Kap. 1.12: Lineare Unabhängigkeit

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Kap. 1.12: Lineare Unabhängigkeit
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2
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Release Date
2013
Language
German

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Mathematics Vector space Euclidean vector Raum <Mathematik> Real number Summierbarkeit Mathematical analysis Set (mathematics) Linie Coefficient Number
Series (mathematics) Euclidean vector Vector space Index Real number Direction (geometry) Vector graphics Normal (geometry) Set (mathematics) Factorization Number Connected space
Null Euclidean vector Vector graphics Subset
Euclidean vector Vector space Zusammenhang <Mathematik> Vector graphics Summation Set (mathematics) Linie Coefficient Factorization Number
Euclidean vector Summation Equation
Summation
Euclidean vector Vector graphics Set (mathematics) Factorization
Independent set (graph theory) Algebra Euclidean vector Vector graphics Lösung <Mathematik> Set (mathematics) Mass Summation Nichtlineares Gleichungssystem Equation
Euclidean vector Vector graphics Equation
Euclidean vector Element (mathematics) Vector graphics Set (mathematics) Linie Factorization
Independent set (graph theory) Vector graphics Set (mathematics) Linie Subset
Independent set (graph theory) Vector space Euclidean vector Vector graphics Set (mathematics) Linie
Vector space Euclidean vector Set (mathematics)
Null Field extension Euclidean vector Ende <Graphentheorie> Vector graphics Connected space
Null Addition Vector space Euclidean vector Basis (linear algebra) Vector graphics
Euclidean vector Military base Real number Kompression Vector graphics Musical ensemble Equation
Euclidean vector Vector space Military base Uniqueness quantification Vector graphics Coordinate system Coefficient Equation Factorization Number
Independent set (graph theory) Euclidean vector Direction (geometry) Vector graphics Coordinate system Number
Military base Set (mathematics) Linie Subset Physical quantity
Dreidimensionaler Raum Euclidean vector Vector space Military base Element (mathematics) Vector graphics
Dimension n Vector space Grand Unified Theory Euclidean vector Raum <Mathematik> Military base Block (periodic table) Ende <Graphentheorie> Set (mathematics) Linie Continuous function
Euclidean vector Vector space Vector graphics Set (mathematics)
Set (mathematics)
Addition Euclidean vector Moment (mathematics) Vector graphics Set (mathematics) Coefficient
Euclidean vector
Hausdorff space Euclidean vector
Plane (geometry) Euclidean vector Vector graphics Set (mathematics) Linear subspace
Rotation Vector space Causality Military base Moment (mathematics) Plant variety (law)
Vector space Euclidean vector Basis (linear algebra) Coordinate system Cartesian product Achse <Mathematik>
Dot product Product (category theory) Euclidean vector Military base Direction (geometry)
Dot product Euclidean vector Vector graphics Length Achse <Mathematik>
Dot product Euclidean vector Eigenvektor Physicist Length
Dot product Product (category theory) Euclidean vector Normale Vector graphics Cartesian product
Geometry Grand Unified Theory Eigenvektor Length
Vector space Coordinate system Summation Equation Number
Addition Dot product Product (category theory) Index Term (mathematics) Vector graphics Summation Equation Factorization
Dot product Zusammenhang <Mathematik> Military base Direction (geometry) Coordinate system Herleitung
Mathematics Mathematical analysis
so genau sind die anderen immer so seine Haftstrafe Lernmaterialien an der TU Darmstadt so dann mal herzlich
willkommen zum zweiten zur zweiten Vorlesung 2 wir können direkt einsteigen die er Ihnen weitere nicht doch wenn ich von Ihrer Seite mittlerweile noch Unklarheiten aufgetreten sind organisatorischer Art die ich nicht gut internes weiß sonst nach der Vorlesung ich hatte in den letzten Vorlesung den Begriff des Vektorraums eingeführt und wir waren stehen geblieben bei der sogenannten 7 Jahren würde im Vektorraum der eine Menge in der man addieren und strecken und stauchen kann wie schon mehrfach gesagt werden Sie mal in der ich von Vektorraum reden oder den er 3 und man kann strecken und stauchen oder man und und agieren wir das alles zusammen kommt zum Begriff der ja Kombination also eine gewisse Menge von Vektoren hat alle die man jetzt daraus zusammenbauen kann in dem man die beliebig streckt staucht und addiert und das führt auf den Begriff der in Jahren mit dem würde ich wieder einsteigen also wir sind in den Nektar Raumfahrer und dann haben mehr Anzahl Vektoren K Stück Vereins 1 bis vor K aus diesem Sektor und die Jahre würde von diesen Vektoren die hat sich notiert als Leben von vor 1 bis vor kann das war die Menge aller Kombination dieser K Ton also die Menge an der Summen ja gleich 1 bist K wobei sie jedes vor J mit einem Koeffizienten Alfa J multiplizieren können und der diese Zahlen Alfa 1 bis verjuxt Alfa Kasem in reelle Zahlen es ist die Menge aller linear Combination diese bilden können aus dem wird vor 1 bis vor K das ist die Linie haben würde diese Sektoren und haben dann am Schluss der letzten Vorlesung noch gesehen die 7 Jahre Höhle hat die schöne Eigenschaft dass dieser ist wieder ein Vektorraum ist und damit den unter Vektorraum des Raums fahren und Bedeutung oder Anschauung davon ist diese Linie Jahre würde ist der kleinste unter Vektorraum denn sie finden können ja groß genug ist dass alle vor 1 bis 2 K umfasst aber eben also wenn Sie sie können keine kleineren Vektorraum finden der vor 1 bis vor kaum fast aber es eben nicht unnötig groß im Sinne von ist der kleinste der die enthält dann einmal 1 2 konkrete Beispiele dazu also 1 11 Beispiele fangen wir an mit denen Jahren Höhle
