1. Vorlesung: Kap. 1: Lineare Algebra

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1. Vorlesung: Kap. 1: Lineare Algebra
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Release Date
2013
Language
German

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Rotation Greatest element Trigonometry Group action State of matter Direction (geometry) Inverse element Function (mathematics) Mathematical structure Order of magnitude Physical quantity Subset Mathematics Schnittpunkt Dimension n Plane (geometry) Forest Mathematician Summation Length Social class Covering space Temperaturverteilung Euclidean vector Block (periodic table) Geometrisches Objekt Moment (mathematics) Gradient Coordinate system Square Automaton Perturbation theory Variable (mathematics) Strecke Null Algebra Vector space Uniformer Raum Abbildung <Physik> Berechnung Summierbarkeit Linie Factorization Parallelogram Point (geometry) Geometry Plane (geometry) Distributive property Polynomial Sine Zahl Number line Civil engineering Real number Mass Equation Continuous function Number Force Hausdorff space Plausibilität Complex number Energy level Vector graphics Differential equation Absolute value Beam (structure) Addition Series (mathematics) Projektion <Mathematik> Raum <Mathematik> Model theory Division (mathematics) Line (geometry) Set (mathematics) Affine space Ellipse Calculation Structural equation modeling Ecke Coefficient Differential calculus
sind hier und und dann wären so sein Nachbar
geändert werden an der TU Darmstadt
oder begrüße ich Sie alle herzlich zur
1. Vorlesung Mathematik 2
und zumindest für mich zur 1.
Vorlesung in diesem neuen Hallen gesehen einige
von ihnen sitzen ja schon länger ja
Mathematik 2 2. 2. Teil der
Vorlesung wird und mit
2 großen Pleiten der Mathematik
beschäftigen zunächst ist ihren
Algebra das ist er es ist
der Sommer von anschauen ihr
geometrisches Thema es geht um
Vektorräume darum unsere rechnen mit
Vektoren 7 Jahre Abbildungen das
heißt Drehungen Spiegelungen und so
weiter und dann im zweiten Teil der
Vorlesung Ferenc ja Rechnung in
mehreren Veränderlichen wer beim letzten
Semester uns mit der Differentialrechnung
also dem ableiten und in einer Variablen
beschäftigt es gibt aber der Natur Nummer
dummerweise Größen von mehreren Dingen ab als von
einem Eingangsparameter zum Beispiel
von Ort und Temperatur oder von Ort
und Zeit oder von sonstigen Dingen oder auch nur von
Art bei dessen auch von 3 Variablen in 3
Koordinaten Richtung und auch die kann man
differenzieren können und damit mehrmals
beschäftigen und dann zum Ende noch das
Integrieren von Funktionären bei habe
müssen die 3 großen Blöcke unter vorbei der ganzen
Ruhr einsteigen gibt es natürlich immer am Anfang
vom Semester zur Gestapo
organisatorisches und dem mächtig
diesmal relativ zügig aber handeln weil
die Haupt messe ich ist alles passt
alles bleibt so wie sie war und das wird alles nur ein
bisschen besser auf mich da also
erst die groben Koordinaten Vorlesungs
Termine kennen sie alle montags und dienstags
hier die Assistenten der
Veranstaltung kennen sie alle nicht sind für mich
auch neue das ist einmal der Dimitrow
vor der sitzt in Mathematik Gebäude
im Raum 3 3 5 und Dirk
Schröter auch in Mathematik Gebäude an
der Dolivostraße dann haben wir ein
Riesenstau Übungs- Termine an vielen
verschiedenen Zeiten Ich hoffe das ist
genug sehen dass es bei dieser Vorlesung war wichtig weil es
ja so sehr viele Studiengänge sind und die Daten an den
Stundenplan und ich hoffe jeder findet
hier irgendwas was passt und letzte
Zeile die Übungen starten auch so wie
letztes Semester in der 2. Woche also die
1. Übung ist am 24.
4. gut dann Material und
so weiter auch da bleibt im Wesentlichen
erst mal alles beim Alten mit 2
Neuerungen also das heißt es
gibt weiterhin die Aufzeichnung hier vorne
dankenswerterweise schon angefangen auch die
finden Sie wie die letzten Semester auf der
Opelaner oder wie im letzten Semester auf der
oben an der Plattform des E-Learning
Centers und was dazukommen sind
2 Dinge das eine steht hier darauf dass ist es
gibt es eine Modellplattformen zu dieser
Vorlesung das ist dieses Semester zum
1. Mal so dass es eine Schnittstelle automatische
zwischen Tucheim Modell gibt und das
ermöglicht es einfach werden zu
dieser Veranstaltung 1 oder Seite auf dem wurde der
TU zu machen wir damit noch nie zu tun
hatte schauen sich das gerne an der müssen
sie weil sonst das Zeug nicht ankommen sie gehen
auf diese Seite da oben Mode TU-Darmstadt
melden sich daran mit der TU Aldi dann auf
meine Startseite dann finden Sie die Vorlesung Mathematik
2 bauen die finden Sie deshalb weil diese Mode
Schnittstelle dankenswerterweise geben der
sich in Tucheim zuvor anmeldet automatisch auch in diesem
wurde kurz reinstecken das heißt das sind sich schon angemeldet
zumindest wenn sie Tugan angemeldet sind kurz für
die Orientierung gibt es da normalerweise geht
zurzeit keine Probleme mehr gibt es Leute die es noch aus ähnlichen
Gründen nicht geschafft haben sich Into ganze Vorlesung
anzumelden tja 8 von er vor 3 Jahren
geträumt gut werden er also das
sollte also bei einem von ihnen geklappt haben und
in diesem Modell werden wir dieses
Mal die gesamte Organisation der
Vorlesung fahren das heißt sie werden zu dieses
Mal keine Übungsblätter finden und keine Materialien
und gar nichts das einzige was Zugang enthält dieser
lehnt aufs Modeln und dort findet sich
alles das hat verschiedene Vorzüge
das hat den Vorzug dass Malen oder das
Material sortieren kann alles das ist Betrug
an wirklich schwer und andere schöne Dinge
man kann die Übungs- Punkte dort verwalten Sie werden es
hoffentlich auch genießen der was das Mode und auch
noch als zusätzlichen Service bietet oh
das möchten wir Ihnen auch anbieten ist es gibt die
Möglichkeit Foren einzurichten das heißt es wird
dort ein Forum geben zur Veranstaltung
in dem einfach alles zu veranstalten diskutiert werden
kann und wir wollen dann auch jede Woche
Ziel Übungsblatt ein weiteres Forum anbieten in dem
dieses Übungsblatt diskutiert werden kann
und so auch ein Austausch zwischen Ihnen und auch
uns stattfinden kann der hoffentlich
Interessantes das das Modell von 1 zu
1 Punkte hier gar nicht drauf steht eine relativ
frisch ist das wird wohl
klappen dass es dieses Mal auch tatsächlich ein Skript
geht das ist in der Entstehung die
1. 10 Seiten oder so gibt es schon und ich hoffe ich
kann in das ja ja Ort kleineren
verknüpft und ich hoffe ich kann Ihnen das sehr
bald zur Verfügung stellen gut meine
Sprechstunde habe ich auch schon mal festgetackert
Dienstag 10 Uhr der geht der gleiche des
Klemmer wie letztes Mal sie haben alle
furchtbar viele Stundenpläne und garantiert sagen jetzt die
11. da kann ich nicht dieser Termin heißt auch
nur dass das Zeit ist wo ich ihn mit sehr hoher
Wahrscheinlichkeit garantieren Büro zu sein wenn
jemand ein dringendes Anliegen hatten wir sprechen wir
machen einfachen Termin aus also wenn Sie da können kommen sie
zu dem Termin wenn das nicht geht sprechen Sie mich an schreiben Sie eine
Email und dann einen Termin aus dann klappt das auch
gut die Sprechstunden der Assistenten
und Tutoren und Tutoren stehen
natürlicherweise noch nicht fest weil die in
Übungsgruppen abgesprochen werden da wird es dann
auch wieder die letzten Semestern PDF geben mit
einem Sprechstunden man die feststehen und das wird sie dann
im Rudel also das sieht umgewöhnen wenn sie
endlich Materialien suchen nicht Zugang gucken weil
wird nicht sein sondern die gleichen Modell oder ins
Zugang den und den link zum Mode so das ist
das da gibt es in auch in
gewohnter Weise wieder den Treffpunkt
Mathematik auch in gewohnter Weise bei Johannes
Kunzel da ändert sich bis auf den Stoff
der behandelt wird nicht viel das ist auch im
Wesentlichen die Folie vom letzten Mal
ich habe die Daten angepasst und
ansonsten alles kopiert also wieder die
Einladung nutzen Sie dieses
Zusatzangebot von einer ja
einen weiteren Tutorium das Sinnlichkeit neuen
Stoff liefert sondern das einfach nochmal
vertieft in auch zeigt wie das ganze
Leben Bauingenieurwesen und das vollkommen
was das für Rollenspiel was wie Mathematik
betreiben zum im laufenden Semester
eben immer mittwochs um 9 Uhr
50 und das Ganze geht aber nicht diese
Woche los und erst nächste Woche also sich ist der
Beginn am 24 für genau wie die Übung
und Herr Kunze wird auch wieder die Klausur
Vorbereitungskurs anbieten also auch da ändert
sich nichts gut den Übungsbetrieb den
ich in den letzten Semester lang erklärt habe auf
ich muss ich ihn nicht mehr so lang erklären wenn den Sie jetzt
kennen bei ändert sich auch nicht viel es
gibt Übungsblätter mit Gruppen und
Ausübung die laden wir
einige Tage vor der Übung rochen und nicht man
Tukan sollen Models die bringen Sie bitte zu
Übung mit zusammen mit ihren der mit
ihren vor Songs Unterlagen
und dann gibt es wieder die ausüben
Druckausübung auch im letzten Semester
die können Sie in der Woche drauf in ihre Übungsgruppe
abgeben und Sie kriegen die dann die Woche drauf
korrigiert zurück und dafür gibt es wieder Punkte und die
Punkte haben wieder genau wie letztes Semester die beiden
Bedeutung dass sie zum einen die die
Studienleistungen entscheidend sind für diejenige die
brauchen und zum anderen für diejenigen die
Klausur schreiben den Bonus bestimmen was
sich ändert im Übergang zum Winter zum
Sommersemester ist das pestartige artige
Auftreten von Feiertagen dass es immer so
Besonderheit des Sommersemesters das Sommersemester
wimmelt vor Feiertagen das macht dies Leben unnötig
kompliziert ich das heißt wir müssen uns Gedanken
machen was sie den Termin wo einzelne Übungsgruppen
ausfallen und der eben sehr viele Übungs-
Termine damit für jeden Erdmassen Stundenplan
passt und das heißt irgendwas ist immer betroffen
also unseres und wir haben uns also überlegt wie wir
das sie den Feiertagen machen und hier ist die
Feiertagsregelung wir haben im Wesentlichen
3 die uns reinhauen und das erst ist der 1.
