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Restklassen und (Halb-)Gruppen Teil 2

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das spannenden der Zahlentheorie ist sich zu überlegen wie sieht es eigentlich mit den Rest Klassen aus also wenn nicht die Menge ZN habe Z 4 zum Beispiel also wenn ich immer modulo 4 rechnen und ich den Operation dazu beispielsweise die Addition ist das dann der Gruppe ist das für alle Modul Gruppe oder nur für bestimmte und so weiter das sind die Fragen die man sich der Zahlentheorie stellt uns noch einmal kurz ein Beispiel beschäftigen also mit den Rest Klassen und Gruppen bzw. halt Gruppen so würden uns 1. Beispiel an schauen wir uns mal folgende Struktur waren denen die Menge der 1. Klassen Module wären also gestern darauf geeinigt den Streit Z 4 verknüpft mit der 1. Klassen Addition und wir machen es uns gleich mal an den Beispielen noch deutlicher nämlich indem wir das machen was auch gestern schon gemacht haben wir schreiben uns mal die Verknüpfung ist dafür also Verknüpfung Star wird sagt man auch ganz allgemein in der Algebra setzt hier alle möglichen Elemente aufschreiben die 0 4 1 die 2 und 3 so die verknüpfen wir jeweils mit eigener also alles mit allem verknüpft warum macht man das bei endlichen Mengen kann man das machen nur Z 4 ländliche Mängel gibt viele meinte Trainer kann man einfach eine Verknüpfung Sklaven auf bei den natürlichen Zahlen werde schwierig weil es so unendlich viele Elemente lassen sich im Westen beschäftigt so also wir machen das hier für endliche Mengen kann muss Verknüpfung schaffen aufschreiben denn bei den Axiomen wird ja häufig gefordert für eine Art die irgendwie miteinander verknüpft werden und werden von weltlichen Dingen kann man sie einfach mal eine Verknüpfung aufschreiben war gestern festgestellt also 0 verknüpft mit der 0 ergibt die 0 und 1 0 +plus 1 gleich 1 berichtet sprechen +plus 1 manche wir Westler es natürlich immer sagen die restlos und +plus das 1 und so werden wir werden auch mal aufhören die Striche da oben drüber weg zu lassen aber dass man das auch immer zum 2 +plus 0 bis 2 2 +plus 1 3 2 +plus 2 1 0 1 5 2 +plus 3 1 1 3 +plus 0 3 3 +plus 1 zu 0 und Molo vielmehr gerechnet 3 +plus 2 1 1 und 3 +plus 3 ist ja eigentlich Sex und Sex der Folge Rest lassen nämlich nicht Klasse der 2 ok das überprüfen wir mal ob dieses Ding eine Gruppe ist mit da halt Kubaner ist die feste Klassen Additionen im Z 4 abgeschlossen
woran kann nicht dass sie dann in einer Verknüpfung Star auf wir können auch viele wurde laut dass die Elemente als Ergebnis so vorkommen können die auch in ist das Menge drin sind nur eines der 4 Elemente 0 1 2 3 treten hier stehen die Ergebnisse hier in der Mitte sich in der Tafel stehen die Ergebnisse alle möglichen Ergebnisse herauskommen können und es kommen nur 0 1 2 oder 3 raus das Comeback sagt die Elemente aus den Z 4 sind Sie finden hier irgendwo ein Element sowas wie Inhalt oder so wäre das nicht in der ursprünglichen Erträgen eingetreten sagt Träger also abgeschlossen Check die Assoziativität kann man sowas hier sehen ich gerade das
wird kompliziert also bei dieser Tat hier kann man nicht möglich trägt die Assoziativität ablesen mit der beschaffte beschäftigen uns gleich noch mal allgemein aber Sie können sich vorstellen dass wenn Sie fest lassen miteinander agieren es assoziativ das beweisen aber auch gleich noch mal Assoziativität das bisschen schwieriger Fall den kann man bei so endlichen Mengen in der Folge von Staffel nicht direkt erkennen man ja ok aber es assoziativ können uns vorstellen nur so oder so verknüpfen erstmal funktioniert wie die der immer und bilden letztlich am Schluss den
