Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal herzlich willkommen zur zweiten Vorlesung, Mathe 2.

Wir können direkt einsteigen in den weiteren Stoff, wenn nicht von der inneren Seite mittlerweile noch Unklarheiten aufgetreten sind, organisatorischer Art. Das sehe ich nicht, gut im Servicefall sonst nach der Vorlesung.

Ich hatte in der letzten Vorlesung den Begriff des Vektoraums eingeführt und wir waren stehen geblieben bei der sogenannten linearen Hülle. Ein Vektoraum ist eine Menge, in der man addieren und strecken und stauchen kann.

Wie schon mehrfach gesagt, denken Sie mal an den Rn, wenn ich von Vektoraum rede, oder an den R3. Und man kann strecken und stauchen und addieren. Wenn man das alles zusammennimmt, kommt man zum Begriff der Linearkombination, also man eine gewisse Menge von Vektoren hat, alle, die man jetzt daraus zusammenbauen kann, indem man die beliebig streckt, staucht und addiert.

Und das führt auf den Begriff der linearen Hülle, mit dem will ich wieder einsteigen. Also wir sind in einem Vektoraum V und dann haben wir eine Anzahl Vektoren, k Stück, V1 bis Vk aus diesem Vektoraum.

Und die lineare Hülle von diesen Vektoren, die hatte ich notiert als Lin von V1 bis Vk. Das war die Menge aller Linearkombination dieser k Vektoren, also die Menge aller Summen,

j gleich 1 bis k, wobei Sie jedes Vj mit einem koeffizienten αj multiplizieren können. Und diese Zahlen α1 bis αk sind eben reelle Zahlen.

Das ist die Menge aller Linearkombination, die Sie bilden können aus den Vektoren V1 bis Vk. Das ist die lineare Hülle dieser Vektoren. Und wir hatten dann am Schluss der letzten Vorlesung noch gesehen,

diese lineare Hülle hat die schöne Eigenschaft, dass sie selbst wieder ein Vektoraum ist und damit ein Untervektorraum des Raums V. Und Bedeutung oder Anschauung davon ist, diese lineare Hülle ist der kleinste Untervektorraum, den Sie finden können,

der groß genug ist, dass er alle V1 bis Vk umfasst, aber eben, also Sie können keinen kleineren Vektoraum finden, der V1 bis Vk umfasst, aber er ist eben nicht unnötig groß im Sinne von, er ist der kleinste, der die enthält.

Einmal ein, zwei konkrete Beispiele dazu. Also 111 Beispiele. Fangen wir an mit der linearen Hülle von einem einzigen Vektor. Was ist das?

Nehmen wir mal den Vektor 101 im R3. Also was ist die Menge aller Linearkombinationen, die Sie aus diesem Vektor machen können? Da können Sie gar nicht so viel tun. Sie können diesen Vektor halt stauchen und strecken und Sie können ihn meinetwegen mit sich selbst addieren. Aber mit sich selbst addieren entspricht Streckenkomplettfaktor 2, also ist das auch wieder streckend.

Insofern bleibt genau das Strecken übrig. Das ist die Menge aller Linearkombinationen, lässt sich schreiben, als alle Vielfachen dieses Vektors. Also das ist die Menge aller Alpha mal 101 mit Alpha aus R. Wenn Sie einfach oben in der Definition haben, sind Sie jetzt in dem Fall K gleich 1,

dann haben Sie eine Summe mit einem Summanden. Das Alpha 1 nenne ich nur Alpha, weil wenn ich nur ein Alpha 1 habe, brauche ich den Index nicht. Können Sie auch nochmal anders schreiben. Das ist die Menge aller Vektoren der Form Alpha 0 Alpha, wobei Alpha aus den reellen Zahlen ist.

Das ist eine Ursprungsgerade in Richtung des Vektors 101 durch den Ursprung. Das wäre die lineare Hülle von einem Vektor. Wenn wir ein paar mehr nehmen, wird das schnell größer. Klar, je mehr Vektoren Sie nehmen, umso mehr Möglichkeiten haben Sie Linearkombination zu bilden

und die linearen Hüllen werden größer und größer. Und ich will Ihnen zeigen, dass die sehr schnell groß werden. Nehmen wir wieder Vektoren im R3, diesmal drei Stück, den Vektor 100, den Vektor 010 und den Vektor 0101.

Die lineare Hülle davon, alle möglichen Linearkombinationen, ist der kleinste Untervektorraum des R3, der das Ding enthält. Und meine Behauptung ist, der ist schon gar nicht mehr so klein, sondern der ist schon der ganze R3. Woran liegt das? Was müssen wir sehen, um das einzusehen?

Wir müssen finden, dass jeder Vektor im R3 sich linear kombinieren lässt aus diesen drei Vektoren. Und das ist gar nicht so kompliziert. Jetzt nehmen Sie sich irgendeinen Vektor x aus dem R3 her.

Also wenn wir ein Vektor x im R3 haben, dann hat der drei Komponenten, da stehen nämlich die Zahlen drin, x1, x2, x3. Und den kann man jetzt ziemlich geradeaus durch diese drei Vektoren da oben linear kombinieren.

Der Vektor x, also x1, x2, x3, ist x1 mal der Vektor 100 plus x2 mal der Vektor 010 plus x3 mal der Vektor 001.

Das von rechts nach links rechnen, sollte man es recht schnell sehen. Und damit können Sie jeden Vektor im R3 linear kombinieren aus diesen drei Vektoren. Und das ist eine sehr schöne Eigenschaft, die wir uns noch viel zu nutze machen werden.

Die bedeutet, im Wesentlichen können Sie sich den gesamten Raum R3 aus drei Vektoren zusammen basteln. Wenn Sie die drei Vektoren haben, sind alle anderen als Linearkombination darstellbar. Das heißt, diese drei Vektoren bauen Ihnen schon den ganzen Raum zusammen. Das ist keine spezielle Eigenschaft des R3, das geht in jedem Rn.

Sie müssen nur, je nachdem wie groß das n ist, ein paar Vektoren mehr hernehmen. Also oft genau die gleiche Weise, können Sie im Rn, wenn Sie die lineare Hülle der Vektoren,

die immer nur an einer Stelle eine 1 haben und sonst überall 0, also das Vektor ist 1 und dann überall 0, 0, 1 und dann überall 0 und so weiter. Jetzt lassen Sie die 1 immer weiter durchwandern bis zum Vektor 0, 0, 0, 0, 0, 1. Das ist eine Teilmenge vom Rn.

Erstmal ist es eine lineare Hülle von Vektoren aus dem Rn, damit liegt sie im Rn. Aber es ist eben nicht nur eine Teilmenge vom Rn, sondern auch hier kann man zeigen, es ist tatsächlich gleich Rn, genau das gleiche wie oben.

Und wie gerade schon gesagt, die wesentliche Bedeutung, auf die wir gleich zurückkommen wollen und die fundamental für die ganze Theorie der Vektorräume ist, ist, dass Sie von einem Vektorraum gar nicht wahnsinnig viel kennen müssen, um ihn zusammenbauen zu können. Sie brauchen diese n Vektoren

und der ganze Rn lässt sich aus den n zusammenbasteln. Man kann den ganzen Rn aus n Vektoren zusammenbasteln.

Jetzt kann man natürlich fragen, sind diese Vektoren, die da oben stehen, irgendwie speziell? Gut, die sind schön einfach, nur eine 1 und sonst lauter 0. Aber gibt es noch andere solche Sets von n Vektoren, mit denen wir den Rn zusammenbauen können? Und die Antwort ist ja, viele, aber nicht jeder Set von n Vektoren tut.

Sie müssen die n Vektoren schon geschickt wählen. Und der Begriff, der Ihnen sagt, was geschickt ist, der kommt jetzt. Sie müssen die Vektoren nämlich so genannt linear unabhängig wählen. Und das ist der nächste Begriff, der Ihnen eben dieses Geschick definiert. Wie muss ich die Vektoren geschickt wählen, damit ich aus denen dann den ganzen Raum zusammenbauen kann?

Also, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit in dem Zusammenhang der zentrale Begriff.

So, also wir sind wieder in einem Vektorraum V, denken Sie Rn oder R3. Und wir nehmen uns da jetzt wieder k Vektoren raus. V1, V2 bis Vk aus V.

Und jetzt definiere ich Ihnen erst, was es bedeutet, dass die Linien abhängig sind. In dem Bild von vorhin heißt das, wir dürfen die Vektoren nicht wählen. Also das ist das, wie man sie nicht wählen sollte, wenn man den ganzen Rn zusammenbaut.

Also die sind lineare abhängig, wenn die folgende Bedingung gilt. Wenn es Koeffizienten alpha 1 bis alpha k gibt.

Und jetzt ist wichtig, eben es muss k Vorfaktoren geben. Und wichtig ist die Bedingung, die dürfen nicht alle 0 sein. Also nicht, irgendeiner muss zumindest was anderes sein als 0.

