Wie sind sie vorgegangen? Ja. Also, wir haben ein R-4-System aufgeschrieben mit 4 um 0, 4 um 1, 2. So eine Stellenwerttafel?

Genau. Ich schreibe mal eine Stellenwerttafel auf 4 hoch 3. Man weiß ja nicht so genau, wie weit man gehen muss, ne? So. Und dann? R-64.

Und die nächste R-4-System, der R-4-System hat 256 abgekommen. Denen sieht man nicht in der R-4-System. Genau. Ich wiederhole es gerade mal. 4 hoch 4 ist 256. Das ist 64.

Das heißt, Sie haben geschaut, 4 hoch 4 geht nicht mehr rein. 4 hoch 3 geht aber noch rein. 3 mal geht die 64 in die 197 rein. Kurze Bemerkung. Sie machen genau das Gleiche, was wir vorhin als Römer gemacht haben.

Wir haben geschaut, geht denn das M noch rein? Ja. M geht rein. Wie oft geht M rein? Und dann anschließend wird der Rest genommen und das nächste kleinere Symbol untersucht, ne? Genau. Also hier gibt es das 0 mal 4 hoch 4. 3 mal 4 hoch 3. Was ist 3 mal 64?

192 ergibt das. Also 3 mal 64 ergibt schon 192. Das heißt, ich habe noch den Rest von 5. Jetzt wie die Römer, also prinzipiell egal, immer wenn man so Bündel hat. Nächste Stelle. 16 geht in die 5 nicht rein.

4 geht einmal in die 5 rein. Rest 1 und einer geht noch rein. 3011, ne? Richtig. 3011. Das ist nicht die 3011.

Das ist die 197. Das ist die 197. Sie können sich vorstellen, das wird ziemlich umständlich bei großen Zahlen.

Wenn Sie eine riesen Zahl haben, die Sie im Vierer-System darstellen wollen, ich sage mal 12.756, dann müssen Sie sich erstmal überlegen, was ist ein 2 hoch 3, was ist ein 4 hoch 4, was ist ein 4 hoch 4, was ist ein 4 hoch 5, 4 hoch 6, 4 hoch 7, 4 hoch 8 und so weiter. Gucken, was ist das größte Bündel, das reingeht.

Wie oft geht das rein? Abziehen, Rest nehmen, nächstes kleineres Bündel. Das ist alles ziemlich umständlich und langwierig. Es geht einfacher. Weiß jemand, wie es einfacher geht? Keiner rauskriegt? Sie?

Genau. Man macht wiederholte Divisionen mit Rest. Divisionen durch 4 mit Rest.

Ich mache Ihnen das mal vor. Passen Sie auf. Sie müssen aber leise sein. So anstrengend. Ich teile die 197 durch 4 mit Rest. 197 ist gleich wie viel mal 4, wenn ich das durch 4 teile?

Durch die Division mit Rest? 49. 49, Rest, 1.

197, also 49 mal die 4 plus 1. Guck mal, 40 mal 4 ist 160 plus 36 ist 196 plus 1. Ich habe durch 4 geteilt mit Rest. 197 ist 49 mal 4 plus 1.

Jetzt nehme ich die 49 und mache das gleiche nochmal. Division durch 4 mit Rest. 49 durch 4. 12, genau.

49 ist 12 mal 4 und da bleibt ebenfalls 1 Rest. Weiter geht es. 12 ist gleich. Einfach 3 mal 4 plus 0. Kein Rest.

3 ist gleich. 0 mal 4 plus 3. 0 mal 4 plus 3. Nimm immer die Zahl des Divisionsergebnis und mach wieder Division mit Rest. So lange, bis hier 0 steht.

Dann bin ich fertig. Magie. Hier steht die Zahl von unten nach oben geschrieben.

Super oder? Funktioniert immer. Ich erkläre, also man versteht warum das funktioniert, wenn man es mal rückwärts macht.

Machen wir es mal rückwärts. Ich schreibe hier hin, das heißt rückwärts, ich setze mal die Gleichung ineinander ein. 197 haben wir herausgefunden ist 49 mal 4 plus 1. Jetzt nehme ich die 49, ist gleich 12 mal 4 plus 1 und ersetze die 49 hier durch 12 mal 4 plus 1.

197 ist gleich. 49 ist 12 mal 4 plus 1. Das ganze mal 4 und plus 1.

Jetzt nehme ich die 12 hier und ersetze sie durch 3 mal 4 plus 0. 197 ist also gleich 3 mal 4 plus 0 plus 1. Entschuldigung, nein.

12 ist 3 mal 4 plus 0. Das ganze mal 4 plus 1. Und das ganze mal 4 plus 1. So, das könnte ich jetzt mit der 3 auch nochmal machen. Die 3 nochmal setzt durch 0 mal 4 plus 3. Das macht man aber im letzten Schritt jetzt nicht mehr, wenn man diese Überlegung macht.

Den lassen wir weg. Was habe ich da jetzt stehen? Durch die erste Division durch 4 habe ich etwas da stehen, mal 4 plus der Rest. Dieses etwas wird wieder durch 4 dividiert mit Rest, habe also das hier das Ergebnis mal 4 plus der Rest und so weiter und so weiter.

