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Sätze zur Eulerschen Phi-Funktion 2

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so betrogen und ein Produkt an und zwar nur unter einer bestimmten Bedingung wir schauen uns mal 2 Zahlen M und N an und wir oft lautet die Bedingung die beiden müssen teilerfremd sein wenn diese 2 Zahlen teilerfremd sind dann gilt das folgende wie von dem mal in ist das gleiche wie viel von dem mal viel von ihnen also wenn ich ein Produkt habe und kann dieses Produkt zerlegen in 2 Zahlen also die beiden Faktoren des Produkts sind teilerfremd dessen Zahl zerlegen kann in 2 Faktoren die teilerfremd sondern der Sender kann ich deren 4 bestimmen und anschließend miteinander multiplizieren das läuft natürlich direkt drauf hinaus dass viel von P hoch nutzen zu können wir also nur ein Beispiel dann beweisen dass es noch ein Beispiel nehmen wir mal ein gutes Beispiel für immer mal 36 seit 36 bisher 4 mal 9 zu 4 und 9 sind teilerfremd zueinander also wenn diese Regel wirklich Geld das der gleiche Wert infiziert werden natürlich dann können wir das folgende machen viel von 36 ist das selbe wie iPhone 4 Mal so viel von neuen nachrichten was mal aus viel von 4 ist wie groß da kommt 1 Star kommen 2 2 1 4 5 4 ist zwar in den Sülze geht damit Zahl 1 2 3 4 davon dass 1 und 3 teilerfremd aufgepasst genau in ganz typische Fehler man vergisst die 1 nach der GGT mit 1 ist 1 davon nicht vergessen die Zeit mit wir also hier haben wir 2 und bei der neuen welche Zahlen sind ein Teil davon müssen wir gucken dass die Einzelteile teilerfremd die 2 6 1 drauf gekommen 3 hoch 2 minus 3 auch ein sie haben so viel hat das neue Wissen anwenden super ja genau also nur normal dass man eben immer veranschaulichen wollen bei der neuen der die 3 6 und 9 nicht teilerfremd zum neuen also alle Vielfachen der 3 also muss ich nur von der neuen die 3 abziehen ,komma auf 6 3 Quadrat minus 3 hoch 1 so also komme ich auf 12 war es die unsicher bestimmt war kommt der wirklich 12 raus wer wir machen das ,komma tatsächlich jetzt mal
bis zum Ende war eigentlich nicht gleich leicht in diesem Kontext einen Grenzkrieg ihnen zeigen will wie man diese Zahlen sinnvollerweise auf steigt das Wasser auf Schreibmal alle Zahlen bis 36 auch und zwar in 4 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 so geht schnell entspannen sich Momente wird es ja eigentlich auch wie jedem normalen besseren Kochstudio machen können und das Ganze schon mal aus der Rolle holen oder so aber hab ich nicht gedacht in Sache ich hab in 4 Reihen am neuen Zahlen geschrieben nur so welche Zahlen sind denn jetzt teilerfremd bzw. nicht teilerfremd zu 36 Jahre war sagen sie mir eine Spalte indem die geraden Zahlen drin sind bitte ja wir den neuen in einer Reihe sind wird sich das aber nicht der alle Vielfachen der 3 alle Vielfachen der 6 alle vielfach neuen der gut die kann ich streichen die kann ich streichen ja genau die kann ich streichen also ja genau wenn sich mal überlegen von der neuen ausgesehen wenn man nur den neuen betrachten da gibt ja die 3 die 6 und die neuen als nicht zum neuen teilerfremd zahlen und gerade alle Zahlen die drunter stehen die konnte ich auch streichen weil die genauen neuen entfernt sind von sondern auch von den jeweiligen ok so kann ich noch streichen werde genau um die gerade links recht schräg unter der ich sprech jetzt mal spaltenweise in jeder Spalte noch die gerade noch 10 28 sondern merkt man 6. ab gebräuchlich betrachten so so so auch also welche Zahlen übriggeblieben wie viel die kontrollieren Sie mal ob wirklich alle Zahlen teilerfremd zur 36. muss eine Vielfachen der 2. der Vielfachen der 3 dreigestrichenen da doch wie viele sind hab ich aber Geld fehlt
