Dann brauchen wir noch einen extrem nützlichen Satz, und zwar, seien a b aus z

und m aus m, m aus n, so, ist immer dieselbe Voraussetzung hier in unserem Fall. Dann gilt a ist kongruent zu b modulo m, genau dann, wenn beide Restklasse identisch sind.

Das klingt jetzt fast trivial, so dass man sagt, das ist doch logisch, aber man muss es schon beweisen in der Mathematik. Also, wenn zwei Zahlen kongruent sind modulo m, dann sind auch die Restklasse gleich und umgedreht.

So, jetzt Frage an Sie. Wie können wir das beweisen? Wir wissen ja, dass jede Restklasse die Eigenschaftstratek ist kongruent a modulo m.

Wenn wir es von der rechten Seite sehen, haben wir wieder reingeschrieben. Wenn wir es von der rechten Seite sehen, haben wir wieder reingeschrieben.

Okay, machen wir erst die eine Richtung, dann die andere Richtung, alles klar. Ist ja eine Äquivalenz, nun machen wir mal die eine Richtung hier, so, okay. Das heißt, wir haben jetzt nach Rechtsbeweise, dann können wir davon ausgehen, dass a kongruent b modulo m ist.

Und wir müssen zeigen, dass die Restklasse gleich sind. So, also wir können davon ausgehen und müssen das hier zeigen. Wie zeigt man, dass zwei Mengen identisch sind?

Das sind ja zwei Mengen hier, wie zeigt man, dass die identisch sind?

Sie nehmen urgent in element, wo raus? Also Sie sagen urgent in element nehmen und gucken, ob es in beide drin ist. Okay, wo nehmen Sie es denn raus? Oder was meinen Sie mit, es ist genau in beide drin?

Wo nehme ich es raus? Ja? Wenn man die Menge schneidet und dass man dann zeigt, dass alle Elemente in der Schnittmenge auch in a und in b drin sind.

Das ist immer bei Schnittmenge so. Alle Elemente in der Schnittmenge sind auch in a und in b drin. Oder meinen Sie was anderes? Bitte? Okay.

Das x Element von der Teilmenge von der einen Seite ist unterschiedlich. Wenn man sagt, dass in a ist drin, ist in x drin. Teilmenge von a, Teilmenge von b. Und x Element von der Teilmenge b, Teilmenge bis wo a ist.

Dann ist immer wieder in den Kreis. Ja, ich weiß, was Sie meinen, aber das x Element von der Teilmenge von a ist. Von welcher Teilmenge denn? Ja eben.

Doch, Hammer. Ja? Genau. Pass auf. Das heißt, wir zeigen jetzt Folgendes. Dass die eine Teilmenge von a ist von b und b Teilmenge von a.

Wenn das der Fall ist, wenn a Teilmenge von b ist. Und wenn b Teilmenge von a ist, dann müssen beide Menge gleich sein. Und ich weiß gerade nicht mehr, wer es gesagt hat, aber das ist identisch. Oder das ist jetzt praktisch äquivalent zu. Wir zeichnen für alle Elemente, und ich glaube, das meinte sie auch, für alle Elemente x aus a, dass sie auch in b drin sind.

Und dann zeichnen wir noch, dass alle Elemente aus b auch in a drin sind. Und damit haben wir genau das gezeigt. Also a ist Teilmenge von b, genau. Wenn für alle Elemente aus a gilt, dass sie auch in b drin sind. Und das gilt, wenn alle Elemente aus b auch in a drin sind.

Also wir müssen jetzt diese Konjunktion hier zeigen, und die gilt, wenn jeder Teil hier gilt. Also machen wir erst mal den ersten Teil. Zeige a ist Teilmenge von b. Sei x Element a.

Fest, aber beliebig. Wie könnte denn so fesse Scheiße, fest, aber beliebig? Fest, aber wurscht, oder? Fest, aber wurscht.

Fest, aber wurscht. Also nehmen wir mal x aus a fest, aber wurscht. Und dann, jetzt müssen wir noch zeigen, dass das x auch in b drin ist. Was gilt dann, wenn x in a ist?