Das heißt bei jeder Division durch 4 mit Rest erreiche ich letztendlich, dass in dieser Darstellung etwas mal 4 genommen wird plus Rest. Und innen drinnen wieder etwas mal 4 plus Rest. Jetzt kann ich ausklammern, also Distributivgesetz anwenden mehrfach, was dazu führt, dass folgendes passiert.

Ich löse erstmal diese Klammer hier auf. Dann habe ich da stehen 3 mal 4 plus 0 mal 4. Jetzt wird das da genommen mal 4 plus das da mal 4.

Das da mal 4 ist das da mal 4² plus 1 mal 4 und das Ganze plus 1.

Da brauche ich keine Klammer, eine Klammer zu viel.

Wenn Sie diese Darstellung haben, dann haben Sie immer etwas mal 4 plus der Rest und das Ganze wird wieder mal 4 genommen plus der Rest. Das heißt von innen nach außen kommt immer ein Vierer dazu.

Und das was ganz innen steht, das erhält durch das Ausmultiplizieren immer wieder eine Viererpotenz dazu. Wir können es noch einen Schritt weiter machen. Ich nehme jetzt das hier und multipliziere aus. Dann habe ich 3 mal, hier steht ja 3 mal 4 plus der Rest.

Das heißt hier habe ich eine Vier, diese Viererpotenz kommt dazu. Das heißt hier gehe ich eine Viererpotenz nach oben und der Rest erhält die alte Viererpotenz so.

Das heißt von innen nach außen gesehen, das innerste erhält durch das Ausmultiplizieren alle Vierer als Viererpotenz. Das nächste erhält eine Vier weniger als Viererpotenz und so weiter und so weiter. Das heißt wir kriegen genau die Darstellung mit den einzelnen Potenzen.

Diese Darstellung hier, diese Darstellung nennt man Horner Schema. Horner Schema, das kommt von Polynomen.

Ich möchte Ihnen das nochmal an einem allgemeinen Beispiel verdeutlichen. Angenommen Sie haben folgende Darstellung im geatischen System. Nehmen wir mal a4, a3, a2, a1, a0 im geatischen System zur Basis g.

Dann ist ja das gleiche wie a4 mal g hoch 4 plus a3 mal g hoch 3 plus a2 mal g² plus a1 mal g plus a0.

Und jetzt mache ich das folgende. Ich multipliziere sukzessive g aus. Dann habe ich also hier a4 mal g hoch 3 plus a3 mal g² plus a2 mal g plus a1 und das Ganze mal g plus a0.

Ich muss von jedem Ding hier vorne ein g wegnehmen und hole das g da raus. Damit erhalte ich einen Term, bei dem jede g-Potenz um 1 kleiner geworden ist, insbesondere beim letzten Teil. Das ist der Rest, der hier immer bei der Division entsteht.

Jetzt nehme ich aus diesem Teil wieder ein g raus und habe ich also a4 mal g² plus a3 mal g plus a2. Das mal g plus a1 mal g plus a0.

Ich habe hier wieder ein g jeweils aus jedem dieser Teilterme rausgezogen, damit hier die Potenz um 1 kleiner, insbesondere bei a2 mal g. Dann habe ich hier wieder den Rest mit der Division durch g. Ich mache ja nichts anderes als diese Zahl hier, die da steht, mit Rest durch g dividieren. Das ist nämlich gerade das hier mal g plus der Rest.

Jetzt nehme ich diese Zahl und dividiere durch g mit Rest. Das bedeutet, hier vorne steht überall g drin, das heißt hier kann ich meinen g rausziehen, a4 mal g plus a3 mal g plus a2. Diese Zahl dividiert durch g mit Rest, ist das hier mal g plus a2 mal g plus a1 mal g plus a0.

Horner Schema. Ziffer mal g plus Ziffer mal g plus Ziffer mal g plus Ziffer mal g plus Ziffer.

Wiederholte die Division mit Rest und derart kann man ganz einfach eine Zahl im g-artischen Ziffernsystem darstellen. Okay, da müssen wir vielleicht noch mal drüber nachdenken, aber in der Übung haben Sie da genug Zeit.

Eine Sache vielleicht zum Ende noch. Wir verwenden ab sofort das Buch. Ab sofort verwenden wir das Buch. Das Stellenwertsystem kommt im Buch ein bisschen weiter hinten. Ich würde Sie bitten, einfach in Ergänzung zur Vorlesung die Kapitel 6.1 bis 6.3 zu lesen.

Lesen ist Kapitel mal mit einer gewissen Lockerheit. Okay, wenn Sie denken, das ist aber noch kompliziert, dann liegt das daran, weil in dem Buch vorher was anderes kommt. Damit werden wir uns auch noch beschäftigen. Okay, jetzt muss ich aber am Schluss noch was machen. Ich soll daran erinnern, bitte die Videos der letzten Woche anzusehen und die Videos von der Woche davor und den Channel abonnieren.

Vielen Dank!