Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, guten Morgen. Ich bin heute die Vertretung für den Robert Haller-Dinschmann. Mein Name ist Dirk Schröder. Vielleicht noch ein bisschen laut oder geht's?

In der letzten Vorlesung haben Sie ja partielle Ableitung behandelt. Und heute geht es um Extremwerte.

Und das ist eigentlich eine natürliche Anwendung von den partiellen Ableitungen. Extremwerte kennen Sie schon alle aus Mathe 1 oder aus der Schule. Ich versuche hier möglichst leserlich zu schreiben, aber im mehrdimensionalen kennen wir sie noch nicht.

Von daher führen wir die folgende Definition ein. Und zwar wir betrachten eine offene Menge M aus dem R hoch N und eine Funktion F, die von M nach R geht.

Weiterhin betrachten wir einen Punkt x0, also ein Vektor besser gesagt, aus M.

Und diesen Punkt nennen wir globales Maximum. Und es ist auch wieder wichtig, dass wir die Unterscheidung haben zwischen global und lokal. Also erst globales Maximum von F, wenn, und das ist wenig überraschend,

der Funktionswert von diesem x0 größer ist als alle anderen Funktionswerte in den Punkten x,

wobei x ein beliebiger Punkt aus M ist.

Gut, ganz analog ist das globale Minimum definiert. Nur dass jetzt natürlich F von x0 kleiner gleich jeden Funktionswert an der beliebigen Stelle x ist.

So, das sind die globalen minima maxima. Ich denke, das ist relativ einleuchtend. Kommen wir zu den Lokalen. Es kann ich auch Punkte geben, die nur in einer kleinen Umgebung um den Punkt selbst ein Maximum oder ein Minimum sind. Das heißt, wir nennen lokales Maximum.

Und zwar wenn es eine Umgebung, also ein Radius delta größer 0 gibt,

so dass wiederum F von x0 größer gleich F von x ist.

Jetzt aber nur für jedes x aus dieser Delta Umgebung und zwar in M, also geschnitten M.

Und wiederum ganz analog haben wir noch ein lokales Minimum, wenn es ein Radius delta gibt, größer 0,

so dass wiederum F von x0 kleiner als jeder Funktionswert von einem x in dieser Delta Umgebung ist.

Geschnitten M. So, jetzt haben wir die minima maxima Unterschiede.

Und ganz allgemein nennen wir einen Punkt x0 globales Extremum.

Weißt du schnell, kann man das überhaupt lesen? Na ja, ich werde mich bemühen, besser zu schreiben. Genau, ganz allgemein nennen wir dann einen Punkt globales Extremum, wenn er entweder globales Minimum oder globales Maximum ist.

Oder wir nennen es lokales Extremum, wenn er entweder lokales Minimum oder lokales Maximum ist. Ich mache da mal weiter.

Also globales Extremum, wenn unser x0 entweder globales Maximum oder Minimum ist.

Und lokales Extremum, wenn x0 entweder ein lokales Maximum oder Minimum ist.

Gut, das hilft uns schon mal weiter. Jetzt wissen wir, was globale und lokale Maxima und Minima sind. Jetzt ist natürlich die Frage, die man stellen muss, worin kann ich denn sehen, dass ich ein Maximum oder Minimum habe?

Weil ich ja vermutlich nicht alle Funktionswerte ausrechnen möchte und dann vergleichen möchte. Aus der Schule kennen Sie vielleicht noch das Charakteristikum, dass wir sagen, wir haben eine Funktion f, die geht von R nach R.

Und dann wissen wir, dass wenn die erste Ableitung in dem Punkt x0 gleich 0 und die zweite Ableitung in diesem Punkt x0 größer 0 ist, dass dann x0 ein lokales Minimum ist.

Und im Gegensatz dazu, wenn f' von x0 gleich 0 und die zweite Ableitung von x0 kleiner 0 ist, dann ist x0 ein lokales Maximum.

Gut, das ist elfte Klasse, Extremwertaufgaben. Aber wir werden sehen, dass es im Mehrdimensionalen eigentlich ein ganz ähnliches Charakteristikum gibt.

Und zwar ist das erst mal ein notwendiges Kriterium, dass wir eine Extremstelle haben. Das ist Satz 3.6, eine notwendige Bedingung für Extremer.

