summe die gar nicht hingeschrieben ist überall frei hier einziehen in das Argument und kriege das ist es ,komma oben wie von unten alles zusammengenommen die um alle von strich und finden Sie mal Ihren Fragen eine Zahl zu nennen ja vom angewendet gibt eine reelle Zahl mal einen Vektor dass sie jetzt in der
Klammer steht es aber schlicht und ergreifend E-Strich Kunden die ich nehme den Vektor E-Strich Kunden und schreibe Ihnen mit der alten Basis die EU um alle vergeben die die Koeffizienten DIE unten Eifer sind die Basis Vektoren dazu wirklich einfach dem Lektor gestrichen die wieder hier steht also zusammen E-Strich oben von strich unten in und nach Definition der dualen Basis ist dass jeder der in der Tat für ich als auch in der anderen Basis in jeder anderen Basis das die Komponenten von diesen dient dem Einheitstensor gleicht dem Komiker der der sind den Leuten soll in allen Varianten sonst viele Stufe konnte Varianz jede Stufe kovariante hatte überall in einem weißen die Komponenten 0 Einheitstensor gibt es dann eben nur eine 1. Stufe konnte während 1. Stufe Kovarianz der hat in allen Phasen das ,komma Nigerdelta was Komponenten der transformiert sich also nichts im Endeffekt
darum ist dieser Einheitstensor im Endeffekt die Einheitsmatrix ich mir den Komponenten war von oben alpha und beta und ich modifizieren und mit irgendeinem anderen Zensur sagen wir und dann war mir nämlich zum kontrahieren das Wetter noch einmal die Summe über dieses Wetter versteht sich von selbst und um noch mal ein wenig sowas hinschreiben jegliche automatisch der Sonne haben alle von diesen Komponenten bei dem Wetter gleich Alfa ist ansonsten ist das wird im Endeffekt werden Tee und um alle war oben will diese Operationen mit dem Einheitstensor macht im Endeffekt nichts das geht natürlich nicht nur mit einem Index oben das geht auf den Index und wenn ich so was haben wir irgendeine denn so sagen wir ja alle für fahren einen Gamer unten und oben Multiplizieren mit dem Einheitstensor und kontrahieren über diesen Index hier oben das erfahren dass eine für das Wetter sich unten frei dann bitte hier das Komiker Delta alle Alfas raus bei den alle Vergleich wird dabei ist und die Sonne die er nicht versteht zum Nations Convention sorgt dafür dass er zum Schluss macht es das Wetter kann man darstellt denn nur den Sommer bei der Addition nichts und der Einheitstensor macht bei diesen Aktionen nichts normalerweise eine keine
Größen dieser einzelnen Raum rumhängen sondern Felder an jedem Punkt im Raum oder zumindest einer bestimmten Menge von Punkten im Raum zu einer größeren diese Größe hängt vom Ort ab das ist dann ein fehlt einfach der Vater eines kann aber es fehlt das heißt
keine große VII ich warte mal ausdrücklich von X X soll die 4. Koordinate sein in der wir das Feld betrachten also wenn man c't und Ortsvektor X oder ein Vektorfeld also ein Vektor zum Beispiel ein Contra Variante Vektor unabhängig von Ort und Zeit von dem allgemeinen vereinten so fällt zum Beispiel hier 2. Stufe kommt abhängig von Ort und Zeit ein Vektorfeld und es gelang es stellt natürlich Spezialfälle von den so Felder in dem Sinne dass Sektoren skalare auch Tensoren sind und wo kann man gucken wie sich diese Felder verändern man von einem Punkt in der Raumzeit zum anderen geht es insbesondere wenn man Ableitungen bildet lustigerweise stehen dabei Leuten so fern kann es
