Hier brauche ich nichts zu klammern, also man könnte auch Folgendes machen, ich schreibe es mal hin, klammern, brauchen Sie aber nicht, weil das hier ist ja eine Multiplikation, die Multiplikation geht vor die Summe, Punkt vor Strich. Insofern sind die Multiplikationen hier eh zusammengefasst.

Gut, also, erst der große Vorteil, es gibt unendlich viele, oder man kann unendlich viele Zahlen mit endlich vielen Symbolen darstellen. Das ist überhaupt ein großes Verlangen der Mathematik immer schon gewesen, die Unendlichkeit darzustellen mit endlichen Mitteln.

Deswegen gibt es die Formelsprache unter anderem auch, damit kann man die Unendlichkeit darstellen mit endlichen Mitteln. Und das ist ebenfalls eine Variante. So, weiterer Vorteil ist, man kann in dieser Darstellung sehr gut rechnen.

Warum? Zeige ich Ihnen. Nehmen wir mal zwei Zahlen in der folgenden symbolischen Schreibweise, die eine mit der Ziffernfolge a n-1 bis a0. Und der Einfachheit halber nehmen wir jetzt mal eine weitere Zahl mit der gleichen Anzahl von Ziffern.

So, wenn ich diese beiden Zahlen addieren will, was mache ich da? Na ja, ich gucke erstmal, was bedeutet eigentlich das da? Das bedeutet das hier.

Also kann ich das ja erstmal umformen. Das hier bedeutet, dass die Summe von i gleich 0 bis n minus 1 a i 10 hoch i plus, und jetzt kommt die da, das ist ebenfalls wieder n Ziffern, Summe von i gleich 0 bis n minus 1 über b i mal 10 hoch i.

Wie kann man umformen? Vorschläge?

Genau, sehr schön. Wir können nur ein Summenzeichen schreiben. Das sind ja zweimal Summen von i gleich 0 bis n minus 1.

So, und dann kann man das auch in 1 reinschreiben und dann immer die beiden Teile einfach intern addieren. Das haben Sie sich in der Übung mal angeguckt. Die Summe von i gleich 0 bis n minus 1 über, und jetzt muss ich Klammern machen. Jetzt muss ich Klammern machen, weil ich hier jetzt so einen Plus habe und ich ja sagen will, dass der gesamte Ausdruck innerhalb des Summenzeichen steht.

So. Richtig, machen wir. Sehr guter Vorschlag. 10 hoch i aus Klammern. Also, i gleich 0 bis n minus 1, die Summe über a i plus b i mal 10 hoch i.

Das 10 hoch i steht auch mit in der Klammer. Also dieser gesamte Ausdruck hier ist ein Quatsch innerhalb des Summenzeichens. Ich habe hier die Multiplikation und die Multiplikation Punkt vor Strich geht vor der Strichrechnung hier mit dem Summenzeichen.

Sie können die 10 hoch i, das war ein Vorschlag gestern in der Vorlesung, Sie können die 10 hoch i nicht hier nach vorne ziehen, denn bei dem Ausdruck hier spielt ja das i eine Rolle. Sie müssen ja wissen, was i ist und i ändert sich von Mal zu Mal. Das heißt, wenn hier 0 steht, würde mal 10, dann könnten Sie es rausholen vor so einem Zeichen, aber mal 10 hoch i nicht.

Weil beim ersten Durchgang, beim 0ten Durchgang, ist es ja 10 hoch 0, beim ersten 10 hoch 1, 10 hoch 2, 10 hoch 3, 10 hoch 4. Die können Sie nicht alle komplett rausholen, weil ja bei jedem Summanden ein anderer, ein anderer Zehnerpotenz eine Rolle spielt.