Und notwendige Bedingung heißt immer, wenn ich ein Extremum habe, dann erfüllt es die und die Eigenschaft. Also sagen wir wieder M ist eine Menge aus dem R auch N, x0 ein innerer Punkt und unsere Funktion f von M nach R sei total differenzierbar.

In unserem Punkt x0 und x0 sei auch ein lokales Extremum, also mit lokalem Extrem in x0.

Und was dann folgt ist, dann muss diese Ableitung, also der Gradient von f im Punkt x0, dieser Gradient muss 0 sein.

In Analogie zu der Bedingung, dass die erste Ableitung in x0 vielleicht 0 sein muss im Eindämmsenialen.

Sie erinnern sich vielleicht daran an diese eine Übungsaufgabe, wo man den Gradienten anschaulich beschreiben sollte. Man hat festgestellt, dass der Gradient eigentlich immer in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Und in Extremstellen ist klar, da bin ich eigentlich schon am extremsten Punkt und kann eigentlich nicht mehr weiter hoch.

Von daher muss dann die Steigung 0 sein.

Gut, eine kleine Sprechweise. Und zwar nennen wir Punkte, bei denen der Gradient 0 ist.

Also Punkte x0 mit Gradient von x0 gleich 0. Kritische Punkte.

Und zwar hat das folgende Grund, wir wissen jetzt, dass jedes Extremum, das in jedem Extremum der Gradient verschwindet,

aber da das nur eine notwendige Bedingung ist, wissen wir noch nicht, dass nur weil in einem Punkt der Gradient 0 ist, wissen wir noch nicht, ob dieser Punkt auch wirklich ein Extremum ist.

Das heißt, wir brauchen zusätzlich zu dieser notwendigen Bedingung noch eine hinreichende Bedingung. Und das werde ich noch mal kurz aufschreiben. Und zwar als Warnung.

Und zwar nicht jeder kritische Punkt ist eine Extremstelle.

Und zwar sind gerade, wie auch in einigen Signalen auch, kritische Punkte, die keine extremer sind, sogenannte Sattelpunkte.

Also kritische Punkte, die keine extremer sind, heißen Sattelpunkte.

Gut, aber jetzt sind wir noch nicht weiter. Wir wollen jetzt immer noch einige Bedingungen haben, die wir nachprüfen können und dann sofort wissen,

ok, da diese Bedingung erfüllt ist, haben wir ein Extremum. Und dazu machen wir eine kleine Vorüberlegung. Bemerkung 3.5. Und zwar haben wir jetzt den F, also wieder M, Menge aus Rn und offen.

Und F von M nach R ist zweimal stetig differenzierbar.

Weiterhin soll x0 ein kritischer Punkt sein. Also sei x0 aus M mit Gradient von F in x0 gleich 0.

Gut, Sie haben, denke ich, gestern oder letzte Woche den Satz von Taylor kennengelernt. Und der sagt ja uns eigentlich, dass für jedes x in der Nähe von x0, also ich müsste eigentlich schreiben, für jedes x, also Satz von Taylor,

für jedes x in der Nähe von unserem kritischen Punkt x0 gibt es einen Punkt chi auf der Verbindungsstrecke zwischen x und x0.

So das gilt. Genau, was gilt? Der Funktionswert von x ist gleich dem Funktionswert von x0 plus den Gradienten in x0 mal

Differenz zwischen x und x0. Und weiterhin jetzt kommt dieser Zwischenpunkt ins Spiel plus eineinhalb x minus x0 transponiert.

Unsere Hesse-Matrix F im Punkt x0 und dann in den Punkt chi, hier kommt das chi rein und wiederum mal x minus x0.

Also geht eigentlich für alle x in der nahen Umgebung von x0 diese Gleichung hier.

Und jetzt haben wir ja gesagt, dass x0 ein kritischer Punkt sein soll. Also ist gerade der Gradient F von x0, der ist gleich 0. Also wissen wir, dass wir alle x in dieser Umgebung von x0 gilt. F von x ist gleich F von x0 plus eineinhalb x minus x0 transponiert.

Hesse-Matrix von F in einen Punkt chi mal x minus x0. Und diese Gleichung wollen wir mal ein Sternchen geben.

Gut, erstens was wir über die Hesse-Matrix wissen, ist, dass H von F ist eine symmetrische Matrix nach dem Satz von Schwarz.

Und wir wissen das, dass dieses HF von chi eine stetige Funktion ist in chi.

