Ich begrüße Sie recht herzlich zur ersten Vorlesung im neuen Jahr, darf Ihnen erst mal allen ein frohes neues Jahr wünschen. Ich muss geschehen, ich kriege es doch nicht hin, also mein Folienstift hat leider den Geist aufgegeben.

Also die Prüfung ist natürlich am 17.2.2011, nicht 2010. Das ist der letzte Donnerstag im Semester. Ich hatte ihn ursprünglich, glaube ich, mal angekündigt, wir machen 60 Minuten Prüfungsdauer. Mir ist dann irgendwie aufgefallen, die Vorlesung hat ja 4 plus 2 Semesterwochenstunden.

Deswegen sollte die Prüfungsdauer eigentlich genauso wie bei der Wahrscheinlichkeitstheorie 90 Minuten sein. Ich habe die Prüfung auch entsprechend schon gemacht. Es sind vier Aufgaben, von denen drei zu bearbeiten sind. Ich selber habe alle vier Aufgaben innerhalb von 60 Minuten durchgerechnet. Das heißt, wir könnten auch auf 60 Minuten runtergehen, wenn Sie wollen.

Aber ich wäre auch bereit, auf 90 Minuten hoch zu gehen. Und ich gehe mal davon aus, dass Ihnen 90 Minuten dann doch lieber ist als 60 Minuten. Also Sie schaffen es in 60 Minuten auch. So gesehen stimmt die ursprüngliche Ankündigung. Aber mit 90 Minuten haben Sie einfach mehr Zeit. Und ich sehe keinen großen Sinn drin, dass Sie sich nachprüfen sollen, ob Sie Mathematik in der Zeitnot können.

Sondern mir geht es darum, ob Sie das wissen oder nicht wissen. Und ich möchte auch. Also so konnte ich jetzt vier Aufgaben stellen, von denen drei zu bearbeiten sind. Die vier Aufgaben sind aus vier verschiedenen Bereichen. Anders hätte ich eben nur drei Aufgaben, von denen zwei zu bearbeiten sind.

Und die werden aus drei verschiedenen Bereichen. Und mir wäre es lieber, wenn es ein bisschen weiter streut. Also wenn von Ihnen kein massiver Einspruch kommt. Sie sind aber kleinlich. Also man sollte sich bis zum 14.01.2011 anmelden.

Und nicht bis zum 14.11.2011. Aber gut, es war so eine natürliche Auslese. Also sorry, es scheint nicht nur ein Tippfehler zu sein, sondern auch noch zweiter. Sie sollten sich bis 14.01.2011 natürlich in Toucan anmelden.

Gut, zugelassene Hilfsmittel bei der Prüfung sind keine. Ist klar. So wie sonst eigentlich auch schon bei den letzten zwei Prüfungen, die Sie bei mir geschrieben haben. Aufbau der Prüfung. Es gibt vier Aufgaben, von denen Sie drei bearbeiten sollen. Und welche dann am Schluss gewertet werden.

Ja, ich weiß noch nicht. Werden wir wahrscheinlich so machen, dass Sie es angeben müssen. Dass wir nicht unbedingt alle vier korrigieren müssen. Aber da muss ich mit Herrn Scholz noch mal reden. Oder ob wir sagen, wir werden einfach die besten vier, wenn Sie vier bearbeiten. Drei der Aufgaben sind eventuell modifizierte Prüfungsfragen. Die vierte Aufgabe stammt aus den Übungen.

Also Sie haben ja die Liste mit Prüfungsfragen. Ich habe die jetzt noch mal in Toucan aktualisiert. Sie ist eigentlich komplett. Ich habe noch nicht komplett Versionen darüber geschrieben, weil ich hier noch mal Korrektur lesen möchte. Aber eigentlich sind jetzt 48 Fragen. Und die sind mehr Fragen werden es nicht mehr. Es kann nur noch sein, ich muss noch irgendwelche Tippfehler drin korrigieren.

Als ich die durchgegangen bin von den 48 Fragen, hätte ich 16 davon für Prüfungsfragen verwendet. Oder für eine schriftliche Prüfung verwendet. Aber Sie wissen nicht, welche 16. So gesehen müssen Sie alle 48 vorbereiten. Aber Sie werden feststellen, manche sind eben nicht so gut geeignet für eine schriftliche Prüfung. Und ich habe die Fragen zum Teil modifiziert.

Inwiefern werden Sie sehen? Ich werde Ihnen eine Probeklausur bereitstellen. In Toucan. Also ich habe die Klausur gerade Herrn Jones gegeben. Sobald er sich mal durchgerechnet hat und sagt, okay, soweit kann ich die Probeklausur auch ausgeben. Dann werden Sie mal gucken, was ich unter Modifizieren verstehe.

Ja, vierte Aufgabe stammt aus den Übungen. Von den Übungsaufgaben waren auch nicht alle geeignet. Ich glaube auch so. Ich hatte so acht eigentlich, die geeignet waren ungefähr für eine schriftliche Prüfung. Wobei, wenn man es großzügig macht, sind es eher 16 oder so auch. Werden Sie auch sehen. Aber Sie wissen eben wieder nicht, welche acht der Aufgaben es sind.

Okay, haben Sie Fragen soweit zur Prüfung? Wer schreibt die schriftliche Prüfung vielleicht noch? Ja, die schriftliche Prüfung schreiben im Prinzip alle, außer die, die Diplom studieren. Die brauchen eben die Diplomprüfung und die müssen wir eben mündlich machen. Als Kombinationsprüfung mit anderen Prüfungen.

Aber der Rest schreibt geht eigentlich alles in die schriftliche Prüfung. Und die, die Nebenfach studieren, die sind schon gar nicht mehr da. Die drei Informatiker, die kriegen auch eine mündliche Prüfung. Gut, wenn Sie sonst keine Fragen mehr haben, können wir mit der Vorlesung anfangen.