Und für die Vorfaktoren, für die Koeffizienten alpha 1 bis alpha k muss gelten, dass die Linearkombination, die sich daraus ergibt, also die Summe j gleich 1 bis k alpha j Vj, die soll der Nullvektor sein.

Also die Vektoren heißen lineare abhängig, wenn ich solche Zahlen finden kann, alpha 1 bis alpha k, also dass die zugehörige Linearkombination genau 0 ergibt. Man nennt das, oder man sagt dann auch gern, es gibt eine nicht triviale Linearkombination des Nullvektors.

Was ist damit gemeint? Den Nullvektor hatten wir uns letztes Mal überlegt, können sie aus jeder nicht leeren Menge von Vektoren linear kombinieren.

Wenn sie in diese Linearkombination da oben alle alpha j 0 setzen, dann kommt natürlich der Nullvektor raus. Also 0 mal V1 plus 0 mal V2 plus 0 mal V3 gibt natürlich immer den Nullvektor. Also diese Gleichung hier, diese Vektorgleichung Summe alpha j Vj gleich 0 hat immer eine Lösung.

Nämlich die Lösung alpha 1 gleich 0, alpha 2 gleich 0 bis alpha k alle 0. Das ist die sogenannte triviale Lösung, weil die geht immer, die interessiert aber nicht. Was hier die Frage ist, wenn es eine nicht triviale Lösung gibt, also wenn es eine nicht triviale Wahl von alpha 1 bis alpha n gibt, das heißt eine Wahl dieser alpha, wo nicht alle 0 sind, sodass trotzdem der Nullvektor rauskommt.

Dann nennt man diese Vektoren linear abhängig. Gut, linear unabhängig kriegt man jetzt einfach als das Gegenteil davon. Die Dinger heißen linear unabhängig, wenn sie eben nicht linear abhängig sind.

Das ist schnell hingeschrieben und so wie es da steht umso dober nachgerechnet. Oder nein, man muss sich halt einmal mal überlegen, was das bedeutet, nicht linear abhängig sein.

Was bedeutet das? Nicht linear abhängig. Wie gerade gesagt, linear abhängig bedeutet diese Gleichung da oben, summe alpha j Vj gleich 0, hat eine weitere Lösung außer der trivialen Lösung. Die gibt es immer, alle alphas sind 0, ist eine Lösung. Linear abhängig bedeutet, dass es nicht die einzige, sondern es gibt noch eine mehr, nämlich irgendeine, wo nicht alle 0 sind.

Das heißt, wenn Sie nachweisen wollen, dass irgendwas linear unabhängig ist, dann müssen Sie zeigen, es gibt keine mehr. Es gibt nur diese 0 Lösung. Also nachweisen tut man das, indem man zeigt, also diese Gleichheit, summe j gleich 1 bis k, alpha j Vj gleich 0,

ist nur erfüllt, wenn die ganzen alphas, alpha 1 gleich alpha 2 gleich alpha k, wenn die alle 0 sind.

Das bedeutet linear unabhängig. Gut, schauen wir uns das an einem Beispiel an. Und damit, weil das jetzt gleich wieder rausscrollt, habe ich die Definition wieder auf Folie gepackt.

So, der muss noch zünden, das dauert noch kurz.

So, jetzt erscheint da drüben langsam genau das, was hier auch stand. Also eine Menge von Vektoren sind ja abhängig, wenn diese Gleichheit, summe alpha j Vj gleich 0, mehr als die 0 Lösung hat.

Und sie sind ja unabhängig, wenn sie eben nur die 0 Lösung haben. So, also das am konkreten Beispiel, 1, 13.

Erstes Beispiel, wir nehmen uns drei Vektoren im R3, so hatten wir vorhin auch angefangen, die Vektoren 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Da hatten wir gesehen, der in den Jahre Hülle ist, der ganze R3. Jetzt könnte man versuchen, man nimmt sich wieder drei Vektoren und probiert, ob es auch klappt.

1, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 1. Das sind drei Vektoren im R3 und ich behaupte, die sind linear abhängig.

Warum sind die linear abhängig? Was muss ich finden, um nachzuweisen, dass die linear abhängig sind? Ich muss zeigen, es gibt irgendwelche alpha 1, alpha 2, alpha 3, sodass ich aus den dreien den Nullvektor kombinieren kann, ohne dass die ganzen Alphas Null sind. Und da kann ich Ihnen eine Lösung angeben.

Zum Beispiel, wenn Sie den Vektor 1, 2, 2 nehmen, davon den Vektor 1, 0, 0 abziehen, dann haben Sie noch 0, 2, 2 übrig. Und wenn Sie davon noch zweimal den dritten abziehen, dann bleibt übrig 0, 0, 0.

Also wenn Sie alpha 1 gleich 1, alpha 2 gleich minus 1 und alpha 3 gleich minus 2 nehmen, dann haben Sie den Nullvektor kombiniert und die Vorfaktoren sind nicht alle Null. Also sind die Dinger linear abhängig.

Das ist der Nullvektor hier, den haben wir jetzt linear kombiniert aus den dreien. Nicht trivial linear kombiniert, damit sind die Dinger linear abhängig. Dann ein zweites Beispiel.

Wenn wir eine linear unabhängige Menge gesehen haben, kriegen wir jetzt auch eine linear unabhängige. Also meine Behauptung ist, jetzt im R2 die beiden Vektoren 3, 1 und 1, 2 aus dem R2 sind linear unabhängig.

So, was müssen wir jetzt tun? Wie weisen wir denn die lineare Unabhängigkeit nach? Das steht da unten in der letzten Zeile. Wir müssen uns die Lösung dieser Gleichung Summe alpha j, v j gleich 0 anschauen

und müssen zeigen, diese Gleichung hat nur eine Lösung, nämlich alle Alphas gleich 0. Also was bedeutet das? Wir schauen uns an, für welche alpha 1 und alpha 2 gilt alpha 1 mal der Vektor 3, 1 plus alpha 2 mal der Vektor 1, 2 ist der Nullvektor, also 0, 0.

Und hier kriegen Sie jetzt was, was Sie in der linearen Algebra ständig und dauernd kriegen, nämlich ein lineares Gleichungssystem. Damit werden wir uns auch noch ausführlich befassen.

Das ist das erste Mal, dass es passiert. Wenn Sie diese Vektor-Gleichung jetzt lösen wollen, dann ist es sinnvoll, die in die beiden Koordinaten aufzusplitten, in zwei Gleichungen. Und dann kriegen Sie aus der ersten Zeile der Vektoren die Gleichung 3 mal alpha 1 plus alpha 2 muss 0 sein.

Und aus der zweiten Zeile kriegen Sie alpha 1 plus 2 alpha 2 ebenfalls 0. So, dieses System müssen wir lösen. Es gibt jetzt verschiedene Möglichkeiten, in dem Fall ist es zum Glück relativ übersichtlich.

Was macht man? Man löst die erste Gleichung zum Beispiel nach alpha 2 auf, alpha 2 ist minus 3 mal alpha 1. Und wenn Sie das haben, können Sie damit alpha 2 in der zweiten Gleichung ersetzen und kriegen alpha 1 plus 2 alpha 2, 2 alpha 2 sind dann minus 6 alpha 1 gleich 0.

Also, wenn wir nochmal aufräumen, was wir da haben, dann sagt uns die erste Gleichung, dass alpha 2 ist das minus dreifache des alpha 1. Und die zweite Gleichung heißt, minus 5 alpha 1 ist 0.

Das bedeutet was? Die zweite Gleichung können Sie durch minus 5 teilen oder sagen, minus 5 ist nicht 0. Also muss alpha 1 0 sein. Und wenn alpha 1 0 ist, dann ist alpha 2 das minus dreifache von 0. Das ist aber auch ziemlich 0. So, was wir rausgekriegt haben ist, wenn wir aus unseren beiden Vektoren den Nullvektor kombinieren,

geht das nur, trivial geht das nur mit alpha 1 gleich alpha 2 gleich 0. Also, was wir rausgekriegt haben ist, der Nullvektor aus unseren beiden Vektoren 3 1 und 1 2

kann nur trivial linear kombiniert werden und das bedeutet, die beiden sind linear unabhängig.

Also ist der Vektor 3 1 und der Vektor 1 2 linear unabhängig. So, haben wir eine linear abhängige und eine linear unabhängige Menge gesehen.

Ich will als drittes noch eine, ja eine kurze Verständnis, weitere Verständnisfrage stellen und ein weiteres, ganz einfaches Beispiel betrachten, das aber häufig für Verwirrung sorgt. Deswegen will ich es extra ansprechen. Was ist denn mit der Menge hier?

Also ich habe nur einen Vektor, nämlich der Nullvektor ist der linear unabhängig oder linear abhängig? Definition, was heißt Definition von linear abhängig?

Sie müssen eine nicht triviale Linearkombination des Nullvektors produzieren. Das geht in dem Fall, also die Menge ist linear abhängig. Warum? Weil ich kann aus den Elementen dieser Menge den Nullvektor kombinieren mit Vorfaktoren, die nicht 0 sind. Zum Beispiel ist 23 mal der Nullvektor der Nullvektor.

