Jetzt führen wir mal ein kleines Beweischen. Erstmal tanken.

Sie sind heute so aufgewühlt.

Ist irgendwas passiert? Nö. Das ist ein Nikolaus. Ja, genau. Stell dir mal vor, was mir gestern passiert ist. Also ich weiß auch nicht heute. Wissen Sie, was mir gestern passiert ist?

Ich hab gestern... Momentan hab ich meine Stiefel vor der Tür stehen, weil es halt matschig draußen ist und ich bin in die Wohnung. Und ich wohne irgendwo, wo ich erst kurz hingezogen bin. Und jetzt komm ich gestern Morgen, mach die Tür auf, ist ein Nikolaus in meinem Schuh. Und ich hab echt keine Ahnung von wem.

Nett, oder? Das hat mich schon so ein bisschen froh gemacht. So einfach kann man seine Mitmenschen glücklich machen. Haben Sie so was gemacht gestern,

jemand anderes einen Nikolaus in den Schuh, ohne es zu verraten? Ja, ich meine es wirklich, ohne es zu verraten, dass der andere wusste, dass Sie es sind. Nee, ne? Aber das ist doch eigentlich das wirklich Schöne am Nikolaus. Na gut. Vielleicht war es ja auch der Nikolaus. Ich weiß es nicht.

Ah ja, ich mach den taktischen Fehler hier, ich laber zu viel. Dann labern Sie auch und dann wird es nicht mehr ruhig. Herr Strübeck, ich würde sagen, all diese Diskussionen müssen unbedingt mit aufs Video in YouTube.

Weil damit die Menschen draußen auch sehen, dass es hier lustig zugeht. Ja, genau.

Vielleicht können Sie auch so Schneeeffekte reinbauen. Super, okay, machen Sie es. Also, okay, wir müssen weitermachen. Ja, wir müssen weitermachen.

Okay, also. Wir beweisen mal was. Wir beweisen mal folgende Aussage. Für alle a, b aus den natürlichen Zahlen gilt,

a teilt b genau dann, wenn die Teilermenge von a enthalten ist in der Teilermenge von b. So, jetzt ziehen wir wieder an, merken Sie. Wir beweisen mal das hier. a teilt b genau dann, wenn die Teilermenge von a ist enthalten in der Teilermenge von b.

Denken Sie mal kurz drüber nach, was das bedeutet. Klingt logisch. Jetzt beweisen wir das auch. Jetzt haben wir hier ein Genau dann, wenn. Wie weiß man ein Genau dann, wenn? Entweder man macht so, wie wir es die ganze Zeit gemacht haben, man nimmt Äquivalenzumformungen

und macht ein, beginnt links, man macht genau dann, wenn, das gilt, genau dann, wenn, das gilt, genau dann, wenn, das gilt, genau dann, wenn und so weiter und kommt auf der rechten Seite raus. Das sind Äquivalenzumformungen. Genau dann, wenn, genau dann, wenn, genau dann, wenn und so weiter und so weiter. Manchmal geht das aber nicht so direkt.

Wenn Sie das hier jetzt versuchen würden, würden Sie wahrscheinlich damit nicht hinkommen. Dann kann man einen anderen Trick nehmen. Wie Sie wissen, gilt, eine Aussage ist äquivalent zu einer Aussage, genau dann, wenn, a impliziert b und b impliziert a.

Das deuten ja auch irgendwie so schon die ganzen Pfeile an, dass das zwei äquivalente Aussagen sind. In die eine Richtung und in die andere Richtung. Die Implikation. Haben Sie auch gezeigt mit der Wahrheitstabelle, dass das so ist. Das heißt, wenn man beweisen will, dass etwas genau dann, wenn, gilt, dann kann man auch den Beweis in zwei Teile teilen.

Nämlich, wir beweisen einmal die, aufgepasst, die Hinrichtung. Sagt man nicht, ja, beweisen nicht die Hinrichtung. Hinrichtung ist was ganz Brutales, das machen wir nicht. Sondern, also, erstmal die eine Richtung und dann die Rückrichtung. Okay. Das heißt, wir beweisen jetzt erstmal die eine Richtung.

Ein, erstens zu zeigen, für alle a, b, aus n, gilt, a teilt b, impliziert, die Teilermenge von a ist enthalten in der Teilermenge von b. Und gleich kommt Teil zwei, wo wir die Rückrichtung zeigen.

Jetzt machen wir erstmal die eine Richtung. Okay. Für alle a, b, gilt, wollen wir das da zeigen. Eine Allaussage kann man häufig dadurch zeigen, dass man sagt, wir nehmen mal zwei feste, aber beliebige raus. Seien a, b, fest, aber beliebig.

Ich mache es jetzt mal ganz ausführlich, dass Sie die Struktur von so einem Beweis einmal sehen. Seien a, b, fest, aber beliebig. Zeige nun, aus a teilt b folgt die Teilermenge von a,

ist enthalten der Teilermenge von b. Also wir nehmen jetzt mal zwei feste, aber beliebige a und b raus und sagen, wenn a, b teilt, dann ist die Teilermenge von a enthalten, die Teilermenge von b. Wie zeigt man eine Implikation? Naja, wir gehen mal von der Voraussetzung aus, a teilt b

und dann zeigen wir, dass dann auch gilt, die Teilermenge von a ist enthalten der Teilermenge von b. Also, gelte, a teilt b.

Zeige, dass dann auch gilt, T von a ist enthalten T von b. Das kommt Ihnen jetzt wahrscheinlich alles so ein bisschen doppelt gemoppelt vor, aber das ist genau der Gedankengang, den man durchführt, wenn man einen solchen direkten Beweis führt.

