Präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann begrüße ich Sie alle herzlich zur ersten Vorlesung Mathematik 2

und zumindest für mich zur ersten Vorlesung in diesen neuen Hallen. Ich habe gesehen, einige von Ihnen sitzen hier schon länger. Ja, Mathematik 2, zweiter Teil der Vorlesung wird uns mit zwei großen Blöcken der Mathematik beschäftigen.

Zunächst der linearen Algebra, das ist ein eher, es ist ein, sagen wir mal, von der Anschauung her eher geometrisches Thema. Geht um Vektorräume, Rechnen mit Vektoren, lineare Abbildungen. Das heißt Drehungen, Spiegelungen und so weiter.

Und dann im zweiten Teil der Vorlesung Differentialrechnungen in mehreren veränderlichen. Wir haben im letzten Semester uns mit der Differentialrechnung, also dem Ableiten, in einer Variable beschäftigt. Es gibt aber in der Natur nun mal dummerweise Größen, die hängen von mehreren Dingen ab als von einem Eingangsparameter. Zum Beispiel von Ort und Temperatur oder von Ort und Zeit oder von sonstigen Dingen.

Oder auch nur von Ort, weil das sind auch schon drei Variablen in drei Koordinatenrichtungen. Und auch die will man differenzieren können. Und damit werden wir uns beschäftigen und dann zum Ende noch das Integrieren von Funktionen in mehreren Variablen. Das sind die drei großen Blöcke.

Und bevor wir da ganz in Ruhe einsteigen, gibt es natürlich immer am Anfang vom Semester so ein Stapel organisatorisches. Und den möchte ich diesmal relativ zügig abhandeln, weil die Hauptmessage ist, fast alles bleibt so wie es war. Und es wird alles nur ein bisschen besser, hoffe ich.

Also erst die groben Koordinaten. Vorlesungstermine kennen Sie alle, Montags und Dienstags hier. Die Assistenten der Veranstaltung kennen Sie alle. Alle nicht. Sind für mich auch neu.

Das ist einmal Dimitro Fura. Der sitzt im Mathematikgebäude im Raum 335. Und Dirk Schröder auch im Mathematikgebäude, aber im anderen in der Dollywoodstraße. Dann haben wir einen Riesenstapel Übungstermine an vielen verschiedenen Zeiten. Ich hoffe, dass das genug sind.

Das ist bei dieser Vorlesung mal wichtig, weil es hier so sehr viele Studiengänge sind und jeder hat einen anderen Stundenplan. Ich hoffe, jeder findet hier irgendwas, was passt. Und letzte Zeile, die Übungen starten auch so wie letztes Semester in der zweiten Woche. Also die erste Übung ist am 24.04.

Gut, dann Material und so weiter. Auch da bleibt im Wesentlichen erstmal alles beim Alten mit zwei Neuerungen. Also das heißt, es gibt weiterhin die Aufzeichnung.

Hier vorne dankenswerterweise schon angefangen. Auch die finden Sie wie im letzten Semester auf der Open Learnware-Plattform des E-Learning-Centers. Und was dazu kommt, sind zwei Dinge. Das eine steht hier drauf. Es gibt jetzt eine Moodle-Plattform zu dieser Vorlesung.

Das ist in diesem Semester zum ersten Mal so, dass es eine Schnittstelle, eine automatische, zwischen Toucan und Moodle gibt. Und das ermöglicht es einfach zu dieser Veranstaltung eine Moodle-Seite auf dem Moodle der TU zu machen. Wer damit noch nie zu tun hatte, schaue sich das gerne an. Müssen Sie, weil Sie sonst ans Zeug nicht rankommen.

Sie gehen auf diese Seite da oben, Moodle-TU-Darmstadt.de, melden sich da an mit der TU ID, dann auf meine Startseite. Dann finden Sie die Vorlesung Mathematik 2 Bau. Und die finden Sie deshalb, weil diese Moodle-Schnittstelle dankenswerterweise jeden, der sich in Toucan zur Vorlesung anmeldet, automatisch auch in diesen Moodle-Kurs reinsteckt.

Das heißt, da sind Sie schon angemeldet, zumindest wenn Sie in Toucan angemeldet sind. Kurz für die Orientierung gibt es da. Normalerweise gibt es zurzeit keine Probleme mehr. Es gibt Leute, die es noch aus irgendwelchen Gründen nicht geschafft haben, sich in Toucan zur Vorlesung anzumelden. Tja, davon hätten wir vor drei Jahren geträumt. Gut, das sollte also bei allen von Ihnen geklappt haben.

Und in diesem Moodle werden wir dieses Mal die gesamte Organisation der Vorlesungen fahren. Das heißt, Sie werden im Toucan dieses Mal keine Übungsblätter finden und keine Materialien und gar nichts. Das Einzige, was Toucan enthält, ist ein Link aufs Moodle. Und dort findet sich alles. Das hat verschiedene Vorzüge.

Das hat den Vorzug, dass man im Moodle das Material sortieren kann, weil das ist für Toucan wirklich schwer. Und andere schöne Dinge. Man kann die Übungspunkte dort verwalten. Sie werden es hoffentlich auch genießen. Was das Moodle uns auch noch als zusätzliche Service bietet, und das möchten wir Ihnen auch anbieten,

ist, es gibt die Möglichkeit, Foren einzurichten. Das heißt, es wird dort ein Forum geben zur Veranstaltung, in dem einfach alles zur Veranstaltung diskutiert werden kann. Und wir wollen dann auch jede Woche zu jedem Übungsblatt ein weiteres Forum anbieten, in dem eben dieses Übungsblatt diskutiert werden kann. Und so auch ein Austausch zwischen Ihnen und auch uns stattfinden kann, der hoffentlich interessant ist.

Das ist das Moodle. Und dann gibt es noch einen Punkt, der hier gar nicht drauf steht, weil er relativ frisch ist. Es wird wohl klappen, dass es dieses Mal auch tatsächlich ein Skript gibt. Das ist in der Entstehung. Die ersten zehn Seiten oder so gibt es schon, und ich hoffe, ich kann Ihnen das...

Ja, ja, jetzt ein kleiner Anfang, ne? Und ich hoffe, ich kann Ihnen das sehr bald zur Verfügung stellen. Gut. Meine Sprechstunde habe ich auch schon mal festgetackert. Dienstag 10 Uhr. Da geht der gleiche Disclaimer wie letztes Mal.

Sie haben alle furchtbar viele Stundenpläne und garantiert sagen jetzt die Hälfte, da kann ich nicht. Dieser Termin heißt auch nur, dass das eine Zeit ist, wo ich Ihnen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit garantiere, im Büro zu sein. Wenn jemand ein dringendes Anliegen hat und mich sprechen will, dann machen wir einfach einen Termin aus. Also, wenn Sie da können, kommen Sie zu dem Termin. Aber wenn das nicht geht, sprengen Sie mich an, schreiben Sie mir eine E-Mail und dann machen wir einen Termin aus.

Dann klappt das auch. Gut. Die Sprechstunden der Assistentinnen und Tutorinnen und Tutorin stehen natürlicherweise noch nicht fest, weil die in den Übungsgruppen abgesprochen werden. Da wird es dann auch wieder, wie letztes Semester, ein PDF geben mit allen Sprechstunden, wenn die feststehen.

Und das finden Sie dann im Moodle. Also, da müssen Sie sich ein bisschen umgewöhnen, wenn Sie irgendwelche Materialien suchen. Nicht im Zugang gucken, weil da wird nichts sein, sondern gleich im Moodle oder ins Zugang gehen und dem Link zum Moodle folgen. So, das ist das. Dann gibt es auch in gewohnter Weise wieder den Treffpunkt Mathematik, auch in gewohnter Weise bei Johannes Kunsche.

Da ändert sich bis auf den Stoff, der behandelt wird, nicht viel. Das ist auch im Wesentlichen die Folie vom letzten Mal. Ich habe nur die Daten angepasst und ansonsten alles kopiert. Also, wieder die Einladung, nutzen Sie dieses Zusatzangebot von einem weiteren Tutorium,

das Ihnen nicht keinen neuen Stoff liefert, sondern das einfach noch mal vertieft. Ihnen auch zeigt, wie das Ganze im Bauingenieurwesen, wo das vorkommt, was das für Rollen spielt, was wir hier an Mathematik betreiben.

Im laufenden Semester eben immer Mittwochs um 9.50 Uhr. Und das Ganze geht aber nicht diese Woche los, sondern erst nächste Woche. Also hier ist der Beginn am 24.04. genau wie die Übung. Und Herr Kunsche wird auch wieder den Klausurvorbereitungskurs anbieten. Also auch da ändert sich nichts.

Den Übungsbetrieb, den ich Ihnen im letzten Semester lang erklärt habe, hoffe ich, muss ich Ihnen nicht mehr so lang erklären, den werden Sie jetzt kennen. Da ändert sich auch nicht viel. Es gibt Übungsblätter mit Gruppen und Hausübungen.

Die laden wir einige Tage vor der Übung hoch, nun nicht mehr in Tukan, sondern in Moodle. Die bringen Sie bitte zur Übung mit, zusammen mit Ihren Vorlesungsunterlagen. Und dann gibt es wieder die Hausübungen, auch wie im letzten Semester.

Die können Sie in der Woche drauf in Ihre Übungsgruppe abgeben. Und Sie kriegen die dann die Woche darauf korrigiert zurück. Und dafür gibt es wieder Punkte. Und die Punkte haben wieder genau wie im letzten Semester die beiden Bedeutungen. Dass sie zum einen für die Studienleistung entscheidend sind, für diejenigen, die eine Studienleistung brauchen.

