So, hier haben wir also bewiesen, wir haben das direkt bewiesen. Ja, wir haben direkt bewiesen, auf der einen Seite anfangen hier, bei einer Gleichung auf einer einen Seite anfangen, Axiome, Definition und so weiter verwenden und auf der rechten Seite rauskommen. So, das ist die Gleichheit gezeigt.

Das geht aber leider nicht immer so einfach. Gucken wir mal folgendes an. Hier zu zeigen, für alle N vom Typ N0 gilt 0 plus N gleich N.

Hä? Was soll das denn? Null plus N gleich N. Hier steht doch N plus N gleich N. Wissen wir doch schon. Nee, wissen wir nicht. Denn wir wissen nicht, dass das Kommutativgesetz gilt.

Wir wissen nichts über die natürlichen Zahlen. Und nichts über die Addition bis auf das hier. N plus 1 gleich Sigma von N. Sonst wissen wir nichts. Wir wissen nicht, dass das Assoziativgesetz gilt. Wir wissen nicht, dass das Kommutativgesetz gilt und so weiter. Das wollen wir jetzt alles beweisen und es wird Ihre Übungsaufgabe sein, das alles zu beweisen

aufgrund dieser ganz grundlegenden Definition der natürlichen Zahlen. Sie wissen natürlich, dass das Kommutativgesetz gilt, aber Sie haben es noch nicht bewiesen. Und das machen wir jetzt und ein Schritt dahin ist das hier zu beweisen. So, jetzt habe ich aber ein Problem hier. Null plus N gleich N.

Angenommen, ich fange jetzt auf einer Seite an mit Null plus N. Machen wir mal. Null plus N ist gleich. Das kann ich nicht anwenden, weil die Null nicht rechts steht. Das kann ich nicht anwenden, weil kein Sigma vorkommt. Ich brauche das Sigma im Text, damit ich das hier anwenden kann.

Das kann ich nicht anwenden, das weiß ich auch, aber das kann ich auch nicht anwenden, es ist keine 1 drin. Das kann ich auch nicht anwenden, weil es nicht die Form N plus 1 hat und nicht die Form Sigma N. Ich kann nichts anwenden.

So, und da behilft man sich jetzt mit einem Trick, im Prinzip beruhend auf Piano 5. Mit vollständiger Induktion. Wie weiß, mit vollständiger Induktion.

Das Prinzip ist das Folgende. Ich will etwas für alle natürlichen Zahlen zeigen. Also kann ich das folgendermaßen machen. Ich zeige es für die Null, die ist am Anfang.

Und dann mache ich das Folgende. Ich nehme mal an, es gilt für eine natürliche Zahl. Dann zeige ich auch, dass es für den Nachfolger gilt. Ich zeige es für die Null und ich zeige, wenn es für eine natürliche Zahl gilt, dann auch für deren Nachfolger.

Damit habe ich Folgendes gemacht. Ich habe es für die Null gezeigt. Und, wenn ich gezeigt habe, wenn es eine Zeit gilt aber für den Nachfolger Es gilt für die Null also auch für deren Nachfolger. Für die 1. Damit auch für deren Nachfolger, für die 2. Damit auch für deren Nachfolger. Für die 3. Für deren Nachfolger usw. usw. usw.

Damit habe ich es also für alle natürlichen Zahlen gezeigt. Ich zeige es für die Null und ich zeige wenn es für eine natürliche Zahl gilt dann auch für die nächste. Und damit habe ich es für alle gezeigt. Kann man sich ganz gut veranschaulichen, das ist so ein Dominospiel. Ich beweise, der erste Stein fällt.

Und ich beweise, wenn ein Stein fällt, dann fällt auch dessen Nachfolgerstein. Ich habe bewiesen, der erste Stein fällt. Also fällt der erste Stein. Und ich habe bewiesen, wenn ein Stein fällt, dann auch dessen Nachfolger. Der erste fällt, also auch dessen Nachfolger, der zweite. Und dann der zweite fällt, auch der dritte. Der dritte fällt, auch der vierte. Und der vierte, der fünfte und so weiter.

Das ist das Prinzip der vollständigen Induktion, das im Prinzip hier oben Piano 5 drauf beruht. Dass die Null in den natürlichen Zahlen drin ist. Und für jede natürliche Zahl auch deren Nachfolger. Das ist die Grundlage dafür. Und wir zeigen es jetzt erstmal für die Null.