Rest nämlich als Somalier oder so die Risiken ok jetzt also es handelt sich um Erhalt Gruppe das immer schon auf der sicheren Seite zu was ist denn das neutrale Element gibt es eine neutrale Element und woran kann ich das in der Verknüpfung erkennen ja genau die Festplatte 0 ist das neutrale Element weil worin sich das wenn auch immer wenn sie nur irgendwo dazu addieren nachhaltig ich das aus ganz Elementen der hier die die 0 von links an alle Elemente waren und ich kopiere einfach die Zeile erreicht es ändert sich nichts an der Elementen München 0 vorne rechts tragen addiere ändert sich auch nichts so das heißt die 0 ist unsere neutral Element auch neutrale gefunden sie mit inversen Elementen aus jetzt müssen wir für jedes Element ein Inverses Element finden woran kann man das in der Verknüpfung Sklavensee der ja genau sehr schön die 0 ist in jeder Zeile zu finden und in jeder Spalte zu finden also kommt die 0 7 4 des Ausgangs Element mal raus egal ob es von rechts oder von links dieses Element kann ich wir also für die 0 ist die 0 das neutrale nennt von rechts für die 1 ist die 3 für die 2. die die 2 für die 3 ist die AIZ genauso umgedreht wird kann die 0 in jeder Zeile vor welches von hier betrachtet kommt dem wohl auch jeder Spalte vor das heißt es gibt es jedem Element ein Inverses Element das heißt wir haben Gruppen Z 4 mit der Addition ist die Gruppe es ist auch eine kommutativen konnten woran kann ich nicht das Ziel ja genau das also Beispiel werden 1 bis 3 gleich 3 +plus 1 und Beispielen kann uns natürlich nicht überall sozusagen setzte mich der Beweis dass sich jemand anders genau dass an ein Beispiel gewesen und ähnliches Beispiel Beispiele von kann es insgesamt eine Struktur erkennen ja die denn da wer die vorne gibt es immer können fast schon sehen aber was was ist insbesondere dieser Form die Sie ihr Leben das keine Symmetrieachse denn auch die Tafel ist symmetrisch bezüglich dieser Diagonale zu können der Trend spiegeln was nichts anderes bedeutet als jeweils werden nur weil zum Beispiel würde 1 zu 1 3 zu 3 1 zu 1 zu gehen ,komma und bei Ihrem Beispiel zu bleiben also Gruppe also die Gruppe sogar kommutativ werden sie lässt sich in dieser diagonalen widerspiegeln dabei handelt es sich sogar um eine kommutativen Gruppe also Z 4 mit Addition so kommutativen Gruppe jetzt die Frage ist z e also jede beliebige Mogul mit der Addition Gruppe egal welche natürliche Zahl n nicht leben ohne die 0 natürlich also dafür 1 egal welches ich nehme ist das eine Gruppe doch das sieht man es nicht auf Anhieb das muss man beweisen und das machen wir jetzt hier beweisen folgenden Satz die Struktur seit mit der 1. Addition ist eine arabische oder kommutativen Gruppe das müssen wir zeigen allgemeine müssen erst mal zeigen dass die 4 Gruppen Axiome gelten dass zusätzlich auch noch das Kommutativgesetz Geld auf einmal an wer weiß der wir mit dem mit der abgeschlossen hat einen Namen ich nehme mir 2 beliebige Elemente aus Zf also 2 beliebige das Drama A und B und ich agiere die wie hatten wir die Festplattenpartitionen definiert das kann man an der Stelle mal ganz gut wiederholen gesagt wir addieren A und B in den ganzen Zahlen und bilden von der 1. Klasse also diese Addition der Rest das ist das gleiche wie und was kommt da raus ich nehme die ganzen Zahlen a und b und Bilder von der Rest Klasse so na ja das heißt das kommt wieder der 1. Klasse aus ich kann bei diesen ganzen zahlen die unten drunter stehen kann ich diesen über den ganzen Zahlen kann Rest Klasse diese ganzen Zahl bilden ich konnte das aus der immer aus geht gar nicht anders das heißt Jack Abgeschlossenheit Geld kommt nicht dem was anderes rauskommt wird das aus modulo M unser nächstes Gesetz Assoziativität wir müssen zeigen dass a +plus b +plus c das gleiche ist wie a +plus b +plus c das könnte man jetzt
