Merken

Definition Gruppe

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
in der Menge Rechenoperationen oder mehrere Operationen und betrachtet das zusammen als Bündel als zusammengehörig als algebraische Struktur wird sieht man wie es gibt zwischen bestimmten algebraische Strukturen Gemeinsamkeiten und Unterschiede für manche unterscheiden sich und diese Abstraktionsebene also man schaut sozusagen auf die Zahlen Mengen mit ihren Operationen von oben von einer höheren Warte und entdeckt da Gemeinsamkeiten strukturelle Ähnlichkeiten das ist Inhalt der Hochschule Algebra und das wird sozusagen auf einer abstrakten Ebene beschrieben und das machen wir jetzt mal heute für die Sitzung und zwar für ich zunächst mal eine algebraische Struktur seien und sie untersuchen später dann in bestimmte konkrete Absprachen algebraische Strukturen ob die die Eigenschaften dieser Struktur erfüllt und die populärste algebraische Struktur überhaupt das ist die Gruppe wie definieren wir uns jetzt mal die Definition für national die Gruppe zu ab und zu taucht mal in der Mathematik der Begriff Gruppentheorie auf das ist genau das ist sozusagen ein unter Gebiet der Algebra in der es um Gruppen geht also das ist ne Gruppe definieren und dazu eine algebraische Struktur so und das Verzeichnis war ganz allgemein mit einer Menge und eine Operation irgend eine Menge irgendeine Operation diese Kinder da der hat jetzt keine andere Bedeutung hat als das ist ne Operation ok keine Ahnung was das ist im konkreten Fall kann es irgendwas sein hier ist als Werkstatt allgemein eine algebraische Struktur heißt Gruppe genau daran wenn die folgenden Axiome erfüllt .punkt ein es gibt gewisse Axiome die festlegen wann etwas eine Gruppe aber nicht die erläutere ich Ihnen jetzt das 1. Axiom haben sie bereits genannt das Axiom der Abgeschlossenheit des
kürzlich mal mit ab aber ok Abgeschlossenheit also sehr stark so fordert die Gruppe oder die Menge ist bezüglich der Operation abgeschlossen die Menge gehe es ist vorzüglich der Operation abgeschlossen und ich schreibe Ihnen auch mal hin was das formale bedeutet das bedeutet für alle
und auszugehen
existiert 1 sehen ausgehe zu der es aber verknüpft mit dem gleichen sie ergibt egal welche beide Elemente sind neben auszugehen wenn ich miteinander verknüpfter kommt wieder was raus dass in die ist hatten wir bei natürlichen Zahlen +plus beispielsweise verknüpft 2 Zahlen aus natürlichen Zahlen addiert die verknüpfte mit Operationen Addition kommt wieder eine natürliche Zahl aus der natürlichen Zahlen sind bezüglich der Addition abgeschlossen die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen war nicht immer ein Element aus der natürlichen Zahlen existiert sowas an -minus B gleich gleichziehen ist ok das ist 1. Aktion das 2. Aktion ist haben auch schon drüber gesprochen Assoziativität die Operationen Kreml ist assoziativ ich habe ihn auch in das formal bedeute haben aber bestimmt alle schon mal gesehen für alle aber die sie aus der Menge
gegen gilt aber verknüpft mit und jetzt kommt's ich wirklich erst B und C und anschließend mit aber ist das gleiche als wenn ich als Mann aber wir verknüpfe und dann wird nicht das ist die Assoziativität 3. Axiom das neutrale Element hingegen gibt es vorzüglich der Operation Kringel ein neutrales Element das ist eine neutrale Element eine