Also ich kann Alpha 1 gleich 23 nehmen. Dann habe ich mit einer nicht trivialen Weise den Nullvektor kombiniert. Damit ist das Ding linear abhängig. Und das Entscheidende hier ist, dass eben 23 nicht 0 ist.

Damit ist, ja das ist eine sehr einfache linear unabhängige Menge. Üblicherweise, wenn man linear abhängige Mengen sucht, macht man die immer so gefühlt ganz groß. Das lässt sich schon mit ganz kleinen Mengen erreichen.

So, diese Begriffe linear abhängig, linear unabhängig haben eine sehr angenehme Eigenschaft, dass sie je nachdem, ob man die Menge, wenn man die Menge größer und kleiner macht, zum Teil erhalten bleiben.

Das möchte ich kurz als Satz formulieren. Also Satz 114. Wenn Sie eine linear unabhängige Menge haben und davon eine Teilmenge nehmen,

dann geht die lineare Unabhängigkeit nie verloren. Also jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist wieder linear unabhängig.

Das ist angenehm, aber auch nicht so wahnsinnig schwer einzusehen. Was bedeutet linear unabhängig? Linear unabhängig heißt, man kann den Nullvektor nur trivial aus den Vektoren kombinieren. Es gibt nur diese Lösung null mal alle Vektoren, die dastehen. Naja, wenn Sie noch weniger Vektoren zur Verfügung haben,

dann wird es noch schwerer den Nullvektor nicht trivial zu kombinieren. Wenn es schon vorher keine andere Lösung gab und Sie nehmen jetzt noch Baumaterial weg, dann kriegen Sie das erst recht nicht hin und damit bleibt das linear unabhängig. Umgekehrt, wenn Sie eine linear abhängige Menge haben und packen da noch was zu,

dann kann dieses Dazumachen die lineare Abhängigkeit nie wieder kompensieren, weil wenn es schon da drin eine Lösung, eine nicht triviale Linearkombination des Nullvektors gibt, dann, wenn Sie noch was dazupacken, bleibt die nicht triviale Kombination erhalten.

Das heißt, die lineare Abhängigkeit bleibt so wie sie ist. Also jede Obermenge einer linear abhängigen Menge ist wieder linear abhängig. Umgekehrt gelten beide nicht. Also wenn Sie eine lineare unabhängige Menge haben und packen was dazu, dann kann die lineare Unabhängigkeit durchaus kaputt gehen.

Wenn Sie eine lineare abhängige Menge haben und was wegnehmen, dann kann das linear unabhängig werden. So, wenn Sie jetzt C, also 1,13C und 1,14B zusammennehmen, kriegen Sie eine einfache Schlussfolgerung raus, die häufig nütze ist,

sobald Sie eine Menge haben, die den Nullvektor enthält, ist die immer abhängig. Also egal wie figilinisch Sie sich die ausdenken, sobald der Nullvektor drin ist, ist das Zeug immer linear abhängig, weil der Nullvektor alleine schon linear abhängig und jede Obermenge bleibt linear abhängig.

Also sobald der Nullvektor im Spiel ist, ist es aus mit linearer Unabhängigkeit. So, jetzt hatte ich vorhin gesagt, diesen Begriff linear abhängig, linear unabhängig, führt man ein, weil man damit abgreifen kann, welche Wahl von Vektoren gut geeignet ist,

um einen Raum, zum Beispiel den R3, aus eben Vektoren zusammenzubauen. Wir haben gesehen, es reichen, wir haben uns geschickt anstellt, drei Vektoren dann um den R3 zusammenzubauen. Klar, wenn Sie sich so einen Baukasten bauen wollen, so einen minimalen Baukasten, um den R3 zusammenzubauen, dann, und der ist linear abhängig,

dann bedeutet das, Sie können einen von Ihren Vektoren aus den anderen linear kombinieren, dann haben Sie sozusagen schon einen, der sich bauen lässt da drin, den können Sie auch rauswerfen, weil den können Sie sicher wieder bauen. Das heißt, linear abhängige Mengen sind irgendwie zu groß, und das Ziel muss sein, eine linear unabhängige Menge zu finden,

die den ganzen Raum aufspannt, so wie vorhin unsere drei Vektoren, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1. Und das führt auf den Begriff, den ganz fundamentalen Begriff der Basis, also eine Basis eines Vektoraums, ist ein Satz von Vektoren,

der groß genug und klein genug ist. Der groß genug ist in dem Sinne, dass seine lineare Hülle alles ist, also Sie können den ganzen Raum aus diesen Vektoren zusammenbauen, per Linearkombination, der aber in dem Sinne klein genug ist, dass er keinen zu viel enthält, das heißt linear unabhängig ist, keinen der Vektoren lässt sich durch die anderen darstellen.

Also Sie haben keinen da drin, der selbst schon eine Linearkombination der anderen ist. Das ist die Idee der Basis, also das ist Abteilung 1, 15,

also so eine Sammlung von Vektoren, B1 bis Bn, denken Sie an unsere Vektoren vorhin, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, sind R3, die nennt man eine Basis des Raums V,

falls zwei Bedingungen gelten, und das ist jetzt eben die Bedingung groß genug und klein genug, also falls die Bedingung klein genug, nenne ich mal B1, B für Basis, falls diese Vektoren B1 bis Bn linear unabhängig sind,

das heißt keiner von denen lässt sich das Linearkombination aus den anderen schreiben, und zweitens die Menge aber trotzdem groß genug ist, dass die lineare Hülle der ganze Raum ist, also die lineare Hülle von B1 bis Bn, die soll ganz V sein.

Und nochmal die Idee von so einer Basis ist, es gibt Ihnen einen Bausatz aus Vektoren, so dass wenn Sie diese N-Vektoren haben, wissen Sie im Wesentlichen alles über Ihren Vektoraum, weil wenn Sie diese N-Vektoren haben, können Sie per Linearkombination den ganzen Rest basteln.

Das ist das, was in der B2 steht, der gesamte Vektoraum lässt sich per Linearkombination aus diesen N-Elementarbausteinen zusammenbauen. Und B1 sorgt dafür, dass Sie nicht zu viele Elementarbausteine haben, dass die wirklich minimal viele sind.

So, ein Beispiel einer Basis haben wir schon gesehen, sogar ein ganz wichtiges Beispiel, ich schreibe es nochmal hin, das ist eigentlich die allerwichtigste Basis, wenn man im En ist, die sogenannten Einheitsvektoren,

also in Erweiterung des vorigen Beispiels 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, jetzt wieder die Vektoren, die aus dem En jeweils nur eine 1 haben und sonst Nullen enthalten,

die werden meistens mit E1 bis En bezeichnet, also E1 ist der Vektor, der in der ersten Komponente eine 1 hat und dann überall 0 ist, E2 ist der Vektor, der in der zweiten Komponente eine 1 hat und sonst überall 0 ist und so weiter, E3 ist dann der Vektor, der in der dritten Komponente eine 1 hat und sonst überall 0 ist und so weiter bis En

und die N ist der Vektor, bei dem die ersten N-1 Komponenten alle 0 sind und die letzte ist 1. Die Dinger heißen Einheitsvektoren und ich hatte vorhin eben schon hingeschrieben,

dass es genauso wie im R3 geht, dass die lineare Hülle von diesen N-Vektoren der ganze En ist, wenn Sie irgendeinen Vektor aus N haben, x1 bis xn, dann können Sie den eben aus den Dinger linear kombinieren, indem Sie x1 mal den ersten, plus x2 mal den zweiten, plus x3 mal den dritten, bis plus xn mal den letzten nehmen, das heißt die lineare Hülle von diesen Vektoren ist ganz En,

das ist B2, also diese Vektoren erfüllen diese Bedingung B2, was jetzt noch fehlt ist B1, die sind ja unabhängig und das ist auch nicht arg schwierig, also schauen wir mal hin, die Dinger hier bilden eine Basis des Rn

und deswegen steht dieses Beispiel auch am Anfang, das ist die wichtigste Basis, wenn man sozusagen keinen Grund hat eine andere zu wählen, dann wählt man die, das ist die sogenannte Standardbasis, wenn immer Sie ein kathesisches Koordinatenkreuz hinmalen, dann ist das genau das,

so warum ist das eine Basis, also das eine hatten wir gerade schon gesagt, B2, die Vektoren, die lineare Hülle von diesen ganzen Vektoren ist der Rn,

das hatten wir schon im Beispiel 111 uns zumindest für den R3 überlegt, aber im Rn sieht das genauso aus, so dann brauchen wir noch B1,