Das ist mir, weil wir am Anfang gesagt haben, dass F zweimal stetig differenzierbar sein soll.

Und das heißt weiterhin, wenn H von F stetig ist, dass dann für chi in der Nähe von x0 gilt das HF von chi ungefähr der Hesse-Matrix im Punkt x0 ist.

Gut, wenn wir jetzt die Gleichung Sternchen nochmal umformen, also hier dieses F von x0 auf die linke Seite bringen,

erhalten wir das, also umformen von Sternchen, das F von x minus F von x0

gleich ein halb x minus x0 transformiert, HF von x0 natürlich jetzt mal x minus x0 ist.

Und was steht hier auf der linken Seite? Letztlich nichts anderes als der Abstand von den beiden Funktionswerten.

Und wenn dieser Abstand größer 0 ist, dann ist offensichtlich F von x auch größer als F von x0. Wenn er kleiner 0 ist, ist F von x kleiner als F von x0. Das heißt also, wenn diese rechte Seite größer 0 für alle x ist in Umgebung x0, dann ist x0 ein lokales Minimum.

Und wenn die rechte Seite kleiner 0 ist, für alle x in Umgebung von x0, dann ist x0 ein lokales Maximum.

Also im Endeffekt haben wir wieder hier die zweite Abwertung stehen und das ist die Analogie zu der Bedingung, zweite Abwertung von x größer kleiner 0, die wir im Ein-Dimensionalen kennengelernt hatten.

Gut, diese Eigenschaft, dass dieser Term hier immer größer 0 oder kleiner 0 ist, motiviert eine Definition.

Das war die Definition 3.9. Wir betrachten hier eine Matrix A aus Rn Kreuz n und A soll symmetrisch sein.

Wie gesagt, die Hessische Matrix ist ja auch immer eine symmetrische Matrix.

Und dann heißt diese Matrix A positiv definiert.

Genau dann, wenn x transponiert A mal x echt größer als 0 ist für alle x und gleich 0.

Und dieses echt größer ist auch echt wichtig hier an dieser Stelle. Und analog nennen wir es negativ definiert.

Genau dann, wenn x transponiert A und x kleiner als 0 ist für alle x und gleich 0.

Und als letztes nennen wir A indefinit. Genau dann, wenn es zwei Vektoren gibt, x und y, mit einmal x transponiert A x größer 0 und y A y kleiner 0.

Also wenn A quasi für beide Eigenschaften ein Vertreter hat, dann heißt die Matrix indefinit.

Gut, mit Hilfe dieser Definition können wir jetzt mit unserer Vorbemerkung eine hinreichende Bedingung für Extrema angeben.

Das war in dem Satz 3.10 die hinreichende Bedingung. Also wenn diese Eigenschaft erfüllt ist, dann muss der Punkt ein Extremum sein.

Also wie immer M aus dem Rn offen. Unsere Funktion f muss zweimal schädlich differenzierbar sein.

Diffbar ist die Kurzform für differenzierbar. Und x0 ist ein kritischer Punkt von f.

Da wir das notwendige Bedingungen haben, interessieren wir uns an dieser Stelle nur kritische Punkte.

Weil alle nicht kritischen Punkte sind automatisch, also fallen automatisch raus für Extremstellen. Gut, und dann gilt, wenn die Hessische Matrix von f im Punkt x0 positiv definit ist, dann ist x0 ein lokales Minimum.

Und analog, wenn h, die Hessische Matrix von x0 negativ definit ist, dann folgt, dass x0 ein lokales Maximum ist.

Und wenn die Hessische Matrix indifinit ist, das gab es im Eindimensional noch nicht, dann ist x0 ein Sattelpunkt.

Gut, jetzt haben wir eine hinreichende Bedingung für Extremstellen. Das ist schon mal sehr gut. Aber erstmal noch eine Bemerkung dazu.

Bemerkung 3.11. Und wie gesagt, eigentlich, dass es solche Fälle gibt, wo wir trotzdem nicht entscheiden können, was es eigentlich ist.

Und zwar, erstmal, es gibt zum Beispiel könnte es sein, dass x drisch transponiert mal hf von x0 mal x größer als null ist.

Für alle x. Aber, dass es ein y gibt und gleich Null, sodass y transponiert Hessische Matrix von x0, modifiziert wieder mit y, gleich Null ist.