von einem einzigen Vektor Was ist das wir mal Normalenvektor 1 0 1 7 3 also was ist die Menge alle linear Kombination die sie aus diesem Sektor machen können können Sie gar nicht so viel tun sie können diesen halt Stauchen und Strecken und sie können meinetwegen mit sich selbst agieren aber mit sich selbst agieren entspricht strecken um den Faktor 2 also ist das auch wieder strecken insofern bleibt den ausstrecken übrig das ist die Menge aller Viniar ja Kombination lässt sich schreiben als alle vielfachen dieses Vektors also das ist die Menge aller als Fahrten mal 1 0 1 mit Alfa aus er nein unser einfach oben der Definition haben sind jetzt im Fall K gleich 1 wenn Sie so mit einem so meinten das Alfa 1 nicht nur als habe mich nun als Verein Zeit bräuchte Index nicht können sondern mal anders schreiben das ist die Menge alle Viktor in der Form allen 0 als war bei Alfa aus den reellen Zahlen ist das ist Ursprungs gerade in Richtung des Vektors 1 0 1 durch den Ursprung das wäre die ihn Jahre würde von einem Sektor
wenn ein paar mehr nehmen wird dass ich schnell größer Rektoren sie nehmen sie mehr Möglichkeiten sehen ja Kombination zu bilden den Jahren immer größer und größer und ich will ihnen zeigen dass die sehr schnell groß werden nehmen wieder Vektoren im R 3 diesmal 3 Stück den Vektor 1 0 0 den Vektoren 0 1 0 und den Sektor 0 1 0 1 im Jahre würde davon alle möglichen ja Kombination der kleinste unter Vektorraum des er 3 das Ding enthält und meine Behauptung ist der ist schon gar nicht mehr so klein sondern der ist schon der ganze Reihe woran liegt das was muss ich da was mussten wir sehen um das einzusehen wir müssen denn das wie Sie das wieder wird dann als 3 ja kombinieren lässt aus diesen 3 ff Vektoren und das ist gar nicht so kompliziert nehmen sie sich irgend Vektor X aus dem er 3 Jahre also wenn wir einen Vektor x immer 3 haben dann hat der 3 Komponenten bestehen die Zahlen drin x 1 x 2 x 3 und den kann man
jetzt für nicht geradeaus durch diese 3 in den Sektoren der oben den ja kombinieren der Vektor x ist nämlich also x 1 x 2 x 3 ist x 1 x der Vektor 1 0 0 plus X 2 mal der Vektor 0 1 0 plus X 3 mal der Rektor 001 das von rechts nach links rechnen sollte man es recht schnell sehen da und damit können Sie jeden weckt dann als 3 linear kombinieren aus diesen 3 Vektoren und das ist eine sehr schöne Eigenschaft über so viel zunutze machen werden die bedeutet im Wesentlichen können Sie sich den gesamten Raum R 3 aus 3 Vektoren zusammenbasteln die 3 Vektoren haben sind alle andern als in der Kombination darstellbar das heißt diese 3 Vektoren bauen schon den ganzen Raum zusammen das ist keine keine spezielle Eigenschaft dass er 3
das geht in jedem N sie müssen nur je nachdem wie groß das Essen paar Rektoren mehr hernehmen also oft genau die gleiche Weise dann 7 wenn Sie die 7 Jahre würde der Rektoren die immer nur an einer Stelle 1 haben sonst über einen Nullen also das Werk Los 1 und dann über über 0 0 1 und dann über 0 und so weit es lassen Sie die 1 immer weiter durchwandern bis zum Sektor 0 0 0 0 0 1 ja das ist der Teilmenge vom allen erst mal das ist mit den Jahren würde von Vektoren aus mehr in der Medizin aber es ist eben nicht nur eine Teilmenge von allen sondern auch hier kann man zeigen dass es tatsächlich gleich genau das Gleiche wie oben und die gerade schon gesagt die
wesentliche Bedeutung auf die wir gleich zurück kommen wollen und die ja fundamental für die ganze Theorie der Vektorräume ist ist das sie vor Vektorraum gar nicht so wahnsinnig viel kennen müssen um ihn zu um ihn zusammen bauen zu können Sie brauchen diese in Vektoren oder ganz werden lässt sich aus den in zusammenbastelt man kann den ganzen N aus in Vektoren zusammenbasteln das kann man natürlich fragen sind diese Sektoren die da oben stehen irgendwie speziell in diesen schön einfach nur eine als Sorte wohl aber gibt es noch andere solche setzt von allen Sektoren mit dem wir den n zusammenbauen können und die Antwort ist ja viele aber nicht jeder selbst von allen Sektoren tut die müssen die Investoren von geschickt werden und der Begriff der ihnen sagt was geschieht ist der kommt jetzt sie müssen die Vektoren nämlich sogenannte den er unabhängig wählen und das ist der nächste Begriff der
in eben der dieses Geschichte Finidi Musikdirektoren geschickt wählen damit ich aus den dann den ganzen Raum zusammen noch keine also Jahre Abhängigkeit und in der Unabhängigkeit in dem Zusammenhang der zentrale Begriff so also wir sind wieder 1 Vektorraum V denken Sie Ende der 3 und wir nehmen uns da jetzt wieder K Vektoren raus 1 vor 2 ist vor ohne es definiere ich Ihnen erst was es bedeutet dass die linear abhängig sind in dem Bild von freuen heißt das wieder Sie die Vektoren nicht wählen damit also das ist das wenn man sie nicht man sollte man den ganzen allen zusammenbaut also diesen die Linie abhängig wenn die folgende Bedingungen gilt wenn das Koeffizienten Albvereins des Alphakanal gilt und jetzt ist wichtig es muss Karte vor Faktoren geben wichtig ist die Bedingung die dürfen nicht alle 0 sein also nicht irgendeine muss zumindest was anderes sein als 0 und für die Zeit vor Faktoren wie die Koeffizienten bis verkam muss gelten dass die den ja Kombination die sich daraus ergibt also die Summe J gleich 1 ist klar als er JV J die soll der neue weg sein also die Vektoren heißen sie mir abhängig wenn ich solche Zahlen finden kann vereinigtes des Alfa K so dass die zugehörigen ja Kombination genau wohl ergibt man nennt das man sagt dann auch gern es gilt eine nicht triviale linear Kombination bis 0 Vektoren das ist damit gemeint denn 0 Vektor haben wir uns letztes Mal überlegt können Sie aus jeder nicht Menge
von Vektoren ja kombinieren ja wenn sie in dieser in diesem Jahr Kombination da oben alle Alfa J 0 setzen dann kommt natürlich sowohl Vektor- raus also nur mal vor 1 plus Burma 20 vertrauen die natürlich immer die 0 Vektoren also diese Gleichung hier diese Vektorgleichung Summe Alphajet VJ gleich 0 hat meine Lösung nämlich die Lösung 0 1 1 gleich 0 etwa 2 gleich 0 bis Anfang K 1 nun das ist sogar die triviale Lösung würde die immer die interessiert aber nicht was Sie die Frage ist wenn es eine nicht triviale Lösung gibt es wenn seine nichttriviale Wahl von Alfa 1 bis als in gibt es ein Beck eine Wahl dieser Eifer wohl nicht alle 0 sind sodass trotzende aus dann nennt man diese Sektoren ich gut wir unabhängig kriegt man jetzt einfach als das Gegenteil
