Ja, ich möchte heute was vorstellen über Kristallographie in höheren Dimensionen und ich möchte vor allem klar machen,

eigentlich sozusagen die qualitativen Elemente und ein bisschen die Analogie Betrachtung, weil das sozusagen das einfachste ist, was man verstehen kann. Womit fangen wir an? Am besten fangen wir an mit einem einzelnen Punkt,

das ist sozusagen das einfachste Objekt, was es gibt. Die Definition von alten Griechen ist ein Punkt, das keine Teile hat. Das ist eigentlich sozusagen relativ gut. Also ein Punkt sozusagen als Beispiel für ein nulldimensionales Objekt.

Dann kann man natürlich übergehen zur Linie. Und jetzt kann man natürlich, jetzt kriegt man sozusagen, indem man eine neue Dimension einführt, kriegt man einen weiteren Freiheitsgrad. Das heißt, man kann jetzt sozusagen den Punkt, den man vorher hatte, an verschiedenen Orten lokalisieren.

Und man kann sozusagen weitergehen, natürlich zweidimensional. Und dann komme ich eben von der Linie zum Quadrat, zum Würfel und dann eben zum Hyperwürfel, indem ich jetzt sozusagen diesen ganzen Würfel hier so schräg verschiebe.

Also so, dass ich praktisch noch einmal denselben Würfel habe, bloß eben verschoben. Und ich muss quasi alle Kanten oder alle Eckpunkte, die ich verschoben habe, aufeinander abbilden oder miteinander verknüpfen. Also so, wie ich das hier auch gemacht habe, hier habe ich die verschoben

und hier habe ich das sozusagen miteinander dann verknüpft. Das muss ich hier quasi auch machen. Und von den Koordinaten ist es natürlich auch entsprechend. Ich habe hier erstmal sozusagen eine Nulldimension. Da brauche ich keine Koordinaten anzugeben, weil natürlich der Punkt quasi sozusagen den ganzen nulldimensionalen Raum ausfüllt, wenn man so will.

In einer Dimension habe ich dann eben hier sozusagen 0 und 1. In zwei Dimensionen habe ich diese Ausgangspunkte 0 und 1. Und dann habe ich aber quasi, da ich sozusagen diese Verschiebung in der Dimension habe,

muss ich hier quasi eine zweite Koordinate einfügen, beide mal 0 und hier beide mal 1. In drei Dimensionen habe ich es genauso. Da habe ich eben 0, 0, 0 jetzt hier und 1, 1, 0 und 0, 0, 1 und so weiter.

Also ich habe dann praktisch drei Koordinaten für jeden Punkt und verschiebe die sozusagen. Also mache immer eben aus den Koordinaten, die ich hier habe,

eben einmal eine Menge mit 0, 0, 0, 0 hinten und einmal eine Menge mit 1, 1, 1, 1 hinten. Und genauso kann ich das in vier Dimensionen auch machen. Das heißt, ich habe dann quasi für N-Dimensionen ein würfelförmiges Polyeder definiert. Das selbe gibt es noch für Pyramiden oder für Tetraeder.

Und dasselbe gibt es noch für Bipyramiden oder Oktaeder. Das findet man dann in dem Buch von Coxeter, Regular Polytopes. Da steht dann zum Beispiel diese Konstruktion mit drin. Also man hat jetzt quasi schon mal sozusagen solche würfelförmigen Polyeder.

Und man kann sich jetzt vorstellen, dass man sozusagen mit diesen Würfeln oder Quadraten sozusagen auch ein Koordinatensystem definieren kann, beziehungsweise kristallografisch betrachtet eben mit Gitter definieren kann. Also wenn ich sozusagen in 3D eben oder in 2D vielleicht mein Quadratgitter habe,

dann habe ich ja nichts anderes als solche Würfel eben in alle Richtungen fortgesetzt. Das ist eben mein Quadratgitter. Hier der Ursprung 00 und dann eben 100, 01 und setzt sich quasi unendlich fort.

In 3Dimensionen habe ich quasi ein Gitter, was sich aus diesem Würfel als Elementarzelle zusammensetzt, der sich eben auch in 3Dimensionen fortsetzt. Und vierdimensionales, primitives, kubisches Gitter könnte ich dann eben entsprechend definieren.