Mai und der Haut richtig rein weil es der
Großteil unseres grobes mittwochs und die
frei alle aus und damit letztlich nicht alle
aus dem mittwochs Übungsgruppen noch in den Donnerstag und frei doch
Übungsgruppen quält hin und wieder mit 60 Leuten in
Räumen sitzen war die Frage was machen wir
Ei auch klar ist die 10 Übungsgruppen von
Mittwoch mal eben zu verlegen und 10 andere
Termine zu finden mit jeweils und frei im Raum
zwischen schöne Idee führt aber zu Übungsgruppen und
freitags nachmittags um 7 oder samstags morgens
um 9 ist nicht so doll der und die
Überlegung war es leichter zu kriegen ist Essen
Übungsgruppe ist noch so Hörsaal und wir
werden für die Leute für die diese Mittwochstermin
ausfällt als Ersatz und in
dem Fall ist Ersatz natürlich leider ein bisschen
französischen Sinne zu verstehen also als ein schlechter
Ersatz er ist 1 Hörsaal Übung
anbieten wo ihnen jemand dann die
Gruppenübungen vorrechnet und das ist
nicht so toll wie Sie selber tun aber es ist immerhin
die sie gesehen von dieser Termin ist eben am Freitag
den 3. Mai um 13 Uhr 30
im Audimax und im Keller 0
1 noch ein technische period bei dem Termin kommen
dann natürlich alle deren Ausübung bekommen dann also die Leute aus
10 Übungsgruppe mit ihrer Ausübung und schmeißen
wir laufen großen Haufen aufs Pult das funktioniert
nur wenn sie auf dieser Ausübung aber wenigstens man dieses
auf diese bitte groß Schreiben an in welche
Gruppe sie normalerweise sind was Übungsleiter ist weil
sonst kriegen wir nicht solche ja also das
steht deswegen ja schon drauf nicht die entsprechenden
Übungsleiterin so sicher vor nochmal Ansagen aber da
bitte ich Sie darum sonst gehen noch Übung einfach verloren
so wer natürlich donnerstags oder freitags
Übungsgruppe hat hat in der Wochen 1. Mai gewonnen
der hat ein Problem zumindest die donnerstags wollte am
9. und 30. Mai bei Christine von
Fronleichnam komme auch noch aber das ist
einfacher weil am Donnerstag in nur 3 Gruppen
und da ist unsere Lösung die fallen einfach
aus und die Leute aus diesen 3 Gruppen verteilen
sich irgendwie homöopathische auf die andern Gruppen der
da der 20 Gruppen haben sind fallen sie aus 3
Gruppen nicht so wirklich auf das heißt in der
Woche suchen sich bitte die in den beiden Wochen
suchen sich bitte die die donnerstags Übungsgruppe haben
ein einen Termin aus und ging dahin und
ich hoffe dass die Stundenpläne dafür sorgen dass sich das
einigermaßen verteilt also wenn Sie mit dem ich
alle in die Diggings Termine was weiß ich Mittwoch
um 11 Uhr 40 oder so was hat gut dass sie die
Feiertage da eine Studien und
Prüfungsleistungen auch da gilt das gleiche
wie es im letzten Semester gesagt habe die
Vorlesung ist was die Studiengänge und
Ordnung angeht unübersichtlich und
ich bin nicht in der Lage vorgeben genau zu
wissen was für die Prüfungsleistung oder Stühlen aber auch
das ist ihre eigene tiative gefordert schauen Sie
Ihre Prüfungsordnung Studienordnung sein
was Sie brauchen wir bieten an die
Studienleistungen und der Prüfungsleistungen die
Studienleistung gibt es über die Ausübung s' Punkte wie
letztes Semester also 50
Prozent der gesamen Ausübung gibt die
Studienleistungen und für die Prüfungsleistung
gibt den in der Klausur auch die diesmal
und wenn sie die bestehen lernte die Prüfungsleistung
guten dann natürlich wollen was von Klausur Bonus
gesagt also ein paar Informationen zur
Klausur ganz frisch hereingekommen
ein voraussichtlicher Termin der ist noch
so ein bisschen zunächst mehr
inoffiziell da also der ist mehr so Gerücht
aber ein sehr gefestigt das Gerücht
also in den letzten Jahren ist immer der
geblieben ich will nur damit sagen Sie können sich darauf
einstellen es ist der 19. September aber
bitte gehen Sie nicht jetzt gleichen Tag ins Reisebüro
buchen ihre Reise und beschuldigen den nicht ich habe gesagt wir
19 September also endgültig festgelegt wird das
nächste Woche aber der ist sei aber dass es ein
sehr gutes doch arg er wie üblich in der
Mathematik auch damit er den Nachfragen
nicht kommen es gibt keine nach Termin in dem
Sinne dass es in diesem Semester für den Sommer noch
eine Klausur gibt es gibt die Klausuren ein
matter 1 und machte 2 einfachen jeweils
jedes Semester also der nächste Termin
wäre dann im Frühjahr 2014 so an
den Verfahren der Klausur ändert sich auch nichts es
bleibt also der Koffer Klausur in der sie alle schriftlichen
Unterlagen mitnehmen können und es bleibt
dabei dass sie nicht elektronisches mitnehmen dürfen
also keine Taschenrechner Laptops Handys und
so weiter auch nochmal alles letztes Semester
für so viel Verwirrung gesorgt hat alle schriftlichen
Unterlagen heißt alle schriftlichen Unterlagen
also alles was auf Papier ist ob gedruckt oder
handgeschrieben oder ein oder doppelseitig oder den
ab 3 oder 4 völlig egal bringen
Sie alles mit was auf Papier ist so und dann noch final
der Bonus wobei der sich auch nicht geändert hat
wenn Sie das Kriterium für die Studienleistung erfüllen
also wenn sie mindestens 50 Prozent ellipsis
haben und Klausur bestanden ist
dann erhöhte Bonus die Note um eine kleine
Notenstufe also je nachdem wo sie sind um 0 comma decimal
3 1 0 comma decimal 4 einzige Ausnahme
wenn sie schon ohne den Bonus die 1 0 gemacht haben denn
so feiern und dann kriegen Sie keine nur comma 7 weil die
gibt es nicht aber ansonsten geht es immer eine kleine
Notenstufe rauf gut dann hatten wir zu guter
Letzt im letzten Semester eine
Probeklausur angeboten das mächtig
eine sozusagen traditionell
beibehalten auch wenn jetzt einen Sinn der
Sache wenn ich ihn mal zu zeigen wie jene Klausur an der
Uni aus wegfällt weil das haben Sie jetzt nämlich ein paar
Mal gesehen trotzdem schadet es nichts
und das kostet uns nicht arg viel Aufwand und
Sofa machen das gerne er uns
ausgeguckt die Woche vom 1.