Und hier sieht man auch, dass es wichtig ist, dass bei der positiven oder negativen Definitheit, dass ein echt größer oder ein echt kleiner ist. Und zwar in diesem Fall, wenn wir jetzt Punkte haben, wo es gleich Null ist, also wir nur hier nun größer Gleich haben. In diesem Fall nennen wir die Matrizen, oder jetzt hier die Hessische Matrix hf.

In diesem Fall heißt hf von x0 positiv, semi-definit und ganz analog definieren wir die negativ semi-definit.

Machen Sie eigentlich Pause hier in der Vorlesung? Dann mache ich auch keine.

Gut, jetzt haben wir wieder eine weitere tolle Definition kennengelernt. Diese Definitionen bringen uns immer nur ein bisschen was, wenn wir auch wissen, wie wir es nachweisen können, dass etwas die Definition erfüllt.

Und das besprechen wir in diesem folgenden Satz, Satz 312. Hier gibt es einen praktischen Nachweis der Definitheit.

Zu Beginn steht wieder eine Matrix A aus Rn x N. Und diese Matrix A muss symmetrisch sein.

Ich fasse noch mal darauf hin, dass wir diese Definitheit nur für symmetrische Matrizen definiert haben. Gut, wenn also A symmetrisch ist, dann gilt, falls A positiv definit, dann

ist das im Äquivalent dazu, dass alle Eigenwerte von A sind strikt positiv.

Also eine erste Möglichkeit nachzuprüfen, ob eine Matrix positiv definit ist, ist einfach alle Eigenwerte ausrechnen und gucken, ob die alle positiv sind. Das ist unter Umständen recht mühsam. Von daher gibt es noch ein weiteres Kriterium. Und zwar, dass alle Unterdeterminanten, also A11, die Deminante davon oder die Deminante von der Matrix A11, A12, A21, A22 oder auch und so weiter.

Diese Unterdeterminanten sind auch alle positiv.

Das ist immer ein Abwägen, was dann in gegebenen Fällen einfacher ist.

Weiter geht es mit der negativen Definitheit. Also sei A negativ definit. Dazu äquivalent ist, alle Eigenwerte von A sind strikt negativ.

Also wieder Eigenwerte ausrechnen. Wenn sie alle negativ sind, ist die Matrix auch negativ definit. Aber auch hier gibt es ein Kriterium über die Unterdeterminanten.

Und zwar, die Unterdeterminanten analog sind alle negativ.

Das stimmt leider nicht. Ganz so einfach ist es nicht.

Und zwar sind die nicht alle negativ, sondern abwechselnd. Abwechselnd, negativ, positiv, negativ und so weiter.

Das ist vielleicht ein bisschen schwierig, sich zu merken. Aber eine gute Eselbrücke ist immer, sich die negative Einheitsmatrix vorzustellen.

Also minus eins, minus eins, minus eins und so weiter. Diese Matrix hat ja offensichtlich nur den einen Eigenwert minus eins. Und der ist strikt negativ. Also ist die negative Einheitsmatrix negativ definit.

Und wenn ich jetzt mit den Unterdeterminanten ausrechne, dann sehe ich halt direkt, dass minus eins ist minus eins. Als Determinant davon minus eins, null, null, minus eins ist plus eins.

Determinant davon minus eins, null, null, null, minus eins, null, null, null, null, minus eins. Wieder minus eins und so weiter. So kann man sich das merken, dass es abwechselnd negativ und positiv sein soll.

Gut, kommen wir noch zum dritten Begriff der Definität. Also der Indefinität. Also A ist indefinit.

Das Gleichbeleuten damit ist erst mal, dass es einen strikt positiven, einen strikt negativen Eigenwert gibt.

Und des Weiteren haben wir auch noch ein unterdeterminanten Kriterium für die Indefinität.

Das ist leider etwas, leider haben wir nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Bedingung. Also jetzt, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist, dann ist A indefinit. Aber nur weil A indefinit ist, heißt das nicht, dass die folgende Bedingung erfüllt sein muss.

Aber zum Rechnen ist das ganz gut, man rechnet es nach und weiß dann, ob die Matrix A indefinit ist, wenn es erfüllt ist. Okay, das war die Bedingung, dass alle Unterdeterminanten ungleich Null sind und passen in keines der oben genannten Schemata.

Also alle positiv oder abwechselnd negativ, positiv.