Jetzt kann man sich fragen, ok, kristallografisch, wenn ich Gitter habe, dann habe ich auch Gitterkonstanten. Das sind 2Dimensionen, das ist ganz einfach. Da habe ich eben AB und den Winkel dazwischen. Das ist mein Win-Gamma. In 3Dimensionen habe ich eben auch ABC.

Und dann habe ich eben immer zwischen zwei Achsen, die eben ein paarweise senkrecht aufeinander stehen. Jetzt im kubischen Fall habe ich eben einen eingeschlossenen Winkel. Das heißt, wenn ich mir das so aufzeichne, dann habe ich eben zwischen A und B, habe ich eben den Winkel Gamma. Zwischen B und C habe ich eben Alpha und zwischen A und C habe ich Beta.

Das heißt, ich habe drei Gitterkonstanten und drei Winkel. Jetzt erst einmal nur für den kubischen Fall, aber im Prinzip gilt das auch für den Fall, wo die Winkel eben keine 90 Grad sind, also für den Triklinen Fall. Im kubischen werden eben drei Gitterkonstanten gleich und alle drei Winkel im Triklinen Fall werden alles verschieden.

In 4Dimensionen kann ich jetzt praktisch dieselbe Betrachtung machen. Da habe ich eben irgendwie ABCD. Das heißt, ich muss ja vier Achsen angeben. Das heißt, ich habe vier Gitterkonstanten im Gegensatz zu drei hier.

Und ich habe eben jetzt immer zwischen zwei Achsen einen Winkel eingeschlossen. Das heißt, ich habe 1, 2, 3, 4, 5, 6 Winkel, die ich angeben kann. Das heißt, ich habe, wenn ich hier sechs Parameter habe, die ich angeben muss, dann habe ich hier eben zehn Parameter. Eben vier Achsen und sechs Winkel.

Und das gibt es auch im Prinzip. Also man kann dann sozusagen anstatt von einem Triklinen-Kristallsystem, kann man von einem Hexaklin-Kristallsystem sprechen. Also drei Achsen, die in verschiedenartigen Winkeln um gleich 90 Grad sich schneiden. In 3D habe ich zum Beispiel Inversionspunkt und eine Drehachse und eine Spiegelebene.

Sozusagen als einfachste Symmetrieelemente. Ich gehe jetzt nicht darauf ein, ob das jetzt eine zweizädige oder eine dreizädige Drehachse ist

oder ob irgendwie noch eine Translation dazukommt und eine Schraubenachse daraus wird oder eine Gleitspiegelebene. Sondern praktisch nur diese drei Typen Inversionspunkt, Drehachse, Spiegelebene. Und man sieht schon, dass hier die Dimensionalität quasi von diesem Teil hier hinten eben ansteigt. Also Punkt wäre eben nulldimensional, Achse ist eindimensional, Ebene ist zweidimensional.

In vier Dimensionen kann man sich jetzt fragen, was habe ich in vier? Jetzt kann man vielleicht, um es einfacher zu machen, weil man jetzt nicht sofort vielleicht sieht, was habe ich in vier, frage ich halt, was habe ich in zwei Dimensionen? In zwei Dimensionen habe ich anstatt einer Drehachse, also wenn ich jetzt hier mal entwegen eine vierzählige Symmetrie hätte,

Drehachse, habe ich eben einen Drehpunkt. Weil ich habe ja keine dritte Dimension, in die sich das Symmetrieelement ausdehnen kann.

Und anstatt einer Spiegelebene, meinetwegen, habe ich eben eine Spiegelgerade. Das heißt, was ich gemacht habe, ist quasi beim Schritt von drei Dimensionen nach zwei Dimensionen, dass sich die Dimensionalität dieses Symmetrieelements entsprechend auch erniedrigt hat.

Also aus einer Achse, aus einem eidimensionalen Symmetrieelement ist ein nulldimensionales geworden. Aus einer Ebene ist eine gerade geworden, also 2D auf 1D. Und der Inversionspunkt, der hat praktisch keine Entsprechung in zwei D. Jetzt kann ich umgekehrt vorgehen und kann mir die vierdimensionalen Fall überlegen.

Dann habe ich eben anstatt einem Inversionspunkt einen Inversionsgerade. Anstatt einer Drehachse hätte ich eine Drehebene. Also in Anführungszeichen, wenn man die Begriffe sozusagen verwendet.