fehlt was von Zeit und Ort abhängt jetzt eindimensionalen Ort kann ich für Linien einzeichnen als ist entlang dieser Linie gleich 4 Mal und entlang dieser Linie gleich 3 und entlang dieser Linie gleich 2 und entlang dieser Linie gleich 1 und so weiter das wären die Werte von fällt die von X und wenn ich zum Beispiel angucken wie sich das Feld verändert wenn ich hier sitze und in Richtung positiver X 1 werde weitergehen stelle ich fest dass das Feld ab fällt von 3 irgendwann runter auf 2 das wäre dann die partielle Ableitung ich leite das Feld speziell aber nach X 1 zu und stellte fest der wert sind diese partielle Ableitung ist kleiner als 0 natürlich kann ich an jedem Punkt Ableitungen nach x 0 x 1 x 2 x 3 betrachten und gucken was da passiert ist in welche Richtung das Feld wie stark abfällt genauso für den so Komponenten wenig wie stets eine Komponente eines Sensors geht das natürlich genauso durch das überraschende ist wenn ich mir jetzt gehen Tensor so nehme ich sage mal es unten Alpha-Beta oben abhängig von X als ein Tensor fällt 2. Stufe kovariante 1. Stufe contra Variante so ein Tensor fällt nehmen egal welche Stufe Kurbayern welche Stufe contra Variante und leiten das ab nach der Koordinate x Mühe kriege ich lustigerweise wieder einen Tensor jetzt mit einer weiteren kovariante Koordinaten
wichtige Fußnote in der Allgemeinen Relativitätstheorie mit krummlinigen Koordinatensystem wird es nicht mehr so einfach sein wird hat das nur mit Skandalen nicht mehr mit beliebigen denn so wenig da ein Skala pleite hab ich wieder einen Tensor also ein Weg der den Fall aber es wird nicht mit allgemeinen denn so und das in Fußnote bei uns hier wird es jedoch immer noch klappen
Bogen und das Transformations Verhalten in einer anderen Basis hab ich andere Komponenten in wir sie erst strich unten ein oben Gamer abgeleitet nach anderen Koordinaten x Strich oben wir die Ableitung nach x spricht kann ich aber anders schreiben das ist der Gedanke hinter dem totalen Differenzial ich leite nach X ab und multipliziere mit den Ableitungen von x 1 x strich und hier ist wieder eine Summe über den genügend dazu gedacht das ist das totale Differenzial in Aktion das sieht ja so aus das Zentraldifferenzial einer Funktion ist ich leite die Funktion partiell X ab man die XT +plus die Funktion partielle nach y abmalte y +plus je nachdem wie viel Koordinaten ich habe die Ableitung nach x Strich wird also sein das bleibt das Differenzial wird speziell X ,komma abgeleitet und so weiter und so weiter ich kriege diesen Ausdruck mit der Summe über alle x Komponenten dazwischen der vordere Teil
hier ist zumindest der speziellen Relativitätstheorie kein Drama der transformiert üblich
die es strich alpha beta gamma kann ich mit dem es Komponenten ausdrücken und irgendwelchen E-Strich von und die von strich die Ableitung macht an diesem spricht von I und II von den Strich nichts kaputt weil die Konstanz und das wird sich in der allgemeinen Relativitätstheorie Ende welche hinten ist der spannende ich gucke mir an wie ich meinen Vektor x 1 4 Vektor x auf 2 Arten schreiben kann einmal in der alten Basis sein DX 10 g e n d e zu Macius Konventionen und einmal in der 39. DX strich Belangen der E Street Lander das heißt ich kriege das X in den Mühe in dem ich das E oben Mühe auf diesen Ausdruck loslasse also auf diesen Ausdruck loslasse E oben von X strich um Namen der E-Strich und den Launen der Natur alles was Fekter ist ja gerade dadurch definiert dass er diese Komponente X Menüs aus aus dem Vektor x weil die oben ein Korrektur ist eine ja vor kann ich diese sich strikt an das ist eine Zahl ausziehen und die Summe die er versteckt ist dann darum Land und kann ich auch aussieht und wie wir das ist X strich vom Land der edlen Roben mit Hilfe von strich unten landen und jetzt können wir die Ableitung ausrechnen ich möchte wissen was ist die partielle Ableitung von x ungenügender /schrägstrich will das funktioniert jetzt also x trugen ableiten nach strich oben wird werden dass muss sich jetzt ableiten Hieroglyphen E-Strich und Lander ist eine Konstante noch wesentlich begründen Koordinatensystem das heißt die Ableitung wird nur auf den 1. Faktor und ich kriege das ist die partielle Ableitung von x Strich oben an der Macht zu halten X strich oben mal diese Konstante E um von E-Strich und den Namen der Nation Ableitungen sind aber so gebaut dass wenn ich die sonst für die Koordination der Person zu viel gegolten hatte ableiten dass sie wieder ,komma Nigerdelta