machen das darüber auskommen müssen nur )klammer zu )klammer zu Ausdruck zur Legende vorgeben ja in Rolle über jeweils einen Landstrich müssen aber die Definition anwenden 4. Klassen Addition das heißt man einmal langsam mir das AA +plus ich nehme die ganzen Zahlen B +plus und will die das Klasse als 1. Netz als nächstes machen es wieder mal so das heißt jetzt muss sich diese ganze Zahl nehmen und diese ganze Zahl habe mir zuerst gebildet und dann erst mal erklären dass das gleiche wie A +plus B +plus C und davon die Rest lasse ich nehme diese beiden Elemente der da hab ich ja schon das Ergebnis des wegen von der geklammert und dann wird aber dazu addiert jetzt bin ich unter dem Strich in den ganzen Zahlen und in den ganzen Zahlen weil sich die Assoziativität den gilt das heißt hier kann ich die Gesetze der ganzen Zahlen wenn ich kann jetzt hier unten umklammern ich weiß in den ganzen Zahlen geht das Assoziativgesetz was war das Ganze rückwärts begleiten
sie das ist eine aber bloß B +plus C Definition "anführungszeichen rückwärts an und das ist das so Scheck völlig egal welche A B und C nicht genommen haben ist natürlich immer fest aber beliebig nur ABC fest aber beliebig und dann kann ich hier so schön einer Zeile Assoziativität zeigen da hätte man sich gesehen ja was allgemein gezeigt für alle Zeit fertig so neutrale Element wir müssen wenn zm einen neutralen entfernt das macht uns zu machen und sie ZNS einfach bezüglich der Addition versichert tragenden wirklich Additionen über die 0 wird immer die Rest lassen und so wissen war +plus 0 ist das selbe wie vergangene Woche ausführlich machen a +plus 0 Definition angewendet ist Serie A und das ist das selbe wie 0 +plus USA dazu sehr 0 +plus aber es könnte doch jede Definition rückwärts einer sorgt Jack White zum Besten Mitglieder also Wirtschaft noch den Bundeszentrale so bleibt so wenig ein Element aber was ist denn das inverse zu haben können Sie das allgemein formulieren ja aber strich ok der also das ist natürlich jetzt oben mit dem Querbalken der damit bisher das das Gemeinde einfach so allgemeine Beschreibung für entlassene aber noch konkreter bei ZMD Entertainment AG -minus aber wir sprechen sagen ok andere Alternative nein das ist hier sind wir also zu 1 3 schreiben Sie 1 und 3 und 4 haben können Sie aus der 1 zu 3 gegen Mehr genau im -minus aber nur also ich behaupte jetzt zu aber wir behaupten zu haben ist im -minus aber in der das Regenwasser aus wir müssen aber mit er -minus verknüpfen mit der Verknüpfung hier fest dass eine Zionismus neutralen und rauskommen aus Art verknüpft mit seinem inversen -minus a =ist gleich Definition anwenden der S-Klasse Addition H +plus -minus aber die unten Menschen den ganzen Zahlen A +plus e -minus aber ist ja der 1. sofern er ist dieselbe wie die restlose von 0 das ganze kann nur wieder rückwärts machen wir das selbe wie er -minus +plus aber ist das