Vollständige Induktion, das schreibt man noch hin, über N, damit man weiß, was man hier variiert. Erstmal hat man einen Induktionsanfang.

Da setzen wir N gleich Null. Und dann beweisen wir das für den Anfang. So, fangen wir mal an. Null, also ich fange jetzt hier der linken Seite an, setze für N null ein. Und forme so lange um mich auf der rechten Seite rauskomme, die auch Null ist. Also ich schreibe mal hin, was zu zeigen ist. Zu Zeige Null plus Null gleich Null.

Ein bisschen ungewöhnlich, gell? Aber, weiß man ja. Aber wir wissen eigentlich auch nicht so viel. Sie müssen sich immer wieder in die Lage versetzen, dass Sie eigentlich nichts wissen. So, Null plus Null ist gleich. Jetzt müssen wir mal gucken, was können wir hier anwenden? Was wir schon haben an Axiomen, Definitionen und bewiesenen Sätzen.

Ah ja, das können wir anwenden hier. Irgendwas plus Null ist irgendwas. Irgendwas plus Null ist irgendwas. Fertig. Einfach nur die Definitionsteilart eins angewendet. Und jetzt kommt der schwierige Teil, Induktionsschritt.

Wir schließen von N gleich K auf N gleich Sigma von K.

Also wir nehmen mal an, es gilt für eine natürliche Zahl K, dass Null plus K gleich K ist. Dann zeigen wir damit, dass es auch für deren Nachfolger gilt.

Induktionsschritt besteht also erstmal aus einer Induktionsannahme. Nämlich, dass es für eine natürliche Zahl K schon gilt. Wir gehen mal davon aus, Null plus K gleich K. Also eine natürliche Zahl gilt. Und jetzt zeigen wir, zu zeigen, dass es auch für deren Nachfolger gilt.

Null plus Sigma K gleich Sigma K. Das praktische daran ist, dass wir davon ausgehen, dass das hier gilt für K.

Und das dürfen wir jetzt auch verwenden im Beweis. Wir sagen nur, wenn das gilt, dann gilt auch das andere. Das heißt, wir gehen schon davon aus, dass das gilt. Das heißt, wir dürfen es verwenden. Fangen wir links an. Das müssen wir zeigen.

Null plus Sigma K ist gleich Null plus Sigma K. Da können wir das hier verwenden. Irgendwas plus Sigma von irgendwas. Dann ersetzen wir entsprechend M. Das ist M und das ist N. Sigma von Null plus K.

Das haben wir hier verwendet Art 2. Sigma von Null plus K. Wir müssen hier rechts rauskommen bei Sigma von K. Das können wir jetzt anwenden. Null plus K. Da trifft nichts so richtig zu. Ah, aber unsere Induktionsannahme hier.

Wir haben ja hier angenommen. Wir nehmen ja an, wenn das hier gilt, dann zeigen wir, dass das gilt. Also wir dürfen das hier verwenden. Und da steht Null plus K gleich K. Also können wir doch Null plus K ersetzen durch K. Mit der Induktionsannahme.

Ja, und dann sind wir fertig. Das haben wir hier gezeigt. Null plus Sigma K gleich Sigma K. Also, nochmal zusammenfassend. Vollständige Induktion. Wir konnten hier nichts verwenden, was wir bereits bewiesen hatten oder axomen hatten.

Das heißt, man kann dann probieren, ob man über Induktion arbeiten kann, indem man es einmal für die Null zeigt. Ja, wir setzen einmal für N gleich Null. Hat funktioniert. Und wir machen Folgendes.

Wir zeigen, wenn es für eine bestimmte Zahl gilt, dann gilt es auch für deren Nachfolger. Wir nehmen also an, es gilt für eine Zahl K. Und dann zeigen wir, dass es auch für deren Nachfolger gilt, für Sigma K. Das heißt, wir müssen jetzt diese Gleichung hier zeigen. Und da können wir alles an Axomen und Sätzen, was wir bewiesen haben, so verwenden.

Plus die Induktionsannahme. Und das ist der Trick. Das hilft uns, das hier zu beweisen, ohne dass wir es direkt beweisen können. Das waren die Videos vom 19.10.2010. Vergesst nicht, den Channel zu abonnieren.

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