Juli das heißt und das ist so 2 3 Wochen vor
Ende des Semesters das heißt in der Woche werden
wir in den Übungen unter
zu tun als der Klausur und Klausur schreiben
aber dann eben in den Übungen
gesicherten Rahmen und das Ganze wird dann von den
gewusst Gruppenleiterin unbewusst Gruppenleitern korrigiert
und Sie kriegen werden die Punkte
drauf und die gehen die Bonus Berechnung ein als
wäre das eine ganz normale Ausübung ist
gut jetzt habe ich ganz ganz viel geredet und
ganz ich hoffe aber nicht allzu viel Überraschendes
gesagt und dann ist die Frage ob von
Ihrer Seite noch Fragen sind und befreundet 17 Hände
hoch gehen eine frage ich ihn gleich aus den
Segeln ich weiß ja noch keine Klausur Ergebnisse vom
letztes müsste das Zeug bei mir auf dem Schreibtisch
ganz prominent in ich bin da dran aber es ist eben
nicht fertig ja und ist also das heißt die
Frage ist klar sie brennt aber sie bringen
den wir brauchen sie gar nicht stellen ist der
außerdem noch Fragen gut ich sehe grad nix
aber das ist auch hier welche wahrscheinlich ich dem Tennis
Kopf kriegen auf der Zeit dann gut dann er
wer noch Fragen auftauchen wissen Sie dass wir
feststellen können ja ich hatte vorhin schon kurz
gesagt der erste große Block in der
Vorlesung der und so ich würde mal sagen die
1. 6 Wochen Minimum beschäftigen
wird es ist das Kapitel 1
und das Ganze läuft unter der Überschrift linear
Algebra was ist das Ziel davon wie
gesagt er dann die Motivation des
Kapitels ist in Teilen eine
geometrische vielleicht kann man zur nächsten
sagen es geht darum den uns
umgebenden Raum den er 3 die
Ebene der 2 die warum denn er 3 aber
auch die Verallgemeinerung R 4 5
und allen zu verstehen und darin
rechnen zu können und worum es geht
sind dort eigentlich so zeigen die
grundlegenden geometrischen Objekte haben im
letzten Semester schon bisschen mit Geraden und Ebenen
gerechnet Schnittpunkte und so weiter
ich will darauf jetzt aufbauen
und wie dann vor allem ja das
Hauptziel ist die sogenannte linear
Abbildung zu studieren das ist erst mal
abstrakte Begriff aber was wirklich dahinter
im Jahre Abbildung sind
elementare sage ich mal Transformation des
Raumes mit den einst ständig zu tun kriegt
darunter fallen eine Form von Drehungen
Spiegelungen Projektionen ja so
Projektionen für alle die den irgendwelche auch auf
Risse und sonst wie zu Zeiten zu Produkt
produziert haben was wichtiges er das Geld noch wo
Streckungen das alles im Jahre Abbildung
und mit dem Rechnen zu lernen das
ist eigentlich das sage ich mal große
Hauptziel dieses 1. Abschnitt
gut aber was will der uns dazu
erstmal anschauen ist die zu grundlegende
Struktur des Raumes also das
ist der Kapitel 1 über Vektoren
überdeckter Rechnung und was jetzt hier immer die
ihre Anschauung sein sollte ist der
sie umgebende Raum R 3 wenn ich mir noch
mal kurz erinnern an das was wir
in einem Teil dessen was wir Mathe einst
dazu gemacht haben nur damit man so'n bisschen
Rotation wieder reinkommt wir hatten und
dort die Kunst die Menge N angeschaute den
n-dimensionalen Regeln Raum für die
Vorstellung die man am besten in gleich 2 die Ebene
in gleich 3 in gleich 3 den Raum
und er hatten wir gesehen alles
eine Menge von Punkten mit allen
Koordinaten Punkte hatten weiß
senkrechte Spalten geschrieben wir
werden uns im Laufe dieser Vorlesung auch dem Punkt
mehr nur dann auch sehen warum das in
der Konvention ist und ich hatte dann
auch gesagt diese senkrecht gespalten
sind aber oft nervig jemand sie schreiben will weil sie
so viel Platz wegnehmen und dafür hatte
ich folgendes Symbol eingeführt in dem x
1 x 2 und Schreibens als Zeile
und dann machen wir da oben so ein großes T
dran das große T steht für
transponiert und bedeutet dass dieses dieser
Zeit gespalten wird und das ist im Moment
nur eine ja das seine der zwar
Schreibweise damit man das Zeug in der Zeit der Staaten
der Spalte steht so diese Zahlen x
1 x 2 bis 6 m die nennt man die
Koordinaten des Punktes P
also x 1 x 2 bis
XL das sind reale Zahlen von
denen man die Koordinaten des Punktes P
und auch gerade schon gesagt aus der
Anschauung kennen Sie den Fall in gleich
1 dann sind sie am Zahlenstrahl also
einfach er meistens schreibt man stellt er hoch 1 auch
einfach dann kennen Sie den Fall in gleich 2 das ist die
Ebene in der hatten wir damals vor allem
viel Trigonometrie gemacht also Sinus
Kosinus an geschaut werden uns mit Ellipsen
beschäftigt und so weiter und dann jetzt
neu dazu oder damals etwas
stiefmütterlich behandelt der Raum in gleich 3
aber intensiv seit ihrer Geburt
zumindest in der Anschauung also hoffe
ich dass da auch da relativ viel auch mit
Vorstellung machen können so dass seine Punkt den
man und ich hatte meinte einst wenn
schon im wesentlichen Begriff des Vektors
eingeführt aber noch mal kurz als
Wiederholung Vektoren und Punkte ist
nicht genau das Gleiche sondern ein Vektor
ist eine Größe die 2 Punkte
verbindet also der Vektor x
mit Eiscreme Q geschrieben ist der
Sektor mit Anfangspunkt Q und period
P also der Vektor der den period
Kometen period P verbindet unwichtig
über Lektoren ist immer zu
behalten der Vektor als solche
hat mich also ist durch eine anfangs und Endpunkt
gegeben aber es vom alten Form anfangs in
dem Sinne unabhängig das wenn weg da jetzt durch die
Lande schieben dann änderte sich nicht also
direkt ist bestimmt durch seine
Richtung und ist seinen länger aber nicht durch
seine Lage also da wo sie hinlegen
das ist dem weckte egal so glatt einfachen Richtungen
in die Länge und je nachdem welchen Anfangspunkt sie wären
zeigten Nötigung verschiedenen N period aber
der Anfangspunkt als solche ist in dem Sektor nicht
enthalten also des bestimmt welche Richtung
und Länge diese Menge hatten wir durch die
sogenannte morgen gemessen und es eben
unabhängig vom Anfangspunkt das heißt wenn Sie
den Vektor in der in allen haben und
schieben den durch die Lande dann bleibt das derselbe
Vektor wir haben damals so ungefähr das
folgende Bild dann an der Tafel also wenn sie
hier den period haben unter dem Punkt Pläne
dann ist das eben der Vektor x mit anfangs
Prokon P aber denken Sie eben bitte
die mich durch die Lande schieben uns bleibt derselbe period
derselbe also wenn wir jetzt genau die gleiche Länge und genau
die gleiche Richtung hat wie ich das meine Zeichen
Genauigkeit nicht perfekt dann ist das
derselbe Rektor CS ganz viele Male
dürfen Sie gerne machen ich will nur also auch
das habe ich gerade vor nicht gesagt wie letztes Semester alles was
ich hier einmal stelle ich ihn auch in online also
zu brauchen jetzt keine Panik zu kriegen wir es nicht
mitkriegen und können können auch mit
denken und dann in der sich den mit lag scho
ein eine Variante
dieses Vektors diesem Vektor x den kann ich
jetzt beliebig im Raum rum schieben uns bleibt der Vektor
x eine Variante dieses Vektors
ist eine besondere und zwar ist es die die
gerade im Ursprung anfängt also nicht den Vektor
gerade hier in Schiewe da seinen Ursprung
anfängt Ursprung üblicherweise mit groß O
bezeichnet dann zeigte auf einen Punkt
er und das es ein spezieller Vektor
also wenn der Anfangspunkte Ursprung
ist dann nennt man das X 1
Ortsvektor weiß dass der
Ortsvektor seines period R und
wenn sie das machen wenn sie sich sozusagen macht
wenn sie sich sozusagen auf auf
Sektoren beschränken dann gibt es jetzt eine
eindeutige Zuordnung zwischen period nun Vektor- und
ergibt sich eben period gibt es genau dann ein Ortsvektor wenn
dort wird Mathe genau 1 in so
also diese Wahl des
Ortsvektor ist die wir seit mehr
eindeutige Identifizierung von
Punkten mit Vektoren wenn Sie jeden Vektor
zu lassen dann es eben weniger
Vektoren als Punkte in vielen Anführungszeichen
habe und wenn sie die die Dinge im im
Ursprung festtackern dann gibt es eben weg da
genau sein Endpunkt und sie jede Menge punktgenau ein Ort
gut dann hatten wir auch schon
im 1. Semester darüber geredet wird wird mir
immer mit Vektorenrechnung kann ich
will Ihnen das noch mal sortiert
zusammenfassen also das wär jetzt Abschnitt
1 1 1. Regeln für
Vektoren also wir nehmen uns 3 Vektoren
hier oh Frau und
will aus mehr enden man brauche ich noch
2 das Galane 2 Zahlen landen
wir aus Museen Cörper was zu sehen
sein und dann gelten die folgenden
Rechenregeln vielleicht noch kurz zur
Notation ich will gleich mich
hier einer in vielen
Bereichen üblich Notation an sich
Vektoren von einem Größen dadurch unterscheiden sich
in einem Pfeil Aufsätze also
Vektoren sollten außer wenn es gerade
vergessen immer so ein Zeichen tragen das ist
auch insofern praktisch als es die Möglichkeit
gibt er zu überprüfen ob das was man da
tut gerade sinnvoll ist es nur wenn zum Beispiel
irgendwo und Vector steht und der hinter als er
sie weckt aber dazu versuchen Zahl zu
agieren also wenn ich ihn jetzt sowas hinschreibe
wie mit frei drauf plus Lamm dar da macht es
aber keinen Sinn weil man kann nur mal auf ein Lektor keine Zahl
addieren und immer die Dinge Mutter zu unterscheidet
sieht man eben schneller wenn der Mist passiert
gut das zum zu dieser Pfeil
Notation so was geht jetzt wenn Sie mit
Vektorenrechnung 1 1. 1
1. Rechenregel ist das Addieren
vertauscht also ob sie Plus V
oder V Plus rechnen ist egal das mag im
Moment und eine Banalität vorkommen
wir werden noch Dinge kennen lernen die nicht
vertauschen aber im Moment ist das wahrscheinlich
nicht überraschend das nennt man die kommod
Aktivität von Plus schönes tschüss
verquastes Fremdwort für was total banales
alltäglich gut das nächste komische
Fremdwort ist die Assoziativität und
das bedeutet da ist es egal ist wie sie beim
Plus die Klammern setzen also wenn Sie
2 Vektoren U und V addieren
und dazu dann schließlich einen Vektor
W dann ist das das Gleiche die wenn sie
zuerst V W addieren und dann dazu
den Vektor ohne das ist die
Assoziativität von Plus auch
das etwas aus ihrer was sie nicht vom
Hocker hauen wird aber das macht im Grunde erst
möglich dass man dann einfach Opus V plus will schreibt
ohne zu sagen welche Reihenfolge man die
den addiert so dann 3.