Und zum anderen für diejenigen, die eine Klausur schreiben, den Klausurbonus bestimmen. Was sich ändert im Übergang zum Winter- zum Sommersemester ist das pestartige Auftreten von Feiertagen. Das ist immer so eine Besonderheit des Sommersemesters. Das Sommersemester wimmelt vor Feiertagen und das macht dieses Leben unnötig kompliziert.

Das heißt, wir müssen uns Gedanken machen, was passiert an den Terminen, wo einzelne Übungsgruppen ausfallen. Und wir haben eben sehr viele Übungstermine, damit für jeden irgendwas in den Stundenplan passt. Und das heißt, irgendwas ist immer betroffen. Und wir haben uns also überlegt, wie wir das mit den Feiertagen machen. Und hier ist die Feiertagsregelung. Wir haben im Wesentlichen drei, die uns reinhauen.

Das erste ist der 1. Mai und der haut richtig rein, weil der Großteil unserer Übungsgruppen ist mittwochs. Und die fallen eben da alle aus. Und damit jetzt nicht alle aus den Mittwochsübungsgruppen noch in den Donnerstag- und Freitagsübungsgruppen quetschen

und wir da mit 60 Leuten in den Räumen sitzen, war die Frage, was machen wir? Auch klar ist, die zehn Übungsgruppen von Mittwoch mal eben zu verlegen und zehn andere Termine zu finden mit jeweils in freiem Raum. Ist eine schöne Idee, führt aber zu Übungsgruppen, Freitags, Nachmittags um sieben oder Samstagsmorgen um neun, ist nicht so dolle.

Und die Überlegung war, was leichter zu kriegen ist als eine Übungsgruppe, ist ein Hörsaal. Und wir werden für die Leute, für die dieser Mittwochstermin ausfällt, als Ersatz. Und in dem Fall ist Ersatz natürlich leider ein bisschen im französischen Sinne zu verstehen, also als ein schlechter Ersatz eine Hörsaalübung anbieten, wo ihnen jemand dann die Gruppenübung vorrechnet.

Das ist nicht so toll, wie sie selber tun, aber es ist immerhin, sie haben sie gesehen. Und dieser Termin ist eben da am Freitag, den dritten Mai um 13.30 Uhr im Audimax unten im Keller A01.

Noch ein technischer Punkt, bei dem Termin kommen dann natürlich alle mit ihren Hausübungen. Da kommen dann also die Leute aus zehn Übungsgruppen mit ihren Hausübungen und schmeißen die alle auf einen großen Haufen aufs Pult. Das funktioniert nur, wenn sie auf diese Hausübungen, wenigstens mindestens auf diese bitte groß drauf schreiben, an welcher Gruppe sie normalerweise sind und was ihr Übungsleiter ist, weil sonst kriegen wir die nicht sortiert.

Also das steht deswegen hier schon drauf, die entsprechenden Übungsleiter werden es auch sicher vorher nochmal ansagen, aber da bitte ich sehr drum, sonst gehen auch Übungen einfach verloren. So, wer natürlich Donnerstags- oder Freitagsübungsgruppe hat, hat in der Woche mit dem 1. Mai gewonnen.

Der hat dann ein Problem, zumindest die Donnerstagsleute am 9. und am 30. Mai, weil Christi Himmelfath und Frau Leichnam kommen auch noch. Aber da ist die Sache einfacher, weil am Donnerstag liegen nur drei Gruppen. Und da ist unsere Lösung, die fallen einfach aus und die Leute aus diesen drei Gruppen verteilen sich irgendwie homöopathisch auf die anderen Gruppen. Da wir 20 Gruppen haben, fallen die aus drei Gruppen nicht so wirklich auf.

Das heißt, in der Woche suchen sich bitte, in den beiden Wochen suchen sich bitte die, die Donnerstagsübungsgruppe haben einen anderen Termin aus und gehen dahin. Und ich hoffe, dass die Stundenpläne dafür sorgen, dass sich das einigermaßen verteilt. Also rennen Sie bitte nicht alle in die Lieblingstermine, was weiß ich, mit Wochen 11.40 Uhr oder sowas.

Gut, das sind die Feiertage. Dann Studien- und Prüfungsleistungen. Auch da geht das gleich, wie ich es im letzten Semester gesagt habe. Die Vorlesung ist, was die Studiengänge und Studienordnung angeht, unübersichtlich. Und ich bin nicht in der Lage, von jedem genau zu wissen, was für eine Prüfungsleistung oder Studienleistung er braucht.

Das ist Ihre Eigeninitiative gefordert. Schauen Sie in Ihre Prüfungsordnung, Studienordnung rein. Was Sie brauchen, wir bieten an eine Studienleistung und eine Prüfungsleistung. Die Studienleistung gibt es über die Hausübungspunkte, wie letztes Semester. Also 50% der gesammelten Hausübungspunkte gibt die Studienleistung.

Und für die Prüfungsleistung gibt es am Ende eine Klausur, auch wie diesmal. Und wenn Sie die bestehen, haben Sie die Prüfungsleistung. Gut, dann hatte ich vorhin was von Klausurbonus gesagt.

Also ein paar Informationen zur Klausur. Ganz frisch hereingekommen, ein voraussichtlicher Termin. Der ist noch so ein bisschen, so ein bisschen inoffiziell. Also der ist mehr so ein Gerücht, aber ein sehr gefestigtes Gerücht. Also in den letzten Jahren ist es immer der geblieben.

Ich will nur damit sagen, Sie können sich darauf einstellen, es ist der 19. September. Aber bitte gehen Sie nicht jetzt gleich ins Reisebüro und buchen Ihre Reise und beschuldigen dann mich. Ich hätte gesagt, 12. September. Also endgültig festgelegt wird das nächste Woche. Aber der ist, sagen wir mal, das ist ein sehr gutes Orakel.

Wie üblich in der Mathematik, auch damit da die Nachfragen nicht kommen. Es gibt keinen Nachtermin in dem Sinne, dass es in diesem Semesterfeld im Sommer noch eine Klausur gibt. Sondern es gibt die Klausuren Mathe 1 und Mathe 2 einfach jeweils jedes Semester. Also der nächste Termin wäre dann im Frühjahr 2014. So, an dem Verfahren der Klausur ändert sich auch nichts.

Es bleibt also eine Kofferklausur, in der Sie alle schriftlichen Unterlagen mitnehmen können. Und es bleibt dabei, dass Sie nichts Elektronisches mitnehmen dürfen. Also keine Taschenrechner, Laptops, Handys und so weiter. Auch nochmal, weil das letzte Semester für so viel Verwirrung gesorgt hat.

Alle schriftlichen Unterlagen heißt alle schriftlichen Unterlagen. Also alles, was auf Papier ist, ob gedruckt oder handgeschrieben, oder ein- oder doppelseitig, oder DIN A3 oder DIN A4, völlig egal. Bringen Sie alles mit, was auf Papier ist. So, und dann noch final der Bonus, wobei der sich auch nicht geändert hat.

Wenn Sie das Kriterium für die Studienleistung erfüllen, also wenn Sie mindestens 50 Prozent der Hausübungspunkte haben und Ihre Klausur bestanden ist, dann erhöht der Bonus die Note um eine kleine Notenstufe. Also je nachdem, wo Sie sind um 0,3 oder 0,4. Einzige Ausnahme, wenn Sie schon ohne den Bonus die 1,0 gemacht haben,

dann gehen Sie so feiern und dann kriegen Sie keine 0,7, weil die gibt es nicht. Aber ansonsten geht es immer eine kleine Notenstufe rauf. Gut, dann hatten wir zu guter Letzt im letzten Semester eine Probeklausur angeboten.

Das möchte ich sozusagen traditionell beibehalten. Auch wenn jetzt ein Sinn der Sache, nämlich Ihnen mal zu zeigen, wie hier eine Klausur an der Uni aussieht, wegfällt, weil das haben Sie jetzt nämlich ein paar Mal gesehen. Trotzdem schadet es nichts und es kostet uns nicht arg viel Aufwand. Und insofern machen wir es gerne.

Wir haben uns ausgeguckt die Woche vom 1. Juli. Das heißt, das ist so zwei, drei Wochen vor Ende des Semesters. Das heißt, in der Woche werden wir in den Übungen unter so tun, Klausur und Klausur schreiben, aber eben in den Übungen gesichert im Rahmen. Und das Ganze wird dann von den Übungsgruppenleiterinnen und Übungsgruppenleitern korrigiert.

Und sie kriegen die Punkte drauf und die gehen in die Bonusberechnung ein, als wäre das eine ganz normale Hausübung gewesen. Gut, jetzt habe ich ganz, ganz viel geredet und ganz, ich hoffe aber nicht allzu viel Überraschendes gesagt.

Und dann ist die Frage, ob von Ihrer Seite noch Fragen sind. Und bevor ich jetzt 17 Hände hochgehe, eine Frage nehme ich Ihnen gleich aus den Segeln. Ich weiß, Sie haben noch keine Klausurergebnisse vom letzten Semester. Das Zeug liegt bei mir auf dem Schreibtisch, ganz prominent. Ich bin da dran, aber es ist eben noch nicht fertig.

Ja, und das heißt, die Frage ist klar, sie brennt, aber sie bringt, ja, brauchen Sie gerade nicht stellen. Gibt es da außerdem noch Fragen?

Gut, ich sehe gerade nichts, aber das ist auch hier, ich werde hier wahrscheinlich einen richtigen Tenniskopf kriegen im Laufe der Zeit. Gut, dann, wenn noch Fragen auftauchen, wissen Sie, dass Sie die hier jetzt halt stellen können.