neutrale Element ist ein Element das wenn ich es mit einem anderen Element verknüpfe überhaupt nichts ändert das lässt das andere Element so wie es ist so könnte man sagen könnte man neutrale Element verstehen also wenn man das allgemein formuliert es existiert ein Ende und das heißt hier zumindest 6 sind mindestens ein Ende ja man kann später zeigen dass es genau 1 gibt in einer Gruppe das machen aber nicht das macht man Algebra es existiert ein Ende ausgehen so dass für alle paar ausgehen aber verknüpft mit allen ist derselbe wie ab und es ist egal ob es rechts oder links dran verknüpfe es gibt ja manchmal Operationen sind nicht kommutativ mehr zu können muss man das hier zwar getrennt betrachten also egal ob ich das neutrale Element von rechts oder von links an den Arenen verknüpfe es kommt immer auch aus und zwar egal welches aber ich nehme für alle Elemente gibt es eine neutrale Element das diese Funktion neben das Verteilen übernimmt fragen Sie natürliche Zahlen mit Operationen bloß was ist das neutrale Element ja genau die 0 sie ist eine natürliche Zahl der kann man sie nun mit den oder nicht so wie es jetzt hier reingeschrieben haben in einer Konvention sind nämlich mit der beiden gibt es keine neutrale Element wenig die 0 mit denke so dann gibt es nur 3 der Männchen ist völlig wurscht welches Element natürlichen Zahlen nehmen 0 +plus a =ist gleich a +plus 0 =ist gleich a gibt eine neutrale Element bei den ganzen Zahlen der Multiplikation die 1 genau bei der Multiplikation sagt man häufig für das neutrale Element auch ein Element weil es ganz häufig so ist bei der Multiplikation dabei multiplikativen Strukturen dieses Element eines heißt gut für sind 4 Axiome und brauche noch ein 5. ja wir brauchen es und das ist natürlich nicht ich bin mir sicher dass ich in irgendeiner S-Klasse in der diese Rechnung geht ich gerade gesagt hat okay wenn wir also es gibt inverse Element hingegen gibt es zu jedem Element ein wäre so für alle aber ausgehen existierte ein a queer ausgehe so das haben wir gestern schon drüber gesprochen was ist der 1. ich nehme Element verknüpft ist mit
seinen diversen dann kommt das neutrale Element raus wenn ich aber mit seinem inversen verknüpfe kommt das neutrale Element raus und zwar völlig egal ob ich das inverse von links oder von rechts an verknüpfen gibt es in den natürlichen Zahlen verbunden mit der Addition inverse Element also die Frage ist eigentlich in irgend eine natürliche Zahl sagen wir die 2 welches
Element muss sich mit der 2 verknüpfen damit das neutrale Element die 0
herauskommen ja 2 selber 2 +plus 2 =ist gleich 4 ist ja -minus 2. aber natürlich ist da nicht drin so das heißt in der natürlichen Zahlen mit 1 gibt es nicht für jedes
Element ein Inverses nur für die 0 gibt schon 1 1 0 +plus 0 zu 0 egal von welcher Seite 7 0 1 0 ganz verknüpft so ok aber für die 2 gibt es keine natürlichen Zahlen mit übervollen Struktur betrachten immer mal Z und die Addition in dieser algebraische Struktur gibt es einen versus für jedes Element das sind also für die 2. die -minus 2 etwas müssen wir also für die 3 bis minus 3 sind wir also für die minus 5 ist für und so weiter und so weiter er das ist auch ein ganz wichtiger Unterschied zwischen diesen beiden Axiomen hier im mündlichen Prüfungen hört man öfter mal folgendes das Axiom hier gesagt es gibt eine neutrale Element und das Axiom mir gesagt es gibt einen 1. Element das kann man so nicht stehen lassen es gibt ein einziges neutrale Element in einer Gruppe aber es gibt es zu jedem Element sein persönliches Inverses also man kann nicht sagen dass mir ein Inverses Element sondern höchstens es gibt inverse Element oder noch genauer es gibt zu jedem Element ein Inverses Element sein ganz persönliches und das ist ja überlegen und was so gute Frage sind jetzt die natürlichen Zahlen mit Addition keine Gruppe wenn sie eine Gruppe werden müssten alle 4 Axiome Geld die Abgeschlossenheit natürlichen Zahlen mit Addition Bild Scheck gilt die Assoziativität natürlich Sammelaktion Scheck Geld gibt es eine trat