Anstatt einer Spiegelebene hätte ich eben einen Spiegelraum. Also praktisch, so wie ich hier die Dimensionalität um eins verringert habe, erhöhe ich sie hier um eins. Also aus einer Achse wird eine Ebene, aus einem Inversionspunkt wird ein Inversionsgerade, das heißt eindimensional.

Aus einem 2D wird ein 3D. Jetzt habe ich aber immer noch das Problem, dass ich quasi ein nulldimensionales Symmetrieelement brauche. Und das hat eben keine Entsprechung hier wieder. Das heißt, in vierdimensionalen gibt es eben nulldimensionale Symmetrieelemente, die sich jetzt nicht irgendwie aus einem 3D herleiten lassen,

sondern die sozusagen neu auftauchen als Symmetrie. Und es gibt natürlich jede Menge Kombinationen dazwischen. Also in vier Dimensionen kann man es zum Beispiel auch so machen, dass man zwei hexagonale Gitter oder zweidimensionale hexagonale Gitter hat, die paarweise senkrecht aufeinander stehen, dass man sich in drei Dimensionen jetzt nicht vorstellen kann,

was aber in vier Dimensionen geht. Das kann man natürlich alles klassifizieren. Das heißt, man kann vierdimensionalen Kristallklassen formulieren und eben diese vierdimensionalen Gittertypen und dann eben wie in drei Dimensionen daraus die Raumgruppen alteiten.

Das heißt, es gibt auch vierdimensionale Raumgruppen, also über 4.000 Stück sogar verschiedene. Die sind alle schon tabelliert, alle schon erforscht sozusagen. Das heißt, das setzt sich einfach nur sofort von den Symmetrieelementen. Jetzt kann man sich noch fragen, okay, kann ich jetzt bestimmte Mittel, die ich als normaler Kristallograph verwende,

jetzt eben auch sozusagen in höheren Dimensionen verwenden. Da hilft einem dann wieder das Beispiel hier mit der Kugel oder dem Kreis. Also eine gängige Sache, die ein Kristallograph verwendet, um anzugeben, wie die Symmetrieelemente im Raum gegenseitig orientiert sind,

ist eine stereografische Projektion oder ein Stereogramm. Das heißt, ich habe eine Projektion meiner Achsenlagen und meiner Spiegelebenenlagen und sowas oder also für die Punktsymmetrie jetzt geltend auf einen Kreis.

Und dann habe ich eben auf diesem Kreis, kann ich eben meine Achsen einzeichnen und kann sozusagen die Winkel ablesen, die Achsen miteinander einschließt und kann sozusagen allgemeine Lagen einzeichnen und gucken, wie die durch die Symmetrie eben vervielfacht werden. Das heißt, ich habe praktisch eine Projektion schon hier von 3D auf 2D in einem Stereogramm.

Und es gibt jetzt Forscher, die haben sich überlegt, kann ich das auf vierdimensionale Symmetrieelemente übertragen? Das ist ganz einfach. Also wieder der Fall 4D auf 3D.

Ich habe dann eben kein Stereogramm, sondern ein Hyperstereogramm. Das ist aber einfach sozusagen nur der Begriff. Also entscheidend ist wieder, dass ich hier die Projektion eben wieder so mache wie hier von einer vierdimensionalen Hyperkugel, wo ich sozusagen die Symmetrieelemente einzeichne,

wie sie gegenseitig orientiert sind, projiziere ich dann runter auf eine dreidimensionale Kugel, wo ich dann eben in drei Dimensionen wirklich jetzt sozusagen abbilden kann, wie die Symmetrieelemente in vier Dimensionen orientiert sind.

Das wäre sozusagen auch eine Entsprechung zwischen den Dimensionen. Dann kann man noch fragen, okay, die Raumgruppen hatten wir schon. Jetzt kann man noch fragen, gibt es denn auch irgendwelche chemischen Anwendungen oder chemisch interessante Phänomene?

Und dann kann man halt feststellen, okay, also ein Punkt, der interessant ist, ist Chiralität. Also üblicherweise wird es ja so angedeutet, dass man eben ein asymmetrisches substituiertes Kohlenstoffatom hat,

wo man also vier verschiedene Substituenten sozusagen die Umgebung des Atoms, des Zentralatoms bilden. Und das ist eben nicht mit seinem Spiegelbild in Übereinstimmung zu bringen und das ist eben Chiral. Und man kann sozusagen auch hier wieder eine Ebene tiefer gehen

und dann anstatt vier Atomen, die so tetraetrisch angeordnet sind, drei Substituenten haben, die so trigonalplanar angeordnet sind. Und dann kann man sich fragen, eben, okay, wie würde das Enanztomere aussehen?