Wir hatten beim letzten Mal behandelt den Satz 6-4. Wir haben unabhängige normal verteilte Zufallsvariablen. Erwartungswert 2 sei µ, Variant sei sigma quadrat. x² sei das arithmetische Mittel der n-Zufallsvariablen. s² sei die empirische Variant. Dann gilt, erstens, x² und s² sind unabhängig.

Zweitens, x² ist normal verteilt. Und zwar mit Erwartungswert µ, Variant sigma quadrat durch n. Also b ist eigentlich trivial. C, n-1 durch sigma quadrat mal s², ist eine chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.

Und das ist die Verteilung von einer Summe von n-1 Quadraten von unabhängigen standardnormal verteilten Zufallsvariablen. Und vierte Aussage. Wurzel n mal x² minus µ durch s ist T n-1 verteilt. Das ist eine Verteilung. Wir nehmen unabhängige standardnormal verteilte Zufallsvariablen z1 bis zn,

schreiben dann in den Zähler z1 und teilen durch die Summe i gleich 2 bis n zi². Das heißt, im Nenner steht eine chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden, die unabhängig ist von der standardnormal verteilten Zufallsvariablen im Zähler.

Und was wir jetzt in der heutigen Vorlesung machen, ist, wir leiten ausgehend von diesem Satz Tests für normal verteilte Daten her. Also, aus Satz 4, Satz 6-4, lassen sich die folgenden Tests für normal verteilte Zufallsvariablen ableiten.

Das erste Test, den kennen wir schon oder haben wir schon behandelt in der mathematischen Statistik, nämlich der einseitige Gaustest. Bei bekannter Varianz sigma-Quadrat gleich sigma-Null-Quadrat testen wir die Hypothesen H0, mu kleiner gleich mu-Null durch H1 mu größer als mu-Null durch einen Test,

der eben H0 ablehnt, falls Wurzeln N durch sigma-Null mal Xquadrat minus mu-Null größer als das Alpha-Fraktil von N-Null-1 ist. Also A, Teste bei bekannter Varianz sigma-Quadrat gleich sigma-Null-Quadrat.

Teste bei bekannter Varianz sigma-Quadrat gleich sigma-Null-Quadrat.

Hypothesen 6-5, H0, mu kleiner gleich mu-Null versus H1, mu größer als mu-Null.

Mittels V von X1 bis Xn ist 1, falls Wurzeln N durch sigma-Null mal Xquadrat minus mu-Null größer als UAlpha ist.

Null sonst und das UAlpha ist eben das Alpha-Fraktil zu N-Null-1.

Und das Ganze ist der bekannte einseitige Gaustest.

Die nächste Modifikation, die von diesem Test kommt, kennen Sie auch schon alle, nämlich was machen wir, wenn die Varianz unbekannt ist. Ja gut, kann nur vermutlich jemand von Ihnen sagen.

Wir ersetzen sigma-Null durch S und lassen den Test ansonsten unverändert. Und das Alpha-Fraktil nehmen wir von der passenden Verteilung. Das wäre nach dem Satz 6-4 die TN-1-Verteilung.

Und dann haben Sie den einseitigen T-Test. Also B, Teste bei unbekanter Varianz sigma-Quadrat 6-5 mittels V von X1 bis Xn

genau den gleichen Test, nur ich schreibe hier S statt sigma-Null, also die Wurzel aus der empirischen Varianz. Und hier nehme ich das Alpha-Fraktil von der TN-1-Verteilung.

Also V von X1 bis Xn ist 1, falls Wurzel N durch S mal X wäre minus Mu Null größer TN-1-Alpha. Und das TN-1-Alpha ist das Alpha-Fraktil von TN-1.

Das ist dann der einseitige T-Test von Student.

Das waren jetzt Tests für den Erwartungswert. Jetzt möchte ich einen Test für die Größe der Varianz angeben. Da bietet sich an, eben die empirische Varianz mit dem Standardwert, mit dem ich vergleichen will, zu vergleichen. Und wenn ich das entsprechend normalisiere, kann ich dann eben in dem Test das Fraktil von der Xi-Quadrat N-1-Verteilung verwenden.

Also C, Teste bei unbekannten Mu-Sigma-Quadrat 6-6.

Das wäre H0. Sigma-Quadrat ist kleiner als Sigma-Null-Quadrat versus H1. Sigma-Quadrat ist größer als Sigma-Null-Quadrat mittels V von X1 bis Xn ist eben 1,

falls 1 durch Sigma-Null-Quadrat mal Summe I gleich 1 bis N XI minus X quer zum Quadrat.

Das war die Größe, von der wir aus Satz 6-4 wissen, dass wenn Sigma-Null die wahre Varianz ist, dass die dann Xi-Quadrat verteilt ist mit N-1-Freiheitsgraden. Und wenn das eben größer als das entsprechende Fraktil ist, dann dehnen wir H0 ab.

Und das Ganze gibt dann den einseitigen Xi-Quadrat-Test für die Varianz.

Schreibe ich vielleicht noch... Ach so, ich sollte hier noch das Fraktil dazuschreiben. Das ist das Alpha-Fraktil von Xi-Quadrat N-1.

Und das Ganze ist der... Ja, ich schreibe es auf die neue Tafel. Jetzt kann man es nicht mehr lesen. Das Ganze ist der einseitige Xi-Quadrat-Test für die Varianz.

Okay, Fragen soweit? Keine Fragen, dann mache ich paar Bemerkungen dazu.

Das Erste ist klar. Der einseitige... Also Bemerkungen.

A ist klar. Der einseitige Gaustest ist gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha für 6-5. Oder wir machen vielleicht Test in A. Ist gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha für 6-5.

Vergleiche Corolla zur Satz 6-2.

B-Teil. Einseitige T-Test von Student ist Test zum Niveau Alpha. Ist da die Aussage?

Denn... Kann das jemand von Ihnen begründen?

Also wie sehe ich, dass der einseitige T-Test von Studentest zum Niveau Alpha ist? Oder was muss ich dafür tun?