Element wenig in 0 betrachte die 0 Check in als Elemente gibt es nicht ich hab mindestens ein Element gefunden die 2 hat keinen der das Element das heißt die natürlichen Zahlen der Addition sieht keinen Grund wenn ich die ganzen Zahlen mit der Addition Betrachtung abgeschlossen das assoziativ der neutralen wenn die 0 und es gibt eben Elementen das Element heißt die ganzen Zahlen mit Addition sind eine Gruppe so dass die können es ganz einfach testen wenn Sie eine algebraische haben das ist ja grob oder nicht nehmen Sie diese 4 Axiome durchgehen den Geldmitteln oder was überlegen den Fall belegen was uns aber einig beweisen ja ja das Kommutativgesetz aber noch ausgelassener bei guten fordert man das erstmal nicht das können Dinge auch also Menge mit Operation auch eine Gruppe sein in denen das Kommutativgesetz nicht gilt wenn das Kommutativgesetz zusätzlich Geld sozusagen als 5. Axiom dann nennt man das eine kommutativen Gruppe oder eine Art belgische Gruppe anderer Begriff lautet dass das Schreiben auch noch mal hin das Kommutativgesetz gilt das Gesetz gilt dann heißt die Gruppe kommutativ wurscht bzw. war wählerisch aber ist es so schwer das Kommutativgesetz noch immer viel zu wenig Platz errichtet wurde und den Job hier das Kommutativgesetz zum Shoppen so sind für alle die
ausgehen gilt aber wegen der B =ist gleich wie kriegen wir aber vor allem muss das Geld ja auch doch es es gibt tatsächlich nicht kommutativ bekommt von den bislang nicht mehr wenn sie zum
Beispiel andere Gebiete gehen wie die Matrizenrechnung oder die Verkettung von Achsen Spiegelungen und so
da kommen Gebiete rein die sind mitunter nicht kommutativ insofern fordert für Gruppen mal nicht die kommutativ vität weil Gruppen von Struktur sind und waren durch die nicht über die kommutativ vität noch als 5. Axiom fordern würde für Gruppen würde man ganz viele in der Struktur ausschließen sozusagen aus der aus der in der Eigenschaft einer Gruppe zu sein ok also diese 4 müssen erfüllt sein das 5. achso müssen zusätzliche das nicht erfüllt sein muss damit etwas grob ist okay so jetzt gibt es aber zahlreiche Strukturen die eben nicht alle diese Aktion erfüllen ein paar von den und ein weiterer ein weiterer algebraischen Strukturen die in diesem Kontext erwähnenswert ist ist die halt die halb Gruppe also Strukturen die nicht alle diese Aktion erfüllen sondern nur 2 nämlich die Abgeschlossenheit und das also die Assoziativität diese beiden Aktionen wird eine Struktur diese erfüllt haben sich so meine halb Gruppe
Ebene
Mathematik
Algebra
Gruppoid
Ähnlichkeitsgeometrie
Zahl
Algebraische Struktur
Menge
Bündel <Mathematik>
Gruppentheorie
Vorlesung/Konferenz
Gebiet <Mathematik>
Axiom
Menge
Addition
Subtraktion
Menge
Natürliche Zahl
Gruppenoperation
Gruppoid
Vorlesung/Konferenz
Axiom
Zahl
Addition
Multiplikation
Uniforme Struktur
Ganze Zahl
Betafunktion
Natürliche Zahl
Inverse
Gruppoid
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Struktur <Mathematik>
Axiom
Natürliche Zahl
Vorlesung/Konferenz
Kommutativgesetz
Addition
Algebraische Struktur
Abelsche Gruppe
Menge
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Inverse
Vorlesung/Konferenz
Element <Mathematik>
Axiom
Matrizenrechnung
Algebraische Struktur
Achse <Mathematik>
Gruppenoperation
Vorlesung/Konferenz
Struktur <Mathematik>
Axiom
Gebiet <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Definition Gruppe
Serientitel Restklassen und algebraische Strukturen
Teil 02
Anzahl der Teile 08
Autor Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/19805
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 17:29

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

Zugehöriges Material

Ähnliche Filme

Loading...