davon die Dinge heißen sie mir unabhängig wenn sie eben nicht länger abhängig sind das ist hingeschrieben da und so wie es dasteht unsere Dover nachgerechnet oder man muss sich ja mal überlegen was das bedeutet nicht linear abhängig sein der was bedeutet das nicht linear abhängig wie gerade gesagt denn abhängig bedeutet diese Gleichung da oben Summe als VJ gleich 0 hat eine weitere Lösung außer der trivialen Lösung die gibt immer alle Alfas sind 0 ist der Lösung abhängig bedeutet das ist nicht die einzige Sonne ist noch eine mehr nämlich als irgendeine wo nicht alle 0 sind das heißt wenn sie nachweisen wollen das Land was den ja unabhängig ist dann müssen sie zeigen es gibt keine mehr es gibt nur diesen oder so wir also nachweisen tut man das in dem man Zeit ja also diese Gleichheit
Summe J gleich 1 ist klar das Beifall J VJ gleich 0 ist nur erfüllt wenn die ganzen alt fast alle Vereins gleich alle für 2 gleich einen Frack wenn die einen los das bedeutet der unabhängig gut schauen uns das in Beispiel 1 und dann mit weil das jetzt gleich wieder raus scrollt habe ich dies die Definition wieder auf Folie gepackt auf der muss gut finden dort noch kurz gut so
scheint da drüben langsam genau das ist ja Aufstand also 2 ne Menge von Vektoren abhängig wenn diese Gleichheit zum als wertvolle obgleich 0 mehr als die Lösung hat und es sind ja unabhängig wenn sie eben nur den unlösbar Jo also das am konkreten Beispiel 1 13 1. Beispiel in dem uns 3 Vektoren im R 3 soll davon auch angefangen die Vektoren 1 0 0 0 1 0 0 0 1 haben wir gesehen der den Jahren es der ganze hat 3 das könnte man versuche man nimmt sich wieder 3 Vektoren probiert ob auch klagt 1 2 2 1 zu 0 0 0 1 1 das sind 3 Vektoren im R 3 wenn ich behaupte die sind linear abhängig warum sind mir abhängig was muss ich finden um nachzuweisen dass abhängig sind sich muss zeigen diese glatt es gibt irgendwelche Alfa 1 etwa 2 Alfalfa dass sich aus den 3 die 0 Rektor kombinieren kann ohne dass die ganzen Alfas Muse und da kann ich Ihnen eine Lösung angeben zum Beispiel wenn sie den Vektor 1 2 2 nehmen davon weckte 1 0 0 abziehen dann haben Sie noch 0 2 2 übrig wenn Sie davon noch zweimal den 3. abziehen dann bleibt übrig 000 also wenn sie alle 1 gleich 1 2 gleich minus 1 und alpha 3 gleich minus 2 wenn man sie nur Rektor kombiniert und die vor Faktoren sind nicht allen also sind die Dinge die mir abhängig mehr als das ist
dann nur Rektor hier die man jetzt ja kombiniert aus den 3 nicht Filialen ja kombiniert damit sind Dinge die mir abhängig dann zweites
Beispiel ja unabhängige Menge gesehen haben kriegen wir jetzt an den ja unabhängige also meine Behauptung ist jetzt immer 2 die Menge der Vektoren als die beiden Vektoren 3 1 und 1 2 also März war es in Kenia unabhängig so was müssen wir jetzt tun wie Weise der leben Jahre Unabhängigkeit nach Städte und in der letzten Zeile müssen und wir müssen uns die Lösungen dieser Gleichung Summe Feuer gleich 0 anschauen und müssen zeigen diese gleichen hat nur eine Lösung denn nicht alle alle fast gleich 0 also Maß das bedeutet dass wir schauen uns an für welche alle Vereine zum also 2 gilt allen Vereins Maler Viktor 3 1 plus Alfa zweimal der Vektor 1 2 ist der 0 Vektor also 0 0 und über sie
jetzt kriegen Sie jetzt was was wir sehen will in der Algebra ständig und dauernd kriegen nämlich einen Ausgleich im System damit werden uns auch noch ausführlich befassen das ist das 1. Mal dass das passiert wenn Sie diese beiden diese Vektorgleichung jetzt wir lösen wollen dann ist es sinnvoll die in die beiden Kunden in die beiden Kuhlen Daten aufzusplitten in 2 Gleichungen und dann kriegen sie aus der 1. aus der ersten Zeile der Vektoren die Gleichung 3 x Alfa 1 plus 1 vor 2 muss nun sein und aus der zweiten Zeile kriegen sie alle vereint plus 2 Elfer 2 ebenfalls 0 so dieses System müssen wir lösen gibt es verschiedene Möglichkeiten in dem Fall ist das zum Glück relativ übersichtlich was macht man man löst die 1. Gleichung zum Beispiel nacheifert 2 auf allenfalls 2 ist minus 3 x 1 und wenn Sie das haben können sie damit Alfa zwar in der 2. Leiche ersetzen und kriegen alle 1 plus 2 Alfa 2 2 1 Fax weisen minus 6 1 Vereins da ich nur
also immer noch mal aufräumen was wir da haben sagt uns die 1. Gleichung dass alle 2 ist das Minus dreifache des 1 und die zweite Gleichung heißt minus 5 alpha 1 ist 0 das bedeutet war 2 die Gleichung können Sie durch minus 5 Teilen oder ist alles sagen wie das 5 ist nicht 0 also muss ein Verein nur sein mein Alfa 1 0 ist eines als wir 2 das Minus 3 Dreifache von 0 das ist aber auch ziemlich 0 so gekriegt haben ist wenn wir aus unsern beiden Vektoren den 0 Sektor kombinieren geht es nur trivial geht das nur mit 1 1 des Alfa 2 gleich 0 also was
daraus gekriegt haben ist der 0 Vektor aus unseren beiden Vektoren 3 1 und 1 2 kann nur trivialen ja kombiniert werden und das bedeutet die beiden 10 gehen ja unabhängig also ist der Vektor 3 1 und der Rektor 1 2 denn ja unabhängig so haben wir eine in der abhängigen einen der unabhängige
man gesehen ich habe will als 3. noch eine ja eine kurze Verständnis weitere Verständnis Frage stellen allen und ein weiteres ganz einfaches Beispiel betrachten das aber heute für Verwirrung sorgt weswegen dies extra ansprechen was ist denn mit der Menge hier sie habe ein Vektor möchte 0 weg ist den den mir unabhängig werden mir abhängig Definitionen was heißt Definition von ja abhängig sie müssen alle nichttrivialen linear Kombination das nur Vectus provozieren das geht in dem Fall also die man ist immer abhängig warum weil ich kann aus den Elementen dieser Menge den nur Lektor kombinieren mit vor Faktoren die nicht nur das zum Beispiel ist 23 der 0 Vektoren 0 Vektor ich kann als vereint gleich 23 nehmen man habe ich mit den nichttrivialen weist die 0 Vektor kombiniert damit ist das Denken ja abhängig im Jahr und alles entscheidende hier ist das eben 23 nicht zu damit ist ja das ist eine sehr einfache in der und der Linie abhängige Menge üblicherweise meiner abhängige Mengen besucht machten die immer so gefühlt ganz groß lässt sich schon mit ganz kleinen Mengen