Und das, was hier steht, ist der Hammer. Das muss man sich erstmal klar machen, was wir eigentlich für ein großes Glück haben, die Stellenwertschreibweise zu haben. Denn was bedeutet das hier? Das bedeutet, wenn man zwei Zahlen

in dieser Schreibweise miteinander addiert, kann ich stellenweise addieren. Ich nehme die beiden Zahlen an der 0ten Stelle, beiden Ziffern addiere sie, nehme die beiden Ziffern an der 1. Stelle, an der 2. Stelle, an der 3. Stelle. Das, was hier steht, ist die Begründung dafür, dass wir schriftlich addieren können.

Stellenweise addieren. Ich nehme die beiden Stellen und addiere. Man muss allerdings ein bisschen aufpassen, deswegen, weil wenn ich zwei Ziffern nehme und stellenweise addiere, kann es passieren, dass ich durch die Summe dieser beiden Ziffern über

die 9 rüberkomme. Das heißt, ich muss Überträge beachten. Das ist das einzig Dumme an der Schreibweise, also man kommt nicht drum rum, Überträge mit beachten zu müssen. Das kennen Sie ja vom schriftlichen Addieren, also nehmen wir mal ein Beispiel.

2, 4, 8, 1 plus von hinten So, wenn ich 2.481 plus 1.535 addieren will, das sind ja zwei Zahlen in dieser Schreibweise hier,

dann bedeutet das, du kannst auch stellenweise addieren und diese Stellen jeweils multiplizieren mit der jeweiligen Zehnerpotenz. Also ich kann a0 und b0 nehmen und addieren. Und diesen Wert eigentlich multiplizieren mit 10 hoch 0. Jetzt kann ich a1 nehmen und b1 nehmen, addieren. 8 plus 3 ist 11.

Ich habe also 11 mal 10 hoch 1. 11 mal 10 hoch 1 ist 110. Und jetzt muss ich den Übertrag betrachten. Ich habe also die 10, einen Zehner und einen Hunderter. Ich habe durch die Addition zweier Stellen

ein Übertrag bekommen und muss ein größeres Bündel noch mit einführen. So, das habe ich hier ebenfalls. 1 plus 5 plus 4 ist 10. 10 mal 10 quadrat. Die Stelle hier hat ja die Wertigkeit 100, also 10 mal 100 ist 1000. Ich habe durch die Addition hier

bin ich über meine Bündelgröße 100 rüber gekommen und habe ein neues Bündel 1000. Das heißt, ich habe jetzt 0 Hunderter und 1 Tausender und hier habe ich 4 Tausender. Die Begründung ist ganz einfach. Ich nehme, ich gucke, wie viele Einer habe ich in der einen Zahl, wie viele Einer habe ich in der anderen, addiere die Einer.

Das bedeutet ja hier die Bündelgröße, wie viele Zehner habe ich in der einen Zahl, wie viele Zehner habe ich in der anderen Zahl, addiere die Zehner und wenn ich Zehnerbündel zusammenfasse, kann es halt passieren, dass dabei ein neues Hunderterbündel rausspringt und das ist mein Übertrag. Das ist die Begründung,

warum ich schriftlich addieren kann. Und das Schöne ist, ich kann diese Schreibweise nehmen für beliebig große Zahlen. Ganz egal. Ich kann alle Zahlen addieren, eigentlich ohne groß drüber nachdenken zu müssen. Ich muss nur den Algorithmus kennen. Ich muss das Verfahren kennen und ich mache das, nudel das einfach ab.

Und letztlich können das auch Computer machen. Großer Vorteil. Dieses Verfahren können sie Computern beibringen. Es ist ein Algorithmus, so ähnlich wie der Bubble Sort Algorithmus. Sie erinnern sich. Es ist ein Verfahren, das kann man einfach durchführen. Funktioniert immer. Gut und letztlich führt auch die Stellenwertschreibweise dazu, dass wir nicht

nur schriftlich addieren können, sondern schriftlich subtrahieren, schriftlich multiplizieren, dividieren. Gibt es bis dahin noch Fragen? Ja, warum habe ich n-1 genommen und nicht n?