kommt wenn ich eine Koordinate an sich selbst abgeleitet wird dass 1 nämlich eine goldene hatte nach der anderen Pleite geht das 0 wirklich also wieder alle über den Gleichklang der ist und bleibt die oben den von strich und dieser Faktor hinten ist also dieses hier die oben von E-Strich und und das ist genau was wir brauchen für Kovarianz in diesem Index Mühe mit diese Ableitung Kovarianz sein ich habe also einen Tensor sonst jeder Stufe genommen und eine Zensur gebaut der eine Stufe Merkur Variante ist in dem ich abgeleitet haben wir wieder eine Fußnote im Vorgriff auf die allgemeine Relativitätstheorie die Ableitung nach dem Mythen Koordinaten Funktionen die scheint es in gewisser Weise das Erbe zu sein wie der Mythen Basis Vektor und die Mittel Koordinaten Funktionen Excel diese Funktion für sich schon in gewisser Weise das Erbe zu sein wie das lied Element der dualen was ist wirklich an schon eine Idee was denn diese Sektoren und Korrekturen in der allgemeinen Relativitätstheorie sein werden in krummlinigen Koordinaten System bei der Ableitung so
häufig vorkommen eine Kurzschreibweise irgendein den soll schreibt jetzt Verbitterung und oben egal ob irgendein denn so partiell abgeleitet nach den Mythen Koordinate ist in Kurzschreibweise einfach nur die und finde es Alpha-Beta Gamma versteht das mir an der richtigen Stelle in der Weise dass Minister ein kovariante Index das geht noch kürzer als schreibt es Alpha-Beta oben ,komma .punkt sagen diese Komponenten bitte nach dem müden Koordinate ableiten
die 3 alten Bekannten aus der Vektoranalysis der Grad während die Divergenz die Rotation die kann man jetzt wieder verschreiben Dekret während eines Skalarfeldes wird dann einfach den I oder ganz kurz geschrieben wie ,komma Mühe einen kovariante Rektor der uns sagt in welche Richtung dieses Feld am schnellsten wächst und wie stark es wächst die Divergenz eines Vektorfeldes immer ein Contra Variante ist der Einfachheit halber kriege ich nun so nicht mehr die Ableitungen und Kontrast ihre oder kurz beschrieben aber oben will ,komma und ist ja die eingebaut Summersons Konvention das gibt eine Skala aber ich habe keinen Index mehr über einen Skandal der mir sagt was die Quellen berichten von einem Feld ist konnte Rotation wird sowas werden wie die und müde aber oben wie unten und -minus mit vertauschten Rollen die und bemüht aber ohne Mühe ein antisemitischer Tensor kurz geschrieben wird dann haben wir ein ,komma -minus aber ,komma nötig das sagt mir was über die wir benötigte man das Vektorfeld malerweise sondern eher sowas wie die die Ableitung der Zeitkomponente nach y -minus ist die Ableitung der Komponente nach CC und so weiter und so geht es den 4 Rektoren oder sogar allgemeine in 5 Dimensionen 20 Dimensionen es gibt später eine alternative Möglichkeit das zu schreiben mit den Ärzten und Symbole das ist aber eine Nummer zu trickreich und das jetzt zu machen der Begriff der Metrik
Englisch mit sehen in den natürlich wir haben mehr als einen Vektorraum in einem
Vektorraum kann ich Vektoren mit Zahlen multiplizieren zum Beispiel mal 2 nehmen und ich kann Vektoren addieren und
dabei sollen die üblichen welchen Gesetze gelten ich nicht alle auflisten die haben aber mehr als das wir können nicht nur das Vielfache von Vektoren bilden und Vektoren addieren wir haben aber mehr als das Lektorat Fluss sozusagen das mehr haben ist die Metrik bei Euklid die klassische Sorte Vektorraum gibt es den Ländern Begriffe zu jedem Sektor kann ich eine länger anhält und verwandt mit dem der Begriff das Skalarprodukt gegeben 2 Vektoren kann ich das Skalarprodukt der beiden bestimmen was den geometrischen bisschen raffiniert ist die Länge der Projektion des einen auf den anderen war die Länge des anderen besonders spannend und