Gut, jetzt haben wir die Möglichkeit nachzuprüfen, ob eine Matrix positiv, negativ, definit oder indefinit ist. Und das will ich jetzt mal anhand einiger Beispiele vorführen.

Beispiel 3, 13, A, also die Matrix A ist gleich 3, minus 2, minus 2 und 4.

Das erste, was wir überprüfen, ist, ob die Matrix symmetrisch ist und A ist symmetrisch. Und jetzt können wir die Unterdeterminanten berechnen.

Und zwar die erste Unterdeterminante ist die Determinante von 3, ist 3, ist größer 0.

Und die Determinante von 3, minus 2, minus 2, 4, also quasi von der ganzen Matrix A, ist 12 plus 4. Gleich 16, ist ebenfalls größer 0. Also ist die Matrix A positiv definit.

Und offensichtlich muss der linke Robo-Eintrag von positiv definiten Matrizen immer positiv sein. Ein weiteres Beispiel ist die Matrix B, minus 1, minus 1, 0, minus 1, minus 3, 1, 0, 1, minus 1.

Wieder, B ist symmetrisch und wir berechnen die Unterdeterminanten.

Man sieht direkt am Anfang, okay, der linke Robo-Eintrag ist minus 1, das ist kleiner 0.

Also kann die Matrix B schon mal nicht positiv definit sein. Die zweite Unterdeterminante ist minus 1, minus 1, minus 1, minus 3. Minus 1 mal minus 3 ergibt plus 3. Minus minus 1 mal minus 1 ist minus 1.

Das ist 2. Das ist größer 0. Also passt noch in das Schema von der negativen Definität.

Und wir checken auch nochmal die dritte Unterdeterminante.

Und minus 1 mal minus 3 mal minus 1 ist minus 3. Minus 1 mal 1 mal 0 ist 0. Minus 1 mal 1 ist ebenfalls 0. Minus 0 mal minus 3 mal 0 ist 0.

Dann minus 1 mal 1 mal minus 1 ist plus 1. Und minus minus 1 mal minus 1 mal minus 1 ist ebenfalls plus 1. Also minus 1. Und das ist strikt kleiner 0.

Also haben wir das Schema hier negativ, positiv, negativ erfüllt. Und B ist negativ definit.

Kommen wir zum dritten Beispiel. Ein Beispiel für Indefinität.

Betrachten wir die folgende Matrix C. Gleich 1, 3, 3, 2. Wiederum ist C symmetrisch.

Und die beiden Unterdeterminanten sind, die erste ist 1, größer 0. Also kommt nur noch positive Definität in Frage. Und die zweite ist 1 mal 2 ist 2. Minus 3 mal 3 ist minus 9. Ist minus 7. Das ist kleiner 0.

Also wir haben einen strikt positiven, einen strikt positiven Unterdeterminanten oder eine strikt negativen Unterdeterminanten.

Und die passen nicht in das obige Schema der negativen Definität. Also ist C indefinit. Wenn Sie irgendwie Fragen haben, dann rufen Sie einfach rein.

Gut, jetzt wissen wir, wie wir Definität nachprüfen. Aber unser ursprüngliches Ziel war eigentlich Extremstellen zu finden.

Das heißt, wir setzen jetzt die ganzen Bedingungen mal zusammen in dem folgenden Beispiel. Und zwar ist das Beispiel 3,14.

Also wir haben eine Funktion f aus dem R2 in den Raum der reellen Zahlen. Und f ist definiert, also f von xy ist gleich x² plus 2y² e hoch minus x² minus y².

So, und unser Ziel ist jetzt davon, die Extremstellen zu finden.

Gut, das ist jetzt eine relativ komplizierte Funktion, aber wir haben ja schon die notwendige Bedingung für extremer. Und das heißt, unser erster Schritt wird sein,

finde alle kritischen Punkte. Vor allem diese kommen in Frage.

xy mit Gradient von f gleich 0. Gut, das wollen wir auch gerne tun.

Dazu müssen wir den Gradienten bestimmen. Und der Gradient von f in einem Punkt xy aus dem Vektor.

Okay, wir leiten erstmal nach x ab. Und zwar die Produktregel. Also 2x e hoch minus x² minus y² plus x² plus 2y²

Mal, die innere Ableitung ist minus 2x mal e hoch minus x² minus y².