das gibt einen ganz speziellen Vektor wenn ich
den 0 etwa der ist was Besonderes
das ist ein dem besonders mit besondere an dem ist
das also harmlos ist soll heißen
egal auf was sie sind drauf addieren der
tut nichts plus 0 ist immer 0 es immer für
alle aus also das ist die die
Kollegen Definition des 0 weg das unbewegte
ist der wenn man dir nix tun ferner alles so ist
ist der 1 keine den 0 Viktor
ja also das ist ich die Spalte die nur
Nullen enthält wenn sie addieren da
liefert das nur wenn sie jetzt im Bett dann nehmen die 0
000 spaltet drauf agieren dann kommt in der
Rektor aus zur Wüste darüber klar so
bis jetzt habe ich nur das Agieren gesagt
der nur Sektor möglichst ein jetzt trainieren
zu sehen das ist diese diese Regel ruft
V 4 wann immer Sie einen Vektor
haben aus mehr enden den gibt es auch den
negativen dazu also gibt es auch dass man
so und was ist was ist das
negative das negative von dem Ding
ist das was auf das ursprüngliche drauf addiert die 0
gibt also wenn Sie das nehmen und
das man so drauf eingehen dann kommt die
0 aus und für dieses die eines negativen
schreiben dann halten muss zwar das ist V 4 das ist
das sogenannte inverse Element so unter
mehr ganz gewiss plus geredet und jetzt gibt es
noch eine Bedingung für das SR 2
Bedingungen für das Gallaher multipliziere also das
Strecken von Vektoren und dann noch 2
Rechenregeln werden für die
Kombination aus dem Strecken und den Plus
also vor 5 das ist jetzt
endgültig eine Banalität wenn Sie Wetter mit
1 Strecken passiert nix V 6 mit
einer Assoziativität wenn Sie
nen Sektoren nähmen und den Strecken
und den gestreckten der dann noch mal strecken also ein
andermal über V dann ist das das
Gleiche wie wenn sie zur 1. langsam mit dem
Müll in er multiplizieren und dann und
das Ergebniss sprechen das ist ja nicht es ist
wahrscheinlich irgendwie naheliegend aber man
könne sich schon fragen warum ist das heißt es ist so und
dann kommen noch 2 prägen Rechenregeln die
ihnen sagen wie sich das Plus und das man das
mal miteinander vertragen also
noch diesen keine Überraschung wenn sie 2 Vektoren
addiert und das ergibt Strecken dann ist es das
selbe wenn Sie zunächst beide Vektoren und die
gestreckten Vektoren addiert das ist auch
eine Rechenregel die leicht von der Hand geht weil
sie eben genau ist wie mit normalen reellen Zahlen
und das Gleiche umgekehrt wenn Sie einen
Vektor nehmen und sie stellten den um die Summe
von 2 Faktoren dann ist das das
Gleiche wie wenn sie das V entlang der Strecken und einmal
mit Müll und das Ganze dann an und ganz
kurz zusammengefasst heißen vor 1 bis
V 8 sie können mit den Vektor genauso rechnen es
gewohnt sind das einzige was sie bitte tun es
unterlassen ist irgendwelche Gedanken an
Divisionen im Kopf haben also ist halt
Bedienelement was durch den Vektor oder das Wetter kann man nicht
teil das restliche nix was mit Viktor
machen kann sie können Sie agieren sie ganze Strecken
und dass er die das Sprechen verhält sich so wie Sie es
gewohnt sind fürs kommutativen
assoziativ diese Distributivgesetz sie
gelten aber bitte nichts die wir gut warum habe
ich Ihnen das jetzt so ellenlange nochmal
hingeschrieben wenn es doch heißt es alles so wie
normale weil jetzt was kommt das
in Massen in der Vorlesung des eigenen merken
ist die ich aber trotzdem los werden
will was macht denn jetzt der Mathematik
in mit mit diesen Rechenregeln der sagt das ist schön
und gut die gelten für den aber der in die vielleicht auch noch
woanders es ist die Struktur die man
woanders wie er findet und die Antwort ist auch ja
und zwar wie ich was weiß dass die Struktur
des sogenannten Nektar also was ist ein
Vektorraum ein Vektorraum es zunächst
einfach mal Menge denken Sie an er 3 und
die Sommer zumindest nicht seiner Songs ist die Menge
langweilig und wird üblicherweise V genannt weil
V passt so gut zu Vektoren so wurden der zu der
Menge muss es jetzt 2 Verknüpfungen geben also
es muss eine irgendwie geartete finierte so mehr
geben als muss eine Menge sein dem man suchen
bilden kann und man muss zu jedem Lande
aus er das Land einfache bilden
können also muss addieren und stecken
kann er kann Ihnen dann zur und wenn
jetzt also wenn Sie so eine Menge haben in der sie addieren
Strecken können und die diese vor
1 bis vor 8 erfüllt also in der diese
Rechenregel gelten dann nennt man das Ding weg
doch auch der Sinn Beck daran ist einfach
erstmal einfach ein abstraktes
Konzept das nur heißt sie haben und was
mit dem sie addieren Strauß steigen können und
diese Rechenregeln gelten und der Vorteil ist
alles was man so einen Anschauung vom
Inhalt er Gutachten und das in
jedem Vektorraum gilt muss sich nur anschauen warum das
gilt und dann kann man sehen ja das sind einfach
was man dazu benutzt um das
nachzuweisen dass man benutzen diese Rechenregel
herzuleiten das sind nur diese vor 1 bis vor 8
also geht es nicht nur man zufällig sondern in jedem
Sektor und es gibt ein ganzer Stapel mehr
Vektorräume deswegen ist das eine interessante
Information wer ihn gleich noch er Beispiel
dazu sagen noch kurz als
Bemerkungen genau nennt man sowas einen
er Vektorraum nur weil hier stecken
die reellen Zahlen vielleicht kann man mit 10 machen und so
weiter also es anderen Vertrag gut
aber zunächst einmal ist es der Abstraktion
Schrift wir haben gesehen und er in unser
gewohnter N erfüllt diese 8
Rechenregeln und jetzt sagen wir okay
Vektorraum ist jede Menge die sich so
ähnlich anfühlt spricht denn auch diese 8. Regeln
ende sein dass wir damit nichts Neues geschaffen
haben sondern sagen wo es gibt halt immer ändern und sonst nichts
das ist aber in dem Fall nicht so lassen Sie mich
Ihnen ein 2 Beispiele zeigen oder
zumindest erwähnen und wie gesagt das ist in
Maßen Seiten Bemerkungen wir werden in
dieser Vorlesung uns also diese vor so
ganz sicher zu 99 Prozent immer Ende
wegen ganz vielleicht an CN also 3 kann es
passieren dass mal auch nen anderer Vektorraum
und da kommt sie werden sicherlich nicht häufig erleben
aber ich wollte in diese diesen Schritt einmal gezeigt
haben bei der Vektorraum Begriff und ganz ganz
zentrale in vielen Bereichen der Mathematik ist also
was sind Beispiele Vektorräume gut
1. da kommt sie ja jeder
N essen deckt aber mehr Daten
bisher jetzt kann man auf die Suche gehen nach andere
Strukturen in die man addieren und
strecken kann und hier sind 2
Beispiele denn mal PIN und das
ist die Menge aller Polynome vom Grad
höchstens n also die Menge alle an
0 plus 1 x plus
los bis A 1 x hoch
N wobei 0 bis 1
er Koeffizienten sind also kompliziert
geschrieben noch worden das ist die Menge
aller Polynome vom Grad kleiner
gleich in ja es kann sogar zu belegen nach
10 wohl nur mit zu addieren mussten aufgemacht ich
Skwara plus 5 plus 3 Gs Grad
minus 7 hätten sie keine Probleme zusammen zu
addieren es ganz intuitiv und
Polynom mit 7 zu multiplizieren ist auch nicht so
Problemen er siebenmal Xtra
plus 1 ist eben 7 meine Xtra plus 7
das heißt es ist er selig in der Menge
von Dingen mit denen man addieren und die man streiten
kann und jetzt kann man sich in setzten sich
mühsam wird kann man diese ganzen vor 1 bis vor 8
nachrechnen und das tut Marxisten der doch und
er das Beispiel das nicht unbedingt n ist
das denn jetzt kommen noch ein anderes Beispiel
das wenn man es dann genau betrachtet sogar noch
skurriler ist aber ich wies ihn einfach nur bei Ihnen
geschrieben haben dass wir in allen
in den jetzt noch ein bisschen weiter weg von den
Zahlen nehmen Sie sich Intervall
unternehmen sie sich einer stetigen Funktionen
her auf dem es die Menge aller Funktionen die
steht es denn davon Intervall also Sinus Kosinus