B1 war die Vektoren sind linear unabhängig, ich habe auch die Definition von der Basis nochmal auf eine Folie geworfen, dann ist das hier präsent, also die beiden Bedingungen,

erstens die Menge ist klein genug, sie ist linear unabhängig, und zweitens sie ist groß genug, sie erzeugt den ganzen Raum, also ihre lineare Hülle ist der ganze Vektor Raum V, dass die lineare Hülle der ganze Vektor Raum V ist, haben wir schon, wir brauchen linear unabhängig,

also wieder wie vorhin, was müssen wir nachweisen für lineare Unabhängigkeit, wir müssen uns schauen, wie können wir aus den Vektoren den Nullvektor kombinieren, der Nullvektor im Rn ist eine Spalte mit ganz vielen Nullen drin

und wie können wir den jetzt erreichen, indem wir unsere Standardbasisvektoren linear kombinieren, was steht hier, hier steht eine Summe mit N Summanden, im ersten Summanden steht α1 mal 100 und so weiter 0,

plus α2 mal der Vektor, der nur an der zweiten Stelle der 1 enthält, plus und so weiter bis plus αn, mal der Vektor, der nur an der letzten Stelle der 1 hat, so wenn sie die alle aufaddieren, α1 mal 100 plus α2 mal 0100,

dann kriegen sie einfach den Vektor α1, α2, α3, α4 bis αn, also das ist der Vektor α1, α2 und so weiter bis αn,

so und für welche Werte von α ist der Vektor α1, α2 bis αn gleich dem Vektor 0000, das ist nicht so wahnsinnig schwer, diese Gleichungssystem zu lösen, das liefert direkt α1 ist 0, α2 ist 0, α3 ist 0 und so weiter bis αn sind alle 0

und das heißt, das Zeug ist linear unabhängig, also sind die Vektoren e1, e2 bis en linear unabhängig, denn es gibt nur eine Möglichkeit aus ihnen den Null Vektor zu bauen und das ist die Triviale Variante, 0 mal den einen plus 0 mal den zweiten und so weiter.

Wie gesagt, das ist das Einfachste, das Standardbeispiel, aber auch das Wichtigste, an der Basis arbeitet man sich üblicherweise ab, wenn man keinen anderen Grund hat, trotzdem gibt es natürlich viele andere,

ich gebe Ihnen einfach noch mal eine an, an der können Sie sich dann austoben, also zum Beispiel die Vektoren 101, 111 und 2 minus 11, auch drei Vektoren, behauptlich ist eine Basis des R3, wie gesagt, daraus können Sie sich ein bisschen auftoben,

versuchen Sie es mal nachzuweisen, was Sie tun müssen, sind die zwei Bedingungen, zeigen, die Menge ist groß genug, das heißt, Sie können jeden Vektor aus dem R3 kombinieren, als Linearkombination aus den Dreien und zweitens ist es klein genug, das heißt linear unabhängig.

Warum reite ich jetzt so auf diesen Basisbegriff herum, weil der Basisbegriff ein ganz, ganz starkes Hilfsmittel ist, wenn man irgendwas in Vektorräumen machen will, ist ja auch eigentlich faszinierend und toll, man denkt im Alltag nicht drüber nach,

aber Sie haben diesen riesigen Raum R3, der ist, der Hörsaal ist schon groß, aber der R3 ist noch viel größer, und da sind aber Myriaden von Vektoren und es reichen drei Bausteinchen, drei Atome sozusagen aus,

aus denen können Sie diesen ganzen Raum zusammenbauen, das ist schon was Besonderes, und wenn Sie dann in den R5 müssen, da reichen immer noch fünf, und in diesem R5 sind wirklich wahnsinnig viele Vektoren drin, fünfmal so viele, wie es reelle Zahlen gibt, nein noch viel mehr, die Anzahl der reellen Zahlen hoch fünf, wahnsinnig viele Vektoren,

und fünf Stück reichen und Sie können die alle beschreiben. Das ist eine unglaubliche, ja als Informatiker würde man sagen Kompressionsrate, Sie müssen nur fünf Vektoren abspeichern, dann haben den ganzen R5 im Griff, das ist hübsch, das ist der Hintergrund, warum die Basen so wichtig sind und weshalb man an denen so viel arbeitet, weil man eben eine unglaubliche Kompression erzeugt,

und es ist ganz oft so, dass wenn man eine Basis verstanden hat, hat man im Prinzip den ganzen Raum verstanden. Deswegen, was sind wichtige Eigenschaften von Basen und was liefern die uns?

Also Satz 1,17, ich nenne das mal wichtige Eigenschaften von Basen, und das erste formuliert nochmal um diesen ersten Punkt, nämlich dass der ganze Raum die lineare Hülle ist

und zieht die zusätzliche Nahrung aus dem zweiten Punkt, dass das Zeug linear unabhängig ist. Also erstens, wenn wir also einen Vektorraum haben mit einer Basis,

die Basis nenne ich mal B, weil die Vektoren da drin B1 bis Bn heißen, dann siehe erster Punkt da drüben, dann ist die lineare Hülle von dieser Basis der ganze Raum,

das heißt jeden Vektor in V können sie als Linearkombination der Vektoren B1 bis Bn schreiben. Also dann gibt es zu jedem Vektor, also zu jedem V aus V, gibt es dann Koeffizienten, Zahlen alpha 1 bis alpha n,

Sie können jeden Vektor als Linearkombination schreiben, das heißt Sie finden solche Vorfaktoren alpha 1 bis alpha n, sodass Sie diesen Vektor V schreiben können als J gleich 1 bis n alpha j Bj.

Das ist der eine Teil, das kriegen Sie aus dem B1, das heißt einfach, was jetzt da steht, ist einfach nur die Vektoren B1 bis Bn, der Lineare Hülle ist ganz V. Dann haben wir noch dieses zweite, das B1 haben wir noch, die Vektoren sind linear unabhängig und das sorgt dafür, dass auch diese Gleichung, also wenn Sie V gleich 0 setzen, dann gilt das,

nehmen Sie alle alphas gleich 0 und linear unabhängig bedeutet, es gibt nur diese Lösung, den 0 Vektor können Sie nur kombinieren als 0 mal B1 plus 0 mal B2 plus 0 mal Bn und so weiter,

weil die Vektoren sind linear unabhängig. Und das gilt jetzt nicht nur für den 0 Vektor, sondern das gilt für jeden Vektor, das heißt diese Darstellung in diesen alpha j, die gibt es nicht nur, sondern die ist eindeutig, also es gibt zu jedem V aus V eindeutige Koeffizienten, das ist hier das wichtige Wort,

das heißt jeder Punkt im Raum ist durch diese Koeffizienten eindeutig festgelegt, das ist das, das ist jetzt ein hochtrabendes Ergebnis, was Sie alle kennen, das ist das, was man Koordinaten nennt,

diese Zahlen alpha 1 bis alpha n, das sind die Koordinaten von einem Vektor bezüglich der Basis, das ist die Grundlage jedes Koordinatensystems, diese Zahlen alpha 1 bis alpha n nennt man Koordinaten von V bezüglich B

und die sagen Ihnen eben, wie Sie Ihren Vektor V, Ihren gegebenen Vektor V aus der Basis kombinieren können und dadurch, dass die Basis linear unabhängig ist, können Sie den eben sogar, liegen diese Zahlen eindeutig fest, also zu jedem Vektor gibt es genau eine Sammlung Zahlen und jede Sammlung Zahlen liefert Ihnen einen Vektor.

So, das ist Nummer 1 und dann die nächsten zwei sind nochmal ein bisschen Umformulierungen, was ist eine Basis, ein bisschen auch für ein Gefühl zu kriegen, ich hatte gesagt eine Basis,

ja, hat zwei Bedingungen, die eine sagt, das Ding ist möglichst groß und die andere sagt, also ist groß genug und die andere sagt, das ist klein genug, diese beiden Bedingungen arbeiten ein bisschen gegeneinander und die Basis ist der Kompromiss und der B-Teil sagt jetzt eben, da ist dieser Kompromiss, den gibt es genau

und man kann in keine Richtung abweichen und bleibt bei was Gutem, also wenn Sie eine Basis haben und packen noch irgendwas dazu, also ist B eine Basis von V und Sie nehmen jetzt Ihr B

und packen irgendeinen Vektor dazu, denn ich meine jetzt natürlich echt dazu, also das V soll zwar aus V sein und bitte nicht schon in B enthalten, also Sie nehmen noch einen dazu, der nicht in B drin ist, Sie nehmen wirklich einen dazu, dann ist das Ding immer sofort lineaabhängig, das haben wir vorhin gesagt, wenn Sie zu einer lineaunabhängigen Menge

was dazu nehmen, kann das lineaabhängig werden und das hier sagt jetzt, bei einer Basis passiert das immer, wenn Sie eine Basis haben und packen noch irgendwas dazu, was vorher nicht drin war, sind Sie sofort lineaabhängig und in dem Sinne kann man formulieren, Basen sind maximale, maximal große lineaunabhängige Mengen,

also wenn Sie eine lineaunabhängige Menge haben von Vektoren und wann immer Sie irgendwas dazu tun, wird es lineaabhängig, dann ist das eine Basis.