Skalarprodukt ist dass ich sagen kann wann 2 Vektoren senkrecht zueinander sind nämlich genau dann wenn er Skalarprodukt gleich 0 ist das sind die Zutaten wirklich gibt und die Länge und das Skalarprodukt hängen insofern zusammen als das Quadrat der Länge das Skalarprodukt eines Sektors mit sich selbst ist hier sind wir aber bei der Relativitätstheorie und haben nicht nur mit dem Raum zu tun es kommt die Zeit dazu
also nicht nur Clips sondern nur Minkowski nicht eine und
beschleunigte Bewegung habe zwischen 2 Ereignissen dass ein am einfachsten am Ursprung kann ich sagen dass die eigene Zeit ist die von einem bis zum andern vorgeht das entspricht der Länge der Kette der Einheiten soll ich sagen Sie mal die Eigenzeit und das war eben das Quadrat davon C-Quadrat mal die Eigenzeit ins Quadrat gleich C-Quadrat mal Zeitdifferenzen -minus die Orts Differenz Lernquadrat das ist sozusagen der lehnen den Begriff einen Minkowski wird analog gibt es ein Skalarprodukt ich kann 2 solche Vektoren miteinander multiplizieren ich sage mal c't 1 x 1 Sektor c't 2 x 2 Vektoren die kann nicht miteinander multiplizieren und eine reelle Zahl rauskriegen Vergissmeinnicht entdecken .punkt dazwischen und klarzumachen dass das was fieses ist schreib ich mal mathematisch diese spitzen Klammern das Skalarprodukt dieser beiden 4 Rektoren kriege ich beim Minkowski als C-Quadrat T 1 T 2 -minus das übliche Skalarprodukt das EU-kritische Skalarprodukt von x 1 und x 2 unklar ist es ja nicht wieder den selben Zusammenhang zwischen diesen in "anführungszeichen Skalarprodukt und Design "anführungszeichen längere einen Weg zur einmal sich selbst in diesem Skalarprodukt gibt das Quadrat der Länge an kann dieses hier das Minkowski Skalarprodukt mathematischen
Sinn ist aber kein Skalarprodukt weil es mir passieren kann wenn ich einen Vektor mit sich selbst multipliziert ist was negatives rauskommt wenn einfach T gleich 0 und steht hier -minus die Länge von der räumlichen Komponente ins Quadrat das die Definition der traumartigen Vektoren für die gibt Vektoren weisen selten Weg eine negative Zahl dass wir mathematischen Skalarprodukt verboten der mathematischen Begriff für diese Sorte an den ist eine symmetrische Bienenjahr vor was wir haben es also einen
Vektorraum bei Ihnen Frau und eine symmetrische Bienenjahr Form im euklidischen fallen die klassischen wollen wir das normale Skalarprodukt und bei Minkowski gegen diese schräge Skalarprodukt was mit einem Sack zu tun hat und die Stadt immer weiter in die spitzen Klammern für die symmetrische Binärform bekommt den Namen überhaupt eine Lilie erfahren haben schon gesehen die Korrekturen an den Erfahrungen in einem Jahr vom ist eine Abbildung von Vektoren nachdem der dieses eine Bienenjahr vor und ich habe 2 Vektoren dich einsetzen kann und das was rauskommt ist in ja den 1. und den 2. nicht und das ist auch symmetrisch die Reihenfolge ist egal aber wehe wenn man aber solche egal sein das geht es in beiden Fällen bezieht und Industrie und das wird schon an dieser Erfahrung ist die ist unabhängig von der Basis dessen Innenraum eingebaut ich kann die mit einer Basis ausrechnen aber ich kriege immer das selbe raus für das dessen Anwälte und egal welchen das ich nehmen das man mit Komponenten geschrieben ich
möchte bestimmen das Skalarprodukt von A und B genauer gesagt diese semitische Mobiliar von mit A und B eingesetzt und B 2 Vektoren aus Frau kann ich das ja hin schreiben in dem ich aus den Komponenten zerlegen aber schreibe ich als Au bemühen die unten die Summe mir wieder eingebaut wie schreibe ich als Biologe die unten die dieses "anführungszeichen Skalarprodukt ist linear in jedem seiner beiden Faktoren eine lineare Form das heißt ich kann diese unendliche versteckt und verstecktes rausziehen und ich kann diese aber mit viel Aussicht Krieger also das ist aber die Mühe und jetzt der Militärbasis Vektor Skalarprodukt den Mythen als Vektor was wir hier haben ist der metrische Tensor dessen Komponenten heißen typischerweise G und im Grunde war das eine symmetrische ja ist gar nicht die Mühe geben ihnen austauschen und es muss das selbe rauskommen dieser denn