Ich muss den Erwartungswert von dem Phi ausrechnen, richtig? Und für welche Parameter? Für die Mu, die kleiner gleich Mu0 sind. Also wir gucken uns mal an. Denn für Mu kleiner gleich Mu0 gilt. Ich sage Mu1 kleiner gleich Mu0.

Und der Erwartungswert von dem Phi ist in dem Fall gerade die Wahrscheinlichkeit, dass das Phi gleich 1 ist, also dass die Nullhypothese abgedehnt wird. Das heißt, es ist P von Mu gleich Mu1.

Von Wurzel N durch S mal X quer minus Mu. Mu0. Größer als Tn minus 1 Alpha.

Und ich möchte jetzt zeigen, dass diese Wahrscheinlichkeit kleiner gleich Alpha ist. Und das mache ich mit Satz 6-4. Wie sieht man das?

Antwort. Wir wissen, dass der linke Teil Tn minus 1 verteilt ist. Das ist richtig, wenn Mu gleich Mu0 ist. Dann ist der linke Teil Tn minus 1 verteilt. Und dann kommt gerade gleich Alpha raus.

Aber was ist, wenn Mu kleiner als Mu0 ist? Also ich muss jetzt argumentieren. Für Mu kleiner gleich Mu0 ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls kleiner gleich Alpha.

Also der linke Teil wird größer. Und die Wahrscheinlichkeit, dass der linke Teil ungleichen erfüllt ist, wird auch größer. Das heißt, ich ersetze hier einfach Mu0 durch Mu1. Dadurch wird die linke Seite von der Ungleichung größer.

Dann wird aber das Ereignis, dass das Eintritt ebenfalls größer. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit eben jetzt größer gleich, wenn Mu gleich Mu1 ist. Dass Wurzel n durch s mal x quer minus Mu1 größer als Tn minus 1 Alpha ist.

Eben da Mu0 größer gleich Mu1. Und jetzt weiß ich eben, das Ding ist nach Satz 6-4 Tn minus 1 verteilt.

Dann ist das ganze Ding gleich Alpha, die Wahrscheinlichkeit. Und in der Tat, der einseitige T-Test von Student ist Test zum Niveau Alpha. C-Teil analog überlegen wir uns.

Der einseitige Chi-Quadrat-Test ist ein Test zum Niveau Alpha.

Und das machen wir genau gleich. Also wir betrachten jetzt den Fall, dass Sigma1 kleiner gleich Sigma0 ist.

Oder wir machen Sigma1 Quadrat kleiner gleich Sigma0 Quadrat gilt. Wir gucken uns dann wieder den Erwartungswert von dem Phi an. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Phi gleich 1 ist.

Und wenn Sie jetzt eben hier drin das 1 durch Sigma0 Quadrat durch das 1 durch Sigma1 Quadrat ersetzen, dann ist 1 durch Sigma1 Quadrat größer gleich als 1 durch Sigma0 Quadrat. Das heißt, die linke Seite wird wieder größer. Und damit wird auch die Wahrscheinlichkeit insgesamt größer.

Das heißt kleiner gleich wegen Sigma1 Quadrat kleiner gleich Sigma0 Quadrat. Das ist die entsprechende Aussage, wenn ich hier Sigma1 schreibe.

Jetzt wissen wir, das Ding ist nach Satz 6,4 Chi-Quadrat N-1 verteilt.

Dann sehen Sie wieder, das Ganze ist Alpha.

Okay, Frage war, wie testen Sie, wenn Sie im Fall C des Mu schon kennen, die Variants, wenn Sie entsprechend testen. Gleiche Testprobleme, wenn Sie Mu schon kennen. Im Prinzip würde ich X quer ersetzen durch Mu eigentlich naheliegenderweise.

Und wenn man sich dann überlegt, was passiert dann, dann kann man sich vorstellen, man hat dann eben einen Freiheitsgrad weniger.

Deswegen kann man nicht Chi-Quadrat von N-Verteilung nehmen. Und das sieht man ja auch. Also ich kann die Abschätzung von der linken Seite auf die rechte Seite genauso machen. Und wenn ich mir dann angucke, dann ziehe ich das Sigma1 Quadrat zu den Zufallsvariablen rein. Dann sind die entsprechend normalisiert. Also Xi minus Mu durch Sigma1 Quadrat. Dann sind die N und 1 verteilt unabhängig.

Dann habe ich einfach ein Chi-Quadrat von N-Verteilung. In der Tat, Sie würden einfach das X quer durch Mu ersetzen und das Chi-Quadrat von N-1 Fraktil durch ein Chi-Quadrat von N-Fraktil.

Und vermutlich ist der Test dann genauer. Also man kann sich dann überlegen, da werden wohl die entsprechenden Beziehungen bei den Fraktilen bestehen. Oder ist eigentlich klar, dass Sie Beziehungen bei den Fraktilen haben, weil das eine ist ja die Summe von N-1 Zufallsvariablen zum Quadrat, das eine. Und dann kommt noch eine dazu. Das heißt, die eine Zufallsvariabel ist einfach größer. Ändern sich die Fraktive entsprechend.

Noch Fragen? Gut, dann mache ich noch eine Bemerkung dazu. Wir haben jetzt nichts über Optimalität der Tests gesagt von B und C.

Und man kann jetzt zeigen, diese einseitige T-Test von Student und Chi-Quadrat-Test besitzen ähnliche Optimalitätseigenschaften wie der einseitige Gaustest. Also meistens muss man da jetzt dann irgendwie... Man wird es nicht mehr schaffen, so einen gleichmäßig besten Test zu konstruieren,

sondern man muss noch die Klasse der betrachteten Testerfahrer ein bisschen weiter einschränken, damit wir da auf entsprechende Optimalitätseigenschaftenaussagen kommen. Aber das möchte ich hier nicht machen. Das bringt nicht Art für Neues, wird nur technisch. Deswegen mache ich es nur schwammig als Bemerkung. Man kann zeigen, der einseitige T-Test von Student und der Chi-Quadrat-Test

besitzen ähnliche Optimalitätseigenschaften wie der einseitige Gaustest. Man kann zeigen, ich schreibe es vielleicht kürzer hin, also Tests in B und C besitzen ähnliche Optimalitätseigenschaften wie Tests in A.