Jetzt umgekehrt, wenn Sie eine Basis haben und nehmen was weg, also B ist eine Basis und C irgendeine Teilmenge von B,

die aber nicht B ist, also bei C fehlt wirklich was, C ist eine echte Teilmenge von B, dann erfüllt C niemals diese Bedingung B2, also wenn Sie noch was wegnehmen, dann wird das mit dem Linea unabhängig nur besser, aber dann geht immer die zweite Variante,

die zweite Bedingung schief, dann ist automatisch die lineare Hülle von C immer eine echte Teilmenge von V, also wenn Sie von der Basis irgendeinen Vektor wegnehmen, dann ist immer sofort B2 verletzt.

Man sieht man hat sozusagen ein großes Glück, B1 sagt die Menge muss klein genug sein, B2 sagt die Menge muss groß genug sein und es gibt einen Punkt wo die beiden aufeinandertreffen und wo es gut geht, also diese B-Teile auch nochmal als Satz, Basen sind minimal kleine erzeugende Mengen, also die lineare Hülle ist der ganze V von der Basis,

aber sobald Sie irgendwas wegnehmen, war es zu viel weggenommen.

Gut, man sieht die Basen sind sehr empfindlich gegenüber der Anzahl der Vektoren, ein weg oder ein dazu geht nicht und diese Anzahl der Vektoren in der Basis ist sogar noch was Tolleres, die ist nämlich eine Eigenschaft des Vektorraums

und nicht der speziellen Basis, das heißt wenn Sie zwei Basen vom selben Vektorraum haben, wir hatten vorhin, das Beispiel für den R3 habe ich Ihnen schon zwei angegeben, einmal die Standardbasis 1 0 0 0 1 0 0 0 1 und einmal die zweite in der letzten Übungsaufgabe, ich weiß jetzt nicht mehr auswendig, aber es war eine verknurkste Basis,

aber auf jeden Fall bestand die auch aus drei Vektoren und das ist kein Zufall, sondern das ist immer so, wenn Sie zwei Basen eines Vektorraums haben, dann enthalten die immer gleich viele Vektoren,

das heißt diese Anzahl der Vektoren in so einer Basis ist eine fundamentale Größe des Vektorraums und die hat nichts damit zu tun, wie Sie jetzt gerade Ihre Basis geschickt wählen und wenn Sie einen Vektorraum haben und da drin gibt es eine Basis mit sieben Elementen, dann wissen Sie, jede andere Basis hat auch sieben Elemente, es gibt dann keine andere mit sechs und keine mit acht,

wenn es eine mit sieben gibt, hat jede sieben Elemente, das ist eine erstaunliche Eigenschaft von Vektorräumen und das macht diese Anzahl der Elemente einer Basis zu einer fundamentalen Größe, um so einen Vektorraum zu beschreiben und diesen Begriff kennen Sie auch alle, das ist nämlich das, was unser eins im Alltag die Dimension nennt,

wir leben im dreidimensionalen Raum, weil man diesen Raum aus drei Vektoren zusammenbauen kann und einen Raum, den Sie aus 15 Vektoren zusammenbauen können, also ein Vektorraum, der eine Basis aus 15 Vektoren hat, ist eben ein 15-dimensionaler Raum

und das ist eine fundamentale Größe, die nur am Raum hängt und wenn so eine Raumdimension fünf hat, dann hat jede Basis fünf Vektoren. So, das wollen wir festhalten, also 118, der Begriff der Dimension,

wir haben gesehen, im 117D, also wenn V ein Vektorraum ist, so enthalten alle Basen gleich viele Elemente

und diese Anzahl, die nennt man die Dimension

und eben im R3 ist diese Dimension drei, im Rn ist diese Dimension n, wir hatten vorher die Standardbasis gesehen, i1, i2 bis i n, das sind n Vektoren, das ist eine Basis, also ist die Dimension n

und das ist auch das, womit wir es meistens zu tun kriegen und die übliche Schreibung für die Dimension ist Dim von V. Jetzt gibt es noch zwei Dinge dazu zu sagen, das erste ist, es gibt noch einen Sonderfall, den wir noch keine wirklich Dimension zugeordnet haben,

nämlich den putzigen kleinen Raum. Wir haben festgestellt letztes Mal, es gibt einen häufig vernachlässigten, aber durchaus existenten, sehr kleinen Vektorraum, nämlich den hier. Da wird es mit Basis ein bisschen schwierig, weil die einzige Teilenlänge, die Sie hier rausnehmen können,

ist endgut die leere Menge oder die nur die Null enthält, dieser Raum hat einfach keine lineaunabhängigen Vektoren. Und weil man aber gern dem auch eine Dimension zuweisen will, weil man sonst dauernd Fallunterscheidungen machen muss, gibt man dem eine Dimension und was ist eine vernünftige Setzung?

Naja, dieser Vektorraum entspricht einem Punkt, ein Punkt hat gemeinhin Dimension Null, also das ist jetzt aber einfach eine Setzung per order of the move, man sagt dieser Raum, der nur die Null enthält, der hat Dimension Null.

Manchmal macht man es sogar noch perfider und sagt, wir geben dem Raum sogar eine Basis, wir definieren, dieser Raum hat die Basisleere Menge, dann passt es mit hier oben, weil jede Basis dieses Raumes enthält dann Null Elemente und das ist die Dimension. Aber egal, egal wie man es dreht, das ist eine Setzung per Dekret von oben.

Nur damit man nicht immer schreiben muss sei V ein Vektorraum und V nicht Null, dann gilt das. Also damit hat auch der Nullraum eine Dimension und fürs Hintergrundwissen will ich an der Stelle noch kurz sagen, dass ich mich hier und in dieser Vorlesung und das ist auch völlig sinnvoll

und Sie wahrscheinlich in Ihrem weiteren, sehr wahrscheinlich in Ihrem weiteren Studium, wenn Sie Glück haben, die ganze Zeit auf das beschränken, was ich hier gemacht habe, nämlich eine Dimension N, N kann groß sein, aber ist irgendeine Zahl, das ist nur die halbe Wahrheit. Wie gesagt, es kann gut sein, dass Sie mit der halben Wahrheit durchkommen, deswegen machen wir ja auch nicht mehr, aber es gibt reihenweise Vektorräume,

die nicht endlicher Dimension sind, sogenannte unendlich dimensionale Vektorräume und wenn Sie jetzt sagen, der spinnt völlig, dürfen Sie das gerne denken, aber das Zeug gibt es reichlich. Denken Sie zum Beispiel, an den hatte ich Ihnen letztes Mal gegeben, den Raum aller stetigen Funktionen auf einem Intervall. Die Menge aller stetigen Funktionen auf einem Intervall ist ein Vektorraum

und der ist nicht nur unendlich dimensional, der ist verdammt vieldimensional. Also da kann auch keiner eine Basis hinschreiben, die sind so groß. Also der hat eine Basis, aber die Basis enthält so wahnsinnig viele Elemente, da kommen Sie aus dem Schreiben gar nicht mehr aus. Also das sind klassische Fälle von unendlich dimensionalen Vektorräumen,

die gucken wir uns hier nicht an, ich wollte es nur gesagt haben, da gibt es noch eine ganze Welt jenseits des Endlichen. Gut, damit haben wir auch die Dimension

und ich will diesen ganzen Block lineare Unabhängigkeit, Dimension, Basis jetzt mit einem etwas längeren Beispiel noch mal zusammenfassen, also 1, 19 Beispiel und damit man sich was vorstellen kann,

gehen wir mal in den R3, da hat jeder hoff ich zumindest eine intuitive Vorstellung, was das ist und ich nehme mal 3 Vektoren aus dem R3 her, die hatten wir auch schon mal vorhin, das ist zum einen der Vektor V1, 1, 2, 2, der Vektor V2, 1, 0, 0, also das ist der erste Vektor der Standardbasis

und der Vektor V3, 0, 1, 1, sind 3 Vektoren aus dem R3 und was ich mir anschauen will, ist deren lineare Hülle, also die Menge U, die gegeben ist als alle Linearkombinationen aus V1, V2 und V3.

Ich habe das Ding jetzt schon suggestiv U genannt, weil wir wissen, das ist auf jeden Fall ein Untervektorraum des R3, die lineare Hülle von irgendwelchen Vektoren ist immer ein Untervektorraum, hat man in der letzten Vorlesung gesehen, also U ist ein Untervektorraum

und die Frage ist, wie sieht der aus, wie groß ist der, was ist das für ein Ding? Das ist ein Untervektorraum nach Satz 1, 10 und wir wollen wissen, was ist das für ein Ding?