noch an das die 11 genau 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ok so wird das jetzt mal allgemein überlegen dann können wir uns dieses Schema mal aufschreiben für ihn einmal enden wollendes für immer ins Heim nach und die Voraussetzung ist immer M und N sind Teil der Frau also gar nicht anfangen mit 1 2 3 und so weiter .punkt Hochkonjunktur .punkt bis Ende Mai soll in der nächsten Reihe kommt dann n +plus 1 1 +plus 2 1 +plus 3 und so weiter und so weiter bis 2 in der ich hier 2 n +plus 1 2 n +plus 2 2 1 3 und so weiter und so weiter bis 3 nach Entnahme 9 18 27 dass gerade die vielfachen was einen Faktor es bis hier unten also hier unten ganz am Ende steht dann eben mal eben nur hier steht -minus 1 mal in das heißt diese in der letzten Zeile in der letzten Zeile in der 1. Spalte steht M -minus 1 mal n +plus 1 m -minus 1 mal n +plus 2 e -minus 1 mal in +plus 3 und so weiter und so weiter bis hin zu den mal im Dezember und alle Zahlen systematisch aufgeschrieben genauso wie hier und Voraussetzungen in den und den sind teilerfremd so jetzt weiß ich es gibt viel von allen teile fremde Zahlen zu Ende im Bereich von 1 bis n also ich hier oben in der 1. Zeile hab ich viel von ihm zu Ehren teilerfremd Zahl hier oben hatte ich Sex wenn ich um 6 doch eroberte 6 zu 9 nicht teilerfremd zwar 9. Tarifen bezahlt nämlich die 1 die die 2 die 4. die 5. die 7 und die 8 siehe oben hab ich viel von den Zahlen die ich gerne behalten möchte sollte in diesen viel von dem sie viel von den Zahlen setzen sich nach unten vor Ort wir wir haben hier Spalten gestrichen am Anfang wir wussten die 3 ist nicht teilerfremd zum neuen also kann ich auch die 12 die 21 und die 30 streichen wenn ich hier eine Zahl habe eine Spalte habe die hier oben bezahlt sagen wir mal ein paar und K ist nicht SEK ist teilerfremd so MMK teilerfremd zu Ende ist dann muss auch K +plus 1 teilerfremd zu Ende sein und K +plus 2 muss teilerfremd zu allen warum kurz überlegen wenn
K teilerfremd des zu Ende angenommen K +plus 1 wäre nicht teilerfremd zu allen Beschuldigungen ja wir haben in Plus K und die haben wir 2 in die Toskana und so weiter und so weiter und ja und den haben wir im -minus 1 1 +plus haben soll jetzt richtig also die Handwerker dann haben wir hier n +plus kamen jetzt ändern da die ich gerade K drauf hab ich 2 drauf und so weiter so wenig Kartei für das zu so jetzt stimmt dann ist auch n +plus Kh teilerfremd zu Ehren und 2 n +plus K und so weiter und so weiter sind alle diese Zahlen hier teilerfremd zuende warum angenommen N +plus K werden nicht teilerfremd zu ja dann gäbe es einen gemeinsamen Teiler von n +plus K und M wenn es einen gemeinsamen Teiler von n +plus Kh und M gibt dann ist auch K teilbar durch diesen Teil der also angenommen K und wenn nicht teilerfremd weil mal die Zeit K und die teilt er angenommen werde ich weiß kann in diesem Teil der fremde Stimme es ein endlos K und wenn nicht teilerfremd so also es gibt einen gemeinsamen Teiler von n +plus Grad geht halt n +plus und die teilt er was könnte man daraus folgern G im +plus Kater halt und die enthalte dann kann man daraus folgern dass G auch K teilt also während K und M nicht teilerfremd gewesen also wenn K und M teilerfremd sind dann müssen auch wenn +plus K und M teilerfremd 1 2 n +plus K und M und so weiter und so weiter weil hier konnte immer nur ein Ende zu machen und das heißt auch diese Resultate müssen teilerfremd zur Insel das bedeutet wenn ich jetzt nur n betrachtet erhalte ich spalten die potenzielle Kandidaten sind für Teile Fremde Zahlen zu Ende mal ich kann ganze Spalten streichen oder ganze Spalten leer lassen wenn sie Spalten betrachtet OK und enden nicht teilerfremd sind das heißt Charles gestrichen werden so endlos K und M nicht teilerfremd und 2 1 +plus K und M nicht teilerfremd und so weiter und so weiter so das heißt nach meiner 1. Streich Runde wenn ich nur in betrachte habe ich viel von allen Spalten übrig das war genau das was wir gemacht haben hatten die 3 Spalte die 6. Spalte und die neuen der Spalte gestrichen das heißt ich hatte viel von 9 Spalten noch übrig hatte noch 6 Spalten übrig anschließend habe das folgende gemacht wir haben Spalte für Spalte die geraden Zahlen herausgestrichen dass man gerade diejenigen die jetzt nicht teilerfremd zu 4 war das muss und wird sie auch nochmal überlegen also wir haben viel von in Spalten mit Zahlen die teilerfremd zu finden sind jetzt müssen wir aus diesen Zahlen noch diejenigen herausstreichen die gemeinsamen Teiler mit ihnen haben da beide Zahlen M und wenn der teilerfremd sind hat eine Zahl entweder gemeinsam mit Teilen mit allen oder gemeinsame Teiler mit Ende niemals mit M und in gemeinsamen MNR teilerfremd sind mir wenn ich jetzt die viel von in Spalten haben mit zu engen teilerfremd zahlen dann können Daten jetzt auf welche sein die gemeinsame Teiler mit ihren haben so wie viele sind das wir müssen also diejenigen zahlen raussuchen aus diesen Spalten bei denen der
GGT mit n gleich 1 beziehungsweise von gleich 1 ist die Zahlen haben wir alle ein und dieselbe Form nämlich die Zahlen sehen anderso aus das alles
Vielfache der allen +plus ein gewisser westlichen und der Rest der gibt die Spalte A in diesen 4 von den Spalten müssen jetzt diejenigen raussuchen bei denen der GGT der Zahlen und n gleich 1 ist wird das Amt des wie viele sind das jeweils an der Stelle können wir uns eine Kleinigkeit zunutze machen nämlich wissen damals aus Überlegungen des euklidischen Algorithmus das wenn wir folgendes machen wollen der GGT von A und M haben wollen das wird dann auch berechnen können und das ist das gleiche ist wie der GGT von Mord werden und er war das ist Grundlage des euklidischen Algorithmus wenn ich eine Zahl habe GGT von 2 Zahlen stimmen will dann kann ich die eine von beiden Zahlen holen oder anderen Rechnern dann bleibt der Rest übrig Mode dieser anderen Zahl und mehrere klinischen Algorithmus geht er geradewegs in die beiden Zahlen rechnen wir die eine oder andere und so weiter und so weiter das heißt wir können auch aus jeder Spalte die Zahlen nehmen und erstmal mal n +plus K irgendeine Zahl hier in dieser Form modulo ermöglichen die Suche in dem viel von in Spalten der Zahl die alle Teile sind Grenzen zu allen diejenigen die auch teilerfremd sind zu Ende und dazu kann ich die Zeit nehmen erstmal modulo M rechnen und schauen ist das was rauskommt teilerfremd mit allen gut jetzt kann man sich