Und die zweite komplette leiten wir nach y ab. Also 4y e hoch minus x² plus x² plus 2y² mal minus 2y e hoch minus x² minus y².

Wir können den Gradient noch ein bisschen vereinfachen,

indem wir e hoch minus x² minus y² ausklammern. Also geben wir dann 2x minus 2x mal x² plus 2y² e hoch minus x² plus y².

Und in der zweiten Komponente ganz genauso. 4y minus 2y x² plus 2y² e hoch minus x²

minus y². Gut, unser Ziel war die kritischen Punkte bestimmen. Das heißt, wir müssen diesen Gradienten jetzt 0 setzen.

Gut, dann gucken wir uns den Gradienten mal an. e hoch minus x² minus y² ist auf jeden Fall größer 0.

Von daher müssen wir nur jeweils die vorderen Klammern 0 setzen. Das heißt, wir halten folgendes Gleichungssystem. 2x minus 2x x² plus 2y² gleich 0.

Und dy minus 2y x² plus 2y² gleich 0.

Und um das noch ein bisschen klarer zu machen, klammern wir hier noch mal ein x aus. Also 2x mal 1 minus x² plus 2y² gleich 0.

Und 2y 2 minus x² plus 2y² gleich 0.

Der erste Fall, den man direkt sieht, ist x gleich 0.

Wenn x gleich 0 ist, ist die erste Gleichung offensichtlich erfüllt. Und wir setzen x gleich 0 in die zweite Gleichung ein und erhalten 2y mal 2 minus 2y² gleich 0.

Wir haben wiederum zwei Möglichkeiten. Also entweder dy ebenfalls gleich 0. Oder die Klammer, also 2 minus 2y² wird 0.

Das ist nur der Fall, wenn y gleich plus minus 1 ist.

Gut, dann haben wir noch einen zweiten Fall abzuarbeiten. Und zwar der Fall, dass x undgleich 0 ist. Da muss in dem ersten Schritt die erste Gleichung 0 werden.

Also 1 minus x² minus 2y² gleich 0. Und daraus können wir schließen, dass x² gleich 1 minus 2y² ist.

Das setzen wir in die zweite Gleichung ein. Also erhalten wir den 2. Ich gebe hier meinen Namen.

Führt also auf 2y mal 2 minus 1 plus 2y² minus 2y².

Und das ist natürlich gleich 2y. Und wenn es gleich 0 sein soll, muss y gleich 0 sein.

Das setzen wir jetzt wiederum in die erste Gleichung ein.

Und dann haben wir, dass 1 minus x² gleich 0 sein muss. Also x gleich plus minus 1.

Gut, da haben wir jetzt alle kritischen Stellen bestimmt von F. Und zwar sind es die folgenden 5 Punkte. Also 5 kritische Stellen.

Und zwar bei der ersten der Punkt 0,0. Die zweite waren x gleich 0 und y gleich 1. x gleich 0 und y gleich minus 1. y gleich 0 und x gleich 1.

Und y gleich 0 und x gleich minus 1. Das sind also die 5 Punkte, die für extrem eine Frage kommen.

In dem zweiten Schritt können wir jetzt unser hinreichendes Kriterium verwenden. Also die Definitheit der Hesschen Matrix überprüfen.

Gut, dazu müssen wir jetzt also an jedem Punkt die Hessische Matrix bestimmen. Das heißt, im ersten Schritt bestimmen wir sie mal allgemein. Also müssen wir erst mal die zweite Ableitung von F nach x bestimmen.

Und wir erinnern uns F war x² plus 2y² mal e hoch minus x² minus y².

Gut, das ist einige Rechnerei, aber na gut. Und nach x kannten wir auch schon im Gradienten. Also zur Wiederholung.

Die F nach x war ja eben 2x mal 1 minus x² minus 2y² mal e hoch minus x² minus y².

Und wenn wir das jetzt nochmal ableiten nach x, erhalten wir einen relativ langen Therp.

Vielleicht ist es doch besser das hier einzuklammern. Gut, also wieder Produktregeln.

2 minus 6x² minus 4y² mal e hoch minus x² minus 2x.

2x hoch 3 minus 4x y² e hoch minus x² y².

Dann können wir direkt noch anstoßen die gemischte zweite partielle Ableitung berechnen. Also dF nach dx dy. Das heißt, wir müssen jetzt dF nach dx dy ableiten.