Und was wir jetzt im weiteren Verlauf der Stunde machen, wir machen alle möglichen Modifikationen von diesen Tests.

Ich fange erstmal an, ich betrachte nach wie vor das einseitige Testproblem, aber vertausche einfach dieses Größergleich und Kleinergleich bei Null-Hypothese und Alternativhypothese. Das heißt, ich teste jetzt H0 µ Größergleich µ Null versus H1 µ kleiner als µ Null.

Möchte man in A H0 µ Größergleich µ Null versus H1 µ kleiner als µ Null testen?

Ja, was wurden Sie vorschlagen? Wie wandern Sie den einseitigen Gaustest ab? Der einseitige Gaustest war ja, wir lehnen H0 µ kleiner gleich µ Null ab, weil das Wurzel N durch Sigma Null mal x² minus µ Null größergleich als das Alpha-Fraktil von Null 1 ist. Wie testen wir, lehnen wir diesen Test ab,

wenn wir µ Größergleich µ Null als Null-Hypothese nehmen und µ kleiner als µ Null als Alternativhypothese.

Also wenn Sie sich überlegen, was wir bei den Tests gemacht haben, wir haben uns erst mal eine Prüfgröße angeguckt. Was nehmen Sie jetzt als Prüfgröße?

Müssen Sie die Prüfgröße abändern? Nein, die Prüfgröße müssen Sie nicht abändern. Das heißt, Sie nehmen nach wie vor Wurzel N mal durch Sigma Null mal x² minus µ. Also so ersetzte man in der Definition des Tests,

da hatten wir bisher die Bedingung Wurzel N durch Sigma Null mal x² minus µ Null größer als U Alpha durch.

Und Sie haben schon richtig gesagt, wir lassen die gleiche Größe stehen. Das heißt, wir nehmen nach wie vor Wurzel N durch Sigma Null mal x² minus µ Null. Jetzt ist die Frage, was schreibe ich als nächstes hin?

Kleiner als U1 minus Alpha. Warum? Sie machen sich klar, wenn H1 µ kleiner als µ Null ist, dann sprechen jetzt kleine Werte von der Prüfgröße für die Gültigkeit von H1.

Das heißt, Sie lehnen ab, falls das einen gewissen Mindestwert nicht übersteigt. Und dann wählen Sie den gewissen Mindestwert so, dass ein Übersteigen für ein µ gleich µ Null nur mit Wahrscheinlichkeit Alpha auftritt. Und dann darf eben diese standardnormal verteilte Zufallsvariable rechts von dem Wert nur noch die Masse Alpha haben.

Und dann steht da eben das 1 minus Alpha-Fraktil. Also an der Stelle ist das 1 minus Alpha-Fraktil. Also beim Alpha-Fraktil war ja immer die Eigenschaft, rechts davon ist gerade noch Masse Alpha. Nein, rechts davon ist...

Sollten wir noch wissen, was das Alpha-Fraktil ist. Rechts davon ist Masse Alpha, richtig. Und hier steht jetzt rechts davon Masse 1 minus Alpha. Das heißt, links davon, also dass es eintritt, hat nur Masse Alpha, wenn µ gleich µ Null ist.

Und die Monotoniebedingungen sehen Sie genauso wie vorhin. Also für µ1 kleiner gleich µ Null steht eben da wieder auch eine Monotoniebedingung. Und dann können Sie die eine Wahrscheinlichkeit durch die andere abschätzen.

Analog machen wir das in B und C.

Fragen soweit? Keine Fragen. Dann kommen wir als Nächstes zu zweiseitigen Tests. Da betrachten wir Nullhypothese H0 µ gleich µ Null versus H1 µ ungleich µ Null.

Überlegen wir uns, wie wir die Tests modifizieren. Und dann kommen wir zu zwei Stichprobenproblemen noch. Da machen wir Aussagen über zwei verschiedene Stichproben von zwei verschiedenen Verteilungen. Also wir haben Stichproben zweier Normalverteilungen gegeben und wollen wissen, stimmt der Erwartungswert überein oder nicht überein, ist der eine kleiner gleich dem anderen Erwartungswert.

So was. Aber ich würde sagen, vorher mache ich fünf Minuten Pause, mische einmal alle Tafeln. Und wir machen dann um 10 Uhr 32 weiter. Ja, würde ich ganz gern weitermachen. Kommen wir als Nächstes zu den sogenannten zweiseitigen Tests.

Zu testen ist hier 6,7 H0 µ gleich µ Null versus H1 µ ungleich µ Null.

Also µ gleich µ Null versus H1 µ ungleich µ Null. Beziehungsweise 6,8.

Gleiche für die Varianz H0. Sigma gleich Sigma Null versus H1 Sigma ungleich Sigma Null. Und das Ganze sind sogenannte zweiseitige Testprobleme.

Der Unterschied zu den einseitigen Testproblemen ist, dass uns jetzt die Abweichung des Parameters von einem Sollwert nicht nur in eine Richtung, sondern in beide Richtungen interessiert. Also hier möchten wir, vergleichen wir mit dem µ Null, möchten aber nicht nur wissen, ist es größer als µ Null oder ist es kleiner als µ Null,

sondern wir möchten wissen, also in der Gegenhypothese ist sowohl drin, dass es größer als auch sehr viel größer als auch sehr viel kleiner ist. Also interessierten Abweichungen in beide Richtungen und deswegen spricht man vom zweiseitigen Testproblem. Also ich muss gestehen, ich bin zu faul, das jetzt hier hinzuschreiben, aber es steht auch im Skript noch mal drin.