Erste Möglichkeit, naja, wenn die drei Vektoren da zufällig eine Basis sind, das würde passen, weil wir sind im R3, da könnten drei Vektoren eine Basis sein, dann wissen wir, was die lineare Hülle ist, dann ist es der ganze R3, aber wenn wir nochmal gerade eine Viertelstunde, 20 Minuten zurückdenken,

dann waren das genau die Vektoren, die wir im Beispiel 113 hatten und dort hatten wir gezeigt, die sind linear abhängig, da hatten wir gesehen, wenn Sie den V1 nehmen, den V2 abziehen und noch zweimal den V3 abziehen, ist es 0,

also insbesondere können Sie vielleicht nochmal zur Verdeutlichung des V1 schreiben, aus V2 plus 2V3 und diese Menge ist linear abhängig. Also es ist garantiert keine Basis und jetzt linear abhängig,

nur man sieht auch, das wäre insofern auch eine ungeschickte Basiswahl, weil man eben diesen Vektor V1 sich schon aus V2 und V3 zusammenbauen kann, das heißt, der ist einfach kein Elementarteilchen,

weil man kann ihn eben aus den anderen rekonstruieren. Wenn man also versucht, eine möglichst kleine Menge von Bauteilchen zu haben, aus dem man den Raum zusammenbauen kann, kann man den V1 auf jeden Fall rausschmeißen, weil V2 und V3 reichen auch. Machen wir das doch mal, schmeißen wir den V1 mal raus,

also nehmen wir mal den V1 weg, weil der lässt sich eher aus den anderen kombinieren und schauen wir uns mal die beiden Vektoren V2 und V3 an.

Dann behaupte ich, gut jetzt haben wir einen weniger, jetzt könnte es sein, dass die nicht mehr linear abhängig sind und es ist auch tatsächlich so, die beiden sind linear unabhängig So und jetzt kommt wieder das übliche Thema.

In zwei, drei Wochen sage ich und sagen Sie, also wir schauen uns V2 und V3 an, die sind offensichtlich linear unabhängig weiter im Text. Im Moment tue ich mich noch nicht so aus der Verantwortung stehlen und begründe Ihnen noch, warum die linear unabhängig sind.

Später wird man sagen, naja, der eine hat da oben eine 1 und der andere eine 0, das kann nicht funktionieren, aber jetzt rechnen wir es nochmal ordentlich nach, aber das ist wieder so eine Stelle, wo man dann irgendwann mit mehr Übung sagt oder mit mehr Erfahrung an der Stelle, das Ding ist offensichtlich linear unabhängig.

Okay, so warum ist das so? Was müssen wir tun? Wir müssen uns anschauen, wie lässt sich der Nullvektor aus diesen beiden Vektoren kombinieren.

Also wenn der Nullvektor alpha 1 mal V1 plus alpha 2 mal V2 ist, jetzt müsste man noch wieder wissen, was V1 und V2 ist, das ist gerade nach oben verschüttet gegangen, V2 und V3 stehen hier, V2 war 1, 0, 0, also alpha, dann nenne ich die auch mal alpha 2 und alpha 3,

dann ist das konsistenter, also V2 war 1, 0, 0, das heißt, das ist der Vektor alpha 2, 0, 0, V3 war 0, 1, 1, also das ist der Vektor 0, alpha 3, alpha 3,

wenn sie die beiden addieren, kriegen sie den Vektor alpha 2, alpha 3, alpha 3, naja, wann ist der Null? Das ist der Nullvektor, wenn alpha 2 gleich Null ist und alpha 3 gleich Null ist,

also haben wir in dem Fall wieder nur die triviale Lösung, also so wie man den Nullvektor immer kombinieren kann, mit lauter Nullkoeffizienten und das heißt, die Dinger sind linear unabhängig. So, wir haben also unsere Menge U, die wir uns anschauen wollten,

die war ursprünglich die lineare Hülle oder die ist, die hatten wir uns gegeben als die lineare Hülle von unseren drei Vektoren,

wir haben gesehen, den V1 können wir aus den anderen beiden kombinieren, die anderen beiden sind linear unabhängig und ich behaupte, den V1 können Sie hier jetzt einfach weglassen, die lineare Hülle von V1, V2 und V3 ist dasselbe wie die lineare Hülle von V2 und V3, warum? Im Wesentlichen, weil Sie den V1 schon aus V2 und V3 kombinieren können

und wenn Sie jetzt irgendeinen kombinieren wollen und da steht noch eine V1 Entwicklung drin, dann können Sie den durch die beiden anderen ersetzen, machen wir uns das einmal an dem Beispiel klar, so nehmen Sie sich

Wir finden x aus u her, dann wissen wir, weil u so erklärt war, also nach der Definition von u, ist das x dann eine Linearkombination von v1, v2 und v3. Also dann existiert nach der Definition von u, alpha1, alpha2 und alpha3 aus R,

sodass dieses x sich schreiben lässt als alpha1 v1 plus alpha2 v2 plus alpha3 v3. So war unser u gegeben und was wir jetzt tun wollen, ist wir wollen zeigen, dass u lässt sich schon nur durch v2 und v3 aufspannen.

Das heißt, dieses x ist auch eine Linearkombination nur von v1 und v2 und das kriegen wir deswegen hin, weil wir rausgekriegt haben, dass unser v1 eine Linearkombination von v2 und v3 ist. Das v1 ist gegeben als v2 plus 2v3, so und dann haben wir hier noch das alpha2 v2 und das alpha3 v3, damit das gleiche Zeichen wieder stimmt.

So, das können Sie jetzt umsortieren und dann kriegen Sie alpha1 plus alpha2 mal v2 plus 2 alpha1 plus

alpha3 klammern mal v3 und dann kriegen Sie raus, jedes x aus u ist eine Linearkombination von v2 und v3. Das v1 können wir tatsächlich ersatzlos rauskegeln.

Jetzt sind die beiden Vektoren v2 und v3 linear unabhängig, haben wir gezeigt und außerdem ist Ihre lineare Hülle ganz u. Dann können Sie mal da nach links schauen, b1 und b2 sind also erfüllt.

Also ist diese Menge v2, v3 eine Basis von u und damit wissen wir auch gleich, was die Dimension von u ist, nämlich 2, weil die Basis 2 Elemente enthält.

Und was ist u? u ist die lineare Hülle von v2 und v3, also die Menge aller Linearkombinationen aus v2 und v3. Und jetzt hatten wir v2 und v3 vorhin auch mal stehen, v2 war der Vektor 1,0,0 und v3 der Vektor 0,1,1.

Was hier rauskommt sind alle Vektoren der Form alpha2, alpha3, alpha3 mit alpha2, alpha3 aus R. Und das lässt sich eben, schreibt man am besten so, wie es schon vorher da stand, das ist die lineare Hülle von 1,0,0 und 0,1,1.

Gut, und was ist das? Lineare Hülle von zwei Vektoren im R3. Ich hoffe, ich erzähle Ihnen jetzt keine Überraschung. Sieht so aus. Ist eine Ebene im R3. Also Sie haben, was ist das hier von hinten nach, das von hinten nach vorne ist die y-Achse.

Das von links nach rechts ist die x-Achse und das nach oben ist die z-Achse. Und die Ebene wird aufgespannt von den Vektoren 1,0,0 und 0,1,1. 1,0,0 liegt auf der x-Achse, die gesamte x-Achse gehört zur Ebene dazu.

Und dann noch der Vektor 0,1,1, also der in der yz-Ebene liegende Vektor und das gibt dann diese schräg im Raum liegende Ebene. Also ein zweidimensionaler Unterraum des R3 und da haben wir jetzt nochmal alle Begriffe abhängig, unabhängig und so weiter drin gesehen.

Gut, diese Dimension ist offensichtlich eben eine ganz entscheidende Größe für so einen Vektorraum.

Und hat an vielen Stellen Bedeutung und schöne Effekte. Eine will ich Ihnen noch als Satz hier unten dranschreiben.

Nämlich wenn Sie zwei Vektorräume haben, die ineinander liegen mit gleicher Dimension, dann sind Sie schon gleich. Das soll heißen, ein Untervektorraum, der nicht der ganze Raum ist, hat immer mindestens eine volle Dimension weniger.

Dazwischen ist kein Platz. Also wenn V ein R-Vektorraum ist, U ein Untervektorraum von V und die Dimension von U ist gleich der Dimension von V,

dann hat das U keine Wahl mehr, dann ist das U automatisch das V. Also Sie können nicht, wenn Sie einem Vektorraum so ein bisschen was wegkratzen, dann wird da nie ein Untervektorraum draus. Sondern wenn Sie einen Untervektorraum haben wollen, einen echten, dann müssen Sie eine ganze Dimension wegwerfen.

Und daraus erklärt sich auch das, was ich letzte Woche gesagt habe, im R2, im R3 gibt es gar nicht so viele Untervektorräume. Im R3 gibt es nur den ganzen Raum, alle Ursprungsebenen, weil Sie müssen die ganze Dimension wegwerfen, sonst kriegen Sie keinen Untervektorraum.

Und dann haben Sie eben die zweidimensionalen Untervektorräume und die eindimensionalen Unterräume, alle Ursprungsgraden und den nulldimensionalen Untervektorraum, nämlich nur den Nullpunkt. Gut, also das ist die Grundbedeutung des Begriffs Basis. Eine Basis ist eben immer ein Bausatz von Atomteilchen, aus denen Sie Ihren ganzen Raum zusammenbauen können.