Ja, ich hatte vorhin schon kurz gesagt, der erste große Block in der Vorlesung, der uns so, ich würde mal sagen, die ersten sechs Wochen minimum beschäftigen wird. Ist das jetzt? Ist das Kapitel 1?

Und das Ganze läuft unter der Überschrift lineare Algebra. Und was ist das Ziel davon? Wie gesagt, die Motivation des Kapitels ist in Teilen eine geometrische,

vielleicht kann man es so am ehesten sagen, es geht darum, den uns umgebenden Raum, den R3, die Ebene, den R2, den Raum, den R3, aber auch die Verallgemeinerung R4, R5 und Rn zu verstehen

und darin rechnen zu können. Und worum es geht, sind dort eigentlich sozusagen die grundlegenden geometrischen Objekte. Wir haben im letzten Semester schon ein bisschen mit Graden und Ebenen gerechnet, Schnittpunkte und so weiter.

Ich will darauf jetzt aufbauen und will dann vor allem, ja, das Hauptziel ist, sogenannte lineare Abbildungen zu studieren. Das ist jetzt erst mal ein abstrakter Begriff, aber was berührt sich dahinter? Lineare Abbildungen sind elementare, sage ich mal, Transformationen des Raumes, mit denen man es dann ständig zu tun kriegt.

Darunter fallen alle Formen von Drehungen, Spiegelungen, Projektionen, also Projektionen für alle, die dann irgendwelche Aufrisse und sonst wie zu produzieren haben. Was wichtig ist, was gehört noch dazu, Streckungen, das sind alles lineare Abbildungen.

Und mit denen rechnen zu lernen, das ist eigentlich das, sage ich mal, große Hauptziel dieses ersten Abschnitts. Gut, aber was wir uns dazu erst mal anschauen, ist die zugrundelegende Struktur des Raumes.

Also das ist Kapitel 1 über Vektoren, über Vektorechnung. Und was jetzt hier immer ihre Anschauung sein sollte, ist der sie umgebende Raum R3. Und ich will noch mal kurz erinnern an das, was wir an Teile dessen, was wir in der Matte 1 dazu gemacht haben.

Nur damit man so ein bisschen die Notation wieder reinkommt. Wir hatten uns dort die Menge Rn angeschaut, den n-dimensionalen reellen Raum. Für die Vorstellung nimmt man am besten n gleich 2, hat man die Ebene n gleich 3, den Raum.

Und Rn hatten wir gesehen als eine Menge von Punkten mit n-Koordinaten. Punkte hatten wir als senkrechte Spalten geschrieben. Wir werden uns im Laufe dieser Vorlesung auch dem Punkt nähern, wo wir dann auch sehen, warum das eine Konvention ist.

Und ich hatte dann auch gesagt, diese senkrechten Spalten sind aber oft nervig, wenn man sie schreiben will, weil sie so viel Platz wegnehmen. Und dafür hatte ich folgendes Symbol eingeführt, sie nehmen x1, x2 und schreiben es als Zeile.

Und dann machen wir da oben so ein großes T dran. Dieses große T steht für transponiert und bedeutet, dass diese Zeile eben eine Spalte wird. Das ist im Moment nur eine reine Platz-Spar-Schreibweise, damit man das Zeug in der Zeile statt in der Spalte stehen hat.

So, diese Zahlen x1, x2 bis xn, die nennt man die Koordinaten des Punktes P. Also x1, x2 bis xn, das sind triäle Zahlen. Und den nennt man die Koordinaten des Punktes P.

Und auch gerade schon gesagt, aus der Anschauung kennen Sie den Fall n gleich 1, dann sind Sie am Zahlenstrahl, also einfach R. Meistens schreibt man statt R hoch 1 auch einfach R. Dann kennen Sie den Fall n gleich 2, das ist die Ebene, in der hatten wir damals vor allem viel Trigonometrie gemacht.

Also Sinus, Cosinus angeschaut, wir hatten uns mit Ellipsen beschäftigt und so weiter. Und dann jetzt neu dazu, oder damals etwas stiefmütterlich behandelt, der Raum n gleich 3. Aber den kennen Sie seit Ihrer Geburt, zumindest in der Anschauung. Also hoffe ich, dass wir auch da relativ viel mit Vorstellung machen können.

So, das waren die Punkte mehr n. Und ich hatte Mathe 1 in schon den wesentlichen Begriff des Vektors eingeführt. Auch noch mal kurz als Wiederholung, Vektoren und Punkte sind nicht genau das Gleiche.

Sondern ein Vektor ist eine Größe, die zwei Punkte verbindet. Also der Vektor X als P minus Q geschrieben, ist der Vektor mit Anfangspunkt Q und Endpunkt P.

Also der Vektor, der den Punkt Q mit dem Punkt P verbindet. Und wichtig bei Vektoren ist, immer zu behalten, der Vektor als solche ist durch einen Anfangspunkt und Endpunkt gegeben, aber er ist vom Anfangspunkt in dem Sinne unabhängig, dass wenn Sie den Vektor jetzt durch die Lande schieben, dann ändert er sich nicht.

Also der Vektor ist bestimmt durch seine Richtung und durch seine Länge, aber nicht durch seine Lage. Also da, wo Sie ihn hinlegen, das ist dem Vektor egal, sondern er hat einfach eine Richtung und eine Länge.

Und je nachdem, welchen Anfangspunkt Sie wählen, zeigt er natürlich an verschiedenen Endpunkten. Aber der Anfangspunkt als solche ist in dem Vektor nicht enthalten. Also der ist bestimmt durch Richtung und Länge. Diese Länge hatten wir durch die sogenannte Norm gemessen und ist eben unabhängig vom Anfangspunkt.

Das heißt, wenn Sie einen Vektor im Rn haben und schieben den durch die Lande, dann bleibt das derselbe Vektor. Wir hatten damals so ungefähr das folgende Bild dann an der Tafel.

Also wenn Sie hier den Punkt Q haben und da den Punkt P, dann ist das eben der Vektor X mit Anfangspunkt Q und Endpunkt P.

Aber den können Sie eben durch die Lande schieben und es bleibt derselbe Vektor. Also wenn der jetzt genau die gleiche Länge und genau die gleiche Richtung hat, wie üblich ist meine Zeichengenauigkeit nicht perfekt, dann ist das derselbe Vektor.

Ich sehe jetzt ganz viele Malen, dürfen Sie gerne machen. Ich will nur, also auch das habe ich gerade vorher nicht gesagt wie letzte Semester, alles was ich hier anmale, stelle ich Ihnen auch ins Moodle online. Also Sie brauchen jetzt keine Panik zu kriegen, wenn Sie es nicht mitkriegen und können auch mitdenken

mit Schrieb runterladen. So, eine Variante dieses Vektors, diesen Vektor X, den kann ich jetzt beliebig im Raum rumschieben und es bleibt der Vektor X.

Eine Variante dieses Vektors ist eine besondere und zwar ist das die, die gerade am Ursprung anfängt. Also wenn ich den Vektor gerade hier hinschiebe, dass er im Ursprung anfängt, Ursprung üblicherweise mit groß O bezeichnet, dann zeigt er auf einen Punkt R

und das ist ein spezieller Vektor, also wenn der Anfangspunkt der Ursprung ist, dann nennt man das X einen Ortsvektor und zwar ist das der Ortsvektor seines Endpunkts R.

Und wenn Sie das machen, wenn Sie sich sozusagen auf Ortsvektoren beschränken, dann gibt es jetzt eine eindeutige Zuordnung zwischen Punkten und Vektoren. Und dann gibt es für jeden Punkt genau den einen Ortsvektor und wenn Sie einen Ortsvektor haben, hat er genau einen Endpunkt.

So, also diese Wahl des Ortsvektors, die liefert Ihnen eine eindeutige Identifizierung von Punkten mit Vektoren.

Wenn Sie jeden Vektor zulassen, dann gibt es eben weniger Vektoren als Punkte in vielen Anführungszeichen. Und wenn Sie die Dinge im Ursprung fest tackern, dann gibt es zu jedem Vektor genau seinen Endpunkt und zu jedem Endpunkt genau einen Ortsvektor.

Gut, dann hatten wir auch schon im ersten Semester darüber geredet, wie man mit Vektoren rechnen kann. Ich will Ihnen das nochmal sortiert zusammenfassen.

Also das wäre jetzt der Abschnitt 1,1. Rechenregeln für Vektoren. Also wir nehmen uns drei Vektoren her. U, V und W aus dem Rn.

Und dann brauche ich noch zwei Skalare, zwei Zahlen, Lambda, Mu aus dem reellen Körper, aus den reellen Zahlen. Und dann gelten die folgenden Rechenregeln. Vielleicht noch kurz zur Notation. Ich gleiche mich hier einer in vielen Bereichen üblichen Notation an, dass

ich Vektoren von anderen Größen dadurch unterscheide, dass ich ihnen einen Pfeil draufsetze. Also Vektoren sollten, außer wenn ich es gerade vergesse, immer so ein Pfeilchen tragen. Das ist auch insofern praktisch, als es die Möglichkeit gibt, zu überprüfen, ob das, was man da tut, gerade sinnvoll ist.

Wenn zum Beispiel irgendwo ein Vektor steht und dahinter, also wenn Sie einen Vektor haben und dazu versuchen, eine Zahl zu addieren, also wenn ich Ihnen jetzt so etwas hinschreibe wie U mit Pfeil drauf plus Lambda, dann macht das einfach keinen Sinn, weil man kann nun mal auf einen Vektor keine Zahl addieren. Und wenn man die Dinger notationell unterscheidet, sieht man eben schneller, wenn da irgendein Mist passiert.

