Denn, also ich weiß, für alle, ich schreibe es mal nicht ganz so formal hin, Pi und Qj paarweise verschieden. Nebenüberlegung.

Angenommen, es gäbe irgendein Pi und ein Qj, das gleich wäre. Also hier ist irgendeins, hier ist irgendwo die 3 drin und da ist auch irgendwo die 3 drin.

Ein Pi und ein Qj sind gleich. Wenn das der Fall wäre, könnte ich das Folgende machen. Ich könnte n durch Pi teilen oder n durch Qj teilen. Na, das sieht i und das sieht alles gleich aus, gell?

Ich könnte n durch Pi teilen und ich könnte n durch Qj teilen. Wenn beide gleich wären, wäre das Ergebnis auch gleich. Dann hätte ich aber sowas wie ein P1 mal P2 mal und so weiter mal Pi minus 1 mal Pi plus 1.

Ich habe das Pi rausgenommen, mal und so weiter mal Pk ist gleich Q1 mal Q2 mal, ich habe das Qj rausgenommen, also gibt es noch ein Qj minus 1 und ein Qj plus 1 mal bis Ql.

Ich könnte also mein n durch diesen gleichen Primfaktor teilen und würde eine Zahl rauskriegen, die zwei unterschiedliche Primfaktorzerlegungen hätte, die aber kleiner wäre als n.

Das kann aber nicht sein, weil ich habe ja gesagt, n ist die kleinste natürliche Zahl mit zwei Primfaktorzerlegungen. Nochmal, wenn n die kleinste natürliche Zahl ist mit zwei verschiedenen Primfaktorzerlegungen, dann können hier keine zwei Primfaktoren gleich sein. Wären sie das, könnte ich n durch diese Primfaktoren jeweils teilen

und würde eine Restprimfaktorzerlegung jeweils erhalten und das, was rauskommt, ist kleiner als n und hat zwei unterschiedliche Primfaktorzerlegungen. Das geht aber nicht, weil ich habe ja gesagt, n ist die kleinste Zahl mit zwei verschiedenen Primfaktorzerlegungen. Also folgt da draus, die Primfaktorzerlegungen Pi und Qj müssen alle unterschiedlich sein.

Gute Frage, warum schreibt man Paarweise und nicht alle? Wenn ich sagen würde, die P's und die Q's sind verschieden, könnte ich auch meinen, die unterscheiden sich mindestens durch eins. Ich will aber, dass die Paarweise verschieden sind. Ich nehme irgendeins hier raus und irgendeins da, das ist unterschiedlich.

Und ich kann mir irgendein anderes sehen wieder, eins sind auch unterschiedlich. Das heißt, es gibt keine gleichen hier in der einen oder anderen Zerlegung. Okay, jetzt mache ich Folgendes. Ich weiß, die sind verschieden, die Pi's und die Q's.

Also unterscheiden sich auch P1 und Q1. Also unterscheiden sich auch P1 und Q1. Und jetzt ist also eins von beiden kleiner. Irgendwie das ist P1 kleiner oder das ist Q1. Und da sagt man, kann man mal Folgendes machen.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, ganz wichtige Abkürzung. Nehmen wir mal an. Nehmen wir an P1 kleiner Q1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir mal an, dass P1 kleiner ist als Q1.

Es könnte auch sein, dass Q1 kleiner ist als P1. Aber dann bezeichnen Sie einfach diese als P und die anderen als Q. Sie können ja die beiden Primfaktor-Zerlegungen so hinschreiben, dass ihr P1 kleiner ist als der Q1.

Oder Sie führen den Beweis nochmal mit Q1 kleiner P1. Und da kommt aber plötzlich das Gleiche raus, nur Umbenennung. Fertig. Gut. Jetzt bilde ich mal ein Produkt, äh, Quatsch. Na ja. Jetzt bilde ich mal drei Zahlen.

A sei mal N durch P1. Ich teile N durch P1 und kriege eine Zahl A. Die ist dann dementsprechend natürlich P2 mal bis PK. Und ich bilde eine Zahl B, N durch Q1 ist gleich Q2 bis QK.

Und jetzt, okay, das ist natürlich jetzt eine Sache. Da kommt man von selbst erst mal so nicht drauf, gell? Da braucht man lange, um da drauf zu kommen. Bitte? Q, QL. Richtig, haben Sie recht. Entschuldigung. QL. Ich mache das Folgende. Ich nehme jetzt mal N und ziehe P1 mal B ab.

Okay, das ist ein Trick. Ja, werden Sie gleich sehen. B ist ja Q2 mal QL. Das heißt eigentlich, wenn ich B mit Q1 multiplizieren würde, würde ich auf N kommen.

B mit Q1 multipliziert, B mit Q1 multipliziert ist N. Wenn ich B mit P1 multipliziere, kommt irgendwas raus, was kleiner ist als N. Denn P1 kleiner Q1. Wenn ich B mit Q1 multiplizieren würde, käme N raus.