Wir wollen also zeigen, dass die Teilermenge von a enthalten ist in der Teilermenge von b. Was genau bedeutet das? Das gilt genau dann, wenn für alle c aus den natürlichen Zahlen gilt,

wenn c a teilt, dann teilt c auch b. Wenn c a teilt, dann teilt c auch b, bedeutet, für alle c, die in der Teilermenge von a sind,

die sind auch in der Teilermenge von b. So, und jetzt müssen wir also für alle c zeigen, also wir wissen, a teilt b. Jetzt müssen wir für alle c zeigen, die hier drin sind, dass sie auch da drin sind. Wie macht man das? Naja, wir haben ja wieder so eine Allaussage, sei c fest, aber beliebig. Wir nehmen uns mal so ein festes, aber beliebiges c

aus der Teilermenge von a raus. Was wissen wir dann? Wir wissen c teilt a, weil wir es aus der Teilermenge rausgenommen haben. Vielleicht sollten wir hier noch hinschreiben, mit c Element Teilermenge von a.

Wir wissen c teilt a. Außerdem wissen wir a teilt b. Und wir wissen, die Teilbarkeitsrelation ist transitiv. Das ist eine Übungsaufgabe. Das bedeutet, aus c teilt a und a teilt b folgt c teilt b.

Wenn c a teilt und ab teilt, dann teilt c auch b, transitiv. Und damit ist c in der Teilermenge von b.

Fertig. Bitte? Macht Sinn, gell? Ja. Das macht Sinn.

Das ist übrigens so ein Anglizismus, den es im Deutschen eigentlich gar nicht gibt. Das macht Sinn. Das ist sinnvoll, ist Deutsch. That makes sense ist Anglizismus, der sich irgendwann mal eingedeutscht hat. Wir sind ja interdisziplinär hier. Wir können ja auch mal ein paar andere Sachen machen. So, jetzt haben wir die eine Richtung gezeigt.

Jetzt müssen wir die andere Richtung zeigen. Für alle ab aus n gilt, wenn die Teilermenge von a enthalten ist in der Teilermenge von b,

dann folgt daraus a teilt b. Das ist jetzt die Rückrichtung, ne? Die Rückrichtung. Mein Kaffee ist alt.

Können Sie mal kurz ein Hohlenchen? Bitte? Sie müssen aufpassen. Sehr gut. Okay. Teilermenge von a enthalten ist in der Teilermenge von b. Daraus folgt a teilt b. Und zwar sollen wir das zeigen für alle ab. Für alle ab, okay. Nehmen wir uns mal wieder zwei feste, aber beliebige a und b.

Vielleicht sollte man immer noch da hinschreiben, aus welcher Menge sein a, b, element n. Fest, aber beliebig.

Zeige dann, für unser festes, aber beliebiges a und b gilt, wenn die Teilermenge von a enthalten ist in der Teilermenge von b, dann folgt daraus a teilt b. Gelte.

Jetzt haben wir wieder eine Implikation. Jetzt müssen wir davon ausgehen, dass bei der Voraussetzung gilt und zeigen, dass dann auch die Folgerung gilt. Gelte, t, a, enthalten in t, b. Zeige, dass dann auch gilt, a teilt b.

So, t, a, ist enthalten in t, b. Wie können wir dann zeigen, dass a auch b teilt? Wir haben eine Idee von Ihnen. Mit welcher Argumentation? Wir wissen, die Teilermenge von a ist enthalten in der Teilermenge von b.

Die Teilermenge von a, was enthält die denn so? Wenn a fest, aber beliebig ist,

ist auf jeden Fall mal was drin? In der Teilermenge von a? Also a ist da drin. Wenn a in der Teilermenge von a ist, wir wissen, a ist Element der Teilermenge von a. Und wir wissen,

t, a ist enthalten in t, b. Also t, a ist Teilmenge von t, b. a ist Element von t, a und t, a ist Teilermenge von t, b. Was können wir denn daraus folgern? Ja?

Genau. a ist Element der Teilermenge von b. Und das bedeutet doch a teilt b. Jetzt haben wir beide Richtungen gezeigt und damit ist der gesamte Beweis bewiesen. Wir wissen netterweise genau dann, wenn die Tafel zu Ende ist. So muss das sein.

Gibt es noch Fragen zum Beweis? Dieses Bild müssen wir auf sich wirken lassen, gell? Irre. Ja.

Ich verstehe es immer noch nicht so ganz, wieso wir zuerst c verteilt haben. Also was das jetzt mit dem Beweis an sich zu tun hat. Also das c. Das c? Die Frage, was hat das c mit dem Beweis zu tun? Also, erstmal Equivalenz ist klar. Wir müssen erst die eine oder die andere Richtung zeigen. Jetzt befinden wir uns mal in der einen Richtung.

Und da gehen wir von aus, dass a b teilt. Und wir wollen zeigen, dass die Teilmenge von a, die Teilermenge von a Teilmenge ist von der Teilermenge von b. Aufgepasst Teilmenge und Teilermenge sind so unterschiedlich. Wann ist denn eine Menge enthalten in einer anderen?

Na ja, wenn für alle Elemente, die da drin sind, gilt, dass sie auch da drin sind. Und für alle Elemente, da brauche ich einen Buchstaben. Für alle c in natürlichen Zahlen gilt, wenn sie hier drin sind, dann sind sie auch da drin. Und deswegen habe ich dieses c eingeführt.