Gut, das zu dieser Pfeilnotation. So, und was gilt jetzt, wenn Sie mit Vektoren rechnen? Eine erste Rechenregel ist, das Addieren vertauscht.

Also, ob Sie U plus V oder V plus U rechnen, ist egal. Das mag Ihnen im Moment noch nach einer Ballalität vorkommen. Wir werden noch Dinge kennenlernen, die nicht vertauschen, aber im Moment ist das wahrscheinlich nichts Überraschendes. Das nennt man die Kommutativität von plus.

Schönes verquastes Fremdwort für was total Banales Alltägliches. Gut, das nächste komische Fremdwort ist die Assoziativität. Und das bedeutet, dass es egal ist, wie Sie beim plus die Klammern setzen.

Also, wenn Sie zwei Vektoren U und V addieren und dazu dann schließlich einen Vektor V, dann ist das das gleiche, wie wenn Sie zuerst V und V addieren und dann dazu einen Vektor U. Das ist die Assoziativität von plus, auch das etwas, was Sie nicht vom Hocker hauen wird.

Aber das macht zum Grunde erst möglich, dass man dann einfach U plus V plus V schreibt, ohne zu sagen, in welcher Reihenfolge man die denn addiert. So, dann drittens.

Es gibt einen ganz speziellen Vektor, nämlich den Null Vektor. Der ist was Besonderes. Was ist an dem besonders? Das Besondere an dem ist, dass er so harmlos ist. Soll heißen, egal auf was Sie den drauf addieren, der tut nichts.

U plus Null ist immer Null, ist immer U, für alle U aus dem N. Also das ist die grundlegende Definition des Null Vektors.

Der Null Vektor ist der, der beim Addieren nichts tut, sondern alles so lässt, wie es ist. Und im Rn kennen wir den Null Vektor. Also das ist die Spalte, die nur Nullen enthält. Wenn Sie die addieren, dann liefert das.

Wenn Sie jetzt einen Vektor nehmen und die Null, Null, Null Spalte drauf addieren, dann kommt eben der Vektor wieder raus. So, das ist der Null Vektor. Bis jetzt habe ich nur etwas über das Addieren gesagt. Der Null Vektor ermöglicht es einem jetzt, über das Subtrahirn zu reden.

Das ist diese Regel Uv4. Wenn immer Sie einen Vektor haben, aus dem Rn, dann gibt es auch den Negativen dazu. Also gibt es auch das Minus U.

Und was ist das Negative? Das Negative von dem Ding ist das, was auf das Ursprüngliche drauf addiert, die Null gibt. Also, wenn Sie das U nehmen und das Minus U drauf addieren, dann kommt die Null raus. Und für dieses Addieren des Negativen schreiben wir dann halt Minus.

So, das ist V4. Das ist das sogenannte inverse Element. So, jetzt haben wir ganz viel über das Plus geredet.

Und jetzt gibt es noch zwei Bedingungen für das skalare Multiplizieren, also das Strecken von Vektoren. Und dann noch zwei Rechenregeln für die Kombination aus dem Strecken und dem Plus. Also V5. Das ist jetzt endgültig eine Banalität.

Wenn Sie einen Vektor mit 1 strecken, passiert nichts. V6. Wieder eine Assoziativität.

Wenn Sie einen Vektor nehmen und den strecken und den gestreckten Vektor nochmal strecken, also Lambda mal mu mal V, dann ist das das gleiche, wie wenn Sie zuerst das Lambda mit dem mu in R multiplizieren und dann um das Ergebnis strecken.

Das ist wahrscheinlich irgendwie naheliegend, aber man könnte sich schon fragen, warum ist das so? Also, es ist so. Und dann kommen noch zwei Rechenregeln, die Ihnen sagen, wie sich das Plus und das Mal miteinander vertragen.

Also, und auch die sind keine Überraschungen, wenn Sie zwei Vektoren addieren und das Ergebnis strecken, dann ist das dasselbe, wenn Sie zunächst beide Vektoren strecken und die gestreckten Vektoren addieren. Das ist auch eine Rechenregel, die leicht von der Hand geht, weil sie eben genauso ist wie mit normalen reellen Zahlen.

Und das gleiche umgekehrt, wenn Sie einen Vektor nehmen und Sie strecken den um die Summe von zwei Faktoren, dann ist das das gleiche, wie wenn Sie das V einmal mit Lambda strecken und einmal mit mu und das Ganze dann addieren. So, und ganz kurz zusammengefasst heißen V1 bis V8, Sie können mit den Vektoren genauso rechnen, wie Sie es gewohnt sind.

Das Einzige, was Sie bitte tun, die es unterlassen ist, irgendwelche Gedanken an Divisionen im Kopf haben. Also, es teilt bitte mir niemand irgendwas durch einen Vektor, weil durch einen Vektor kann man nicht teilen.

Darüber steht hier nichts. Was Sie mit Vektoren machen können, ist Sie können sie addieren und Sie können sie strecken. Und das Addieren und das Strecken verhält sich so, wie Sie es gewohnt sind. Es ist kommunitativ, es ist assoziativ, diese Distributivgesetze gelten. Aber bitte nichts dividieren. Gut, warum habe ich Ihnen das jetzt so ellenlang noch mal hingeschrieben, wenn es doch heißt, ist alles so wie normal?

Weil jetzt, ja, was kommt, was in Maßen der Volle so eine Seitenbemerkung ist, die ich aber trotzdem loswerden will, was macht denn jetzt der Mathematiker in mir damit mit diesen Rechenregeln?

Er sagt, das ist schön und gut, die gelten für den RN, aber gelten die vielleicht auch noch woanders? Ist das eine Struktur, die man woanders wiederfindet und die Antwort ist, oh ja, und zwar wie? Und zwar ist das die Struktur des sogenannten Vektoraums.

Also was ist ein Vektoraum? Ein Vektoraum ist zunächst einfach mal eine Menge, denken Sie an R3, und die soll mal zumindest nicht leer sein, weil sonst ist die Menge langweilig

und wird üblicherweise V genannt, weil V passt so gut zu Vektoraum. So und zu der Menge muss es jetzt zwei Verknüpfungen geben. Also es muss eine irgendwie geartet definierte Summe geben. Also es muss eine Menge sein, in der man Summen bilden kann

und man muss zu jedem Lambda aus R das Lambda-Fache bilden können. Also man muss eben addieren und strecken können, äh kann.

So und wenn jetzt, also wenn Sie so eine Menge haben, in der Sie addieren und strecken können und die diese V1 bis V8 erfüllt, also in der diese Rechenregeln gelten,

dann nennt man das Ding ein Vektoraum. Also ein Vektoraum ist einfach erstmal einfach ein abstraktes Konzept, das nur heißt Sie haben irgendwas mit dem Sie addieren und strecken können und diese Rechenregeln gelten.

Und der Vorteil ist alles was man so an Anschauungen vom Rn hat, hat eine gute Hoffnung, dass es in jedem Vektoraum gilt. Muss ich nur anschauen warum das gilt und dann kann man sehen, ja das sind einfach was man dazu benutzt, um das nachzuweisen, was man benutzt um diese Rechenregeln herzuleiten, das sind nur diese V1 bis V8, also gilt das nicht nur mehr n zufällig,

sondern in jedem Vektoraum. Und es gibt einen ganzen Stapel mehr Vektorräume, deswegen ist das eine interessante Information. Ich werde Ihnen gleich noch ein Beispiel dazu sagen, noch kurz als Bemerkung, genauer nennt man sowas einen R-Vektoraum,

weil hier stecken die reellen Zahlen drin, Gleiches kann man mit C machen und so weiter, also mit anderen Körpern. Gut, aber zunächst einmal ist das der Abstraktionsschritt, wir haben gesehen unser gewohnter Rn erfüllt diese acht Rechenregeln

und jetzt sagen wir, okay Vektoraum ist jede Menge, die sich so ähnlich anfühlt, sprich sind ja auch diese acht Regeln erfüllt. Könnte sein, dass wir damit nichts Neues geschaffen haben, sondern sagen, es gibt halt den Rn und sonst nichts, das ist aber in dem Fall nicht so. Lassen Sie mich Ihnen ein, zwei Beispiele zeigen, oder zumindest erwähnen.

Und wie gesagt, das ist in Maßen eine Seitenbemerkung, wir werden in dieser Vorlesung uns, also in dieser Vorlesung ganz sicher zu 99% im Rn bewegen, ganz vielleicht noch im Cn. In der Matte 3 kann es passieren, dass Ihnen mal auch ein anderer Vektoraum unterkommt.

Sie werden es sicherlich nicht häufig erleben, wegen diesen Schritt einmal gezeigt haben, weil der Vektoraumbegriff ein ganz ganz zentraler in vielen Bereichen der Mathematik ist. Also was sind Beispiele für Vektoräume? Gut, erstens, da kommt es her, jeder Rn ist ein Vektoraum.

Da hatten wir es her. Und jetzt kann man auf die Suche gehen nach anderen Strukturen, in denen man addieren und strecken kann. Und hier sind zwei Beispiele. Ich nenne den mal pn. Und das ist die Menge aller Polynome vom Grad höchstens n,

also die Menge aller a0 plus a1x plus plus bis a1x hoch n, wobei a0 bis an reelle Koeffizienzen sind. Also kompliziert geschrieben, nochmal in Worten,

das ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich n. Das können Sie kurz überlegen. Macht Sinn, zwei Polynome zu addieren. Haben wir schon oft gemacht.

x² plus 5 plus 3x² minus 7. Hätten Sie keine Probleme zusammen zu addieren, ist ganz intuitiv. Und ein Polynom mit 7 zu multiplizieren, ist jetzt auch nicht so das Problem. 7 mal x² plus 1 ist eben 7 mal x² plus 7. Das heißt, das ist tatsächlich eine Menge von Dingen, mit denen man addieren und die man strecken kann.