scho diese sind diese Begriffe den ja abhängig denn ja unabhängig habe sehr angenehme Eigenschaft dass sie bei das sieht sie nach dem auf ob die Menge würde die man größeren kleiner macht zum Teil erhalten bleiben das möcht ich kurzer Satz formulieren also Satz 1
14 wenn Sie nicht länger unabhängige Mengen haben und da davon Teilmengen nehmen dann geht die den ja Unabhängigkeit nie verloren also jede Teilmenge in der unabhängigen Menge ist wieder länger unabhängig das ist angenehm aber auch nicht so wahnsinnig der schwer einzusehen was bedeutet sie ja unabhängig in der unabhängig heißt man kann den 0 weckt aber nur trivial aus weg von kombinieren es gibt nur diese Lösung wohl mal alle Sektoren die darstellen immer wenn sie noch weniger Vektor zur Wirkung haben dann wird es noch schwerer den wohl Viktor nicht trivial zu kombinieren wenn schon vorher keine andere Lösung gab Unsinn denn jetzt noch Baumaterial weg dann kriegen Sie das erst recht nicht hin und damit bleibt das Team mehr unabhängig umgekehrt wenn Sie den
der abhängigen Menge haben und Karten da noch was zu dann kann dieses dazu machen die gehen ja Abhängigkeiten die wieder kompensieren weil wenn es schon da drinne Lösung eine nicht nichttrivialen ja Kombination des würde das gehen nein also was packen nicht die triviale Kombination der erhalten das heißt die Abhängigkeit bleibt so wie sie ist also jede Obermenge eine Linie abhängigen Menge es wieder länger abhängig umgekehrt gelten beide nicht also wenn Sie mir unabhängige Menge habe packen was dazu dann kann die Jahre Unabhängigkeit durchaus kaputt gehen wenn sie mir abhängige Menge haben was wegnehmen dann kann die liegen kann dass der unabhängig werden Firma wenn Sie jetzt
ziehe also 1 13 10 1 14 zusammenleben kriegen sie eine einfache Schlussfolgerung aus die häufig nutzte ist so weit sind die Menge haben wir wohl Vektor enthält das ist immer abhängig also egal die Fiege ließe sich die ausdenken so weiter 0 Vektor drin ist es das Zeug immer linear abhängig bei der nur der du alleine schon immer abhängig und jeder Obermenge bleibt immer abhängig also bei der 0 Vektoren Spiel es ist aus mit dem der Unabhängigkeit seit ich vorhin
gesagt diesen Begriff Länder abhängen mehr oder wenn ich für man ein weil man damit abgreifen kann welche Wahl von Vektoren gut geeignet ist um ein Raum zum Beispiel den er 3 aus Vektoren zusammenzubauen gesehen es reichen wenn es geschickt anstellt 3 Lektionen R 3 zusammenzubauen dann da wenn Sie so ein Baukasten bauen wollen so minimal Baukasten wenn er 3 zusammenzubauen da dann oder Stevia abhängig dann bedeutet dass sie können einen von Direktoren aus den anderen ja kombinieren dann also sozusagen von einem der sich bauen lässt da drinnen können sie auch aus der Ferne können sicher wieder bauen das heißt wir abhängige Mengen sind viel zu groß das Ziel muss eine Linie unabhängige Menge zu finden die den ganzen Raum aufspannen sowie von unserer 3 Vektoren 1 0 0 0 1 0 0 0 1 und das führt auf den Begriff der ganz fundamentale Begriff der Basis eine Basis eines Vektorraum das ist ein Satz von Vektoren der groß genug und klein genug ist groß genug ist in dem Sinne dass er seinen Jahre will alles ist also Sie können den ganzen Raum aus diesen Sektoren zusammenbauen Berlin der Kombination der dem Sinne klein genug ist dass er keine zu viel enthält das heißt immer unabhängig ist keiner der Vektoren lässt sich durch ein durch die andern darstellt und Sie haben keine da drin der selbst schon Jahr Korjaken mit seiner Kombination der andern ist ist die die der Basis also das ist Teilung 1 15 also ohne Sammlung von Vektoren B 1 bis B N denken Sie an unsere vorhin 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 3 denn wenn man eine Basis dass wir uns fragen falls 2 Bedingungen gelten und das ist jetzt in Bewegung groß genug und klein genug also falls die Bedingung klein genug wenn ich mal die 1 B für Basis als diese
Sektoren B 1 bis B n ja unabhängig sind das heißt keiner von denen lästiges im Jahr Kombination aus andern schreiben und zweitens die Menge aber trotzdem groß genug ist dass die den Jahre würde der ganze Raum ist also die Nähe haben würde von B 1 bis dieser ganz aus und noch mal die Idee von seiner Basis ist es gibt in allen Bausatz aus Vektoren so dass wenn Sie diese Investoren haben wissen sie im Wesentlichen alles über ihren Vektorraum wenn Sie diese in Vektoren haben können Sie werden ja kommen dazu und den ganzen Rest passt das ist das was mir W 2 stellt die gesamte Vektorraum lässt sich belegen ja Kombination aus diesem enden ja elementar Bausteinen zusammenbauen und B 1 sorgt dafür dass Sie nicht zu viele elementar Bausteine haben das die wirklich bindenden minimal viele sind zur dem Beispiel Basis aber schon gesehen
sogar ganz wichtiges Beispiel Schatz meinen
das ist ja eigentlich die allerwichtigste Basis für eine mehr n ist die sogenannten Einheitsvektoren Erweiterung des vorigen Beispiel S 1 0 0 0 1 0 0 0 1 jetzt für die Vektoren die aus man die jeweils nur eine 1 haben und sonst Nullen enthalten die werden meistens mit E 1 bis E N bezeichnet also die einzigste weckte der der 1. Komponenten ein Star und dann über einen 0 ist es war ist der Vektor denn der zweiten Komponente 1 hat und sonst über 1 0 ist und so weiter 3 ist dann der weckte der in der 3. Komponenten nein hat und sonst über 0 ist und so weiter bis E N und die Endes der Rektor der bei dem die 1. N minus 1 Komponenten alle nur sehen und die letzte ist die Dinge heißen Einheitsvektoren und ich