Was gilt denn dann? Genau, woher wissen Sie das? Genau, so weiß man von der Definition. Dann ist x kongruent a modulo m.

So, wie machen wir weiter? Was müssen wir jetzt zeigen letztlich? Wo müssen wir hin? Wir wollen zeigen, dass x auch in b drin ist. Was bedeutet das, wenn x in b drin ist?

Genau, wir müssen jetzt zeigen, dass x kongruent zu b ist. Wie kommen wir da hin? Wer sieht es? Mit dem da oben?

Was verwenden Sie denn da? Also, ich wiederhole es nochmal. Sie wissen, x kongruent a mod m und a kongruent b mod m. Dann ist auch x kongruent b mod m. Was haben Sie da verwendet?

Die Transitivität der Äquivalenzrelation kongruenz. Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation, ist transitiv. Die Transitivität verwendet, genau. Außerdem a kongruent b mod m.

Das war die Voraussetzung hier. Davon können wir ausgehen. Daraus folgt mit Transitivität, dass auch x kongruent b mod m ist. Mit Transitivität von, ich schreibe es mal so.

Und daraus folgt, x ist enthalten in der Kongruenzklasse von b. Okay, ich fahre das mal noch über hier.

So, jetzt machen wir die Anerrichtung.

Jetzt ist x enthalten in b. Oh, was habe ich denn da geschrieben? Da hat niemand was gesagt. Kann ich doch nicht schreiben hier.

Jetzt fangen wir an. Dann machen wir die Anerrichtung. Also was heißt die Anerrichtung? Jetzt machen wir den zweiten Teil der Konjunktion. Das b ist Teilmenge von a. Also die Restklasse von b ist Teilmenge der Restklasse von a.

Und jetzt haben wir hier also x aus b. Und jetzt müssen wir zeigen, dass x aus a ist. So, ich fange mal an. Und machen wir weiter.

Können Sie es vielleicht auf bayerisch sagen? Ja, super. Bitte? Wenn Sie ein bisschen lauter sprechen?

Ah, x Element b, fest aber wascht, ja? Alles klar. Was machen wir dann?

Dann ist x Konkurrent zu b Modulo m, genau. Außerdem a Konkurrent b Modulo m.

Das ist die Voraussetzung von dem ganzen Kram. Alles klar. Geht das? Ist das hier die Transitivität?

x Konkurrent b und a Konkurrent b. Dann ist auch x Konkurrent a? Ja, fast, ja. Dann muss das erst mal auf b und a kommen. Dürfen wir das? Dürfen wir das? Ja, was ist es?

Symmetrie. Konkurrenz ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, die ist symmetrisch. Das heißt, dann gilt auch das Umgedrehte hier. Ich kürze das mal hier ab, Symmetrie.

Und dann können wir die Transitivität anwenden hier. Dann ist auch x Konkurrent a Mod m. Mit der Transitivität von der Konkurrenz. Und damit ist x in Dressklasse von a.

Jetzt muss man aufpassen, dass man nicht vergisst, noch die Rückrichtung zu machen. Wir haben jetzt zwei Teile gemacht. Das waren aber beide Teile von der eine Richtung gewesen.

Wir haben hier die Konjunktionszeichen. Jetzt müssen wir die andere Richtung noch machen. Darf man nicht vergessen hier. Alles klar. Die ist aber kurz. Die machen wir noch schnell. Sei a gleich b. Also beide Restklassen sind gleich. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass a Konkurrent b Modulo m ist.

Ich mache es mal kurz. a ist gleich b. Wir wissen, a ist in a. Das ist klar. Okay? Das ist logisch. Wenn a in der Restklasse von a ist. Und die Restklasse von a ist gleich der Restklasse von b.

Dann ist a a in b. Die beiden Mengen sind ja gleich. Und wenn a in b ist, dann bedeutet das, dass a Konkurrent b Modulo m ist. Fertig.

Ach, das muss ich hinschreiben. Das machen wir jetzt so hier auf Hessischbeweisung. Dann schreiben wir jetzt hin. Fertig. Das heißt es ist aber eher fettig.

Fertig müssen wir sagen. Fertig. Da muss noch ein R rein. Da ist ein fettisch. Fertig.