Und jetzt kann man sich hinsetzen, ein bisschen mühsam, aber jetzt kann man diese ganzen V1 bis V8 nachrechnen und das tut. Das ist ein Vektor. Ein weiteres Beispiel, das nicht unbedingt Rn ist, ist das. Und jetzt kommt noch ein anderes Beispiel, das wenn man es dann genauer betrachtet sogar noch skurriler ist,

aber ich will es Ihnen einfach nur mal hingeschrieben haben, dass wir, wir gehen jetzt noch ein bisschen weiter weg von den Zahlen, dann nehmen Sie sich ein Intervall und dann nehmen Sie sich alle stetigen Funktionen her auf dem Intervall.

Das ist die Menge aller Funktionen, die stetig sind auf so einem Intervall. Also Sinus, Cosinus, x², Tangents und viele, viele andere, Betrag x.

Hunderte von Funktionen. Zwei Funktionen addieren, kein Problem. Was ist Sinus plus Cosinus? Sinus plus Cosinus, Sinus von x plus Cosinus von x. Eine Funktion mit fünfmal nehmen, auch nicht so schwer. Das ist fünfmal der Sinus, naja fünfmal Sinus von x.

So, also das heißt mit denen kann man addieren, mit denen kann man multiplizieren und jetzt muss man sich wieder hinsetzen und nachrechnen. V1 bis V8 gelten, das heißt das ist ein Vektoraum, ein ziemlich großer Vektoraum und alles was wir jetzt, was Sie sozusagen an Rechenregeln über Vektoren im RN sehen,

bei dem man nur auf diesen V1 bis V8 fußt, gilt in der Menge genauso. Das ist die, von der ich mir vorstellen könnte, dass sie in der Matte 3 Ihnen mal vorkommt. Gut, aber an der Stelle, wie gesagt, gehen wir wieder zurück und sagen,

für den Moment reicht uns der RN voll auf. Der kann kompliziert genug werden, aber ich wollte Ihnen einmal dieses Verfahren zeigen, weil das ist so typisch mathematisches Vorgehen. Sie haben eine spezielle Struktur wie den RN, wie den Raum, finden raus,

der hat folgende Eigenschaften, folgende Rechenregeln gelten da und dann sagt man, gut jetzt schaue ich mir mal an, gibt es noch andere Mengen, die eine ähnliche Struktur haben, die die gleichen Regeln gelten und kann ich aus dieser Gleichheit, nicht Gleichheit, aus dieser Gleichheit der Struktur

irgendwas lernen über meine, über den RN und über die andere Menge. Okay, noch zwei Bemerkungen zum Vektoraumbegriff. Das erste klang vorhin schon mal kurz an.

Wir hatten im ersten Semester neben den reellen Zahlen noch die komplexen Zahlen kennengelernt und gesehen, dass die komplexen Zahlen manchmal von Nutzen sind und das wird auch hier immer wieder so sein und die gute Nachricht ist, mit C geht alles so wie mit R,

also zumindest für den Begriff Vektoraum. Also wenn Sie überall oben statt RC hinschreiben, kriegen Sie sogenannte komplexe Vektorräume, bei C eben die komplexen Zahlen sind, häufig auch einfach als C Vektorräume bezeichnet

und ich will es jetzt ganz kurz abkürzen, die Dinger funktionieren genauso. Also alles, was ich jetzt gemacht habe, aber auch eigentlich alles, was ich noch in den nächsten 10 Vorlesungen machen werde, geht genauso, wenn Sie überall statt RC hinschreiben.

Sollte mal irgendwas in C nicht gehen, dann werde ich das mit großem Ausrufezeichen dazu sagen und schreiben, aber im Großen und Ganzen tut das alles nichts, ob da ein R oder ein C steht. So, das ist die erste Bemerkung und die zweite Bemerkung.

Warum reite ich auf diesen Begriff so rum? Weil es ein Begriff ist, der an hundert Stellen auftaucht, also Vektorräume als solches und insbesondere in ihrer Ausprägung als Rn und Cn tauchen an vielen, vielen Stellen auf.

Ich habe mal versucht, so ein paar zu sammeln. Also das sind grundlegende Grundmengen. Zum Beispiel, wenn Sie an den R3 denken, muss man natürlich wissen, wie der R3 funktioniert, wenn man irgendwelche geometrischen Berechnungen machen will.

Also, wenn Sie Geometrie der Ebene oder des Raumes machen wollen, dann müssen Sie eben wissen, was eine Ebene oder ein Raum ist. Und deswegen sind hier vor allem R2 und R3 grundlegende Gebilde.

Also hier Stichwörter, Raumebene und so weiter. Aber natürlich ist auch vierdimensionale Geometrie super interessant. Vor allem, weil man sie sich eben nicht mehr vorstellen kann. Dann, wo taucht es noch auf? Ich hatte vorhin gesagt, die zweite Hälfte der Vorlesungen

kann sich mit Funktionen von mehreren Variablen beschäftigen. Also zum Beispiel die Temperaturverteilung hier im Hörsaal. Jetzt würden Sie sagen, wieso? Die hat doch nur eine Variable, die hat nicht erst variabel den Ort. Also an jedem Ort hier im Raum gibt es eine Temperatur. Das ist jetzt eine relativ langweilige Funktion.

Zumindest, wenn man sie auf grober Skala anguckt. Aber es gibt sicher hier einige Ecken, die ein bisschen wärmer sind, andere sind etwas kälter. Das ist eine Funktion und die hängt ab. Von was hängt die ab? Vom Ort? Und der Ort ist ein Vektor. Das ist ein dreidimensionales Gebilde hier. Das heißt, Sie haben eine Funktion, deren Eingabeparameter nicht wie in der Matte 1 eine Zahl ist.

In der Matte 1 hatten wir immer nur f von x und x ist eine reelle Zahl. Wenn Sie die Temperaturverteilung hier im Raum anschauen, dann ist das eine Funktion, die passt nicht in das Raster, weil die eben nicht von einer Zahl abhängt, sondern von einem Vektor. Und sobald Sie irgendwelche Temperaturen, Kräfte, irgendwas beschreiben wollen,

wenn Sie also eine mechanische oder physikalische Beschreibung haben von irgendwas im Raum, dann laden Sie sofort wieder in der Vektorrechnung. Und das ist die zweite wesentliche Dinge, wo Vektorräume auch für Sie laufend vorkommen, als Definitionsbereich von Funktionen in mehreren Variablen.

Und als solcher wird sich der Begriff des Vektorraums durch die gesamte Vorlesung Matte 2 ziehen. Insofern ist es ein wirklich schöner Startpunkt, also für Funktionen in mehreren Variablen. Ein Beispiel eben die Temperaturverteilung hier im Hörsaal.

Dann auch ein wesentlicher Teil, an dem wir uns die nächste Woche oder nächste oder übernächste Woche mit beschäftigen wollen. Sogenannte lineare Gleichungssysteme. Was ist das?

Gut, was eine Gleichung ist, wissen Sie. Es ist üblicherweise, wenn wir eine Gleichung lösen. Wer hat eine Lösung? Und manchmal ist es schon eine Gleichung recht kompliziert zu lösen, aber jetzt ist die Natur ja fies und gibt uns meistens nicht nur eine Gleichung, sondern gleich einen ganzen Stapel davon.

Und die hängen auch noch miteinander zusammen. Sie haben irgendwie fünf Gleichungen und dazu fünf Unbekannte und jede Gleichung beeinflusst jede andere. Und die einfachste Form eines solchen Gleichungssystems ist ein lineares Gleichungssystem. Und in der Struktur von linearen Gleichungssystemen sind Vektorräume oder der N fällt einem direkt vor die Nase.

Also der ist ein grundlegendes Konstrukt. Um solche linearen Gleichungssysteme zu verstehen, werden wir machen. Einfach als ein Beispiel, wo so etwas auftaucht oder vielleicht zwei. Das eine direkt aus dem Bauwesen, das andere weniger.

Wenn Sie ein Stabtragewerk haben, also irgendeine Fachwerkbrücke, dann können Sie da drin die Kräfteverteilung ausrechnen. Und die Frage ist, hält das Zeug oder hält das nicht und wie ist die resultierende Kraft?

Und worauf das führt, ist normalerweise ein ziemlich großes lineares Gleichungssystem, weil natürlich jeder Stabträger irgendwie über die anderen mit jedem verkoppelt ist und jeder auf jeden rückwirkt. Und das wird, wenn das, also ich habe mal eins gesehen mit, das waren glaube ich fünf Stäbe, das ist jetzt für so eine Brücke noch nicht so richtig viel.

Und das waren schon zehn gleiche mit sieben unbekannten oder sowas. Also ich möchte nicht wissen, wie das original aussieht für so einen Eiffelturm oder sowas. Zweites Beispiel, wo linearen Gleichungssysteme auftauchen, ein Computertomograph. So ein Computertomograph ist im Wesentlichen gut die Kamera, die alles aufnimmt. Und dann ein riesengroßer Rechner hinten dran, der nämlich lineare Gleichungssysteme löst,

weil so ein klassischer Computertomograph kommt so auf zwei Millionen Gleichungen mit 500.000 unbekannten. Das ist so die Größenordnung. Wahrscheinlich, die Zahl ist ein bisschen älter, wahrscheinlich hat sich das schon mit Faktor 5 multipliziert in der Zwischenzeit. Gut, da werden wir sehen, was dahinter steckt, alles Vektoraum.

