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Die Ordnung der natürlichen Zahlen (Teil 1)

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so oder so dass wir hier aus diesem Grund sei älter ist als sie heute ist und wie auch immer das Sagen haben aber er nicht viel von den
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OK letzte Woche haben wir uns die natürlichen Zahlen angeschaut und sind da sehr strengen axiomatisch vorgegangen werde haben Axiome festgelegt die Piano Aktion anschließend haben wir festgestellt dass genügt uns noch nicht wir wollen mit den natürlichen Zahlen auch rechnen was wir dann zusätzlich mit dazugenommen haben Definitionen der wir haben beispielsweise die Addition definiert auf den natürlichen Zahlen zur Axiomen und Definitionen sind Dinge die man sich ausdenkt setzt man einfach prinzipiell ist mir da völlig frei natürlich haben wir die die für die Addition nicht irgendwie definiert sondern wir haben die Addition so definiert dass es sinnvoll war dass ist genau das gemacht hat was wir wollten die Piraten Aktion machen wir auch genau so festgelegt dass sich die Struktur der natürlichen Zahlen geschrieben haben also ein definieren festlegen von Action ist man frei hat kann man prinzipiell machen wie man will aber man macht es natürlich sinnvoll wenn man so will nur die sinnvollen Definitionen setzen sich durch so hat Axiome Definitionen und dann wollten wir noch weitere Aussagen oder die Wahrheit weitere Aussagen belegen wie beispielsweise das Signal von n gleich 1 plus 1 ist das hatten wir vermutet wenn uns aber nicht sicher in der Mathematik ist es so wenn man eine Aussage treffen kann muss man die auch zunächst erstmal beweisen bevor man sagen kann diese Aussage gilt haben also Axiome gehabt wir hatten Definitionen gehabt und haben eine wesentliche Definitionen verwendet um neue Aussagen zu beweisen diese Aussagen also Aussagen bewiesen hat dann kann man die ebenfalls mit verwenden bei neuen Beweisen das Einsetzen der Übung bald durchexerziert sie haben verschiedene Aussagen bewiesen konnten wenn sie eine neue Aussage bewiesen haben immer wieder die vorhergehende Aussage verwenden so das wenn man mal Axiomen und Definitionen hat durch Beweise immer mehr wahre Aussagen dazukommt und so sich wenn Sie wenn Sie so wollen das
Gebäude der Mathematik langsam aufbaut und man ist sich immer sicherer dass die Aussagen die man bewiesen hat Stimmen hat bewiesen aber immer nur unter der Voraussetzung dass man die Axiome und Definitionen so gewählt hat wie man sie gewählt hat es gibt sozusagen das lässt sich nicht alles beweisen sondern es muss einen Anfang geben denen ersetzt mir den Anfang Mai gesetzt hat dann kann man anfangen zu beweisen und ganz viele an Aussagen Gebäude erstellen mit lauter bewiesen Aussagen auf der Basis der Aktion und Definition so dass man axiomatische Vorgehensweise und daran knüpfen wir jetzt noch mal kurz an ich würde aber sagen werden damit bald aufhören aber es ist wichtig für sie dass sie einmal ja so ein axiomatischen Aufbau gesehen haben es gibt aber noch ganz viele andere Dinge die bei Mathematik treiben eine Rolle spielen ja wir möchten ja dass die Mathematikerinnen und Mathematiker werden sind sie schon aber sozusagen auf einem Haufen Hochschulniveau und es fehlen ganz viele oder ist es gibt ganz viele weitere Tätigkeiten und Prozesse die sie durchführen können wenn sie Mathematik treiben und ganz viele andere Ansätze in der Mathematik außerhalb dieses rein streng axiomatischen Ansatz ich möchte Ihnen auch für diese Vorlesung zu einen Überblick geben über verschiedene Ansätze über verschiedene Prozesse in der Mathematik eine Rolle spielen so trotzdem jetzt hat nochmal an und zwar beschäftigen uns heute zu beginnen mit der Ordnung der natürlichen Zahlen wir werden alle doch wir haben letzte Woche Rechenoperation auf den natürlichen Zahlen definiert der Fluss und mal die Addition und Multiplikation diese Operation werden zum Beispiel die Addition und 2 Zahlen dann kommt als Ergebnis eine neue Zahl raus bei der Multiplikation genauso es gibt es aber nicht nur Rechenoperationen sondern es gibt auch Vergleichs Operationen kennen Sie auch schon beispielsweise möchte man sagen dass eine natürliche Zahl kleiner ist als eine andere Zahl oder eine Zahl ist größer als eine andere Zahl oder kleiner gleich und größer gleich das sind Vergleichs Operationen und ich möchte Ihnen jetzt mal im Rahmen des axiomatischen Ansatzes zeigen wie man eine solche vergleichst Operationen definieren kann und begreifen mal exemplarisch irgendeine raus spielt keine Rolle wenn die kleine Relationen kleiner 3 kleine 5 beispielsweise kleines ist eine Relation die 2 Zahlen in Beziehung gesetzt und daraus kann man eine Aussage bilden die wahr oder falsch ist 3 kleine 5 wird 3 in Relation zur 5 gesetzt 3 kleine 5 ganz überlegen ist diese Aussage wahr oder falsch weil dies war 5 kleine 7 ist nicht wahr es war gleich 7 der 50 war okay das heißt wir definieren weil die kleine Nationen ab die kleine Relation wird und jetzt überrascht sie das vermutlich demnächst erinnern sich die