hatte vorhin eben den geschrieben dass es genauso wenn er 3 geht dass die im Jahre würde von diesen ein Vektor der ganze Endes haben sie in ein Bett aus mehr N haben x 1 bis 6 m dann können Sie den aus dem Wege gehen ja kombiniert den Sikhs 1 meinen 1. plus X 2 Mal den zweiten plus X 3 Mal den 3. bis plus X einmal den letzten nehmen das heißt die Jahre von diesen Vektoren ist ganz eng das ist B 2 also diese Vektoren erfüllen dieses diese Bedingung B 2 was jetzt noch fehlt es P 1 diesen den ja unabhängig und das ist auch nicht Art schwierig also schon mal die Dinge hier bilden eine Basis dass er und dieses eigentlich das wirklich die dieses Beispiel doch am Anfang das ist die wichtigste Basis der Mann sozusagen keinen Grund hat eine andere zu wählen dann wird man die das ist die sogenannte Standard ja wann immer sehen kann dieses Korrelaten Kreuzchen malen dann ist das genau das so war ist dass wir da sind
also eine hatten wir gerade schon gesagt B 2 die Vektoren die denn er würde von diesen ganzen Sektoren ist der N das hatten wir schon im Beispiel 1 11 uns zumindest für den er 3 überlegt aber mehr in wie sieht es genauso aus so dann brauche nur noch B 1 B 1 war die Vektoren sind die mir unabhängig ich habe auch die Definition von der Basis noch mal offen vor ihr geworfen dann ist das hier präsent also die beiden Bedingungen 1. die man ist klein genug für unabhängig und zweitens ist groß genug Zeuge den ganzen Raum an sehr vielen Jahren will ist der ganze Vektoren Frauen was die Ehre der ganze Vektorraum V es haben schon brauchen denn ja unabhängig also wieder wie vorhin was müssen wir nachweisen für die Jahre Unabhängigkeit im Westen und schauen wie können wir aus dem Weg zu wollen denn nur Lektor kombinieren der neue Welt mehr N ist eine Spalte mit ganz vielen Nullen drin und wie können wir denn jetzt erreichen in dem wir unsere Standard Basisvektoren ja kombinieren was die hier steht man somit so meinten im ersten Summanden steht Eifer 1 x 1 0 0 und so weiter 0 bloß Alfa 2 Mal erweckte wenn wir in der zweiten Stelle einziehen will plus und so weiter bis plus 1 für ihn mal der Rektor der nur an der letzten Stelle 1 hat und wenn Sie die alle auf aufaddieren 1 x 1 x 1 zu 0 plus etwa 2 x 0 1 0 0 dann kriegen Sie einfach den Vektor Eifer 1 1 1 2 1 x 3 1 1 4 bis 1 Verein also das ist der
Vektor Vereins 1 für 2 und so weiter ist ein Verein so und für
welche Werte von Alfa ist der Vektor als H 1 1 2. Alfa in leichten wenn du 0 0 0 0 0 das ist nicht so wahnsinnig schwer diese Gleichung System zu lösen das liefert direkt Albvereins ist 0 Alfa 2. 0 Alfa 3 1 0 und so weiter bis alle Vereine sind 1 0 und das heißt das Zeug ist in unabhängig also sind die Vektoren E 1 in 2 bis ISBN denn ja unabhängig denn es gibt nur eine Möglichkeit aus in den nur Sektor zu bauen und das ist die Wahl die triviale Variante nun nur mal den ein Plus nur mein 2. wie gesagt das ist das einfachste
das Standardbeispiel aber auch das Wichtigste an der Basis arbeitet man sich üblicherweise ab wenn man keine andern Grund hat dort stehen dann gibt es natürlich viele andere ich dir wenn einfach noch mal einer an an der können sie sich dann austoben also zum Beispiel die Vektoren 1 0 1 1 1 1 und zwar im minus 1 1 auch 3 Vektoren behaupte ließ eine Basis das er 3 wie gesagt daraus können Sie sich ein bisschen austoben so dass mal nachzuweisen was Sie tun müssen sind die 2 Bedingungen zeigen wie man ist groß genug das heißt sie können jeden Vektor aus dem R 3 kombinieren ist in der Kombination aus dem 3 und zweitens ist klein genug das heißt die mehr unabhängig Krupp er warum einheitliche zu auf diesen Basis Begriff herum bei der Basis Begriff ein ganz ganz starkes Hilfsmittel ist wenn man irgendwas Vektoren machen will ja ist ja auch eigentlich fasziniert und toll meine Band im Alltag nicht über nach aber sie haben diesen riesigen Raum R 3 ja der ist an der schon groß aber der 3 noch viel größer und das sind aber wir jagen von Vektoren und es reichen 3 D Bausteinchen 3 Atome sozusagen aus aus den können Sie diesen ganzen Raum zusammenbauen das ist schon das besonderes ja da auch wenn sind gut wenn sie dann in den R 5 müssen erreichen nur noch 5 Jahre und in diesem R 5 sind wirklich wahnsinnig viele Lektoren fünfmal so viele reelle Zahlen die man noch viel mehr regelt die Anzahl der Jens Hanhofen wahnsinnig viele Vektoren und 5. greifen und Sie können die alle beschreibt nein das ist eine unglaubliche ja als den formatige würde man sagen Kompressionsrate mehr sie müssen nur 5 Sektoren abspeichern eine ganze 5 im Griff das ist möglich das ist der Hintergrund warum die Basen so wichtig sind und deshalb denn so viel arbeitet weil man eben ja eine unglaubliche Kompression erzeugt und das ist ganz oft so dass wenn man eine Basis verstanden hat hat man im Prinzip den ganzen Raum statt deswegen was sind
wichtige Eigenschaften von Basen und was
liefern die uns also Satz 1 17 ich nenne das mal wichtige Eigenschaft von Basen und das 1. formuliert noch mal ohne diesen 1. period nicht dass der ganze Raum im Jahre ist und
zieht die zusätzliche Nahrung aus dem zweiten Punkt dass das Zeug immer unabhängig ist also 1. wenn wir also einen Vektorraum haben Bittner Basis die Basis nämlich mal B weil die Vektoren da drin B 1 bis B M heißen dann sie 1. period da trügen wenn es die Jahre Hülle von dieser Basis der ganze Raum das heißt jeden Vektor n V können Sie es denn ja Kombination der Vektoren B 1 bis B in also dann gibt es zu jedem Sektor er sieht sie jeden Fall aus fahre Apps dann Koeffizienten zahlen Alfa 1 bis 1 für n denn sie können jeden Vektor als den ja Kombination schreiben das heißt sie finden solche vor Faktoren etwa 1 bis er n soll das sehen diesen Sektor Frau schreiben können als wir obgleich 1 bis in alle vor J ihr habt das ist der eine Teil das kriegen Sie aus dem B 1 wenn das heißt einfach dass das was jetzt dasteht es einfach nur die Vektoren B 1 bis B in Berlin ja würde es ganz Frau ja noch dieses 2. der das Bild der einsame noch die Vektoren sind wir unabhängig und das sorgt dafür dass auch diese Gleichung wenn Sie Frau gleich 0 setzen dann die geht das sagen sie alle Alfas gleich 0 und den er unabhängig bedeutet es gibt nur diese Lösung werden nur der können sie nur kombinieren als beeinflusst die 2. Nummer wählen zwar weil die Vektoren Sie ohne und das Zeug geht jetzt nicht nur den nur sagt aus und das gilt für jeden Vektor das heißt diese Darstellung diesen Alfa Lords die gibt es nicht nur so dies eindeutig also es gibt sie jeden Hausfrau eindeutige Koeffizienten das ist hier das richtige Wort und das heißt wiederum period im Raum ist durch diese kommerziellen 10. eindeutig festgelegt das ist das das ist jetzt der er ein hochtrabendes Ergebnisse was sie alle kennen das ist das was man Koordinaten nennt wir diese Zahlen alle Vereins bis Alfa in das sind die