Und dann, und das ist jetzt ein Vorgriff auf die Matte 3. Wenn Sie es mit linearen Differentialgleichungen zu tun kriegen, dann werden Sie sich auch an den Begriff des Vektoraums erinnern.

Ich fange jetzt gar nicht erst an zu erklären, was eine Differentialgleichung ist, kommt dann früh genug. Gut, soll aber nicht heißen, dass die Liste ausschöpfend ist. Vektorräume sind sowas, was immer mal wieder aus der Ecke kriegt.

Gut, fangen wir also behutsam an, ein bisschen was uns über Vektoraume anzueignen. Und wie gesagt, bei allem, was ich jetzt erzähle, was Sie im Kopf haben sollten, ist immer der R2, ist immer der R3. Das ist das Modell, das ist der Modellfall des Vektoraums.

Und so muss man auch diese Definition verstehen, die ist so gewachsen, dass man eben mit dem R3 angefangen hat und sich gesagt hat, ok, ich suche mir Strukturen, die sich ähnlich verhalten, aber das Grundmodell ist der R3.

Gibt es soweit noch Fragen? Zumindest stelle ich einen erhöhten Diskussionsbedarf fest. Aber ich weiß nicht, der bezieht sich vielleicht auch schon auf die Speisekarte oder so, keine Ahnung.

Gut, vielleicht versuchen wir den Diskussionsbedarf ein bisschen aufzuschieben. Und was ich Ihnen jetzt einführen will, sind so die ersten Grundbegriffe der Struktur von Vektorräumen.

Und das erste ist der sogenannte Untervektorraum, also das ist der Abschnitt 1,5. Wir haben also einen reellen Vektorraum gegeben, denken Sie A3.

Und was wir uns jetzt anschauen wollen, sind Teilmengen von diesem Vektorraum. Teilmengen gibt es natürlich viele. Wir interessieren uns für ganz spezielle Teilmengen, nämlich für solche Teilmengen, die selbst wieder Vektorräume sind. Also ich nehme eine Teilmenge U von V her und die nenne ich dann ein Untervektorraum,

wenn sie nicht nur irgendeine Teilmenge ist, sondern wenn sie selbst wieder ein Vektorraum ist. Für dieses Untervektorraum gibt es noch ein Stapel synonyme Begriffe.

Häufig sagt man auch ganz kurz nur Unterraum und das ist das Vektorweg. Oder dann gibt es noch den ein bisschen antiquierten, aber durchaus noch benutzten Begriff des linearen Teilraums.

Also früher hat man den Vektorraum auch gerne linearer Raum genannt. Und ein Untervektorraum ist dann eben ein linearer Teilraum. Von V, falls das U eben nicht nur eine Teilmenge ist, sondern U selbst wieder ein Vektorraum ist.

Vorstellung, Idee, was ist das? Nehmen Sie sich im R2 eine Gerade, die durch den Ursprung geht.

Dann ist diese Gerade, die durch den Ursprung geht, ein R1, also eine Zahlengerade, die im R2 drin liegt und damit wieder ein Vektorraum, der eine Teilmenge vom R2 ist. Wir schauen uns auch noch ein paar mehr Beispiele an. Ich will nur gerne noch eine Bemerkung und ein Kriterium, Untervektorraum zu sein, loswerden.

Die erste wichtige Bemerkung ist, was fordern wir von der Teilmenge U, damit sie ein Untervektorraum ist. Sie soll selbst ein Vektorraum sein und das heißt, sie muss eine gewisse Mindestgröße haben.

Sie kann sehr, sehr klein sein, aber ein Ding muss drin sein, nämlich der Nullvektor. Wir haben gesehen, eine der Bedingungen für einen Vektorraum ist, dass da drin der Nullvektor liegt. Dementsprechend liegt der Nullvektor immer in einem Untervektorraum.

Also es gilt immer Nullvektor aus U, also für einen Untervektorraum U. Das war die Rechenregel V3 von oben.

Und das gibt Ihnen auch ein erstes Totschlagkriterium, wenn jemand Ihnen so eine Menge hergibt und sagt, sagen Sie mir mal, ob das ein Untervektorraum ist oder nicht. Erste Methode, schauen Sie mal nach, ob die Null drin ist. Wenn die nicht drin ist, dann werfen Sie es gleich zurück und sagen Sie, den Quatsch können Sie behalten, das ist keiner. Wenn die Null drin ist, ist man natürlich noch nicht sicher. Aber zumindest ist das so ein erster Check, Plausibilitätscheck.

Wenn die Null nicht drin ist, dann war es kein Untervektorraum. Und das zweite, was wir daraus ziehen können, ist, mindestens die Null ist drin. Also jeder Untervektorraum ist eine nicht leere Teilmenge.

So, jetzt hatte ich gerade schon gesagt, es könnte das Problem passieren, dass Ihnen jemand eine Teilmenge von mehr 3 hinwirft und fragt, ist das ein Untervektorraum, ja oder nein. Wie prüft man das nach? Gut, hatte ich gerade schon gesagt, was sich meistens lohnt, erster Plausibilitätscheck, ist die Null dabei.

Wenn nicht, können Sie sofort ein Nein zurückliefern und sich wieder an erfreulichere Dinge machen. Jetzt kann es natürlich sein, die Null ist drin. Was können wir dann machen, wenn wir die Definition nehmen? Ist das ein mühsames Geschäft? Weil was müssen Sie tun? Sie müssen zeigen, dass das U ein Untervektorraum ist, also dass es ein Vektoraum ist.

Und das heißt, Sie müssen die ganzen Regeln V1, V2, V3, V4 bis V8 alle durchxen. Das macht keinen Spaß. Und deswegen gibt es eine Abkürzung. Und die möchte ich Ihnen kurz präsentieren. Also Kriterien, um zu checken, ob eine gegebene Teilmenge von einem Vektoraum ein Untervektorraum ist.

Also jemand wirft Ihnen eine Menge U, Teilmenge von V von einem Vektoraum hin. Und sagen wir mal, gut, die ist nicht leer.

Und jetzt gibt es ein Kriterium dafür, dass das Untervektorraum des R-Vektoraums V ist. Und zwar ist das genau dann der Fall, wenn nur eine einzige Rechenregel gilt oder nur eine einzige Bedingung gilt.

Und das ist ein deutlicher Gewinn gegenüber den 8. Genau dann, wenn folgendes gilt. Für jede Wahl von zwei Vektoren U und V, also nehmen zwei Vektoren aus dieser Menge U.

... aus diesem Untervektorraumkandidaten her, und einen Streckparameter lambda, also eine reelle Zahl lambda, und dann muss folgendes gelten, wenn Sie das U zu dem V addieren, und das U soll ein Untervektorraum sein,

also das U soll insbesondere ein Vektorraum sein, dann ist klar, dann muss dieses U plus V wieder zu U gehören. Im Vektorraum, aus dem Sie durch einfaches Addieren rausfliegen, das darf nicht passieren, ein Vektorraum muss natürlich insbesondere alle Summen von Vektoren wieder enthalten, also, und das ist ein wesentliches Kriterium, um auf einen Untervektorraum zu checken,

also Sie dürfen durch Addition den Untervektorraum nicht verlassen können, und genauso durch strecken, also egal welches U aus Ihrem Untervektorraum und welches lambda Sie nehmen, hier der gestreckte Vektor muss wieder in U liegen. Und wenn Sie dieses nachprüfen, also wenn Sie zeigen, durch Addition und durch strecken,

verlassen Sie Ihre Menge nicht, und die Menge ist nicht leer, dann ist das Ding sofort ein Untervektorraum. Das reicht. Und die ganzen V1 bis V8 können Sie vergessen. Das kann man sogar noch kürzer zusammenfassen, also diese Bedingung A,

gilt nun wiederum genau dann, wenn eine noch bisschen kürzere Bedingung B gilt, also wieder, wenn Sie zwei beliebige Vektoren aus dem U nehmen, und jetzt zwei Skalare lambda und mu aus R,

dann muss gelten, für jede Wahl von UV, für jede Wahl von lambda mu, muss lambda mal U plus mu mal V wieder in U liegen. Also durch solche Rechenoperationen addieren und strecken dürfen Sie das U nicht verlassen.

Wenn Sie das haben, haben Sie sofort ein Untervektorraum. Und wenn das nicht erfüllt ist, ist es sofort keiner. Das ist genau dann, wenn es eine Bedingung ist, die man nachprüfen kann, und dann weiß man, ob es einer ist oder nicht. Gut, schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Weil diese Bedingungen da jetzt oben raus waren, dann habe ich die nochmal auf eine Folie geknallt. So, die Wege sind hier alle weiter als bisher. Der braucht jetzt ein bisschen, aber das ist nicht schlimm, weil zur Zeit sehen Sie es ja noch hier. Also was da jetzt erscheint, ist einfach das hier nochmal auf Folie,

damit, wenn ich das hier oben rausscrolle, die Referenz noch da ist. Gut, jetzt will ich nämlich malen, deswegen brauchen wir viel Platz. Also Beispiele für Untervektorräume und vor allem auch für keine Untervektorräume.

Und jetzt kommt wieder das übliche Mathematikerkrankheit. Wenn ich so einen neuen Begriff habe, klar, dann ist es immer gut, sich nochmal anzuschauen, was sind Beispiele, die das Begriff tun und was sind Beispiele, die es nicht tun.

Und was dann die typische Mathematikerkrankheit ist, erstmal die banalen Trivialfälle abklopfen. Jetzt habe ich also die einfachen Fälle und das sind die beiden folgenden. Der ganze Raum V, also im großen Vektorraum, den R3, dann ist der R3 ein Untervektorraum.