Also das Spiegelbild, das wäre entsprechend dieses hier. Und das kann man jetzt, wenn man sozusagen, wenn man jetzt wirklich sagt, okay, in zwei Dimensionen kann ich das durch keine Rotation aufeinander abbilden. Das heißt, das ist praktisch genau der Fall wie in drei Dimensionen mit diesem Tetraeder.

Den kann ich eben auch mit seinem Spiegelbild nicht durch irgendwelche Rotationen aufeinander abbilden. Aber was ich hier sehen kann, ist, dass ich, wenn ich sozusagen das Ganze doch in einen dreidimensionalen Raum einbette, dass ich dann dieses Atomaggregat oder Molekül, wenn man es so nennen will,

sozusagen aus der Tafelebene rausnehmen kann, in drei Dimensionen drehen kann und dann wieder hier in die Tafelebene reinführen kann und dann auf die Weise eben das Enanztomere sozusagen oder die beiden Enanztomere in Formen ineinander überführen kann. Das funktioniert eben, indem ich über die höhere Dimension gehe.

Das heißt, umgekehrt, der Analogieschluss, dasselbe kann ich mit einem Tetraeder machen, wenn ich in die vierte Dimension gehen könnte oder wenn ich die vierte Dimension benutze, dann wäre der Tetraeder und sein Spiegelbild sozusagen aufeinander abbildbar über den Umweg der vierten Dimension.

Da gibt es dann auch sowas zum Beispiel auch in irgendwelchen Stereochemiebüchern beschrieben, dass das so funktioniert. Dann gibt es noch ein interessantes Beispiel, auch aus der Chemie, und zwar die Orbitale betreffend. Zwar ist es ja so, wenn man das Wasserstoffatom hat

und dann sich eben für die Hauptquantenzahlen die möglichen Orbitale anschaut, dann habe ich eben hier S-Orbitale und drei verschiedene P-Orbitale, Px, Py, Pz,

und die sind für das Wasserstoffatom energiegleich, energetisch entartet. Und das heißt aber im Prinzip nichts anderes, als dass diese Orbitale, wenn sie energetisch entartet sind, im Prinzip in Anführungszeichen Symmetrie-Äquivalent sind. Das sieht man ihnen bloß nicht an sozusagen.

Also wenn ich das übliche Bild habe, dann ist eben so ein S-Orbital so radialsymmetrisch, also im Prinzip eine Kugel, und wenn ich eben meine P-Orbitale zeichne,

dann habe ich eben solche handelförmigen Orbitale, die hier auf den Achsen liegen und eben so zwei Ausläufer haben, wo ich sozusagen, wenn ich das Vorzeichen einzeichne,

eben auch hier einen Vorzeichenwechsel vorfinde, wo man also im Prinzip nicht auf die Idee kommen würde, dass die vier alle was miteinander zu tun haben. Also die drei schon, da kann ich mir einfach vorstellen, ich habe dieses P-Orbitale auf der Achse und dann vollführe ich einfach eine Drehung im dreidimensionalen Raum,

dann habe ich plötzlich das P-Orbitale hier und dann drehe ich es eben nochmal und dann habe ich plötzlich das P-Orbitale hier. Also diese P-Orbitale kann ich quasi sozusagen anschaulich ineinander überführen. Aber hier dieses S-Orbital, wie ich das also mit den P-Orbitalen überführen soll, das ist nicht so klar.

Und da kann man sozusagen auch wieder in eine Dimension höher gehen, weil eigentlich ist das Problem ein vieldimensionales Problem, aber es wird meistens eben irgendwie versucht in drei Dimensionen darzustellen und dabei geht eigentlich immer irgendeine Information verloren. Also egal wie ich sozusagen ein höherdimensionales Objekt mir anschaue,

ich kann da ja Schnitte draus machen oder ich kann Projektionen draus machen, also es geht immer irgendeine Information verloren bzw. wird in irgendeiner Weise verzerrt dargestellt. Ja, und dann habe ich eben hier, wenn ich in vier Dimensionen arbeite sozusagen,

das rein schematisch jetzt mache, also auch wieder runter skaliere sozusagen, ich nehme jetzt mal an, weil ich natürlich hier jetzt wieder eine vierdimensionale Hyperkugel, kann sich kein Mensch vorstellen, also sage ich mal, das S-Orbitale ist in Wirklichkeit ein Kreis. Dann habe ich eben sozusagen in einer Dimension höher, habe ich eben eine Kugel

und dann habe ich sozusagen, in dem Fall habe ich es so, dass ich eben die Kugel habe, die jetzt im Prinzip im Nord eine nördliche Hemisphäre und eine südliche Hemisphäre hat und die zwei Hemisphären unterscheiden sich eben im Vorzeichen.