Folgendes überlegen wenn es auch einer Spalte habe und die ganzen Zahlen in einer Spalte modulo M dann kommen in dieser Spalte alle möglichen gestresste modulo M vor mich in einer Spalte 2 beliebige Zahlen nehmen zum Beispiel diese beiden Zahlen oder diese beiden oder egal irgendwelche 2 Zahlen in einer Spalte nehme und Molo im Rechner kommen 2 unterschiedliche Zahlen raus es kann niemals die gleiche Zahl rauskommen wenn die gleiche Zahl rauskommen würde kann man sich Folgendes überlegen ich nehme 2 Zahlen in einer Spalte also nehmen wir mal X mal n +plus K und in der Karten Spalte Y N plus K doch wenn ich 2 Zahlen in derselben Spalte modulo M Rechner kann niemals derselbe Rest rauskommen Begründung beweist der Widerspruch angenommen es wäre möglich dass derselbe Rest rauskommen würde also diese Zahlen werden Konkurrenz modulo M dann könnt ich das folgende machen ich kann weil so Situation auf beiden Seiten -minus K rechnen dann steht der x-mal in ist ,komma y mal in Kolonien und außerdem darf ich auf beiden Seiten durch Handyvideo das darf ich deswegen weil ihm und allen teilerfremd sind also wissen denn die wie die anderen müssen aufpassen aber wenn M und n teilerfremd sind dann darf ich beide Seiten durch in dividieren entsteht hier X kongruent y modulo M X und Y waren aber gerade die Zeilennummern das heißt die beiden Zahlen waren ursprünglich schon gleich gewesen gar keine verschiedene wenn X und wird y Kokh Konkurrenz von wo er da müssen schon die ursprünglichen Zahlen gleich gewesen sein ich hab ich nur Zahlen von 1 oder von 0 bis N minus 1 als Zeilennummern wenn die Zeichnungen gleißend müssen auch die Zahlen Forschung gleich gewesen sein das heißt 2 Zahlen in derselben Spalte könne wenn ich modulo M rechnet niemals denselben Rest ergeben wie viele Zahlen stehen in einer solchen Spalte es stehen im Zahlen in einer Spalte stehen in Zahlen in einer Spalte und wenn ich die modulo im Rechner kommt niemals derselbe Rest raus das heißt in jeder kommen alle Reste raus von 0 bis N minus 1 erst dann komm ich tatsächlich Moment aber überlegen nein ich glaube ich habe in einer ich hab er selber auf die Spur nicht Überblicks gerade nicht Fehler also ich wirklich sagen nicht wir haben doch eigentlich wie viele Zeilen habe werde noch in Zahlen oder wir haben in Zeile ja wird klar wir haben in Zeile und den jeder in der 1. Spalte wir haben wir 0 mal n einmal allen zweimal in bis er -minus 1 2 und so weiter genau wir haben Ihren Zeilen und wenn ich die Zahlen nehme und Molo ermöglichen Rechner genau kann jeder Rest rauskommen von 0 bis N minus 1 und der Rest kommt genau einmal ausführlich 2 verschiedene Teilnehmer aus einer Spalte musste
müssen unterschiedliche erst rauskommen modulo M ich hab ich Zeilen also ich habe und ich würde es da habe ich 0 bis N minus 1 ist auch im Rest also kommt es eine Spalte neben der Rest 0 einmal vor der Rest 1 kommt einmal vor der das 2 kommt einmal fordert dass 3 kommt einmal vor bis zum Rest der -minus 1 der Rest 0 entspricht ja modulo er war das ich mich gerade so verwirrt wenn ich die Zahlen zwischen 1 und M betrachtet habe ich im zahlen genauso wenig 0 bis N minus 1 betrachtet in jeder Spalte kommen alle Reste alle Zahlen von 0 bis N minus 1 vor wie viele davon sind teilerfremd zu dem viele von denen ja in jeder Spalte