solche ist symmetrisch es gleich die Mühe für die Indizes vertauscht ich finde das ja ganz dreist metrische Tensor eigentlich weiß ich ja noch nicht dass es überhaupt die Komponenten eines Tensors sind dass ich das hier richtig transformiert in einer
anderen Basis kriege ich geh Strich und das ist dann das Skalarprodukt semitische bilden davor wird gesprochen von -minus wir E ,komma Menüs zu würdigte in einer anderen Basis ausrechnen das kann ich aber diesen Basiseffekt vorschreiben mit Hilfe der alten Basis mit Basis Vektoren Alfa der Koeffizient vorher ist die oben vor der zugehörige dualer Basis Vektor angewendet auf gestrichen werden die weder die Summe eingebaut um mal und mal von mir genauso gestrichen wie kriege ich auch gespannt auf die alte Basis E und Wetter und hier äh Open Beta angewendet auf den Weg den nicht zerlegen wird und die Summe über Wetter wieder eingebaut dass so eine lineare Form sein das heißt die dieser Mann die eingebaut sind kann ich rausziehen und diese Faktoren hier eh von E strich die von -minus kann ich ausziehen und kriege das ist die fahren von ;strichpunkt nehmen mal äh Open Beta von -minus und will und das bleibt dem Skalarprodukt in der wir leben ja vom stehen die Alfama einmal Tibeter die einfach mal Wetter ist aber die Definition von die alpha beta gewesen versteht hier die Komponenten in der neuen Basis sind in der alten Basis verziert mit strich Strich genau was wir brauchen für das Doppelte kovariante Verhalten die müde sind also tatsächlich die Komponenten eines denn so aus
dem Englischen denn so kann man nur benutzen um contra Variante Indizes zu Varianten zu machen indem sie es zu senken von oben nach unten zu bringen reicht auch umgekehrt das nennt sich ein bisschen scherzhaft Index Gymnastik gegeben ein Contra Variante Rektor also einer aus dem ursprünglichen Bertrand dann kann ich mir folgendes angucken die billigen ja vom bei der ich fest links diesen einen Vektor Einsätze und das 2. Element freilasse dieses ist jetzt nur noch eine lineare Form kann ja an die 2. Stelle irgendwas einsetzen einen Vektor einsetzen aus dem ursprünglichen Rektoren und das Ganze wird sich die 7 Jahre in diesem Sektor Verhalten das ist eine lineare Form also ein Element aus Vorsteher dem dualen Vektorraum eine kovariante Rektor im Original vektoriell kann ich in einer Basis schreiben als aber oben wie unten mit der eingebauten sondern diese Kofaktor muss sich mit der dualen was schreiben können wenn das einfach mal A und bemüht Ideologen und gegeben diese au bemühen möchte ich nun bestimmen was denn die ab und für den Müll sind was sind denn die Komponenten dieses CO Vektors mit Hilfe der Metrik dieser darin ja davor habe ich aus dem ursprünglichen konnte einen Vektor eine Kober er Veto gemacht wie rechtlich nur um von den ursprünglichen konnte Varianten den Komponenten in die Kovariaten Komponenten setzt sich hier einfach mal einen beliebigen Vektor x 1 1 das Ergebnis dieser davor einfach mit Komponenten hingeschrieben aber ist auch oben wie eh und je und auf der rechten Seite des X auch 10 nicht nennen das x oben die unten wie jetzt kommt wieder die Immobilien jetzt die Summe die eingebaut kann nicht raus sie links wie rechts die Arme für Excel kann nicht sie und
dieses hier wie überall in Wien kennen wir schon das ist der metrische Tensor hier steht also aber da oben links oben müde und jede Menge Fische den so die Mühe das ist die eine Art wie ich das ausrechnen kann das Produkt von A mit X also die Binärform ja Form angewendet auf und X ich kann aber auch mit Hilfe dieser Zerlegung ausdrücken kann ich