gleiche wie in den USA +plus 2 so ganz egal von welcher Seite sie das inverse kann verknüpfen das bleibt immer das zentrale Element im Weg zu haben kommutativ Mittelterm Gesetze arabisch Gruppe also mit diesen für Axiome Gruppe fertig Check Gruppe jetzt nur zeigen dass kommutativen Gruppe ist ok das ist jetzt mega einfach ausweichen Schnelligkeit oder egal welche Elemente ich nehme war das 1 zu 1 b ist dasselbe wie a +plus b und dann der Rest lasse das Fenster und den ganzen Zahlen ergibt das Kommutativgesetz ist durch die ist dasselbe wie USA Jack das angewiesen allgemein für alle ZNS mit den an der Addition ist gekommen der dieser Gruppe zu wahren hatte ja interessante Frage muss man zeigen dass es nur genau einen neutralen den gibt es genau einen Vers von Elementen eines man muss man nicht sondern man zeigt es existiert mindestens eine neutrale Element und existiert zu jedem Element mindestens einen der ist man kann und das ist der Vorteil von so algebraische Struktur man kann direkt aus diesen Axiomen ganz allgemein ohne konkrete Struktur beweisen dass diese Aktion gilt dann kann es nur eine neutrale Element geht genau 1 zu heilen das kann nur einen geben genauso wie es keine exakt nur einen wäre das Element zu einem Element geben so das der Vorteil von algebraischen Strukturen sie können das nur mit Grund auf Basis der CSU Beweis dass es auf Basis Axiome können sie jede Menge Dinge beweisen die für alle Gruppen gelten für seine Struktur haben die Z 4 und plus der müssen Sie nur zeigen dass die 4 Axiome gelten das ist also eine Gruppe ist und damit gilt für diese Struktur als das was niemals irgendjemand über Gruppen bewiesen hat dass das Vorteile zu müssen also nicht immer wie wie der konkrete Gruppe alles möglich normal beweisen sondern sie müssen die 4 Axiome zeigen dass sie gelten damit gilt alles was aus den 4 Axiome herleitbar ist das ist sozusagen die Schönheit der Algebra in der Mathematik das die Algebra auch auch als die Königsdisziplin der Mathematik bezeichnet abstrakte geht sich könnte man auch sagen ok so jetzt hab ich eine kleine Aufgabe für Sie und zwar wird sind wir hier mit Z und der Rest Klassen Additionen zufriedener mit Charme und zwar folgende Strukturen an Preisklassen bezüglich der oder wurde und die 1. Klasse die Multiplikation suchen Sie sich mal ein paar Beispiele aus Z 4
zu 5 zum Beispiel wir machen es vielleicht 1 zu 4 und 5 und untersuchen Sie mal diese Strukturen und können so auch die Tafel machen gleich klar dass es sich dabei um eine Gruppe oder als Gruppe oder gar nichts zu sagen hat ok
Addition
Endliche Menge
Menge
Zahlentheorie
Natürliche Zahl
Algebra
Klasse <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Axiom
Endliche Menge
Menge
Vorlesung/Konferenz
Assoziativgesetz
Addition
Kommutativgesetz
Abelsche Gruppe
Natürliche Zahl
Klasse <Mathematik>
Inverse
Ähnlichkeitsgeometrie
Element <Mathematik>
Gesetz <Physik>
Ganze Zahl
Vorlesung/Konferenz
Axiom
Diagonale <Geometrie>
Addition
Kommutativgesetz
Abelsche Gruppe
Mathematik
Algebra
Klasse <Mathematik>
Gruppenoperation
Element <Mathematik>
Gesetz <Physik>
Algebraische Struktur
Multiplikation
Menge
Ganze Zahl
Vorlesung/Konferenz
Axiom
Struktur <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Struktur <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Restklassen und (Halb-)Gruppen Teil 2
Serientitel Restklassen und algebraische Strukturen
Teil 04
Anzahl der Teile 08
Autor Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/19808
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

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