es Quadrat Tangens und viele viele andere
Betrag X oder davon Funktion 2 Funktion
addieren kein Problem was ist den Auspuff große
Lust müssten gute mussten sie müssen Exportgut müssen
es mehr Funktionen mit 5 dem auch nicht
so schwer für 5 der Sinus mehr 5 fünfmal so
zunächst so also das heißt mit dem German addieren
mit denen wir multiplizieren und muss man sich
hinsetzen und Nachrichten vor 1 bis vor 8
gelten das heißt es ist Vektorraum ziemlich
großer Vektorraum der und alles was wir
jetzt was sie sozusagen ein rächen
gegenüber weckt auch über die Meerengen
sehen bei dem man nur auf diesen vor 1
bis vor 8 Fuß gilt in der Menge genoss das ist
die von der ich mir vorstellen könnte dass sie der Matte
3 immer noch mal vorkommt gut aber an der
Stelle wie gesagt die immer wieder zurück und
sagen das ist für den Moment reicht uns der
N voll auf der Welt kann kompliziert
genug werden aber ich wollte ihn einmal
dieses Verfahren zeigen weil das ist so typisch
mathematisches vorgehen sie haben eine spezielle
Struktur der endlichen Raum für raus die
geht der hat folgende Eigenschaften folgenden
Rechenregeln gelten da und dann sagt man gute zeigt
immer an gibt es noch andere man die ähnliche
Struktur mit die die gleichen Regeln gelten und kann ich aus
dieser Gleichheit aus dieser nicht gleich hat aus dieser
allen gleiche der Struktur beim was
lernen über meine über den er nun über die andere mehr
okay noch 2 Bemerkungen zum Vektorraum
Begriff das 1. klangvollen vorhin schon mal kurz
an werden 1. Semester neben den
reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen kennen
gelernt und gesehen dass die komplexen
Zahlen manchmal von Nutzen sind und
das wird auch hier immer wieder so sein und die gute
Nachricht ist mit C geht alles so findet er
also zumindest für den Begriff Vektorraum also
wenn sie überrall oben statt erzählen
schreiben mit Regen sie sogenannte komplexe
Vektorräume bei den 10 die komplexen
Zahlen sind häufig auch einfach als C
Vektorräume bezeichnet und ich will es jetzt
ganz kurz abkürzen die Dinge funktionieren
genauso also alles was ich jetzt gemacht
habe aber auch eigentlich alles was ich noch
in den nächsten 10 vor der so machen
werde geht genauso wenn sie überreicht hat er
10 schreibt sollte mal irgendwas in
10 nicht gehen denn wenn ich das mit großem
exclamation mark dazu sagen und schreiben
aber im Großen und Ganzen tut das
alles nix ob dann aber ganz wichtig
so das ist die 1. mehr und die zweite
Bemerkungen im Jahr warum reit ich auf
diesen Begriff so rum weil es ein Begriff
ist der unterstellen also
Vektorräume als solches und
insbesondere in ihrer Aus
Prägung als er n und sie
Tafeln an vielen vielen Stellen auf ich
habe mal versucht ein Paar zusammen also
das sind grundlegende Grund man
zum Beispiel im selben Jahr 3
denken muss man natürlich wissen wie der 3
funktioniert wenn man irgendwelche geometrischen Berechnungen
machen will also wenn Sie Geometrie der
Ebene der des Raumes machen wollen dann müssen sie eben wissen
was der Ebene Raumes und dazu
deswegen ist sind hier vor einer 203
grundlegende die Bilder also ich hier
Stichwörter Raum Ebene und so weiter
dabei hätte dies auch vierdimensionalen tritt
Geometrie so bei an vor allem wenn man sich eben nicht
mehr vorstellen kann dann wo taucht
noch auf ich hatte vorhin gesagt bei die
zweite Hälfte der Vorlesung wird sich beschäftigen mit
Funktionen von mehreren Variablen also
zum Beispiel die Temperaturverteilung im Hörsaal
zu sagen so der nur eine Variable der variabel
den Ort also an jedem Ort hier im Raum ist die
Temperatur das ist jetzt mit relativ langweilige
Funktion zumindest was auf Obers Ghana
anguckt aber es gibt sicherlich einige Ecken bisschen
wärmer sind anders etwas kälter sehr funktional
ab von was sind die ab vom Ort und
da das Vektor zum dreidimensionales Gebilde ihr das
heißt sie haben wir Funktionen deren
Eingabeparameter nicht wieder mal der Einzel
Zahl ist der Mathe 1 hatten wir nur F von
X und X ist mir letzter wenn Sie
Temperaturverteilung im Raum anschauen dann ist die
Funktion die passt nicht Desaster weil die eben
nicht von einer Zahl abhängt sondern von weg und
so weit sie irgendwelche Temperaturen
Kräfte irgendwas beschreiben wollen wenn sie also
mechanische die physikalische Beschreibung haben von dem
was im Raum dann laden Sie sofort wieder der
Vektorrechnung und das ist die zweite
wesentliche dienen wo Viktor
Rektor eine auch für sie laufen
vorkommen als Definitionsbereich
von Funktionen deren Variablen und
als solcher wird sich der Begriff des Vektorraum durch
die gesamte vorgesungen hatte 2 Cent
sofern ist ein wirklich schöner Startpunkt period
also Funktionen mehreren Variablen ein
Beispiel geben die Temperaturverteilung im S
1 dann auch ein wesentlicher Teil an dem wir
uns die nächste Woche ich wurde nächste
der nächste Woche mit beschäftigen wollen so den
Jahre Gleichungssysteme es ist
das was die Gleichung ist wissen sie üblicherweise
meine Gleichung lösen wir werden Lösung
und manchmal es vor Begleichung recht kompliziert zu
lösen aber es ist die Natur hier fließt gibt
es meistens nicht nur eine Gleichung sondern gleich ein
ganzer Stapel davon und die aber mit einer zusammen
ja Sie haben in den 5 Gleichung und dazu 4
und 5 unbekannte und jede Gleichung
beeinflusst jeder ande- und die einfachste
Form eines solchen gleich System sehr
linear es und in der Struktur von den
Young Lions System sind
Vektorräume oder der fällt ein direkt vor
die Nase also dessen grundlegendes
Konstrukt und sollten die anderen Systeme zu
verstehen werden wir machen einfach als
ein Beispiel wo sowas auftaucht
aber vielleicht 2 das eine direkt aus
dem Bauwesen das andere weniger wenn Sie statt
trage Werk haben also irgendeine
er Fachwerkbrücke dann können Sie darin die
Kräfteverteilung ausrechnen und die Frage ist erhält
das Zeug oder hält das nicht und wies ist die resultierende Kraft du
worauf das führt ist normalerweise ziemlich großes
Linie dem weil natürlich jeder Staat
Träger irgendwie über die andere mit jedem verkoppelt ist und
ihn jeden rückt wird unter der das wird die denn
das also ich habe mal als gesehen mit das war
glaube ich 5 Sterne das ist jetzt für eine Brücke noch nicht so
richtig viel er nur dass man schon 10 gleiche mit
7 unbekannten oder so was also ich möchte nicht wissen wie
das Original aus die für seine ganze Sonne
Eiffelturm oder so was 2. Beispiel wurden
ja ist dem Auftauchen Trompete für
Computertomographie zum Computertomograf ist im
Wesentlichen gut die Kamera die alles aufnimmt und
ein riesengroßer Rechner hinten dran der nämlich den ja das
ist dem löst Weisung Klasse tun und wir Tomograf
kommt so auf 2 Millionen Gleichung mit 500 Hause
unbekannt das ist so die Größenordnung wahrscheinlich die
Zahl diesen älter wahrscheinlich hat das schon mit Faktor 5
multipliziert der Zwischenfall gut da werden wir
sehen was den Durchblick alles Vektorraum
und dann und das ist jetzt im Vorgriff
auf die Matte 3 wenn Sie es mit den Jahren
Differentialgleichungen zu tun pflegen dann
werden Sie sich auch einen Begriff des Vektorraums
erinnern China ist gar nicht erst an zu erklären
was Differentialgleichung ist kommt dann früh genug
gut das soll aber nicht heißen dass die nächste
ausschöpfen bis Vektorräume sind sowas
was immer mal wieder aus der gekriegt gut
sein weil behutsam an ein bisschen was uns über
Vektorräume anzuhalten und wie
gesagt bei allem was ich jetzt erzähle was
im Kopf haben sollten ist immer der
2. immer der 3 und das ist das Modell das
ist der Modellfall des ist und so muss man auch
diese Definition verstehen dies