hier das Kriegseinsätze kriege ich einen Weg oben angewendet auf X und das X wieder ausbuchstabiert war ja bekannt ist legt erkennen wenn ich für die Nöte Komponente haben wir hier von kriege ich X sowie die kennen wir ja schon also hier steht an X die es muss also dieses gleichen diesen seien und das für alle x egal welchen betriebssicher eingesetzt habe muss auf diese Weise das selbe raus kommen wir auf diese Weise also muss dieses A und mühevollen das werden was hier oben steht außer dem Mexikaner Mühe die unten Mühen die dieses das Denken eines Index ist ich starten mit einem Konter Varianten Vektor kontrahieren den mit dem metrischen Tensor und Krieger eine Kovariate Vektor dieser kovalente Vektor ist was die ja vorgemacht und das kann man
allgemein machen wenn ich zum Beispiel einen Tensor habe mittellangen Damüls für oben und unten und setzte da geh Landrat auf oder hinter anderen wird über das Land aber nicht das Ergebnis sinnvollerweise genauso aber jetzt steht nicht nur umeinander sondern um 1 2 will ne Wiese Index Lander wurde gesenkt und das ist natürlich wieder ein Tensor weil diese Operation ja keine lautet also Operation ist der metrische denn sie erlaubt mir also von contra Varianz nach Kovarianz zu gehen dieses zu senken kann es geht aber auch umgekehrt kann ein
Kovarianz Index einem konnte Varianten Index machen den Index heben jetzt und nicht umgekehrt aber sei eine Korrektur gegeben in welchen Weg gehen kann ich mit der dualen Basis schreiben als B und IE oben in der Top-Liste und einen passenden contra Varianten zu finden oder zumindest dessen Komponenten in dieser Phase ist es so dass das selbe rauskommt wenn ich weg von X Rechner für einen beliebigen Vektor x oder das Skalarprodukt diese vielen ja ausrechnen wie oben weg und mir diesen Kontrahenten Vektor multiplizieren mit diesem X sagen X oben wie eh und je für alle x aus dem Vektor war dann hab ich diesen kovariante legte ausgedrückt mit diesem Contra er Lektor jetzt kommt wieder die Linearität dieser kann nicht aus sie diese Komponenten BMW X kann nicht rausziehen und habe ich oben viel exogene mal äh und minimal die und Peter die Komponenten des metrischen Tensors des muss aber
das selbe raus ,komma ich das Blicks gehoben Einsätze wie wie man die angewendet auf X oben mir sagt was die Komponente ist von dem X das wissen wir x nee also müssen die beiden gleich sein für alle x egal wie sich eingesetzt haben woraus ich
sehe das Bild und Menüs sein muss wie oben geben die das hatten wir eigentlich eben schon wir sind in eine Richtung vorgegangen der Ärger ist nur dass ich den CO Vektor gegeben habe deswegen die es gegeben anders als eben und ich suche die Kontrahenten Komponenten muss diese Gleichung auflösen ich
brauche die inverse Matrix zu diesem gehen die zu diesen Komponenten gehen sie nie einen anderen Termin so wie sich dabei herausstellte wenn schon mal Tänzer einen andern den Sam mit den Komponenten gegen landen da so dass wenn ich das Herausrechnen Kronecker der kommt man da oben mit und so eine Sammlung von Zahlen brauch ich netterweise gibt es die sowohl erklärt wie wie auch bei den Kurs ging dann gar nicht weiterrechnen ich nehme diese Gleichung hier E und den =ist gleich Biogemüse mal gegen den Willen der bekannte Mittel den Sommer und jetzt setzt sich auf beiden Seiten gegen Dylan dahinter dann muss das immer noch gelten mit der eingebauten Summation über dessen natürlich dieses hier werden ,komma Nigerdelta und das heißt auf der rechten Seite der Geschichte der greifen die Bogenlampe übrig genau das was ich haben wir die contra Varianten Komponenten meine gesucht also wirklich die Contra Varianten Komponenten mit Hilfe von den inversen des metrischen Tensors die oben Standard das geht
auch wieder allgemein nicht nur mit vorheriger Vektoren sondern allgemein mit den Sohn endlich einen denn so habe zum Beispiel an der Mühle oben und unten und nehmen dann geh ich oben den Hügeln Kroder hinter ihr dessen kontrahiert nämlich das Ergebnis sinnvollerweise The Wanderer will wo das nämlich sozusagen auf gewandert der Index nötig wurde gehoben sozusagen im englischen Touristen Index und was sich hieraus Kriege sind natürlich offensichtlich wieder Komponenten eines Tensors denn nun eine Kurbayern Index weniger hat und ein Contra Varianten Index mehr hat das inverse von dem metrischen Tensor ist in der Tat auch wieder ein Tensor Behauptung in