Jetzt können Sie sich vorstellen, wenn man mit so Basen aus irgendwelchen Gründen arbeiten muss oder arbeiten will, dann will man eine besonders schöne Basis haben, eine mit der man leicht rechnen kann. Das ist in vielen Fällen die Standardbasis, weil mit der kann man wunderbar rechnen, nicht in allen.

Die anderen Fälle werden durchaus Fälle sehen, wo es praktisch und geboten ist, auch mal eine andere Basis anzuschauen, weil die eben besser zum Problem passt. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Drehung, Sie haben ein Karussell, das schräg im Raum steht und sich dreht. Wenn Sie so ein schräg im Raum stehendes, drehendes Ding im kathetischen normalen Koordinatensystem beschreiben wollen, werden Sie wahnsinnig.

Das erste, was Sie tun, ist, Sie drehen mal Ihre Z-Koordinate natürlich in die Drehachse. Das sind Momente, in denen man großes Interesse daran hat, andere Koordinatensysteme zu verwenden, wenn man eben ein Problem hat, das sich einfach nicht an das Standardsystem hält, sondern die Drehachse liegt eben quer im Raum, zum Beispiel.

Also man hat schon Interesse auf andere Basen zu wechseln und wenn man sich jetzt mal so umschaut, was es für Basen gibt, stellt man fest wahnsinnig viele. Und davon gibt es schönere und weniger schöne und ich will Ihnen jetzt noch zwei, also eine bis anderthalb wesentliche Sorten von besonders schönen Basen vorstellen.

Und der Begriff ist der der Orto-Normal-Basis, wunderbar gedrechseltes Fremdwort.

Wir nähern uns dem, also Situation ist wie die ganze Zeit, wir haben den Vektor Raum V, denken Sie A3 und wir haben eine Basis, gut, wenn ich jetzt B1 bis Bn schreibe, denken Sie eben n gleich 3 oder denken Sie doch Rn, also dieses B ist eine Basis von V,

zum Beispiel die Standardbasis, dann nennt man diese Basis eine Ortogonalbasis, das ist noch nicht das Wort aus der Überschrift,

sondern ein Zwischenschritt, nennt man eine Ortogonalbasis, wenn das gilt, was zum Beispiel für die Standardbasis gilt, dass die Basisvektoren alle paarweise zueinander senkrecht stehen. Wenn Sie an kathetisches Koordinatensystem denken, da drüben, dann stehen die Koordinatenachsen paarweise aufeinander senkrecht,

das ist überhaupt kein Muss, sondern das ist eine Ortogonalbasis, also die Basisvektoren stehen paarweise senkrecht, was heißt das, senkrecht stehen heißt, ihr Skalarprodukt ist 0, also das Skalarprodukt von Bi mit Bj muss 0 sein,

zumindest immer dann, wenn i nicht j ist, also für alle i ungleich j, ist das Skalarprodukt von Bi mit Bj 0. Wenn Sie die Standardbasis nehmen, ist das der Fall, das ist eine Ortogonalbasis, aber es ist eben überhaupt kein Problem, eine Basis in A2, in A3 oder sonst wo anzugeben, bei der die Achsen nicht senkrecht zueinander stehen.

Es gibt auch wieder Fälle, wo das total natürlich kommt, nehmen Sie einen Schattenwurf, also wenn Sie einen Schattenwurf berechnen wollen auf eine Leinwand und Ihr Licht fällt schräg ein,

dann ist die natürliche Basiswahl gut, in Ihrer Leinwand nehmen Sie irgendwie zwei senkrechte Vektoren, die Standarddinger und die dritten Basisvektor, wenn Sie leicht rechnen wollen, ist in Richtung des Lichteinfalls und dann haben Sie eine schräge Basis, kommt alles vor, werden wir auch noch sehen,

aber es gibt eben einige Dinge, in denen Ortogonalbasen und Ortonormalbasen schön sind, deswegen heben wir die gesondert raus und wenn immer man kann, wird man auch eine solche nehmen, weil mit denen kann man besonders schön rechnen, also eine Ortogonalbasis ist eine, wo die Basisvektoren ein paarweise senkrecht stehen,

das heißt Ihre Koordinatenachsen sind ein paarweise aufeinander senkrecht, so und jetzt hatte ich aber das Ganze mit Ortonormalbasis überschrieben, was man jetzt noch machen kann, ist zusätzlich fordern oder dafür sorgen, dass jeder Basisvektor nicht nur senkrecht zu den anderen steht, sondern auch noch selbst Länge 1 hat,

also falls erstens so eine Basis ist eine Ortonormalbasis, falls sie erstens eine Ortogonalbasis ist, das heißt die Basisvektoren stehen ein paarweise aufeinander senkrecht, alle i und gleich j

und wenn Sie die Länge von einem Vektor anschauen, also die Norm von Bj, Norm von Bj ist das Quadrat vom Skalarprodukt und das soll 1 sein, da können Sie auch so schreiben, dass das Skalarprodukt 1 ist,

also Norm von Skalarprodukt von Bi mit sich selbst, 1 für alle i, dann nennt man das eine Ortonormalbasis, also eine Ortonormalbasis ist eine Ortogonalbasis, mit auf 1 normierten Basisvektoren, also auf Länge 1 normierten Basisvektoren.

Wieder Beispiel Standardbasis, die Standardbasis, die 1 0 0 0 1 0 0 und so weiter Basis, die sind alle paarweise senkrecht und jeder hat Länge 1, also es wäre eine Ortonormalbasis. Noch kurz, falls Ihnen dieses Symbol mal irgendwo entgegenläuft,

diese beiden Bedingungen hier, Produkt ist 0, wenn i ungleich j und ist 1 für i gleich, also für i gleich j, die werden oft in einer Formel zusammengefasst und da kommt eine Schreibweise vor,

von der ich denke es schadet nichts, wenn Sie sich hier schon mal gesehen haben, vielleicht ist Ihnen eh schon in irgendeiner anderen Vorlesung entgegengekommen, also die fasst man oft in einer Zeile zusammen und zwar indem man schreibt,

das Skalarprodukt von b i mit b j soll sein delta i j, jetzt können Sie zurecht fragen, was ist jetzt das für ein komisches Ding, das delta i j ist das sogenannte Kroneckerdelta und das ist nichts als eine hochgestochene Schreibweise, also für das, was oben drüber steht, das delta i j ist eine Kurzschreibweise für 0,

falls i ungleich j und 1, falls i gleich j, also in dieser Zeile hier unten steht genau das gleiche wie oben, das Produkt ist 0, wenn die beiden Indizes verschieden sind und 1, wenn sie gleich sind,

aber es ist handlicher so und vor allem die Physiker lieben das delta, also wenn Sie in der Mechanik oder Physikvorlesung irgendwann sitzen, dann werden Ihnen da ein paar Deltas um die Ohren fliegen, man nennt das Ding wie gesagt Kroneckerdelta und so seltsam es aussieht, wie gesagt, was dahinter steckt ist nichts als dieses, das Kroneckerdelta ist 1,

wenn die beiden Indizien gleich sind und 0, wenn sie verschieden sind, nur falls Ihnen das mal begegnet, dann haben Sie es wenigstens schon mal gesehen. Richtig, für hier ist eine Ortonormalbasis eine Basis aus Vektoren,

die paarweise senkrecht stehen und alle Länge 1 haben, so auch die beiden Begriffe sind da noch mit auf der Folie drauf, das ist nur noch mal die Wiederholung dessen, was ich gerade hingeschrieben habe, damit es wegrauschen kann, also eine Orthogonalbasis ist eine Basis,

wo alle Vektoren ein paarweise senkrecht stehen und eine Ortonormalbasis ist eine Orthogonalbasis mit normierten Eigenvektoren. So Beispiele dazu, das eine haben wir schon gesehen und taucht immer wieder auf,

die Standardbasis ist eben eine besonders schöne Basis, deswegen nimmt man sie gern, also diese Vektoren E1 bis En, die sind eine Ortho-Normalbasis des Rn,

aber es gibt eben nicht nur die, noch mal ein Beispiel im R3,

also folgende Vektoren 111, 1-10 und 11-2 behaupte ich ist eine Orthogonalbasis des R3,

warum, naja man muss es nachrechnen, 3 Skalarprodukte bilden, den ersten mit dem zweiten multiplizieren, den ersten mit dem dritten multiplizieren, den zweiten mit dem dritten multiplizieren und dabei stellt man fest,

alle 3 Skalarprodukte sind 0 und damit ist das eine Orthogonalbasis, da diese Basis anders entstanden ist, wusste ich es schon so, jetzt können Sie sich vorstellen, wie habe ich die Basis gebaut, ich habe mit dem Vektor 111 angefangen, zu dem Vektor 111 findet man schnell irgendeinen Senkrechten,