wenig modulo im Rechner kommen in Zahlen vor von 0 bis N minus 1 davon sind viel von dem teilerfremd zu Ende ich hatte mir von überlegt wenn ich eine Zahl nehme und will wissen ob die Teile Fremdes zu in Cannes die 1. modulo im rechten und dann startet eine Fremde zu ich nehme alle Zahlen aus einer Spalte Rechte Molo M damit kommen alle Zahlen von 0 bis minus 1 raus und davon sind viele von dem teilerfremd zu so das heißt ich habe viel von den spalten und in jeder Spalte Vieh von GM zu allen teilerfremd bezahlt das heißt letztlich bleiben wie von allen Spalten übrig und in jeder Spalte viel von den Zahlen die
teilerfremd sind sowohl zu M N als auch zu Ende und die Zahlen die sowohl zu Ende als auch zu allen teilerfremd sind sind in diesem Fall auch zu dem mal teilerfremd weil allen und allen ja selbst teilerfremd Zahlen waren und zahlen die zu dem Produkte teilerfremd sind sind sowohl zu ihrem als auch zu enthalten die der Frage ja für sich und für was genau hier müssen jetzt natürlich viel von ihnen und viel von ihnen separat bestimmt war gut das läuft jetzt raus hinaus dass wir wenn wir eine Zahl haben wir das Produkt das von Primfaktoren Potenzen dargestellt werden kann also Primzahl Potenzen einspaltig eine Zahl auch in deren ich will dass sie Primfaktorzerlegung dann kann ich jeden dieser Primfaktoren würden für dieser Primfaktoren unter 10 kann ich viel bestimmen ganz einfach mit dieser Regel erhoben und anschließend brauche ich nur zu multiplizieren darauf läuft es hinaus gucken uns gleich aber jetzt erst mal zu der Frage gibt es im Verfahren Frage damit hab ich jetzt Herr Würzner der ja das waren Widerspruchs kurze Widerspruchs Beweis und zwar wollte ich bekunden dass wir nicht in einer Spalte 2 verschiedene Zahlen nehmen also x mal n +plus K und y mal n +plus K 2 verschiedene Zahlen immer und die beiden modulo M rechne das dann eine unterschiedliche Zahl rauskommt angenommen es kommt keine unterschiedliche zwar raus dass Widerspruchs beweist angenommen es kommt keine unterschiedliche Zahlen raus dann kann ich auf beiden Seiten also das heißt beide zahlen Kongruenz von er bekannt auf beiden Seiten -minus K rechnen dann auf beiden Seiten noch durch den dividieren weil in dem er teilerfremd sind und dann wäre X kongruent y Modul das würde aber letztlich bedeuten 30 Zeilennummern maximal 1 -minus 1 groß sind das X und Y schon gleich gewesen wären das würde bedeuten dass ich mir gar keine 2 unterschiedlichen Zahlen gegriffen habe sie war wenig zu unterschiedliche Zahlen greife dann sind die Molo im unterschiedlich angenommen Symbole nicht unterschiedlich dann waren schon Zahlen gleich so das heißt von diesen von diesen Zahlen die hier in den Spalten stehen nämlich alle Molo im Rechner kommen da alle allerbeste raus zwischen 0 und n -minus 1 Module gucken Sie hier wenn ich hier zum Beispiel aus leichtem am Beispiel wenn ich mir eine