Ja klar, das ist eine Teilmenge und wenn ich zwei Dinge da drin addiere, bleibe ich drin. Wo soll ich auch hin? Der R3 ist schon ein Vektorraum und dann ist er auch ein Untervektorraum von sich selber. Das ist das größtmögliche banale Beispiel.

Und jetzt gibt es das kleinstmögliche banale Beispiel. Sie nehmen sich genau nur den Nullvektor. Das ist eine Teilmenge vom R3 und es ist auch ein Vektorraum. Warum? Na ja, addieren Sie beliebige Menge aus den Vektoren aus dieser Menge raus

und versuchen Sie aus der Menge rauszukommen. Oder strecken Sie das Ding mit einer beliebigen Zahl und versuchen Sie rauszukommen. Das wird nicht klappen. Weil die Nullvektoren können Sie so lange strecken wie Sie wollen, dann bleibt der Nullvektor durch. Also das sind die beiden banalen Fälle.

Das sind Untervektorräume. Und ich erlaube mir an dieser Stelle einmal das strikt verbotene Wort, weil es einfach so heißt. Also wenn dieser Fall in der Literatur vorkommt, dann nennt man die Dinge die trivialen Untervektorräume.

Da ist auch das verbotene Vorlesungswort trivial drin auf. Aber hier heißt das Zeug einfach so. Gut, also nochmal spannende Beispiele. Was sind Untervektorräume?

In der Ebene, fangen wir mal mit der Ebene an. Untervektorräume der Ebene, die ganze Ebene, der Nullpunkt. Und Ursprungsgeraden. Also wenn Sie eine Gerade nehmen, die durch den Tast, also die durch den Ursprung geht.

Das ist ja auch fies, dass diese Vergrößerung das so aufpustet. Eine Gerade durch den Ursprung ist behauptlich ein Untervektorraum. Der erste Plausibilitätscheck klappt, die Null ist drin. Und wenn Sie sich jetzt einen Vektor rausnehmen und den strecken oder stauchen

oder mit minus 17 multiplizieren, bleiben Sie in der Gerade. Und wenn Sie zwei Vektoren aus der Gerade hernehmen und die addieren, bleiben Sie auch in der Gerade. Also nach dem A da drüben ist das ein Untervektorraum. Natürlich jede andere Ursprungsgrade auch. Also das Ding hier auch.

Und das ist es in R2 auch schon. In der Ebene gibt es nicht mehr. Da gibt es nur den Nullpunkt, die Ursprungsgeraden und die ganze Ebene.

Also Beispiele, was wären denn keine Untervektorräume? Na gut, alles andere. Aber überlegen wir uns auch, warum es keine sind. Also erster Fall von kein Untervektorraum wäre so eine Kartoffel hier. Also eine Kartoffel ist kein Untervektorraum, das ist R3.

Und eine Banane auch nicht. Warum nicht? Na ja, nehmen Sie sich einen Vektor her, da draus. Dann müssen Sie nicht besonders, nehmen Sie den und strecken den mal mit dem Faktor 2. Und dann sind Sie schon draußen. Da sieht man schon, wenn Sie einen Vektor drin haben, muss immer die ganze Gerade drin sein,

weil Sie eben beliebig strecken und stauchen können müssen. Also so eine Kartoffel tut nicht. Was tut noch nicht? Das könnte man ja sagen. Na ja, ich meine, schon irgendwie, es müssen so Graden sein. Aber warum muss es denn eine Ursprungsgrade sein? Was ist denn mit so was hier? Was ist denn mit so einer Gerade?

Die scheitert schon am ersten Klausibilitätskriterium. Die hat den Nullvektor nicht drin. Das darf also kein Untervektorraum sein. Warum ist es kein Untervektorraum? Gleiches Problem. Nehmen Sie sich einen Vektor draus und strecken den mal mit Faktor 2. Also nehmen Sie zum Beispiel den Vektor hier und strecken mit Faktor 2. Und schon macht es, ups, kein Untervektorraum.

So eine Gerade ist ein verschobener Untervektorraum. Wenn Sie die Gerade jetzt natürlich in den Ursprung schieben, ist es einer. So ein Ding nennt man manchmal auch affinen Raum, falls Ihnen der Begriff mal unterkommt. Ein affiner Raum ist ein verschobener Untervektorraum. Aber ein Untervektorraum muss immer durch die Null gehen.

Da muss eine Null festgetackert sein, sonst ist es kein Untervektorraum. So, wie sieht die Lage im R3 aus? Oder vielleicht noch ein Beispiel. Noch ein Beispiel von einem Nicht-Untervektorraum. Bei den beiden Beispielen da oben ging das mit dem Untervektorraum jeweils schief,

weil Sie nicht strecken konnten. Weil das Strecken Sie aus der Menge rausgeführt hat. Und wenn das Strecken Sie aus der Menge rausführt, sehe ich hier drüben, dann ist es kein Untervektorraum. Noch ein Beispiel, wo nicht das Strecken, sondern das Addieren schief geht.

Nehmen Sie als Menge U das folgende Ursprungsgerade und noch eine. Also die Menge U sind jetzt die beiden Geraden auf einmal. Die Frage ist, ist es ein Untervektorraum? Erst der Plausibilitätscheck, die Null ist drin.

Also im Rahmen der Zeichengenauigkeit, die Null ist drin. Zweitens, wenn Sie irgendeinen Vektor aus dem Ding nehmen und den strecken, bleiben Sie drin. Nehmen Sie sich irgendein und strecken ihn, Sie bleiben immer auf diesen Geraden. Und wo es hier schief geht, ist das Addieren.

Also wenn Sie da drüben sind, die Bedingungen für alle U, V aus U muss gelten, U plus V ist in U. Und zwar dann, wenn Sie sich einen aus der einen Gerade und einen aus der anderen Gerade nehmen, nehmen Sie sich den Vektor hier und den. Und wenn Sie die beiden addieren, bekannte Additionsparallelogramm, dann kriegen Sie den hier raus und der liegt eben nicht mehr in U.

Also so zwei miteinander vereinigte Geraden sind auch kein Untervektorraum. Im R2 bleibt es wirklich dabei, nur die drei Möglichkeiten, der Ursprung selbst, den Ursprungsgrade und der ganze R2. Und im R3 sieht es auch übersichtlich aus.

Was sind Untervektorräume im R3? Na ja, die beiden oben schon abgearbeiteten Trivialfälle, also der Nullraum und der ganze Raum. Dann das, was wir gerade schon hatten, alle Ursprungsgeraden.

Und was noch dazukommt, sind alle Ursprungsebenen. Wenn Sie eine Ebene hernehmen, die durch den Ursprung geht, dann können Sie auch da drin beliebig strecken und stauchen und fliegen aus der Ebene nicht raus. Und wenn Sie zwei Vektoren aus der Ebene addieren, dann bleiben Sie eben in der Ebene.

Und das ist im R3 alles. So, wenn wir uns jetzt noch mal das Kriterium hier anschauen,

dann sehen wir das, also wenn Sie mal in den B-Teil reinschauen, was da eine ganz wichtige Rolle spielt, ist dieser Ausdruck lambda o plus mu mal v. Was ist das? Das sind zwei Vektoren, die jeweils gestreckt werden und dann miteinander addiert. Und das ist was, was man eben im Vektorraum ständig tut.

Und deswegen kriegt so ein Konstrukt einen Namen. Sowas nennt man eine Linearkombination. Also das ist jetzt der Abschnitt 1,9. Also wir haben wieder einen R-Vektorraum v.

In Gedanken bitte einfach R3. Und dann nehmen wir uns, da drüben haben wir zwei. Ich mache das gleich mal mit k Stück.

Also nehmen Sie sich k Vektoren her aus diesem Vektorraum. In dem Beispiel da drüben ist k gleich zwei. Was Sie jetzt machen können, ist jeden einzelnen dieser Vektoren, also jedes vj, können Sie mit einer reellen Zahl alpha j strecken oder stauchen.

Und dann können Sie die alle noch aufaddieren. Ein Vektor, den Sie so erreichen, also wobei die alpha 1, alpha 2 bis alpha k irgendwelche reellen Koeffizienten sind.

Das Ding nennt man eine Linearkombination von diesen Vektoren v1 bis vk. Der Begriff ist, denke ich, erklärt genau das, was passiert. Man kombiniert diese Vektoren v1 bis vk durch eine lineare Überlagerung,

indem man sie eben jeden einzelnen zwar streckt und staucht, aber dann einfach nur addiert. Und sonst nichts mit ihnen passiert. Also so ein Ding nennt man eine Linearkombination. Mit dem Begriff könnte man jetzt das Untervektorraumkriterium schöner in einem Satz,

statt mit einer Formel schreiben, als eine Teilmenge u von einem Vektorraum, die nicht leer ist, ist ein Untervektorraum. Genau dann werden alle Linearkombinationen von Vektoren aus u wieder in u liegen. Gut, wenn man mal Linearkombinationen hat, dann kommt als nächster Begriff die sogenannte lineare Hülle.

Und was ist jetzt da? Die Grundidee. Untervektorräume und Vektorräume sind was Hübsches, weil man eben weiß, es sind wieder Vektorräume.

Das heißt, da gilt alles, was man schon über Vektorräume herausgekriegt hat. Jetzt ist es aber manchmal so, dass man eben auf einer Teilmenge ist, die nun mal leider kein Vektorraum ist. Und die kein Untervektorraum ist. Und wenn man dann aber unbedingt einen haben will, dann ist eine Idee, man suche sich einen Untervektorraum, der meine Menge enthält.