1-10 ist relativ offensichtlich senkrecht auf 111, weil einmal 1 plus einmal minus 1 ist eben 0, und wie kommen Sie auf den dritten, diese Erinnerungsfrage, Mathe 1, ja, das Vektorprodukt, Kreuzprodukt, Kreuzprodukt von den beiden und Budis,

so ist der entstanden, also der ist senkrecht auf den anderen beiden, gut, das ist also eine Orthogonalbasis, und wenn Sie eine Orthogonalbasis haben, und das ist hier ein Punkt, auf den ich noch hinweisen will,

dann ist der Weg zu einer Ortho-Normalbasis immer nicht weit, weil was unterscheidet eine Orthogonalbasis von einer Ortho-Normalbasis, die Ortho-Normalbasis hat auf 1 normierte Vektoren, das heißt, was Sie noch tun müssen, ist die Dinger normieren,

also was hat der erste für eine Länge, 1 plus 1 plus 1 und die Wurzel draus ist Wurzel 3, also wenn Sie den mit 1 durch Wurzel 3 multiplizieren, hat der Länge 1, der zweite hat Länge 1 plus 1 und Wurzel draus, also Wurzel 2, wenn Sie den mit 1 durch Wurzel 2 normieren, hat der auch Länge 1,

und der dritte, 1 plus 1 plus 4 ist 6, also 1 durch Wurzel 6, mal 1, 1 minus 2, so, und das ist dann eine Ortho-Normalbasis des R3,

und da sehen Sie, es gibt durchaus noch andere Ortho-Normalbasen als die Standardbasis, auf die kommt man nicht einfach so geradeaus. Ja, jetzt habe ich Ihnen gesagt, wenn man irgendwie kann, wenn die Geometrie Ihres Problems zulässt,

ist es meistens eine gute Idee, eine Ortho-Normalbasis zu wählen, das kann man sich vorstellen, das ist halt schön, wenn alles senkrecht ist, das ist nicht nur schön, das ist sehr, sehr praktisch, und ein Grund, warum das praktisch ist, ist der folgende, es ist nämlich, wenn Sie jetzt Ihre Basis gewählt haben,

was ist dann der nächste Schritt? Wenn Sie Ihre Basis im Raum haben, dann wollen Sie jetzt mit der Basis rechnen, Sie wollen also Ihren Raum aus dieser Basis aufbauen, und das heißt, Sie wollen von jedem Vektor im Raum wissen, wie sich der aus der Basis kombiniert, Sie brauchen die Koordinaten,

wenn Sie eine Basis haben, die Sie dann rechnen wollen, dann müssen Sie die Koordinaten bezüglich dieser Basis bestimmen. Wie macht man das? Na gut, im Wesentlichen muss man ein Gleichungssystem lösen, das kann nervig sein, und die Message dieser Nummer jetzt ist, wenn Sie eine UNB haben, also eine Ortho-Normalbasis, dann können Sie alle Überlegungen über Gleichungssysteme in die Tonne treten,

dann ist es super einfach, die Koordinaten zu bestimmen, und das ist das folgende, also, worum es geht, ist Koordinaten bezüglich der UNB,

also Sie haben eine Ortho-Normalbasis von Ihrem Vektorraum, also sei b, b1 bis bn, eine Ortho-Normalbasis von einem Vektorraum,

ich schreibe jetzt mal von Rn, und x, da ein Vektor drin, und was Sie jetzt brauchen zu diesem x, sind die Koordinaten von der Basis, also wie oft brauchen Sie b1, wie oft b2, wie oft b3 und so weiter, um das x zu bauen,

zunächst mal diese Koordinaten gibt es natürlich, weil das b eine Basis ist, das hatten wir vorhin gesehen, es gibt eindeutige Koordinaten bezüglich dieser Basis, es gibt eindeutige Zahlen alpha1 bis alpha n,

so dass Sie Ihr x schreiben können als Summe j gleich 1 bis n alpha j bj, das ist einfach nur b ist eine Basis, das Problem ist, wie kommen Sie jetzt an die alpha j dran, die wollen Sie wissen, was da steht, ist ein schönes Gleichungssystem, Sie haben n unbekannte und n Gleichungen, können Sie anfangen aufzulösen, ist nervig,

und meine Message hier ist, wenn Sie eine UNB haben, vergessen Sie das Gleichungssystem, kriegen Sie das Zeug geschenkt, und was Sie machen, was die Idee ist, nehmen Sie mal diese Gleichung und multiplizieren, also nehmen Sie ein Skalarprodukt der linken und der rechten Seite mit den Basisvektoren,

also nehmen Sie sich irgendein bk her, wir nehmen uns einen Index k, irgendwas zwischen 1 und n, und multiplizieren mal das x mit dem Basisvektor bk,

können wir machen, wir wissen, wie unser x aussieht, das ist das Skalarprodukt von Summe j gleich 1 bis n alpha j bj mit bk, wie gesagt, wir wollen die alpha j haben, in die wollen wir hier reinkommen, so, jetzt ist das Skalarprodukt linear, das Skalarprodukt ist linear im ersten und im zweiten Argument,

das war eine der Erkenntnisse aus der Matte 1 Vorlesung, was hieß das, das hieß das Skalarprodukt von x plus y mal z, ist das Skalarprodukt von x mal z plus das Skalarprodukt von y mal z,

und Sie können Faktoren rausziehen, und das bedeutet nichts anderes, als das Skalarprodukt von einer Linearkombination ist, die Linearkombination der Skalarprodukte, das heißt, was Sie hier schreiben können, ist, das ist dasselbe wie die Summe j gleich 1 bis n alpha j mal das Skalarprodukt von bj mit bk,

so, das Skalarprodukt von bj mit bk kennen Sie aber, wenn das eine ONB ist, die b1 bis bn sind in der Ortonormalbasis, das heißt, dieses Skalarprodukt hier ist erstens bekannt, das ist schon mal gut, es ist aber nicht nur bekannt, sondern es hat noch den großen Vorteil, es ist fast immer 0, das ist immer 0, wenn nicht das j grad zufällig gleich dem k ist,

das heißt, von dieser ganzen Summe mit n Summanden sind n minus 1 Summanden 0, denn es gibt einen einzigen Summanden, der nicht 0 ist, und das ist der für j gleich k, also diese ganze Summe stürzt in sich zusammen und übrig bleibt nur der Term alpha k mal das Skalarprodukt von bk mit bk,

also dieser Schritt hier ist Skalarprodukt linear, und dieser Schritt hier ist b ist eine Orthogonalbasis, so, und jetzt ist b nicht nur eine Orthogonalbasis, sondern sogar eine Ortho-Normalbasis,

das heißt, hier steht alpha k mal 1, also alpha k, so, und was kriegen Sie, Sie kriegen Ihren Koffizienten alpha k, Ihre Koordinate in der Kartenrichtung, einfach indem Sie das x mit bk Skalarprodukt machen, das ist fix gerechnet, wenn Sie alle Koordinaten haben wollen, müssen Sie halt x mit b1, b2 bis bn Skalarmultiplizieren,

das geht immer noch 20 mal schneller als das blöde lineare Kleingesystem zu lösen, und das ist ein schöner Zusammenhang, also nochmal aufgeschrieben, die Koordinaten sind damit leicht zu bestimmen,

Sie kriegen die Koordinaten von x in der Basis b als alpha k, und das alpha k ist einfach das Skalarprodukt von x mit dem Vektor bk, wobei k eben jetzt von 1 bis n geht, das ist das Ergebnis dieser Nummer,

und das kann man immer mal wieder mit Freude benutzen, und spart sich das eine oder andere gleiche System. Wichtig an der Stelle, ich schreibe es extra nochmal hin, das gilt aber nur für Ortho-Normalbasis,

also wenn Sie eine andere Basis haben, die nicht Ortho-Normal ist, dann ist die Formel Quatsch. Sie haben auch gemerkt, bei der Herleitung hat man das massiv verwendet, dass es eine Ortho-Normalbasis ist, wir haben diese lange Summe gehabt und die brach plötzlich auf einen einzigen Term zusammen,

das geht bei einer anderen Basis eben schief. Gut, aber das soll nochmal zeigen, warum Ortho-Normalbasen wichtige Dinge sind, und warum man versucht, wann immer man kann, wann immer das Problem ist zulässt, in Ortho-Normalbasen zu arbeiten, und die beliebteste ist natürlich die Standardbasis völlig klar.

Gut, an der Stelle sind wir mit dem ersten Paragraphen durch, nächstes Mal werden wir uns mit linearen Gleichungssystemen beschäftigen, wir haben es ja schon gesehen, linearen Gleichungssysteme tauchen hier ständig auf, und wir wollen, weil man die dauernd lösen muss, das ein für alle Mal automatisieren,

und ein für alle Mal ein Verfahren finden, wie man die löst, das ist das Thema der nächsten Woche, für heute bin ich damit am Ende, und ich danke Ihnen für die Aufmerksamkeit.