Wenn ich B mit P1 multipliziere, kommt was kleineres als N raus, weil P1 kleiner ist als Q1. Also ist N minus dem hier auf jeden Fall mal größer N, aber kleiner N.

Null kleiner C kleiner N. B mit Q1 multipliziert wäre N. B mit P1 multipliziert ist etwas kleineres als N, weil P1 kleiner ist als Q1.

Wenn ich das dann von N abziehe, ist die Differenz auf jeden Fall mal größer Null. Außerdem weiß ich, A ist kleiner als N und B ist kleiner als N. Weil ich jeweils durch was geteilt habe N. Das heißt aber, sowohl A als auch B als auch C, diese drei komischen Zahlen da,

haben alle eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Denn sie sind kleiner als N. Und N ist ja bekanntlich die kleinste Zahl mit keiner eindeutigen Primfaktorzerlegung. Also A, B, C haben eindeutige Primfaktorzerlegung.

So und jetzt gucke ich mir das C mal genauer an. Jetzt gucke ich mir das C mal genauer an. Das C ist ja N minus P1 mal B.

Ja? Und das N ist ja zum einen mal P1 mal A. N ist P1 mal A. So das C ist also P1 mal A minus P1 mal B.

Und dann kann ich P1 ausklammern, ist P1 mal A minus B. Außerdem, wenn ich nochmal von vorne anfange, N ist P1 mal B. N minus P1 mal B ist C. Jetzt ist das N auch Q1 mal B.

N ist Q1 mal B. Minus P1 mal B ist dann das C. Ich habe N einmal ersetzt durch P1 mal A und einmal durch Q1 mal B. Und jeweils P1 mal B abgezogen. Jetzt kann ich das hier, da kann ich B ausklammern. Q1 minus P1 mal B.

Ich habe C auf zwei verschiedene Art und Weisen zerlegt.

Das heißt doch P1 mal A minus B ist gleich Q1 minus P1 mal B. Beides ist ja C.

Also das obere gleich im unteren. Wenn ich das hier so hinschreibe, heißt das P1 mal irgendwas ist das hier. Das heißt daraus folgt P1 teilt Q1 minus P1 mal B.

Ich habe zwei unterschiedliche Zerlegungen für C gefunden. Zwei unterschiedliche multiplikative Zerlegungen. Und da das hier multiplikativ ist P1 mal irgendwas, weiß ich P1 teilt das da. So und jetzt gucken wir uns das mal an. Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, dann muss sie entweder den linken oder den rechten Teil teilen.

Weil die Primzahl an sich nicht mehr zerlegt werden kann. P1 teilt aber nicht B. Denn B ist das Produkt Q2 bis QL.

Und wir haben gesagt die Qs sind unterschiedlich von den P's. P1 kann B nicht teilen, weil B bereits eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat. Und die besteht nur aus Qs.

B ist kleiner als N. B hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Die besteht nur aus den Qs. Und die sind alle unterschiedlich von den P's. Das heißt P1 kann B nicht teilen. Also muss doch P1 das da teilen. Daraus folgt P1 teilt Q1 minus P1.

Wir wissen also P1 teilt P1. Oder machen wir das mal anders.

Wir wissen P1 teilt Q1 minus P1. Na. P1 teilt Q1 minus P1. Und wir wissen auch P1 teilt P1. Und daraus folgt, und das haben sie auch bewiesen in der Übung,

wenn eine Zahl A eine Zahl B teilt und eine Zahl C teilt, dann teilt sie auch B plus C. Schreib das mal hier hin. Wenn St teilt und Su teilt, dann folgt daraus, dass es auch T plus U teilt.

Das ist zu beweisen in der Übung. Das heißt jetzt hier, wenn P1 das teilt und P1 das teilt, dann folgt daraus, dass P1 auch Q1 minus P1 plus P1 teilt. Und daraus folgt, dass P1 Q1 teilt.

Kann aber nicht sein. P1 kann Q1 nicht teilen. Das sind beides Primzahlen, die unterschiedlich sind. Widerspruch.

Hier ist der Blitz. Kaboom. Widerspruch. Bin ich exakt fertig geworden? Nee, oder? Überzogen sogar. Sie sind ganz... Oh, fünf Minuten überzogen. Sie sind brav sitzen geblieben.

Super. Vielen Dank. Okay. Eine Kleinigkeit noch. Lesen Sie sich... Nee, nee. Warten Sie mal. Haribo für alle. Genau, ja. Ja, kommen Sie.

Lesen Sie sich das Kapitel 2.1 und 2.2 durch. Denn da wird das nochmal genau beschrieben.

Und wir haben hier noch eine kleine Ungenauigkeit drin. Die wird dort auch beschrieben. Vielleicht haben Sie schon entdeckt, was hier ungenau ist. Aber wenn nicht, dann lesen Sie es nach. Bis nächste Woche. Und holen Sie sich Kuppibärchen ab hier vorne.