Kiel und da oben sind die Komponenten eines Tensors 2. Stufe contra Variante der ich gucke mir das Transformations Verhalten an die kriege ich geh strich an der diese Zahlen sind eindeutig dadurch bestimmt das GG strich in der üblichen metrische Tensor in dieser Verbindung ,komma Nigerdelta geben muss ich muss
nur zeigen dass das hinhaut wenn ich den metrischen Tensor wie üblich transformieren und jedes inverse vom metrischen Tensor so transformieren wie sich das gehört die
transformiert sich der metrische Tensor in dessen Komponenten in der ursprünglichen Basis und dann kommt jetzt hier eher von den strich von strich der ist der Kovarianz einfach oben wie unten um das wegzukriegen und später oben wie unten und das nie zu kriegen so kann ich die konsumierten Komponenten hier berechnen das guck ich was der sein müsste wenn er ist was er zu sein vorgibt ein Tensor contra Variante 2. Stufe dann müsste das sein dessen Komponenten in der ursprünglichen Basis war die Indizes Etat und jetzt contra Variante transformiert die strich von gegen den Strich von Ihnen nie rauskriegen ein der einen Etat für den Druck und da unten hängen und das Land allmählich rauskriegen jedes Land eine Republik mit diesen beiden die kann ich mit der Linearität zusammenbringen als ist die Open Beta von das ist ein Weg zu den dass sich hinten stehen dass als Faktorei E-Strich oben W E und den Eltern was hier passiert ist dass der Vektor Etat zerlegt wird in die Basis die strich hier in kommt also ganz frech einfach wieder etwa daraus die Open Beta von der ETA ist aber einfach Delta ha ha das heißt
ich kann überall hier oben etwa durch Peter ersetzen diesen zwangsläufig gleich und die Grünen gerne fliegen raus also die Alpha-Beta und BR-alpha oben von gestrichen und den der nicht raus und je älter er wird leicht bitter gut stehen in der Pflicht raus B Strich waren da die hohe und guck ich mir die beiden geht es dann nach Definition von dem inversen inzwischen Tensor die dieses Jahr älter Alfa und den oben also kann ich überall wo rausschmeißen und stattdessen alles vorschreiben das
macht er nicht raus Idealfall gestrichen werden ändert sich nichts an der Pflicht raus -minus landen auch nichts Neues aber Stadthof habe ich nun alle Frage ich nicht den noch in den Rhein ist ein Jahr vor der Krise das ist E-Strich landen da vorne Idealfall Der bleibt stehen das als Faktor reingezogen in alle Fahrer von -minus will in den Klammern steht jetzt E-Strich aufgespannt mit der alten Basis die um alle Fragen die passende Komponenten erfahren wir was dahinter in der Klammer steht bemühen und ich strich Lander angewendet auf -minus mir da kommt jetzt die Definition der Touran Basis ist der möglich was zu zeigen war ,komma zurückgedacht
hier was ich gezeigt habe es wenig dem metrischen Tensor so transformieren wissen dass sie transformiert wenn ich das inverse so transformieren wie sich gehören würde für einen Tensor dann kriege ich tatsächlich ,komma Nigerdelta daraus weil diese Gleichung aber das Inverse des metrischen Tensors definiert heißt das es gibt nur eine Möglichkeit für den sich richtig zu transformieren es gibt keine andere Lösung dieser Gleichung kann man sich abschließend
angucken was denn eigentlich das tatsächlich Mädchen denn so diesen die drinnen steht bei Outfits und beim Minkowski ich die Basis