Sie haben eine Teilmenge vom Rn und wollen jetzt einen Untervektorraum haben, der diese Menge enthält, aber möglichst klein ist. Und eine nahe liegende Idee ist dann das folgende. Sie nehmen ihre Menge, bilden alle möglichen Linearkombinationen, die es aus der Menge gibt.

Dabei fliegen sie natürlich zum Teil aus der Menge raus, weil sie ist eben kein Untervektorraum. Aber wenn sie die alle zusammen nehmen, dann haben sie die Menge aller Linearkombinationen, die aus dieser Menge heraus möglich sind. Aus der können sie jetzt natürlich durch Linearkombinationbildung nicht mehr rausfliegen, weil sie ja schon alle Linearkombinationen drin haben.

Und das ist die sogenannte lineare Hülle. Die notiere ich hier als Lin von V1 bis Vk. Und das ist, wie gerade schon gesagt, die Menge aller Linearkombinationen dieser K-Vektoren.

Also die Menge aller Summen von J gleich 1 bis K, Alpha J V J, wobei Alpha 1 bis Alpha K irgendwelche reellen Zahlen sind. Das sind alle möglichen Linearkombinationen, die sie aus den Vektoren V1 bis Vk bilden können.

Da drin sind auch alle möglichen Linearkombinationen, die sie nur aus V1 und V2 bilden können. Nämlich mit Alpha 3 gleich Alpha 4 gleich Alpha K gleich 0. Wenn Sie einfach die Vorfaktoren der hinteren 17 0 setzen, haben Sie nur die vorderen paar. Also Sie haben damit wirklich alle Linearkombinationen, die Sie aus Vektoren von dieser Menge von V1 bis Vk bilden können.

Und das nennt man die lineare Hülle. Also anschaulich ist dieses Lin von V1 bis Vk die Menge aller möglichen Linearkombinationen der Vektoren V1 bis Vk.

Und das Ding nennt man die lineare Hülle der Vektoren V1 bis Vk.

Und wie gesagt, die Grundidee, warum man das macht, ist, wenn man einfach eine Staffel von Vektoren hat, dann ist die Frage, was ist jetzt der kleinste Untervektorraum, der diese Vektoren enthält? Und die Antwort ist diese lineare Hülle.

Dass es mal mindestens die sein müssen, ergibt sich wieder da drüben draus. Wenn Sie einen Untervektorraum haben wollen, der dieses V1 bis Vk enthält, naja, dann müssen Sie da drüben alle Linearkombinationen drin liegen, weil sonst könnten Sie eben per Linearkombinationbildung rausfliegen.

Und umgekehrt, was Sie jetzt noch sehen müssen, ist, tatsächlich ist die lineare Hülle von beliebig gegebenen Vektoren immer ein Untervektorraum. Also Sie haben tatsächlich einen Untervektorraum auf die Weise kreiert. Und das ist nicht irgendeiner, sondern das ist der kleinste Untervektorraum, der diese Vektoren V1 bis Vk enthält.

Also was noch fehlt zu diesem Glück, ist eben der Nachweis, dass diese lineare Hülle immer ein Untervektorraum ist. Und das würde ich Ihnen gern kurz zeigen, auch um einfach mal dieses Untervektorraumkriterium gesehen zu haben, in Aktion.

Also die Behauptung ist, meine freche Behauptung ist, die lineare Hülle von K-Vektoren ist immer ein Untervektorraum von V.

So, um das einzusehen, was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, diese Menge hier ist ein Untervektorraum,

also eigentlich müssten wir zeigen, gut, das ist eine Teilmenge, und wir müssten zeigen, V1 bis V8 gelten. Das hat niemand Lust, V1 bis V8 nachzurechnen, sondern ich arbeite hiermit. Und ich arbeite mit dem B.

Also was wir tun müssen, ist wir müssen erstens, Achtung, das ist da oben versteckt, sicherstellen, dass diese Menge hier nicht leer ist. Und zweitens zeigen, dass die Linearkombination von zwei beliebigen Vektoren als U immer in U liegt. Gut, also erstens, die Menge ist nicht leer. Warum ist die Menge aller Linearkombination von K-Vektoren nicht leer?

Können Sie auf 17 verschiedene Weisen begründen. Eine Möglichkeit ist, der Nullvektor liegt drin. Warum liegt der Nullvektor drin? Naja, weil der Nullvektor ist immer eine Linearkombination von diesen K-Vektoren.

Der Nullvektor ist nämlich Null mal V1 plus Null mal V2 plus und so weiter bis Null mal Vn, Vk. Null ist eine wunderschöne reelle Zahl, also ist der Nullvektor drin.

Und das heißt, die lineare Hülle von diesen Vektoren ist nicht die leere Menge. Erster Schritt, wie gesagt, das ist E. Wenn Sie nachweisen sollen, irgendwas ist ein Untervektorraum, immer die erste Plausibilitätsprüfung, ist der Nullvektor drin.

Und dann hat man hier den ersten Schritt immer gleich schon erledigt. Zweiter Schritt, was da unten steht, wir müssen zeigen, wenn wir zwei beliebige Vektoren U und V aus U nehmen und zwei beliebige Skalare lambda und mu aus R, dann muss lambda U plus mu mal V wieder in U liegen.

Wie geht das? Also zweitens, wir nehmen die Dinger her. U und V seien Elemente von U, nicht von U, sondern doch von U von unserer linearen Hülle. Also U und V seien Vektoren aus der linearen Hülle der Vektoren von V1 bis Vk.

Und lambda und mu seien reelle Zahlen. Und was wir jetzt machen müssen, wir müssen uns anschauen, lambda U plus mu mal V und zeigen, dass das auch in der linearen Hülle ist.

Schlachten wir zuerst aus, dass U und V in der linearen Hülle sind. Was heißt das? Das heißt, U und V sind Linearkombination der Vektoren V1 bis Vk. Also es gibt Vorfaktoren alpha 1 bis alpha k und Vorfaktoren beta 1 bis beta k aus den reellen Zahlen,

sodass das U eine Linearkombination der Vj ist. Also U ist Summe alpha j Vj und das V ebenso ist eine Summe j gleich 1 bis k beta j Vj.

Das ist jetzt nur in Formeln übersetzt, dass U und V beide aus der linearen Hülle dieser Vektoren sind. Also U und V sind beide eine Linearkombination der Vektoren V1 bis Vk. Und was heißt das, Linearkombination zu sein? Das heißt, ich kann sie so schreiben.

So, wenn wir es mal so weit haben, dann ist es zum Glück nicht mehr so schwer, sich mit der Linearkombination lambda U plus mu mal V auseinanderzusetzen. Das ist ja das, was wir eigentlich anschauen wollen.

Wir wollen zeigen, lambda U plus mu mal V ist in U, also ist in der linearen Hülle. Dann schauen wir uns doch mal an, was ist lambda U plus mu mal V? Das U können wir schreiben als Summe j gleich 1 bis k alpha j Vj.

Und das V können wir schreiben als Summe j gleich 1 bis k beta j Vj. Jeweils mit dem Vorfaktor lambda und mu davor. Und jetzt sehen Sie, haben Sie da ein bisschen einen Summenkalkül stehen. Die beiden Summen kann man in eine Summe zusammenfassen. Das lambda und das mu können Sie ausmultiplizieren, in die Summe reinziehen.

Also eine Summe lambda alpha j plus eine Summe mu beta j. Und dann können Sie aus dem ganzen Ding eine Summe machen. Und dann steht da Summe j gleich 1 bis k lambda alpha j Vj plus beta mu j Vj.

Und jetzt können Sie noch das Vj nach rechts ausklammern. Und dann bleibt übrig, das ist eine Summe von 1 bis k von lambda alpha j plus mu beta j Vj.

So und wenn wir diesen ganzen Gammel hier, diesen ganzen Schlorum jetzt gamma j nennen, dann steht hier eine Summe von 1 bis k über gamma j mal Vj.

Und was wir damit erreicht haben ist, dass unsere Bildung lambda U plus mu mal V eine linearen Kombination ist der Vektoren V1 bis Vk mit Vorfaktoren gamma j. Und gamma j, wir haben sogar ausgerechnet, wie man die gamma j kriegt. Das ist im Moment völlig unwichtig. Was uns interessiert ist, dieser Vektor lambda U plus mu mal V

ist eine lineare Kombination der Vektoren V1 bis Vk. Das heißt, er gehört zur linearen Hülle. Also gilt, dass dieser Vektor lambda U plus mu mal V auch ein Element der linearen Hülle der Vektoren V1 bis Vk ist.

Und was wir jetzt gesehen haben ist, diese lineare Hülle ist eine nichtleere Menge. Und sobald ich mir zwei Vektoren rausnehme und die Linearkombination lambda U plus mu mal V bilde, bleibe ich drin und damit ist es nach dem Kriterium da drüben unter Vektorraum. Gut, das ist also die Grundidee der linearen Hülle,

ich gebe eine Zahl von Vektoren, suche den Vektorraum, den kleinstmöglichen Untervektorraum, der diese Vektoren enthält. Man sagt auch, das ist der Raum, der von diesen Vektoren aufgespannt wird. Also typisches Beispiel, nehmen Sie sich zwei Vektoren her, irgendwo im Raum, nicht gerade vielfache voneinander, so und so.

Dann ist das, was die beiden aufspannen, eine Ebene. Und diese Ebene, die diese beiden Vektoren als Richtungsvektoren hat, das ist deren lineare Hülle. Das sind alle Linearkombinationen, die Sie aus diesen beiden Vektoren bilden können.

Ich fange dann die nächste Vorlesung an mit einem konkreten Zahlenbeispiel dazu. Für heute will ich es damit bewenden lassen. Danke für die Aufmerksamkeit und bis morgen.