Also da hier in der Alternativhypothese Abweichungen des Parameters vom Sollwert sowohl nach oben, als auch nach unten interessieren, spricht man von einem zweiseitigen Testproblem, statt von einem einseitigen Testproblem wie zum Beispiel ein 6,5. Aber ich glaube, ist klar, oder? Okay, jetzt ist die Frage, 6,7, wie testen Sie 6,7 bei bekannter Variant?

Naja, wir modifizieren wieder den einseitigen Gaustest. Also für 6,7 bei bekannter Variant ersetze man in A

und A war die Bedingung, Wurzel N durch sigma 0 mal x quer minus µ Null größer als u alpha.

Und jetzt können Sie mir vermutlich sagen, was muss ich jetzt stattdessen nehmen,

was nehme ich als Prüfgröße, mit was vergleiche ich Sie?

Also wir können in beide Richtungen abweichen, abweichen interessieren in beide Richtungen, deswegen gucken wir uns den Betrag der Prüfgröße an. Und dann überlegen wir uns, wenn µ gleich µ Null ist, also H0 gilt, dann soll ja eine H1-Nur mit Wahrscheinlichkeit alpha rauskommen.

Und die auftretende Verteilung, die hier dann steht, ist der Betrag von der Standard-Normalverteilung, oder wir haben eine Normalverteilung, die ist symmetrisch um den Nullpunkt. Deswegen wollen wir an der positiven Grenze als auch negativen Grenze

jeweils rechts oder links davon Masse alpha halbe sein, deswegen nehmen wir das alpha halbe Fraktil. Also wir setzen das durch,

bei unbekannter Varianz machen wir das analog, wir nehmen den Test in B,

da steht dann hier eine T-Verteilung, Tn-1-Verteilung, und die ist auch symmetrisch um den Nullpunkt. Das heißt, da können wir genauso Betrag und größer als das Tn-1 halbe Fraktil nehmen. Also analog bei unbekannter Varianz Modifikation des Tests in B,

oder analoge Modifikation des Tests in B bei unbekannter Varianz.

Dann bleibt noch übrig 68 zum Testen von 68, also H0 sigma gleich sigma Null versus H1 sigma ungleich sigma Null.

Modifizieren wir naheliegenderweise den Chi-Quadrat-Test für die Varianz, also das ist ein Test in C. Also zum Testen von 68 verwendet man in C statt 1 durch sigma Null Quadrat, Summe i gleich 1 bis N, x i minus x square Quadrat, größer Chi-Quadrat, größer Alpha-Fraktil von der Chi-Quadrat, N minus 1 Verteilung.

Ja, was würden Sie vorschlagen, was verwende ich nun? Also Frage ist wieder, was ist der Ablehnungsbereich von H0? Bei sigma kleiner gleich sigma Null war es das hier, bei sigma gleich sigma Null, was nehme ich dann?

Naja, Sie sehen schon richtig, die Prüfgröße ist nicht negativ, das heißt, den Betrag nehmen bringt nicht arg viel. Aber es ist nach wie vor so, dass, also wenn hier 1 durch N minus 1 stehen würde, statt 1 durch sigma Null Quadrat, habe ich ja einen erwartungstreuen Schätzer für die Varianz.

Das heißt, sowohl sehr kleine als auch sehr große Werte sprechen gegen die Gültigkeit von sigma gleich sigma Null. Also wenn sigma sehr klein ist, würde ich erwarten, dass das Ding hier die Varianz durch sigma Null Quadrat ist, dass es klein ist, und wenn sigma sehr groß ist, muss es auch groß sein. Das heißt, ich brauche jetzt irgendwelche Grenzen,

wo eben links und rechts davon jeweils so viel Masse steht, dass insgesamt Masse Alpha da liegt. Und nahe liegenderweise würde ich links, also meine Obergrenze so wählen, dass rechts von der Obergrenze Masse Alpha halbe ist und meine Untergrenze so wählen, dass links von der Untergrenze Masse Alpha halbe ist. Das heißt, ich würde sowas machen,

1 durch sigma Null Quadrat größer als irgendwas, schreiben wir gleich hin,

und kleiner als irgendwas als Ablehnungsbereich von H Null.

Und die Aufgabe ist jetzt, diese beiden Zahlen, die an den Punkten stehen muss, so zu bestimmen, dass für sigma gleich sigma Null der Fall jeweils nur genau mit Wahrscheinlichkeit Alpha auftritt. Dann wäre die Frage, welche Fraktile müssen Sie da hinschreiben?

Alles Fraktil zu Alpha halbe, und ich habe es falsch gesagt, also beides Mal sollen die Zahlen so stehen,

dass da Wahrscheinlichkeit Alpha halbe rauskommt, wenn sigma gleich sigma Null ist. Und dann schlagen Sie hier vor, das Fraktil zu Alpha halbe. Und es war eine Chi-Quadrat-Verteilung mit N minus 1 Freiheitsgraden, das heißt, wir nehmen Chi-Quadrat N minus 1 Strichpunkt Alpha halbe. Wir müssen uns erinnern an die Definition der Fraktile.

Das war die Stelle, die eben nur mit Wahrscheinlichkeit, also Alpha Fraktil, nur mit Wahrscheinlichkeit Alpha überschritten wird. Also hier ist es schon mal richtig. Und dann haben Sie hier vorgeschlagen, Sie nehmen das Fraktil zu 1 minus Alpha halbe.

Richtig? Weil es kleiner ist. Und dieses Fraktil zu 1 minus Alpha halbe hat die Eigenschaft, dass rechts davon die Masse 1 minus 1 minus Alpha halbe ist. Richtig, das heißt rechts davon wäre? Ne, falsch, ja.

Also rechts davon ist die Masse 1 minus Alpha halbe, gerade das, was hier steht, bei dem Fraktil. Das heißt links davon ist die Masse 1 minus 1 minus Alpha halbe, also Alpha halbe. Da müsste das eigentlich bei mir auch stehen. Und das sieht gut aus.