Vektoren im euklidischen Raum so werden wie man sie üblicherweise fällt nämlich alle von der Länge 1 und alle senkrecht zueinander ich verwirklichen auf auf eine drüber dann ist dieses Skalarprodukt Euklid ist ein Skalarprodukt 0 oder 1 wenn es dieselben sind ein Vektor man sich selbst ist es 1 und ansonsten ist es nur weil die paarweise senkrecht aufeinander stehen soll das heißt es wäre ,komma Nigerdelta wenn diese Sektoren ein Auto Basis fehlt was man üblicherweise machen wird toll wenn ich andere Basis haben der die nicht senkrecht aufeinander stehen oder die Länge eines haben dann wird der metrische Tensor im euklidischen auch nicht mehr ,komma Nigerdelta sein das erklärt auch warum dieser Unterschied zwischen contra Varianten Kovarianz in den euklidischen Räumen nicht wirklich auffällt ist der Übergang von einem zum anderen ist trivial an dieselben Komponenten Minkowski ist das was anderes wenn ich in eine der üblichen Basen gehe ist das Ergebnis nicht nur 0 oder 1 sondern manchmal auch -minus 1 1 -minus 1 oder 0 1 kommt hier raus hier kommt 100 oder 1 raus Paket 1 Mühe und beide die Zeitkomponente sind also gleich 0 gleich neben -minus 1 wenn ich die Raumkomponenten haben den gleichen die aus der Menge 1 2 3 und 0 sonst wenn diese beiden Indizes verschieden sind auch das hier
gilt wieder nicht immer sondern nur für die schöne Nase nämlich während er einst in 2 der 3 im Raum ein Auto normalerweise Basis bilden im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum das Quadrat der Eigenzeit von ihnen 0 gleich 1 ist und wenn die 0 in einer von der Richtung zeigt was herauskommt die
1 -minus 1 0 als auch gerne Etat mögen die Probanden mit den Vorzeichen vorsichtig sein muss bei dem der allgemeinen Relativitätstheorie die Vorzeichen gerne anders rum das bei Zeitkomponente die -minus 1 steht in einem Raumkomponenten die +plus 1 steht und nicht vergeht eine schöne Basis nehme Auto normalen Basis komme ich durch Rotation nicht immer nur auf wieder solche Orte Ottonormal Basen und das bleibt dann bei der Jagd bei Minkowski ist das analoge damit Lorentztransformationen wenn ich eine solche schöne Basis habe man sich nun typischerweise nehmen zu und wenn der Lorentztransformationen an dann bleibt das eine Basis mit diesen Eigenschaften wenn man sich also auf solche Phasen beschränkt Rasen oder was und von dieser Sorte hier kann man einfach sagen ok der metrische Tensor ist immer ein "anführungszeichen immer älter beziehungsweise immer da es ist aber nicht ganz korrekt es gibt ja auch andere blasen sie nicht zuletzt in es spätestens dann in der allgemeinen Relativitätstheorie schlägt das heftig zu dass man allgemeine was benutzen muss man nicht so deutlich eingegangen bin dieses hier sind unumkehrbare Matrizen man kann also tatsächlich vom metrischen Tensor dass der werden das ist eigentlich nicht selbstverständlich
Quelle <Physik>
Matrizenrechnung
Kovarianzfunktion
Faktorisierung
Länge
Punkt
Gewichtete Summe
Rollbewegung
Metrik <Mathematik>
Dreidimensionaler Raum
Binäre Form
Kovariante
Euklidische Ebene
Gesetz <Physik>
Skalarfeld
Richtung
Gradient
Vektorfeld
Index
Negative Zahl
Vorzeichen <Mathematik>
Kettenregel
Spezielle Relativitätstheorie
Stützpunkt <Mathematik>
Mathematischer Begriff
Koordinatentransformation
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Addition
Inverse
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Zerlegung <Mathematik>
Vektor
Euclides
Zahl
Maßeinheit
Konstante
Summe
Rechenbuch
Menge
Koeffizient
Partielle Ableitung
Dualitätstheorie
Koordinaten
Mathematische Größe
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Allgemeine Relativitätstheorie
Gruppenoperation
Diagramm
Linie
Inverse Matrix
Mittelungsverfahren
Krummlinige Koordinaten
Quadrat
Multiplikation
Differential
Vektoranalysis
Tensor
Spieltheorie
Reelle Zahl
EUKLID <Programm>
Varianz
Einfach zusammenhängender Raum
Linienelement
Mathematik
Vektorrechnung
Rotation
Betafunktion
Relativitätstheorie
Vektorraum
Gleichung
Skalarprodukt
Minkowski-Raum
Faktor <Algebra>
Normalvektor
Zeitdifferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Ableitungen von Tensoren, metrischer Tensor
Serientitel Reisen durch die Raumzeit
Teil 10
Anzahl der Teile 25
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/19909
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Mathematik

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