so gewachsen dass man dich mit immer 3 angefangen
hat und sich gesagt hat okay ich suche
mir Strukturen die sich ähnlich verhalten aber das
Grundmodell ist der 3 schu gibt es so
weit noch Fragen zumindest ehrlich ein erhöhter
Diskussionsbedarf ist ich weiß nicht der
bezieht sich auf die vielleicht auch schon auf die Speisekarte oder
so keine Ahnung gut vielleicht
Diskussionsbedarf ein bisschen aufzuschieben
und was ich Ihnen jetzt ein Film so die
1. Grundbegriffe in der
Struktur Vektorräumen und das erste
ist der so genannte unter Vektorraum er so
dass der Abschnitt 1 5 wir haben also
einen reellen Vektorraum gegeben
denken Sie an der Reihe und dass wir uns jetzt
anschauen wollen sind Teilmengen von diesem
Vektorraum ein Indiz natürlich durchfiel wir
interessieren uns für ganz spezielle
teilnähmen nämlich für solche
Teilmengen dieser bis wieder Vektorräume sind
also ich nehme eine Teilmenge von Frau
her und die man nicht dann ein unter
Vektorraum wenn Sie nicht nur eine Teilmenge
ist zu wenn Sie selbst wieder an
wetter Raum ist für dieses unter Vektorraum
gibt 1 Stapel Synonyme
Begriffe folglich sagt man noch ganz kurz
nur unter Raum und dass das weg da weg
oder dann gibt es noch denn ja
bisschen antiquierten aber durchaus noch benutzten
Begriff des genialen Anteil Raums also
häufig ja früher hat man auch Gerlinde genannt
und den Unterricht in dem einen Jahr
teilhaben von Frau falls das
eben nicht irgendein wurde Teilmenge ist
sondern selbst wieder ein weckt auch abends
Vorstellung Idee Was ist das nehmen Sie sich
im R 2 mit gerade durch den Ursprung
geht dann ist diese gerade durch den
Ursprung geht ein R 1 also eine
Zahlengerade die mehr 2 drin liegt und
damit wieder ein Vektorraum denen Teilmenge von A
2 ist muss auch dennoch Pamir Beispiele an
ich würde nur den Bürgern noch eine
Bemerkung und ein Kriterium und
Vektorraum zu sein los loswerden die 1.
wichtige Bemerkung ist was fordern wir
von der Teilmenge damit sind und der Vektorraum ist so
selbst ein Vektorraum sein und das heißt sie
muss eine gewisse Mindestgröße haben kann
sehr sehr klein sein aber ein Ding muss drin sein
ich den nur beim gesehen eine der das war damit die Frau
3 eine der Bedingungen für ein Vektorraum
ist das da drin der nur Vektor liegt
und dementsprechend hatten ich den 0
Sektor immer in unter Vektorraum also es
geht immer 0 Vektor aus oh
also 14 unter Vektorraum das war das
die rege Rechenregel Frau 3 von oben und es
gibt ihn auch ein 1. Totschlag
Kriterium wenn jemand in so ne Menge her gibt
und sagt sagen mir ob das unter Vektorraum ist oder
nicht 1. Methode schauen Sie mal nach ob die
drin ist wenn die nicht drin ist dann werfen Sie es gleich zurück
und sagen Sie den Quatsch können bald dass es keine wenn
man ihn nur drin ist man natürlich noch nicht sicher aber
zumindest ist es so und 1. von 1.
Zweck Plausibilität Check in die 0 nicht
drin ist dann was kein Unterricht doch ab und das 2.
was wir daraus ziehen können ist
mindestens die 0 ist drinnen also
wieder unter Vektorraum ist eine nicht leere
Teilmenge ja seit ich gerade schon gesagt könnte
das Problem dass sie ihren das in jemanden mit
gefunden mehr 3 hinwirft und Freiheit das ist nur unter
Vektorraum ja oder nein wie prüft man das nach
gut hat ich gerade schon gesagt was sich meistens lohnt
1. Plausibilität Checkliste 0 dabei
wenig können Sie sofort ein Nein
zurückliefern und sich wieder eine erfreuliche Dinge
machen er jetzt ganz designen und das
drin was können wir dann machen wir die
Definition nehmen ist es ein mühsames
Geschäft was müssen Sie tun sie müssen
zeigen dass das ohne Vektorraum also dass es ein
Vektorraum ist und das heißt sie müssen die ganzen
Regeln vor 1 v 2 vor vor 4 bis vor 8 alle
durch x das macht keinen Spaß und
deswegen die Abkürzung und mächtig
in kurz präsentieren also
Kriterien um zu checken ob eine
gegebene Teilmenge von Vektorraum unter
Vektorraum ist also wird die man wirft
ihnen eine wenn man Teilmenge von
Frau von dem Vektorraum hin und sagen wir mal
wo dies nicht nur nicht leer und
jetzt gibt es ein Kriterium dafür dass das
unter Vektorraum das erweckte
Raums Frau ist dem 2 ist ist genau dann der
Fall wenn nur eine einzige
Rechenregel gilt oder nur eine einzige Bedingung
gilt und das Essen deutliche Gewinne gegenüber
den 8 genau dann wenn Folgendes
Folgendes gilt für jede Wahl von 2
Vektoren U und V als nehmen
zur wird schon aus dieser Menge was diesen und der Vektorraum
Kandidaten mehr und eine Strecke Fahrer
miteinander also eine reelle Zahlen da
und dann muss folgendes gelten wenn Sie das
so zudem Frau addieren und das sollen und
der Vektorraum sein also das muss insbesondere
Vektorraum sein dann ist klar dann muss so plus Frau wieder
zu Vektorraum aus den sie durch einfaches Addieren
rausfliegen das darf nicht passieren Herr Viktor
muss natürlich insbesondere alle Summen von
Vektoren wieder enthalten also und das
ist ein wesentliches Kriterium um machen
und direkt daran zu checken und also
dürfen durch Addition Unterwelt Vektorraum nicht
verlassen können und genauso durch
Strecken also egal welches aus und
Vektorraum und welches Land also nehmen
jeder gestreckte Vektoren muss wieder den liegen
und wenn Sie dieses nachprüfen also wenn sie
zeigen durch Addition und durch
Strecken verlassen sie ihre man nicht und die Menge
ist nicht leer dann ist es denn so Fahrten und
direkt auch ab das reicht und die ganzen vor 1
bis vor 8 können Sie weg ist das kann man sogar noch
kürzer zusammenfassen also diese Bedingungen
geben Sie darum genau dann wenn eine
noch ein bisschen kürzere Bedingungen B Geld
also wieder wenn sie 2 beliebige
Vektoren aus dem nehmen und jetzt
weiß gar Lage nahm und müde aus
er dann muss gelten für jede Wahl
von UV für jede Wahl von anderen will muss
langsam mal man als Frau mit den also die
sicher Rechenoperationen hat und Strecken
dürfen Sie das so nicht verletzt wenn Sie das haben
sie so vor dem Unterricht auch und wenn das nicht erfüllt
ist es sofort kein ganz genau dann wenn ist
mir Bedienung die man nachprüfen kann und dann
weiß man ob seine ist oder nicht gut schauen uns ein paar
Beispiele an weil weil diese Bedingungen
bereits oben raus waren dann habe ich die Nummer 1 vorliegt
knallt so war ja die Wege sind hier
alle weiter als bisher da braucht es bisschen aber
das ist nicht schlimm weil zurzeit sehen ja noch hier also was da jetzt
erscheint ist einfach das hier nochmal auf
Folie damit wenn ich das hier oben raus
Krone die Referenz noch da ist gut das will
ich nicht mal 1 in Bauer viel Platz also
Beispiele für unter Vektorräume und vor allem
auch für keine unter Vektorräume und
jetzt kommt wieder das so das ist das in die Sonne
auch so üblich immer Adel der Krankheit ist und
war im Begriff habe klar ist immer gut sich
noch mal anzuschauen was dem Beispiele die das
Begriff Ton und das Beispiel dies nicht
tun und was dann die die die Mathematiker
Krankheit ist erstmal mal die banalen trivial
Fälle abklopfen vielleicht also die die einfachen
Fälle und das sind die beiden folgenden der
ganze Raum V der 7 großen Sektoren der
3 dann ist er 3 in unter Vektorraum
ja klar dass es eine Teilmenge und wenn
ich 2 Dinge da drinnen addiere bleibe ich drin
wo solch auch aufnehmen der 3 es ist schon ein Vektorraum
und dann ist auch im Unterricht darum von sich selber das
ist das größtmögliche banale
Beispiel und jetzt gibt es das kleinstmögliche
banale Beispiel zu zudem sich genau nur der
Trauer das ist der teilnehmen vor 3
eines ist auch ein Vektorraum warum
der addieren Sie beliebige Menge aus dem
Vektoren aus dieser Menge raus und versuchen sie aus der Enge