Wiederum mit Produktregeln erhalten wir minus 8xy e hoch minus x² minus y² minus 2y 2x y² mal e hoch.

Gut, da die Hessische Matrix ein symmetrisches, brauchen wir nicht dF² nach dy und dx berechnen. Das ist das gleiche wie das hier. Es bleibt nur noch dF² nach 2y abzuleiten.

Und analoges Vorgehen führt dann auf 2e hoch minus x² minus y².

Mal 2 minus x² in y² plus x² y² plus 4y hoch 4.

Gut, das Ganze können wir dann zu der Hessische Matrix zusammenfügen. Also wir kriegen einen relativ komplizierten Term. Hfx und yy ist dieses 2 e hoch minus x² minus y² können wir rausklammern.

Und wir haben immer noch ein bisschen umformt. 1 minus 9x² minus 2y² plus 4x hoch 4 plus 8x² y².

Als gemischte Ableitung hatten wir minus 2xy mal 3 minus x² plus 2y².

Als zweimal nach y abgeleitet hatten wir dann noch 2 minus x² minus 10y² plus 2x² y² plus 4y hoch 4.

Und hier denn da die Matrix symmetrisch ist, wieder minus 2xy, 3 minus x² minus 2y².

Gut, das ist die Hessische Matrix. Und jetzt setzen wir jeden kritischen Punkt in die Hessische Matrix ein und gucken, ob das, was rauskommt, positiv, negativ oder indefinit ist.

Gut, der erste kritische Punkt war der Nullpunkt.

Also unser eigentliche dritte Schritt ist jetzt die Untersuchung der kritischen Stellen.

Und die erste kritische Stelle war der Nullpunkt, also hf und 00. Und das setzen wir ein. E hoch 0 ist 1, also zweimal. Hier oben sieht man schon, dann kommt noch eine 1.

Und hier jeweils sind 0, weil x und y 0 sind. Und eine 2. Cool, also eine Diagonalmatrix.

Man kann die Eigenwerte ablesen. 2 und 4. Die sind beide strikt positiv. Also ist hf von 00 positiv definit.

Und 00 ist lokales Minimum.

Das machen wir jetzt mit den anderen Punkten auch noch. Also hf von 01 ist, wenn man es einsetzt, 2 durch e. Weil hier um dieses x und y, ja, 2, so.

1 minus 2, 0, 0, 2 minus 10 plus 4. Das kann man auch ausrechnen, also 2 durch e, falsche, minus 1.

00 minus 4.

Wiederum eine Diagonalmatrix. Wir können wieder die Eigenwerte ablesen. Minus 2 durch e und minus 4 durch e.

Die sind beide strikt negativ. 8 hier. Also beide Eigenwerte sind strikt negativ.

Und der Punkt 01 ist lokales Maximum.

Gut, wir kommen zu den letzten drei Punkten. Dann hatten wir noch hf von 0 minus 1.

Das war wieder 2 durch e. Und es kommt sogar raus, dass das Gleiche der Hessanmatrix in Punkt 01 ist.

Also ist die Hessanmatrix wiederum negativ definit. Und auch der Punkt 0 minus 1 ist ein lokales Maximum.

Ok, der vorletzte Punkt ist 1, 0.

Wir erhalten 2 durch e mal 1 minus 9 plus 4. 00 und 2 minus 1, also wieder einfach nur einsetzen in die Hessanmatrix.

Das ist 2 durch e minus 4, 0, 1. Also haben wir die Eigenwerte minus 8 durch e und 2 durch e.

Also einen strikt positiven und einen strikt negativen Eigenwert.

Also ist die Hessanmatrix in Punkt 1, 0 indefinit. Und deswegen ist der Punkt 1, 0 ein Sattelpunkt.

Kommen wir zum letzten kritischen Punkt. Falsch. hf von minus 1, 0. Das ist wiederum gleiche Hessanmatrix von f in Punkt 1, 0.

Und daraus folgt, dass auch der Punkt minus 1, 0 ein Sattelpunkt.

Gut, und so bestimmt man also die Extremstellen einer Funktion mit diesen 3 Schritten.

Erst die kritischen Punkte bestimmen, dann die Hessanmatrix aufstellen und dann die Hessanmatrix in den kritischen Punkten auf Definitheit überprüfen. Vielen Dank. Gibt es Fragen? Wenn das nicht so ist, dann sind wir jetzt fertig. Vielen Dank.