Fragen dazu. Das waren jetzt die zweite Sorte von Tests für normal verteilte Daten, eben die zweiseitigen Tests.

Jetzt machen wir was Drittes, nämlich sogenannte Zwei-Stichproben-Probleme. Das heißt, wir bekommen zwei Stichproben und wollen Parameter, die jeweils von Parameter abhängen, und wollen die Parameter dieser beiden Stichproben vergleichen.

Vereinfachend werden das alles Normalverteilungen sein. Und weiter vereinfachend wird die Varianz bei beiden Stichproben als gleich vorausgesetzt. Also innerhalb der beiden Stichproben soll die Varianz gleich groß sein. Gut, kommen wir zu Zwei-Stichproben-Problemen.

Im Gegensatz zu den bisher behandelten Ein-Stichproben-Problemen sind hier

Stichproben zweier verschiedener parametrisierter Verteilungen gegeben und in den Hypothesen werden Aussagen über die Parameter beider Verteilungen gemacht. Ja, ich schreib's eben hin. Im Gegensatz zu den bisher

behandelten Ein-Stichproben-Problemen

sind hier Stichproben zweier verschiedener parametrisierter Verteilungen gegeben und in den Hypothesen

werden Aussagen über die Parameter beider Verteilungen gemacht. Und als konkretes Beispiel betrachten wir, dass wir Stichproben x1 bis

xn und y1 bis yn zweier Normalverteilungen mit unbekannten Erwartungswerten µx bzw. µy und gleicher bekannter oder unbekannter Variant sigma 0² bzw. sigma 2² gegeben haben. Also konkret seien nun Stichproben x1 bis xn und y1 bis yn zweier Normalverteilungen mit

unbekannten Erwartungswerten µx bzw. µy und gleicher bekannter oder unbekannter Variants

gegeben. Und bei bekannter Variant schreibe ich sigma 0² bei unbekannter Variant sigma 2².

Und Sie werden dann in den Übungen auch noch einen Test kennenlernen für Testen auf die Gleichheit der Variants. Das heißt, bevor man die Tests hier anwenden würde, die ich jetzt vorstelle, würde man erstmal bei beiden Stichproben testen, ob die Varianten überhaupt

gleich sind. Zu testen sei jetzt 6.9 h0 µx gleich µy versus h1 µx ungleich µy. Also Sie sehen

vielleicht langsam, es gibt ziemlich viele Testprobleme. Wir können einseitige oder zweiseitige Tests machen. Bei den einseitigen Testproblemen hatten wir noch zwei Varianten, worüber wir die Hypothesen drehen können. Und wir können das Ganze noch kombinieren als ein Stichprobenproblem oder zwei Stichprobenproblem. Und dann können wir bei den, wenn wir auf

die Varianten schauen, ob eine Variante bekannt ist oder eine Variante unbekannt ist. Nun sehen Sie, es geht irgendwie also, ja ich glaube von den Hypothesen her hat man drei Probleme. Dann Faktor 2 für die zwei Stichprobenprobleme oder ein Stichprobenprobleme macht sechs Tests und Variante bekannt oder unbekannt sind sie bei zwölf Tests

für den Erwartungswert allein. Okay, wir fangen an. Ist die Variante sigma 0² bekannt? Ja, was würden Sie machen? Oder insgesamt, wie würden Sie hier einen

Test basteln? Was betrachten Sie als Prüfgröße? Naheliegenderweise oder vielleicht Prüfgröße ohne Normalisierung, wenn wir das mal weglassen. Wir nehmen die jeweiligen Stichprobenmittel

für den Erwartungswert, also x² und y² und vergleichen die beiden. Also bilden vielleicht die Differenz x² minus y². Da das eine Linearkombination von unabhängigen

normal verteilten Zufallsvariablen ist, ist es normal verteilt. Wenn µx gleich µy ist, ist der Erwartungswert gleich 0 von x² minus y², weil sowohl x² als auch y² den gleichen Erwartungswert haben. Und dann können Sie die Varianz folgens ausrechnen. Normalisieren, sodass die Varianz 1 ist und vergleichen mit einer standardnormal

verteilten Zufallsvariable. Also ist sigma 0² bekannt? So schätzen wir µx bzw. y durch x² gleich 1 durch n mal Summe i gleich 1 bis nx i bzw. y² umbetrachten als Prüfgrößebetrag

von z. Und als z nehme ich eben x² minus y². Ich lasse da mal noch ein bisschen Platz.

Ich teile, ich kenne die Varianzteil durch sigma 0. Überlege mir jetzt, die Zufallsvariabel,

die da steht, ist als Linearkombination unabhängiger normal verteilter Zufallsvariablen selbst normal verteilt. Erwartungswert ist bei Gültigkeit von H0 gleich Erwartungswert von x² minus Erwartungswert von y² durch sigma 0. Also µx minus µy durch sigma 0. Wenn µx gleich µy ist, kommt da 0 raus. Wenn ich mir die Varianz überlege, dann haben sie die Varianz

davon. Die Varianz von dem arithmetischen Mittel ist 1 durch n mal die Einzelvarianz. Die Varianz von den arithmetischen Mitteln ist 1 durch n mal die Einzelvarianz. Die Einzelvarianz ist jeweils sigma 0². Wenn Sie die Varianz ausrechnen, ziehen Sie

das 1 durch sigma 0² raus, kürzt sich also weg, bleibt also 1 durch n plus 1 durch m noch übrig. Hier als Summe. Das Minuszeichen spielt bei der Varianzberechnung keine Rolle, weil sie das Minuszeichen zu den einzelnen Summanden hineinziehen. Dann haben sie eine große Summe. Dann ist die Varianz von der Summe die Summe der Varianzen wegen

der Unabhängigkeit. Bei den einzelnen Varianzen können Sie das Minus 1² rausziehen, fliegt also weg. Das heißt, Sie kommen hier auf 1 durch n plus 1 durch m und durch den Faktor müssen Sie nochmal normalisieren. Deswegen nehme ich einen Vorfaktor Wurzel aus n mal m durch n plus m. Was ich eben gerade begründet habe, ist bei Gültigkeit von

H0 ist Z n und 1 verteilt. Denn erstens, wir haben Z normal verteilt. Zweitens, Sie

gleich 0. Das sieht man eigentlich unmittelbar, wenn eben H0 gilt.