rauszukommen oder strecken Sie das Ding mit der
liegen Zahlen versuchen sie rauszukommen wird nicht klappen
wenn direkt der ganzen Strecke wie sie wollen bei den
Lektor dort also das sind die beiden
Einfälle das in und der Vektorräume und ich
erlaube mir an dieser Stelle einmal das strikt
verbotene Wort weil es einfach so heißt
also wenn sie wenn dieser Fall in der Literatur
vorkommt dann nennt man die Dinge die trivialen und der
Vektorräume geben dass er auf das
Wort das verbotene voll Lösungswort Filialen
auf aber ich hier heißt das Zeug einfach so Gott
also spannende Beispiele was in unter
Vektorräume in der Ebene war mit der
Ebene an von der der Ebene die
ganze Himmel der Nullpunkt und
Ursprungs geraten also wenn sie nicht gerade
nehmen die durch den fast also die durch die Prüfung gehen
das auch viel für die Vergrößerung des zur
aufpuste na gut enden mir gerade durch den
Ursprung es glaube ich unter der Vektorraum
1. Plausibilitätscheck klappte 0 ist drin
und wenn Sie jetzt sich dann weckte rausnehmen den strecken
oder stauchen oder mit minus 17 multiplizieren
bleiben der Graben und wenn Sie 2 Vektoren aus der
gerade nehmen und dir bleiben sie auch in der gerade
also nach dem da drüben ist das
Unterdeck daran natürlich jeder andere Ursprungs
gerade auch von also das Ding hier auch
und das ist es in R 2 auch
schon in der Ebene gibt es nicht mehr da gibt es nur
den nur dann bewusstlos gerade und die ganze
geben also war Beispiele was wenn man keine
unter Vektorräume mehr gut alles andere
aber überlegen wir uns auch warum es keine sind
also 1. Fall von keine unter Vektorraum
der Sonne Kartoffel hier Seckert das ist kein Wunder Vektorraum
doch bisher der 3 und Banane auch nicht warum nicht wir
werden siegen wird daher daraus da
müssen Sie sich besonders wenn sie gehen und
streckte den mal mit dem Faktor 2 und da sind sie schon
raus wir sehen das sieht man schon wenn sie ein
Vektor drinne haben muss immer die ganze gerade
drin sein weil sie eben beliebig strecken und stauchen können
das also der Kartoffel tut nicht was dort noch
nicht es wird er sagen na ja ich meine
sondern wir müssen so geraten sein immer warum muss es denn
mit Ursprungs gerade sein was ist denn mit so was hier was sie
mit Sundagraben die scheitert schon am 1.
Plausibilität Kriterium hatte nur wenn du nicht drin das
darf also keine Unterweltbaron sein warum es
keine unter Vektorraum gleiches Problem dem sich die
Welt da draußen Stauchen und Strecken man mit Faktor
2 also nehmen Sie zum Beispiel den weckte hier
und Strecken mit Spektakel 2 und von macht
Obst keine unterwegs doch auch sonne gerade
ist verschobene Deck doch auch wenn sie die gerade
jetzt natürlich im Ursprung Schily ist einer Sonne den
der man manchmal auch affinen Raum falls in der Begriff man
unterkommen nach Finallaufes verschoben unterliegt
auch aber nun der Wächter war muss immer durch die 0 gehen den
muss neue festgetackert sein so dass kein Unterricht ab
so wie sie diese sagen er 3 aus
oder vielleicht noch ein Beispiel noch ein
Beispiel von dem nicht mehr und der
Vektorraum bei den beiden Beispielen da
oben ging es mit dem und Vektorraum jeweils
schief bei sie nicht retten konnten
aber das strecken sie aus dem aus dem
der Menge ausgeführt hat und wenn strecken sie aus der
Menge raus führt sie hier drüben dann kann oder doch
noch ein Beispiel wo nicht das Strecken sondern das dir
schiefgeht nehmen Sie als Menge das
folgende nur Ursprungs gerade und noch
einen also die Menge denn jetzt die beiden gerade
noch einmal frage sie unter der rauen
1. Plausibilität stellten und drin also
haben at Genauigkeit und drin 2.
wenn Sie würden direkt aus dem bringen und den
Strecken bleiben Sie dran wenn sich
irgendeinen Strecken nehmen Sie bleiben auf diesen
geraten und die wo viel schief geht ist dass er
die also wenn Sie da drüben sind die Bedingungen
für alle O so muss gelten plus V ist
und zwar dann wenn sie sich ein aus der einen
eines der andern gerade nehmen dem sich den Weg
hier und dem und wenn sie die beiden
addieren bekannte Additions
Parallelogramm den kriegen Sie den heraus und der
liegt eben nicht mehr also 2
miteinander vereinigt die geraden sind auch keine und der
Vektorraum immer 2 bleibt wirklich dabei
nur die 3 Möglichkeiten der Ursprung
selbst nur Trost gerade und der ganze
R 2 und über 3 Sitze auch über
übersichtlich aus Massen und Vektoren
R 3 wer die beiden oben schon
abgearbeiteten trivial fände
also den Bull Raum und der ganze Raum dann das
was wir gerade schon hatten alle Ursprungs
geraten wenn das noch dazukommt
zentrale Ursprungs Ebenen wenn Sie immer mehr
nämlich durch den Ursprung der dann können sie auch da drin wie
strecken und stauchen und fliegen dass die eben ich
raus und wenn Sie 2 Vektoren ausgegeben
addieren dann bleiben sie in der Ebene und das ist immer
3 alles wenn wir uns jetzt noch mal das
Kriterium hier anschauen dann sehen wir das also
wenn Sie mal den Bildteile reinschauen meist eine
ganz wichtige Rolle spielt ist dieser Ausdruck Namen
darob Fluss mir mal V ok was ist das das
das sind 2 Vektoren die jeweils
gestreckt werden und dann miteinander
addiert und das ist was was man eben im
Vektorraum ständig tot und deswegen Krieg zum
Konstrukt Namen so was wenn man dann linear
Kombination also das ist jetzt der Abschied
eines neuen also wir haben wieder erweckte
Raumfahrer in Gedanken bitte einfach 3
da und dann nehmen wir uns da drüben aber
2 ich mache das gleich mal mit K
Stück also nehme sich K Vektoren heraus
diese weg in dem Beispiel der 3. ist K 2
doch was sie jetzt machen können ist jeden
einzelnen dieser Vektoren also
jedes VJ können Sie mitnehmen mit der
reellen Zahl als verlobt strecken oder stauchen
wenn dann können Sie die alle noch aufaddieren nun
liegt ein Vektor deutet sich so erreichen also
wobei die Alfa 1 als 2 bis
alle Völker wenn welche Regeln
konnte und kann mit Koeffizienten sind das den nennt
man eine linear Linearkombinationen
einen von diesen Vektoren v 1 bis
v K der Begriff ist Entwurf
der erklärt genau das was passiert man
kombiniert diese Vektoren v 1 bis VK
K durch eine linear Überlagerungen in
dem man sie eben jeden einzelnen versteckt und
stauchte dann einfach nur addiert und sonst nichts mit
ihnen passiert also den Denkmalen ja
Kombination sind sieht man kann damit mit den
Begriff könnte man jetzt das Vektorraum
Kriterium schön einen Satz der mit der Formel
schreiben als mit einem von dem Vektorraum die
nicht jeder ist unter Vektorraum genau dann
wenn alle linear Linearkombinationen von Vektoren
als wie den gut immer mal in ihrer Kombination
hat dann kommt es nächste Begriffe
sogenannten den Jahre will und was ist jetzt
da die Grundidee und der Vektorräume
und Vektorräumen so geschützt ist dass man eben
weißesten wieder Vektorräume das heißt der geht alles was man
von Vektoren rausgekriegt bitte manchmal so dass man
eben auch nur bergauf mit Teilmenge ist die Nummer leider
keine Vektorraum ist und die keine Unterwelt darum ist
und wenn man dann aber unbedingt einer haben will das
einen die man suche sich man
unterwegs Raum der meine der Menge
enthält das er mir seine Form von
allen und wollen letzten unter
Vektorraum haben wir diese Menge enthält aber möglichst
klein ist und eine naheliegende Idee ist dann das
folgende sie nehmen ihre Menge
in allen möglichen ja Kombination dies aus
der Menge gibt da wir fliegen sie natürlich zum Teil aus der
Menge heraus weil sie es eben keine oder Vektorraum haben Sie die
alle zusammen nehmen das ist die Menge allen Jahr
Kombination die aus dieser Menge aus möglich sind