natürlichen Zahlen haben wir mit Hilfe der Kernreaktion wird daher derart charakterisiert das ist eine Anfangszeit gibt die 0 und dann eine solche Kette hatten schon letzte Woche festgestellt dass man die Addition auf den natürlichen Zahlen ganz gute rekursiv definieren kann dadurch dass man etwas über die 0 sagt und dadurch dass man etwas das man das man einen Fall auf den nächsten kleineren zurückführt das ist die Eigenheit der rekursive Definition von Cannes 2. Fall wenn man einen Verlauf der nächstkleineren zurückführt wird die das zu definierende wiederverwendet in der Definition deswegen heißt es rekursiv und das machen wir aber genauso die kleine Relationen Betrieb kurz nach rekursiv definiert so ok das machen was wir genauso wie letzte Woche 10 und 15 Jahren aus das für den 1. Teil der Definition der nicht mal kleiner 1 Uhr ist müssen irgendwas über die 0 sagt ja der 1. Teil der Definition des immer irgendetwas über die 0 Aussage zu der kleine definieren wollen wissen über die 0 ist kleiner als die bezahlt außer sie selbst an und es sich dann als nur dann können wir das machen oder vielleicht ist er sogar noch sinnvoll sagen müssen irgendwie charakterisieren oder in die Aussage dass die 0 die kleinste Zahl ist wir wollen die kleine Relation definieren wollen wir ausdrücken 0 ist die kleinste Zahl das heißt keine andere Zahl ist kleiner als die 0 das ist ja vielleicht was ich versuchen das mal formal auszudrücken keine andere Zahl ist kleiner als die 0 würden jetzt der Sprechweise bislang verwendet haben in der für alle Sprechweise würde man sagen für alle
natürlichen Zahlen gilt sie sind nicht kleiner als die von für anderen natürlichen Zahlen das für mal ein neues Symbol einer müssen wir sagen wir wollen sagen nicht kleiner als 0 und nichtig kümmere mich ausdrücken in der formalen Formel Schreibweise und nicht schreibt man so nicht und nicht den
kleinen als nur für alle natürlichen Zahlen gilt nicht allen kleiner 0 zu und das gilt ja auch alle den nicht das nur die Einsicht das und so weiter und so weiter doch jetzt müssen wir nachdem es für den 2. Teil der Definition fassen nämlich der Unfall ok ich wiederhole meine Frage damit sozusagen auch wieder drauf was Sie sagen ok bei der natürlichen Zahlen in wenn Medien 0 mit aber die Aussage stimmt nicht mit der 0 was meine andere würden sagen dass ihn nur herauslassen mit der Aussage stimmen oder kleiner gleich machen ja eh wir sagen ja nicht nicht allen kleinen und sie wurde gerade gesagt das Geld weil es gilt ja auch für den 0 das nicht 0 kleiner 0 also jetzt alle natürlichen Zahlen einsetzen oder einfach für 0 und nichtig 0 kleiner 0 bestimmt nicht 1 zu 1 0 stimmt nicht 2 kleine und so weiter und so weiter das heißt sie stimmt tatsächlich wenn sie sagen wollten das verwenden wenn sie den ja ok werden dass wir sozusagen dieses nicht vermutlich nicht richtig interpretiert dann hätte man vielleicht aber gleich sagen müssen damit sagen wir 0 kleiner gleich auch ok so jetzt leider 2 der 2. Teil der Definition wo wir jetzt sozusagen den Nachfolger einer Zahl betrachten müssen und diese Nachfolger auf dem es kleineren Fall zurückführen müssen so zwar betrachten wir jetzt 2 natürliche Zahlen für alle M aus den natürlichen Zahlen gilt so ja mit kleiner 0 definiert und dazu müssen wir definieren der kleine Sigmar N immer ganz ähnlich aus der rekursive Definition aber die 0 und 1 den Nachfolger 1 zu 1 wann ist ob sie sticht die auf der schönen so waren es ist eben kleiner als der Nachfolger einer Zahl das muss man auf den Fall zurück wird als eine der für wenigen n kleine NS ja was haben Sie da wenn m
und n gleich sind okay es den erst mal waren sie so verloren sie genau werden sagte geht es auf den Fall einer nehme ich ja wenn n kleine M ist was man gerne zu wenn er kleiner gleich im
1. wie kann man Aussage überprüfen indem man zum Beispiel mal also wird vermutet dass die Aussage nicht stimmt wenn man versucht einen ein Gegenbeispiel zu finden wir in allen 7 n kleiner Sigmar Einwände entkleidender oder kleiner gleich wenn es mir mal 2 konkrete Zahlen oder 3 und 7 3 ist leider der Nachfolger 7 also Teil des kleiner 8 genau dann wenn
es ein sehr entlang der MS 7 kleiner als 3 ist und 7 kleiner gleich treffen auch nicht ok erscheint
Computeranimation
Addition
Prozess <Physik>
Mathematik
Natürliche Zahl
Gruppenoperation
Gruppoid
Aussage <Mathematik>
Zahl
Multiplikation
Ungleichung
Eigenwert
Kettenregel
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Axiom
Natürliche Zahl
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Gegenbeispiel
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Die Ordnung der natürlichen Zahlen (Teil 1)
Serientitel Die Ordnung der natürlichen Zahlen
Teil 01
Anzahl der Teile 08
Autor Spannagel, Christian
Lizenz CC-Namensnennung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/19751
Herausgeber Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHH)
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Abstract Vorlesung von Prof. Christian Spannagel an der PH Heidelberg.

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