Koordinaten von einem Vector bezüglich der was ja das ist die Grundlage jedes Koordinatensystems diese Zahlen einfach 1 bis Alfa entnimmt man Koordinaten von Frau bezüglich will und die sagen ihnen eben wie Sie Vektor v gegeben weckte V aus der Basis kombinieren können und dadurch dass die Basis unabhängig ist können Sie denn im sogar gegen diese Zahlen eindeutig fest als ziehen weg da gibt es genau ein eine Sammlung zahlen Liedersammlung zahle für den ein so das ist Nummer 1 da und dann nächsten 2 zu normal ist Umformulierung was ist eine Basis zum bisschen auch ja und dafür Gefühl zu kriegen ich hatte gesagt der was ist ja hat 2 Bedingungen die eine sagt das Ding es möglichst großen anders als es groß genug gesagt dass ist klein genug wenn diese beiden Bedingungen arbeiten müssen gegen andere und die Basis der Kompromiss da unter der sagte zu ihm da ist dieser Kompromiss den gibt es genau und man kann in keiner Richtung abweichen und bleibt ja was guten also wenn sie eine Basis haben und packen noch irgendwas dazu also ist jene Basis von Frau und nehmen jetzt B und packten irgendeinen Vektor dazu wenn ich meine jetzt natürlich Recht dazu also das Frau soll zwar aus Frau seinen wie den nicht schon in B enthalten also mir noch ein dazu oder nicht in die drin ist wirklich ein dazu dann ist das Ding immer sofort wenn ja abhängig das hat mir vorhin gesagt wenn sie Zwillinge unabhängigen Menge was dazu nehmen kann das denn ja abhängig werden und das hier sagt jetzt bei der Basis passiert das immer wenn sie der Basis haben hat noch wunderst dazu was wollt ich drin war sind sie sofort in ihr abhängig und in dem Sinne kann man formulieren Basen 10.
maximale maximal große sie unabhängige also wenn sie wir unabhängige Menge haben von Vektoren und wann immer sie etwas dazu tun mir abhängig denn ist das etwas
jetzt umgekehrt wenn sie eine Basis haben und mitnehmen was weg also
es war ist und sie würden eine Teilmenge von B wie aber nicht mehr ist also er zelebriert wird ich weiß zu diesen echte Teilmenge von B dann erfüllt sie niemals diese Bedingung B 2 ja also wenn Sie noch was wegnehmen dann wird es mit dem ja unabhängig nur besser aber dann geht immer die zweite Variante die zweite Bedingung schief dann ist
automatisch die Linie aber würde von CD echte Teilmenge von Frau also wenn sie von der Basis den entdeckte wegnehmen dann ist immer sofort mit 2 verletzt man sieht man zu sein großes Glück B 1 sagt die Menge muss klein genug sein wie 2 sagte man muss groß genug sein und es gibt einen Punkt wo die beiden aufeinander treffen und es gut gelten also diesen Detail auch noch mal als Salz Bahlsen 10 minimal kleine erzeugende Menge ja also die 7 Jahre würde das ist der ganze Frau von der Basis aber sobald sie irgendwas wegnehmen was so viel weggenommen gut wenn sie die Basen sind
sehr empfindlich gegenüber der Anzahl der Vektoren ein Werk oder eine dazu gehe ich und diese an der Direktoren der Basis sogar noch was Tolleres die ist nämlich eine Eigenschaft des Vektorraums und nicht der speziellen Basis das heißt wenn Sie 2 Blasen vom selben Vektorraum haben wir hatten freuen das Beispiel für den er 3 habe ich ihn schon 2 angegeben einmalig Standard Basis 1 0 0 0 1 0 0 0 1 und einmal die zweite der letzte Übungsaufgabe ich weiß jetzt nicht auswendig was waren mit von Knox die Basis auf jeden Fall bestand die aus auch aus 3 Vektoren und das ist kein Zufall sein dass es immer so wenn Sie 2 Basen 1 Vektorraums haben dann enthalten die immer gleich viele Vektor das heißt diese Anzahl der Vektoren in Basis das ist der fundamentale Größe des Vektorraum sondern nichts damit zu tun wie Sie jetzt gerade ihre Basis geschieht wie wenn sie nur wenn sie einen Vektorraum aber da drin Witze Basis mit 7 Elementen denn wissen wie jeder andere Basis hat auch sie meine mit es gibt dann keine andere mit 6 und keine mit 8 wenn's eine mit 7 gibt hat jede 7 Elemente das ist mit staunlich Eigenschaft von Vektorräumen und das macht diese
Anzahl der Elemente einer Basis zu der fundamentalen Größe unserem Vektorraum zu beschreiben und das ist der Weg diesen Begriff kennen sie auch alle das ist nicht das was unsereins im Alltag die Dimension nennt der Raum ist in 3 dem ins Visier dreidimensionalen Raum weil man diesen Raum aus 3 Vektoren zusammenbauen kann und ein Raum den sie aus 15 Vektoren zusammenbauen können seit ein Raum Vektorraum deren Basis aus 15 Sektoren alles in meine 15 aber und das ist eine fundamentale Größe die Sonne Raum hängen und wenn sie dann eben Swenson Raumdimensionen 5 hat dann ganz jede Basis 5 Vektor ist festhalten also 1 18 der Begriff der Dimension wenn gesehen im 1
17 des also wenn Vektorraum ist so enthalten alle Basen gleich viele Elemente und diese Anzahl die nennt man die Dimension das ist und eben im R