Richtig, also damit man hinten auf a0 kommt, dass es mit der Zehnerpotenz zusammenpasst. Sie haben recht, insofern, ich hätte auch sagen können, a n bis a 1. Ich fahre es nochmal runter. Wozu hätte das dann geführt?

Wenn ich jetzt die Schreibweise a n bis a 1 gewählt hätte, die Ziffern, dann hätte es dazu geführt, dass ich folgendes machen muss. a n mal 10 hoch n minus 1 plus plus a 2 ne plus a 3 mal 10 hoch 2 plus a 2 mal 10 hoch 1

plus a 1 mal 10 hoch 0. So, wäre auch gegangen. Können Sie auch machen. Es ist nur einfacher, also wie ich die zähle, ich hätte auch sagen können, a n plus 3 bis a 3 oder so. Also die Art und Weise zu zählen ist eigentlich egal. Ich habe sie nur geschickt gewählt, damit der Index der Ziffer auch zum Exponenten der Zehnerpotenz passt.

Jetzt

lösen wir uns mal von unserem Stellenwertsystem. Im Zehnersystem können wir rechnen. Irgendwann haben wir das mal gelernt, im Stellenwertsystem zur Basis 10 zu rechnen. Und es ist uns nicht so leicht gefallen früher.

Dem einen leichter als dem anderen und so, aber prinzipiell muss man es erstmal lernen. Und sie alle werden ja Lehrerinnen und Lehrer sein und viele von ihnen in der Grundschule. Und sie sind genau an der Stelle, an der Kinder lernen mit dem Stellenwertsystem umzugehen.

Und Kinder haben Schwierigkeiten und da können wir uns häufig kaum reinversetzen, weil wir es einfach schon können. Wenn man was gelernt hat vor langer Zeit, ist es schwer sich noch mal die Schwierigkeiten vorzustellen, die Kinder damals hatten oder die man selbst damals hatte. Deswegen ist es ganz gut, dass wir uns mal mit

anderen Stellenwertsystemen befassen oder Stellenwertsystem zu einer anderen Basis. Weil wir dann automatisch wieder in die Situation reingeworfen sind und uns reingeworfen fühlen, mit einem Stellenwertsystem umgehen zu lernen, das wir noch nicht kennen. Das heißt, da kann man so ein bisschen nachempfinden, welche Schwierigkeiten dabei entstehen.

Deswegen beschäftigen wir uns jetzt allgemein mit Stellenwertsystemen. Stellenwertsysteme zur Basis G.

Man spricht auch von G-adischen Stellenwertsystemen oder G-adische Ziffernsysteme. Schreibt man hier einfach in G-adisch.

Das G ist beliebig gewählt. Sie können auch, in unserem Buch steht B-adisch, weil die die Basis B wählen. Sie können auch von K-adischen, X-adischen und Y-adischen sprechen, ganz egal. Stellenwertsysteme zur Basis G. Wir haben

ein Stellenwertsystem mit der Basis 10. Das heißt, unser G ist 10.

Und wir haben Ziffern von 0 bis 9. 10 sagt ja, wie groß sind unsere Bündel. Unsere Bündel haben immer Zehnergröße. Zehn Einer werden zum Zehner, zehn Zehner zum Hunderter und so weiter. Wir bündeln immer zehn Dinge zusammen. Zunächst größeren Einheit.

Zunächst größeren Bündel. Und deswegen braucht man auch zehn Ziffern. Von 0 bis 9, also nix bis 9. Und dann, sobald ich auf der 10 bin, habe ich das nächste größere Bündel. Das ist Grundprinzip von G-adischen Stellenwertsystemen. Hat da jemand gegänt?

Liegt es am Schlaf oder an der Vorlesung? Jetzt haben sie richtig geantwortet. Genau, am Schlaf.

Jetzt nehmen wir mal eine andere Basis. Nehmen wir mal 8. Basis 8. Jetzt bündeln wir immer acht Dinge zusammen.

Wie viele Ziffern brauchen wir? Welche Ziffern haben wir? Ziffern? Welche haben wir? 0 bis 7, genau.