aus der können Sie jetzt natürlich durch ja kommen wir zum Bildung nicht
mehr rausfliegen weil sie ja schon alle Michnia
Kombination drin haben und das ist die sogenannte
haben würde und die wird über also die
notiere ich hier als nehmen von
1 bis vom können und das ist wie
gerade schon Platz die gerade schon gesagt
die Menge aller linear Kombination dieser
K Vektoren also die Menge
alle Summen von dir gleich 1 ist klar
als verjährt JV VJ J wobei
alle 1 bis Alfacar können
welche reellen Zahlen das in allen
möglichen ja Kombination die sie aus den Vektoren
v 1 bis v K bilden können da drin sind auch
alle möglichen Jahr Kombination die sie nur aus V 1 und
V 2 bilden können nämlich mit und als hat
3 gleich alles was hier gleich als HK gleich 0
wir einfach die vor Faktoren der hinteren 17 0
setzen haben so die Forderung tagt also
damit wirklich alle ja Kombination die sie aus Vektoren
von dieser Menge von 1 des
verteidigen kann und das nennt man die den ja
würde also anschaulich ist dieses Leben
von vor 1 bis Volker die Menge
aller möglichen ja
Kombination der Vektoren vor
1 bis Karl und das Ding nennt man die
in die Jahre Hölle der Vektoren 1 bis
und wie gesagt die Grundidee warum man das macht
ist man einfach nicht aber von Vektoren hat
dann ist die Frage was ist der kleinste unter
Vektorraum der diese Vektoren enthält und
die Antwort ist diese Jahre das ist man
mindestens die sein müssen er sich wieder der
3. draus wenn Sie wenn das nun wenn sie nun
direkt am haben wollen der dieses Vereins bis vor kein
enthält na ja dann müssen Sie da drüben an den
Jahr Kombination belegen bei sonst könnten sie in
Berlin ja der Zuwendung rausfliegen werden und
umgekehrt dass jetzt noch sehen müssen wie es
tatsächlich ist die im Jahre Hölle von
beliebig lieben Vektoren immer unter Vektorraum
also am tatsächlichen unter Vektorraum auf die Weise
kreiert und das ist nicht irgendein und
das ist der kleinste und der Vektorraum der
diese Vektoren v 1 bis v K 1 enthält
also was noch fehlt zu diesem Glück das ist
eben der Nachweis dass die 7 Jahre würde
immer und unter Vektorraum ist und das würde
ich Ihnen gerne kurz zeigen auch um einfach
mal dieses unterwegs darum Kriterium
er gesehen zu haben in der in in
Aktion also die Beratung
ist eine freche Behauptung ist die linear
würde von K Vektoren ist man unter
Vektorraum von vor so um das einzusehen was
müssen wir tun wir müssen zeigen
dieses diese Menge hier ist mir und der
Vektorraum also eigentlich müssten wir zeigen wo
das eine Teilmenge und wir müssen zeigen
Palais 1 des V 8 gelten das hat niemand
Lust vor 1 bis vor 8 nachzurechnen soll ich
aber die hier mit und da ich arbeite
mit mit dem Bild also was wir tun
müssen ist müssen 1. 8. dass es da oben
versteckt sicherstellen dass diese Mängel nicht leer
ist und zweitens zeigen dass die
Kombination von 2 beliebigen Vektor- so
in liegt gut also 1. die wird man ist nicht
Lehrer warum ist die Menge aller
Linearkombinationen von Karl
Viktor nicht wir können Sie auch 17
verschiedene Weisen begründen eine Möglichkeit
ist der 0 Vektor mit drin warum liegt der 0
weg drin mehr bei der 0 Weltweise meine linear
Kombination von diesen K Vektoren der 0
Vektoren ist nämlich 0 V 1 das
ist nun mal vor 2 plus und so
weiter bis wir mal freuen Pierre Volker
na und 0 ist eine wunderschöne reelle
Zahl also ist der neue Rektor drehen
und das heißt in den Jahren würde von diesen
Sektoren ist nicht die leere Menge 1. wird
wie gesagt das ist eh wenn sie nachweisen
sollen irgendwas ist und Vektorraum immer die 1.
Plausibilitätsprüfung Istambul Vektor drin man hat
man hier die 1. Schritt immer gleichen erledigt
2. wird was da unten steht müssen zeigen
wenn wir 2 beliebige Vektoren und Faust ohne
unzählige skalare und aus er da
muss da die Opus VW den legen
Gott kann geht das also 2.
man dem die Dinge her und Frau seine
Elemente von wenn ich schon sondern wir doch von verhallt von
dem kommen sollen ihren Willen also
Frausein Vektoren was den den Jahren würde
der Vektoren von vor 1 bis vor K
unter anderen die der der Zahlen
und was wir jetzt machen müssen müssen uns
anschauen lahmender mir Frauen zeigen dass das auch
in den Jahren ist erst aus in
Schlachten wir zuerst aus dass und Frauen
in den Jahren sind was heißt das das
heißt ohne Frau sie linear Kombination der
Vektoren v 1 bis v ok also es
gibt vor Faktoren eine für 1 bis 1
Hacker und vor Faktoren bitter
1 bis der Tag war was dem
reellen Zahlen so dass das wir ja
Kombination der VJ es
also ist so mehr als VJ und und das
V ebenso ist so Million J gleich
1 bis K später Ort V hat
das nur in Formeln übersetzt das U und
Frau beide aus in Jahren Höhle dieser Vektoren
sind also und V sind beide linear
Kombination der Rektoren vor 1 bis
Fokker und was heißt es in der Kombination
zu sein das heißt ich kann sie so schreibt so muss man
so weit haben dann ist es zum Glück
nicht mehr so schwer das sehe ich mit
dem mit den ja Kombination lahmender Opus
minimal V auseinanderzusetzen das ist ja
das was wir eigentlich anschauen wollten wir wollen
zeigen Abende Opus Beamer Frau ist in also ICH
nicht in ihren Höhlen dann schauen uns doch mal anders ist
lange Opus über Erfahrung das können wir
schreiben als Summe J gleich 1 bis
in der K Halver J und
und das V können was schreiben
als Summe J gleich 1 Scarpetta
J J es mit dem vor Faktor Landon
wieder vor jetzt sehen Sie Zeit haben da
bisschen einsogen gar stehen die beiden Summen kann
eine Summe zusammenfassen das Land und das
müde können Sie aus multipliziert in die
Summe reinziehen also nie so gelang Alfa
Lord bloß Personen mehr Wetter J und dann
können sie aus dem ganzen denn eine Summe machen und
dann steht da so Million gleich 1
ist klar Namen da alles war
JV J plus später Willard
verheerend im März können Sie noch das Feuer einer rechts
ausklammern und dann bleibt übrig dass es eine
Summe von 1 bis K 2 Namen da
alle Fall J große Mühe Berta
J Frau J zur und wenn wir diesen
ganzen Dame hier diesen ganzen Störungen jetzt da
J nennen dann steht hier eine Summe
von 1 bis K Übergang Marriott meine
Frau J was Sie damit erreicht haben ist dass
unsere Bildung dann der für meine Frau
mit den Jahren Kombination ist der Vektoren 1 bis
v Canifor Faktor Angermeyer ab und an mal
dort dann sogar ausgehen ehemaliger mal dort kriegt
es ist im Moment völlig unwichtig was uns
interessiert ist dieser Vektor Lande Opus
man Erfahrung ist eine linear Kombination
der Vektoren vor 1 bis vor K das
heißt er gehört zu den Jahren will also
gilt diese Sektor Lander Plus mit meiner
Frau auch ein Element in den Jahren würde der
Vektoren v 1 bis v ok ist was wir
jetzt gesehen haben ist die 7 Jahre
lösten nicht leere Mängel und so weit ich mit
2 Vektoren rausnehmen und in der
Kombination anderen großen V bildet
bleibe ich drin und damit ist es nach dem Kriterium der
3. Unterricht dar gut das ist also die
Grundidee der linear Mühle gegebene
Zahl von Vektoren suche den
Vektorraum den kleinsten werden und der
Vektorraum des diese Vektoren enthält man sagt
auch das ist der Raum der von diesen Vektoren
aufgespannt wird also typisches
Beispiel nehmen Sie sich 2 Vektoren
hier irgendwo im Raum mehr nicht
gerade vielfach aufeinander so und so dann
ist das was die beiden aufspannen neben der
und diese Ebene die beiden die diese beiden
Rektor des Richtungsvektoren hat das ist in den Jahren
will es alle Kombination dieser aus diesen beiden
Vektoren bilden können ich hier dann denn die nächste
Vorlesung an mit einem konkreten Zahlenbeispiel
dazu werden für heute es damit bewenden
lassen danke für die Aufmerksamkeit und bis
morgen
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