Spalte raus greife ich am Anfang nicht gestrichen hatte nehmen wir mal die sich hier jährlich am Anfang nicht gestrichen ne ich hab mir die 3 die Spalte 3 die Spalte 6 Spalte neu gestrichen Spalte 2 hat ich nicht gestrichen wenn ich diese Spalte Zniber modulo M rechnet dann kommt raus 2 modulo M ist 2 Hälften modulo M ist 3 20 modulo M ist 0 und 29 modulo M ist 1 2 3 0 1 zu kommen alle Reste raus Mutlu 4 alle möglichen nehmen wir diese Spalte hier die hatten auch nicht gestrichen Anfang 5 14 23 32 jetzt modulo 4 Rechner kommt hier 1 raus da 2 da 3 das 4 zu 1 2 3 0 genau das ist auch wirklich alle Reste 1 2 3 und 0 alle möglichen Reste von nur 4 immer andere Spalte dich nicht gestrichen hatte das wir die Sie hier gewesen 7 Modelo 4 ist 3 16 Uhr 0 4 0 5 1 2 0 4 1 4 1 3 2 0 4 2 hab ich auch alle möglichen Reste von nur 4 das heißt von den Spalten dich nicht gestrichen hatte da könne man alle Reste alle möglichen Resten von nur 4 aus das bedeutet ich habe in jeder Spalte 4 von allen Zahlen stehen die teilerfremd sind zu Ende weil alle Zahlen von 0 bis N minus 1 davor Kommunen diesen Zahl Bereich gibt es eben viel von den Zahlen Teil der zu werden das heißt ich habe viel von den Spalten ich nicht gestrichen hatte und darin streiche ich noch viel von Zahlen nicht insgesamt habe ich also viel von allen mal viel von allen Zahlen die nicht gestrichen sind so gibt es noch weitere Fragen ja ja richtig das trifft auch auf die zu die gestrichen wurde ja Gerald muss man sozusagen noch einmal als als Ausgangspunkt nehmen das M und N teilerfremd waren wenn ich mir also die gestrichenen anschauen der würde wenn ich die Mode ermöglichen würde kämen auch alle möglichen Restaurants bestimmt das heißt auch in ich habe in jeder Spalte in jeder Spalte habe ich viel von dem zahlen die teilerfremd sind zu Ende die Spalten nicht gestrichen hat alles gestrichen weil die schon nicht teilerfremd waren zu Ende genau ja ja ja genau ja ja genau siegte sie haben die das in jeder in jeder Zeile und jeder Spalte haben sich viel von den Zahlen die teilerfremd sind zu Ende und dann greifen Sie sich nur diejenigen Spalten raus deren Zahlen teilerfremd sind zu Ende das sind 4 von allen damit haben Sie insgesamt sich viel von Ende Mai 4 von ihnen Zahlen herausgegriffen hat er diese Frage nicht beantwortet nach der Seele gut war weil wir in jeder Zeile haben Sie 2 Zahlen die teilerfremd sind zu 4 Jahren der mit jeder Reihe 6 teilerfremd sind so neu wenn in jeder Zeile
6 die teilerfremd sind zum neuen nicht 3 1 2 3 4 5 6 7 8 diesen teilerfremd zum neuen haben nicht 3 Zahlen mit der Reform 6 der in jeder Reihe 6 teilerfremd Zahlen zu neuen und jetzt nehmen Sie von diesen Zahlen generell haben 6 nur jede 2. 40 ok noch weitere Fragen dann durch denken Sie Moment ich muss die Tafel wischen
Quadrat
Faktorisierung
Vorlesung/Konferenz
Biprodukt
Zahl
Computeranimation
Faktorisierung
Gerade Zahl
Teilerfremde Zahl
Reihe
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Zahl
Gerade Zahl
Rundung
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Gradient
Linienmethode
Momentenproblem
Rechenbuch
Ganze Zahl
Vorlesung/Konferenz
Automorphismus
Euklidischer Algorithmus
Zahl
Primfaktor
Linienmethode
Primdivisor
Exponent
Primzahl
Rechenbuch
Teilerfremde Zahl
Kongruenz
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Biprodukt
Zahl
Linienmethode
Momentenproblem
Rechenbuch
Teilerfremde Zahl
Besprechung/Interview
Reihe
Vorlesung/Konferenz
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Sätze zur Eulerschen Phi-Funktion 2
Serientitel Sätze von Euler und Fermat
Teil 05
Anzahl der Teile 08
Autor Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/19897
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 36:22

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

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