3 ist diese Dimension 3 im ist diese Dimension N Nachfolgestandard Basis gesehen er Einzel 2. Endes in Vektoren zur Basis also ist die Dimension M und das ist auch das womit es meistens zu tun pflegen und die übliche Schreibung für die Dimension des denen von vor ist gibt es noch 2 Dinge dazu zu sagen dass es dieses gibt noch ein Sonderfall denn wir noch keine wirklich Dimension zugeordnet haben nämlich den putzigen kleinen Raum dem festgestellt letztes Mal es gibt ein häufig vernachlässigt kann aber durchaus existenten sehr klein Vektorraum nämlich die hier der das wird Basis bisschen schwierig weil die einzige teilen die Sie hier ausleben können ist ein gute Lehre Menge oder der die nur dem wolle enthält diese Raum hat einfach keine Linie unabhängigen Lektoren und weil man aber gern dem auch mit Dimension zuweisen will wenn man sonst dauernd von Unterscheidung machen muss da gibt man dem die Dimensionen Was ist eine vernünftige Setzung einer der dieser Vektorraum entspricht einem Punkt period hat gemeinhin Dimension 0 also das ist es aber einfach eine Sitzung per Ordre du mufti ja man sagt dieser dieser Raum der mir die 0 enthält der hatte man sowohl man macht man sogar noch der Flieder und sagt die geben dem Raum so Basis wir definieren dieser Raum hat die Basis leere Menge der dann passt mit hier oben weil jede Basis dieses Raumes erhält dann 0 Elemente und das ist immer so aber egal wie egal wie man es dreht das ist Umsetzung per Dekret oben hat das ist nur damit man nicht immer schreiben muss sei der sei vor ein Vektorraum und Frau nicht 0 der geht gut ein man hat auch der neue Rahmen Dimension und das Hintergrundwissen will ich an der Stelle noch kurz sagen dass ich nicht hier in dieser Vorlesung und das ist auch völlig sinnvoll und sie wahrscheinlich ihren weiteren sehr wahrscheinlich Ihr weitere Studien wenn sie Glück haben die ganze Zeit auf das beschränken was ich je gemacht hat nämlich eine Dimension N in kann groß sein aber es bezahle das ist nur die halbe Wahrheit wie gesagt es kann gut sein dass sie mit der halben Wahrheit durch komme es immer und nicht mehr aber es gibt reihenweise Vektoren die nicht endliche Dimension sind sogenannte unendlich dimensionale Vektorräume und wenn Sie jetzt sagen spinnt völlig dürfen Sie das gern denken aber das Zeug gibt reichlich denken Sie zum Beispiel an den habe ich letztes Mal gegeben den Raum einer stetigen Funktion auf dem Intervall dann man eine stetige Funktion offen mit der Wahl des Vektorraum und der ist nicht nur unendlich dimensionale der ist verdammt vieldimensional also wählen da kann auch keine Basis hinschreiben sind so groß es der hatte hatte was aber die Basis erhält so wahnsinnig viele Elemente der unser schreiben gar nicht mehr aus er also das sind klassische Fälle von unendlich dimensionale dauern die gucken uns hier nicht an ich wollte nur gesagt haben da gibt es noch eine ganze Welt jenseits denn endlich gut damit er mochte den Dimension und ich mir diesen ganzen Block in ihre Unabhängigkeit Dimension Basis jetzt mit dem etwas längeren Beispiel nochmal zusammenfassen also 1 19
Beispiel damit man sich das vorstellen kann wie man den er 3 hat jeder hoffe ich zumindest die intuitive Vorstellung was das ist und ich nehme 3 Vektoren aus dem 3 her die hatten wir auch schon mal vorhin das ist zum einen der Vektor v 1 1 2 2 der Vektor v 2 1 0 0 also das ist der 1. Welt oder Standard Basis und der Vektor vor 3 0 1 1 10 3 Vektoren aus dem Ertrag und was sie mir anschauen will ist der in die Jahre also die Menge die gegeben ist als eine linear Kombination aus v 1 v 2 und fort ich habe das Ding jetzt schon suggestiv genannt weil wir wissen dass es auf jeden Fall unter Vektorraum dass er 3 die den Jahre würde von irgendwelchen Vektoren des immer und der Vektorraum hatten letzte Vorlesung gesehen also ist ein unter Vektorraum und die Frage ist wie
sieht er aus wie groß ist der was ist das für die wir haben das ist und der Vektorraum nach Satz 1 10 und wir wollen wissen was ist das für die 1. Möglichkeit wenn 3 Vektoren dazu welche Basis sind das würde passen und mehr 3 da kann man könnten 3 der Tonne Basis sein dann wissen wir was war das die würde ist ist der ganze 3 aber wenn man noch mal gerade eine Viertelstunde 20 Minuten zurückdenken dann waren das genau die Vektoren wie dem Beispiel 1 13
hatten und dort haben mir gezeigt die sind weniger abhängig da wir gesehen sind vor 1 nehmen den V 2 abziehen und noch zweimal den vor 3 abziehen ist das 0 also insbesondere können Sie vielleicht noch mal zur Verdeutlichung des Vereins schreiben aus V 2 plus 2 V 3 und diese Menge ist länger abhängt also es ist garantiert keine Basis und jetzt die mir abhängig nur man sieht auch das wäre insofern eine ungeschickte Basiswahl werde in diesem Sektor V 1 sich schon aus Holz waren vor 3 zusammenbauen kann das heißt der ist einfach keine Elementarteilchen mit dem Mann nur weil man kann ihn im Osten einen rekonstruiert man wenn man also versucht möglichst kleine Menge von bau Teilchen zu haben was den anderen zusammenbauen kann Gemahlin Vereins man auf jeden Fall raus schmeißen wir vor 2 und vor 3 reichen auch machen wir das mal Schweiß würden vor 1 mal raus für also nehme meinen V
1 weg weil der lässt sich erst den anderen kombinieren und schauen wir uns mal die beiden Vektoren V 2 und V 3 dann behaupte ich pro Liter Wein weniger als könnte es sein dass die nicht mehr länger abhängig sind es ist auch tatsächlich so die beiden sind weniger unabhängig so und jetzt kommt wieder das übliche Thema in 2 3 Wochen sage ich und sagen Sie als wir schauen uns V 2 und V 3 an diesen offensichtlichen ja unabhängig weiter im Text im Moment durch wenn ich so der Verantwortung stehen und er begründet noch warum die die unabhängig sind später wird man sagen er der eine hat da oben 1 Zutat andere nun das kann nicht funktionieren Arbeitsrechner das noch mal und sich nach er dass es wieder sonnig Roman legen Sie dann irgendwann mit mehr Übung sagt damit mehr er Erfahrung an der Stelle das den es offensichtlich in der unabhängig okay so warum ist das so was müssen wir tun wenn wir uns anschauen wie lässt sich denn 0 aus diesen beiden Vektoren kombinieren also