Und drittens, wenn Sie jetzt die Varianz von z ausrechnen, dann ziehen Sie eben die ganzen Vorfaktoren quadratisch raus. Das heißt, Sie kommen auf n mal m durch n plus m, mal 1 durch sigma 0 quadrat, dann kommen Sie auf die Varianz von x quer.

Die Varianz von der Differenz ist eben die Varianz, weil x quer und y quer unabhängig sind. Das ist die Varianz von x quer plus die Varianz von y quer.

Und dann machen Sie sich klar, die Varianz von x quer ist sigma 0 quadrat durch 1 durch n. Die Varianz von y quer ist sigma 0 quadrat durch 1 durch n, der sigma 0 quadrat kürzt sich weg. Dann steht da n mal m durch n plus m, mal 1 durch n plus 1 durch m. Sie bringen 1 durch n plus 1 durch m auf den Hauptnamen, dann sehen Sie, das ist n plus n durch m mal m.

Das heißt, alles hebt sich auf, kommt 1 raus. Genau, wenn Betrag von z größer als das alpha halbe fraktiv ist. Also es ist naheliegend h0 abzulehnen, falls Betrag von Wurzel aus n mal n durch n

plus m mal x quer minus y quer durch sigma 0 größer als u alpha halbe ist.

Und das Ganze ist dann der zweiseitige Gaustest für zwei Stichproben.

Ja, jetzt ist die Frage, was würden Sie vermuten, was machen wir, wenn die Varianz unbekannt ist?

Okay, also wir nehmen irgendwelche, wir kombinieren die Schätzungen für die einzelnen empirischen Varianten. Ich meine, im Prinzip könnte man natürlich auch die empirische Varianz von der ganzen Stichprobe testen, weil ja unter h0 die Erwartungswerte gleich sind.

Könnte man im Prinzip machen. Aber wenn wir so zweimal empirische Varianten irgendwie kombinieren, ist es sinnvoller, weil dann haben wir auch einen erwartungstreuen Schätzer, wenn die Nullhypothese nicht gilt. Und dann, welche Verteilung nehmen Sie dann wohl? Also wo bekommen Sie das Alphraktil her?

Also das nächste brauchen Sie die Verteilung der Nullhypothese, der Prüfgröße und der Nullhypothese. Und was würden Sie vermuten, was kommt daraus?

Sollte eine T-Verteilung sein, genau. Und jetzt gucken wir uns jetzt mal genauer an. Also ist dagegen die Varianz sigma quadrat unbekannt, so gehen wir analog zum zweiseitigen T-Test von Student vor. Also ist dagegen die Varianz sigma quadrat unbekannt, so gehen wir jetzt analog zum zweiseitigen T-Test von Student vor.

Wir schätzen erstmal die Varianz und wir schätzen sie durch eine sogenannte gepulte Stichprobenvarianz. Ich werde jetzt nicht unbedingt das arithmetische Mittel von den beiden einzelnen Stichprobenvarianten nehmen, weil der eine Schätzer basiert ja auf mehr Beobachtungen als der andere. Das heißt, das wird man irgendwie ausgleichen.

So schätzen wir sigma quadrat durch die sogenannte gepulte Stichprobenvarianz.

S quadrat ist gleich 1 durch, ja Vorfaktor überlegen wir uns gleich.

Ich nehme die Summe i gleich 1 bis n x i minus x quer plus die Summe 1 bis m minus y quer zum Quadrat.

Teile das durch die Anzahl der Freiheitsgrade, weil ich hier zwei erwartungswert schätze, ziehe ich zwei ab bei n plus m.

Also ich bilde die Summe i gleich 1 bis n x i minus x quer, addiere die Summe j gleich 1 bis m y j minus y quer zum Quadrat jeweils und teile durch 1 durch n plus m minus 2. Sie machen sich gleich klar, es ist ein erwartungstreuer Schätzer der Varianz, wobei gilt.

Na ja, wir lassen mal den Vorfaktor stehen und ziehen wir aus dem Erwartungswert raus, 1 durch n plus m. Dann schreibe ich das erste als n minus 1 mal die empirische Varianz von x. Das heißt, ich komme hier auf n minus 1, wenn ich das rausziehe, mal Erwartungswert von s x zum Quadrat plus beim zweiten Analog n minus 1 mal Erwartungswert von s y zum Quadrat.

Ich weiß, die empirische Varianz ist ein erwartungstreuer Schätzer. Das heißt, hier kommt die Varianz sigma Quadrat raus, hier kommt die Varianz sigma Quadrat raus und dann sehen Sie,

dann kommt in der Tat 1 durch n plus m minus 2 mal n plus m minus 2 mal sigma Quadrat raus. Das heißt, in der Tat, es kommt sigma Quadrat insgesamt raus. Das heißt, es ist ein erwartungstreuer Schätzer und zwar sowohl unter h 0 als auch unter h 1.

Okay, so dann setzen wir z genauso wie oben, also einfach Wurzel n mal m durch n plus m mal x quer minus y quer durch Wurzel aus s Quadrat

und lehnen eben h 0 ab, falls Betrag von z Großes gilt.

Und das Ganze ist dann der zweisättige T-Test für zwei Stichproben.

Und was jetzt eben noch fehlt, ist, welches Fraktil schreiben wir hin? Ja, wenn es ein T-Test ist, ist es wahrscheinlich eine T-Verteilung. Entscheidende Frage ist, wie viel Freiheitsgrade? Na ja, wenn es bisher n minus 1 waren, immer wird es wahrscheinlich n plus n minus 2 sein und alpha halbe.