Und wenn ich jetzt diese Kugel nehme und sozusagen auch, also ähnlich wie in einer stereografischen Projektion projiziere auf die Ebene, dann kriege ich eben einen Kreis mit einem Vorzeichen, meinetwegen jetzt plus.

Und dann kann ich sozusagen in der höheren Dimension kann ich jetzt die Kugel drehen und dann kann ich quasi die Kugel einfach so drehen und was ich dann durch die Projektion kriege in der niedrigen Dimension, ist quasi jetzt sowas, wo ich also hier den positiven Bereich habe und hier den negativen Bereich.

Und wenn ich das jetzt nochmal anders mache, dass quasi das hier oben verläuft, dass der positive Bereich hier oben ist und der negative Bereich da hinten,

dann habe ich eben diese Verteilung der Vorzeichen und ich habe dann eben hier dazwischen in dem Fall jetzt eine Knotengerade bzw. wenn ich es wieder umgekehrt betrachte, habe ich da eben eine Knotenebene dazwischen. Das heißt, in dem Fall habe ich sozusagen, das wären jetzt meine p-artigen Orbitale

und das wäre mein s-artiges Orbital. Und jetzt kann ich sozusagen, nachdem ich das von 3D auf 2D verstanden habe, kann ich jetzt ohne, dass ich den Fall wirklich in vier Dimensionen verstehen müsste, kann ich mir jetzt aber analog klar machen, dass es in vier Dimensionen

mit einer vierdimensionalen Hyperkugel im Prinzip ähnlich sein wird. Das heißt, ich habe dann einen Fall, der eben so in drei Dimensionen projiziert wird, dass ich eben diese sphärische Verteilung finde, radialsymmetrisch oder eben diese typische p-Orbital-Form. Das findet man dann in einem Buch erläutert von Herrn Atkins,

der auch das Lehrbuch für Physikalische Chemie geschrieben hat. Der erläutert das unter dem Aspekt, dass man eben mithilfe von Symmetriebetrachtungen solche Probleme eben sehr schön erklären kann, erläutern kann und sehr gut versteht eigentlich.

Das ist im Prinzip so das, was ich dazu sagen wollte. Das ist jetzt nicht abgedeckt irgendwie das ganze Feld der modulierten Kristalle und der Quasi-Kristalle, wo aber im Prinzip auch solche Analogie-Betrachtungen vorgenommen werden. Also wenn ich sozusagen das noch erläutere von, wenn ich sozusagen das Beugungsbild indiziere,

das ist jetzt sozusagen ein Fachbegriff oder eine Tätigkeit, die man als Kristallograf eben vornimmt. Man hat sein Beugungsbild gemessen in einem Röntgenbeugungsexperiment und will den Reflexen eben eine bestimmte Indizes zuordnen.

Das heißt, man sortiert die im Prinzip, dann habe ich eben drei Indizes und dann kann ich eben in vier Dimensionen einfach einen dazuhängen und habe dann sozusagen eine vierdimensionalen Beschreibung von einem dreidimensionalen Kristall.

Das heißt, ich habe Kristalle, die in drei Dimensionen nicht periodisch sind, die man aber über diesen Umweg, über diesen mathematischen Trick, wenn man so will, als vierdimensional periodische Kristalle beschreiben kann. Und die Atome, die man sozusagen in Elementarzellen hat, in drei Dimensionen, die werden dann eben auch in vier Dimensionen zu Atomflächen ausgedehnt.

Das heißt, es sind keine nulldimensionalen Objekte mehr, sondern eindimensionale Kurven, meinetwegen in diesem speziellen Raum. Und das geht eben auch weiter, also nicht nur vier Dimensionen, sondern auch fünf und sechs Dimensionen. Das ist dann sozusagen die wirkliche kristallografische Anwendung,

aber für die braucht man eben ähnliche Konzepte und das ist sozusagen der anschauliche Weg in höhere Dimensionen.