Und die entscheidende Frage ist, warum ist es das richtige Fraktil? Also woran sieht man, dass da in der Tat bei Gültigkeit von h 0, also mu x gleich mu y,

eine T-Verteilung mit n plus m minus 2 Freiheitsgraden da steht. Okay, Vorschläge? Warum ist diese Prüfgröße z unter h 0 T verteilt mit n plus m minus 2 Freiheitsgraden?

Okay, also der Vorschlag ist gerade, wir erinnern uns an die Definition der T-Verteilung.

Dann muss da bei der, unter der Wurzel, eben 1 durch n plus m minus 2 mal eine Summe von n plus m minus 2 Quadraten

unabhängiger standardnormal verteilter Zufallsvariablen sein. Gleichzeitig muss im Zähler noch eine davon unabhängige standardnormal verteilte Zufallsvariabel sein. Und jetzt ist die Frage, wo sind diese unabhängigen standardnormal verteilten Zufallsvariablen? Sie haben natürlich recht, die beiden Summanden sind unabhängig.

Aber ich meine, warum sind die einzelnen Summanden noch jeweils Summen von Quadraten von unabhängigen normal verteilten Zufallsvariablen? Und zwar standardnormal verteilt?

Sie sind normiert. Aber nicht standardnormal verteilt, ne? Und warum ist der, das zweite Problem ist, warum ist der Zähler noch dazu unabhängig? Davon unabhängig, ne? Wenn Sie sich erinnern, wie ging es denn bei dem, okay, Sat 6-4 sagt genau das, ja, Sie gehen in die richtige Richtung.

Sat 6-4 macht eigentlich mehr oder weniger das, und zwar der Beweis von Sat 6-4. Also wir überlegen uns mal, analog zum Beweis von Sat 6-4 gilt, und zwar gilt unter H0,

und zwar das erste, was wir in dem, oder wir hatten diesen Beweis von Sat 6-4, und dann kam, wo wir die eigentlichen Eigenschaften bewiesen haben, haben wir Darstellungen für x quer und s Quadrat hergeleitet. Und das machen wir jetzt für x quer, y quer, sx Quadrat, sy Quadrat. x quer hatten wir die Darstellung sigma durch Wurzel n, mal eine standardnormal verteilte Zufallsvariable plus µx.

Weiter hatten wir die Darstellung, ja, wenn ich n-1 durch sigma Quadrat mal sx Quadrat ausrechne,

dann war das eine Summe von Quadraten von unabhängigen standardnormal verteilten Zufallsvariablen, i gleich 2 bis n, zi Quadrat, und genauso mit y.

Also y quer war dann sigma durch Wurzel m, mal z1 quer plus µy,

und m-1 mal sigma Quadrat durch sy Quadrat ist gleich Summe j gleich 2 bis m, zj Quadrat, wobei eben die z1 bis zn und z1 quer bis zn quer sind unabhängig in 01 verteilt.

Ja, und wenn wir das ausnutzen, all das kommt jetzt unmittelbar aus dem Beweis von Satz 6.4, da hatten wir eben die Beziehungen jeweils für eine einzige Stichprobe hergeleitet, die gelten dann aber auch für die beiden, und dann sind eben diese Zufallsvariablen hier und hier unabhängig,

weil die ursprünglichen Stichproben unabhängig sind. Okay, wenn wir uns jetzt damit z überlegen, was ist dann z? Z ist gleich, wir nehmen mal das Wurzel n mal m, durch n plus m,

dann schreibe ich x quer minus y quer hin, ich habe vorausgesetzt, dass h0 gilt, das heißt µx ist gleich µy, das heißt es fällt weg, das heißt wir haben sigma durch Wurzel n, oder ich lasse das, ja wir schreiben mal sigma durch Wurzel n,

mal z1 minus sigma durch Wurzel m, mal z1 quer, dann teile ich durch die Wurzel aus, naja s², s² steht da oben, ich ziehe den Vorfaktor raus, 1 durch n plus m, also ich modifiziere dieses z² mit n plus m minus 2

und teile noch durch sigma quadrat, das heißt ich ziehe eigentlich als Vorfaktor aus sigma quadrat durch n plus m minus 2, dann bleibt hier noch übrig die Summe von i gleich 2 bis n,

zi quadrat plus j gleich 2 bis m, zj quer zum Quadrat und jetzt müssen wir argumentieren,

dass das was da steht tn plus m minus 2 verteilt ist, okay soweit, also einfach nur eingesetzt,

wir können das sigma kurz, sigma fliegt raus, dann steht hier schon mal das Richtige, hier steht die chi-Quadrat-Verteilung mit n plus m minus 2 Freiheitsgraden, die ist auch unabhängig von dem was da oben steht, die einzige Frage die jetzt noch bleibt ist,

steht da oben eine Standard-Normalverteilung, also wie sieht es mit der Verteilung von dem Ding aus, nachdem ich das sigma Quadrat gestrichen habe oder gekürzt habe, muss ich natürlich

zweimal machen, können Sie argumentieren warum das eine Standard-Normalverteilung der Zufallsvariable ist, normalverteilt ist es als Linearkombination von unabhängigen

normalverteilten Zufallsvariabeln, dann rechnen Sie die Varianz aus und dann kommt eben genau eins raus, weil Sie ziehen das quadratisch raus, dann bekommen Sie Varianz hier als 1 durch n plus 1 durch m, kurz sich mit dem Vorfaktor und der

Wartungswert ist klarerweise 0, das heißt das Ding ist n 0 1, das Ding hier unten ist war unsere chi-Quadrat-Verteilung mit n plus m minus 2 Freiheitsgraden und das ganze Ding war unabhängig von dem oben und damit ist das ganze in der Tat

eine T-Verteilung und in der Tat unser zweiseitiger T-Test für zwei Stichproben

Ok, damit bin ich genau am Ende. Oder haben Sie noch Fragen? Gut, dann sehen wir uns am Donnerstag.