wenn der 0 Viktor Alfer 1 x v 1 plus Alfa zweimal V 2 ist müssten noch wieder wissen was V 1 und V 2 ist es gerade nach oben verschüttgegangen V 1 war ein 10. GeForce V 2 und V 3 Richtlinie vor 2 1 1 0 0 also Einfalt nein ich die auch mal alle verzweigen als 3 habe dann ist das konsistenter also V 2 1 1 0 0 das heißt das ist der Wächter Alfa 2 0 0 vor 3 1 0 1 1 also das ist der Vektor 0 1 3 1 2 3 wenn Sie die beiden addieren Krisen Vektor Alfa 2 allenfalls 3 vor 3 na ja 1 ist der 0 es ist der 0 Vektoren Alfa 2 gleich 0 ist und einfach 3 gleich 0 ist also haben wir in dem Fall wieder nur die trivialen Lösung also zu nur regte immer kombinieren kann mittlere 0 Koeffizienten und das heißt die Dinge sind in ja unabhängig so wir haben also unsere Menge die
wir uns anschauen wollten die war ursprünglich die aber würde oder die ist warten wir uns gegeben als aber von 3 Vektoren wenn gesehen Vereinsgenossen andern beiden kombinieren ja dann bei in unabhängig und ich behaupte vor 1 können Sie jetzt einfach weglassen denn Jahre würde von vor 1 V 2 und V 3 ist das erledigen Jahre würde von V 2 und V 3 warum im Wesentlichen Weise den vor 1 schon aus V 2 und V 3 kombinieren können und wenn sie sehen wenn Sie jetzt irgendeinen kombinieren wollen und da steht und der vor 1 Entwicklung drin wenn das können Sie den durch die beiden andern ersetzen man uns das einmal an dem Beispiel klar so nehmen sich der X ausruhe dann wissen wir weil so erklärt war also nach der Definition von ist das externe 1 Jahr Kombination von V 1 V 2 und V 3 also dann existiert nach Definition von Albvereins eine 2 und eine V 3 aus er so dass dieses X sich schreiben
ist als eine Vereins V 1 plus allenfalls weil vor 2 plus 1 vor 3 vor 3 nur das ist zu Hause gegeben Nasri jetzt tun wollen dass wir wollen zeigen das lässt sich schon so durch V 2 und V 3 auf 1 das heißt dieses X ist auch eine linear Combination nur von V 1 und V 2 und das kriegen wir deswegen weil wir rausgekriegt haben dass unser Vereinsleben ja Kombination von V 1 2 1 vor 3 ist das X 1 ist gegeben als vor 2 plus 2 vor 3 so Name hier noch das Alfa 2 V 2 und das alle vor 3 vor 3 damit das gleiche Zeichen wieder stimmt soll das können
Sie jetzt umso wenn dann kriegen sehe Halver 1 plus 1 vor 2 meine Frau 2 plus 2 1 plus 1 vor 3 der war vor 3 und dann kriegen Sie raus jedes x aus U ist Ihnen ja Kombination von vor 2 Jahren vor 3 des Vereins der dicht Ersatz rauskegeln jetzt ist sind die beiden Vektoren V 2 und V 3 in der unabhängig aber gezeigt und
außerdem ist ihre linear würde ganz können Sie mal danach links schauen B 1 und B 2 sind also erfüllt also ist diese Menge V 2 und V 3 man war ist schon und damit wissen auch gleich was die Dimension von ist nämlich 2 bei dem was es zwar Elemente enthält und was so
ist denn wir haben würde Bonn V 2 und V 3 also die Menge aller allen ja Kombination aus V 2 und V 3 damit haben wir bei 2 und V 3 volle mal
stehen V 2 war die Menge ein vor 2 bei deckte 1 0 0 und vor 3 der Rektor 0 1 1 was herauskommt sind alle Vektoren der Form Alfa 2 1 1 3 1 von 3 wir können für 2 Jahre von 3 aus ja und das lässt sich eben schreibt man am besten so wie schon vorher da stand das Team im Jahre Hölle von 1 0 0 und 0 1 1 gut und was ist das für ein Jahr wurde von 2 Vektoren R 3 ich hoffe ich erzähle Ihnen jetzt keine Überraschung sieht so aus es sich eben immer 3 also Sie haben 1. chiffrierten nach das von hinten nach vorne ich die y-Achse das von links nach rechts ist die x-Achse und das nach oben es die z-Achse und die Welt die Ebene mit aufgespannt von den Vektoren 1 zu 0 und 0 1 1 1 0 0 liegt auf der x-Achse die gesamte x-Achse gehört eben dazu und dann noch der Vektor 0 1 1 also der in der YZ Ebene liegende weckte und das gibt er diese schrägen Raum liegen die eben also ein zweidimensionaler Unterraum das er 3 wir haben jetzt noch mal alle Begriffe immer abhängig unabhängig und so weiter drin gesehen
gut diese Dimension ist offensichtlich eine eine ganz entscheidende Größe für Sonne Vektorraum und hat an vielen Stellen Bedeutung und schöne Effekte eine will ich Ihnen noch als sation dran schreiben
nämlich wenn sie 2 Vektorräume haben die dann liegen mit gleicher Dimension dann sind Sie schon gleich soll heißen ja denn unter Vektorraum der nicht der ganze Raum ist hat immer mindestens die volle Dimension weniger dazwischen ist kein Platz also wenn also wenn Frauen er Vektorraum ist und unter Vektorraum von V und die Dimension von ist gleich der Dimension von V dann hat das keine vor mehr dann ist das automatisch das vor also Sie können nicht wenn Sie einen Vektorraum so bisschen was wegkratzen dann der Termin und der Vektorraum draußen in den Sinn und der Vektorraum haben wollen echten dann müssen Sie die ganze Dimension der mehr ja und daraus erklärt sich auch das was ich letzte Woche gesagt haben er 2 3 geht es gar nicht so viele und räumen mehr 3 gibt es nur den ganzen Raum alle Ursprungs eben weil sie müssen die ganze Dimension weg werfen sonst kriegen Sie keine unter Vektorraum und dann nahm sie die 2 gemeinsam unter Sektoren und die eigenen sein und da wollen alle Ursprungs gerade und dient den 0 dimensional und Vektorraum nicht nur den Nullpunkt gut also das ist die Grundbedeutung des Begriffs Basis eine ist eben immer einen Bausatz von Atomteilchen aus den sie den ganzen Raum zusammenbauen können es kann sich vorstellen wenn man mit so Basen aus ähnlichen Gründen arbeiten muss oder arbeiten will denn die man besonders schöne Basis haben eine mit der man leicht rechnen kann das ist in vielen Fällen die Standard Basis war mit der von wunderbar rechnen nicht in allen Ländern durch Ausfälle sehen muss praktisch und geboten ist auch meine andere Basis anzuschauen weil die besser zum Problem passt ja ich meine stellen sich vor sie habe mit Drehung sehr man Karussell das schräg im Raum steht und im sich dreht wenn Sie so einen Schreck im Raum stehendes drehen das Ding in kartesischen normalen Convar ist den beschreiben wollen werden sie wahnsinnig das 1. was sie tun es drehen mal ihre ihre Zelte Kurden natürlich die Threads wir sind das ist Moment in dem ein großes Interesse daran hat andere Koordinatensysteme zu verwenden wenn man eben im ein Problem hat dass ich einfach nicht an das Standardsystem hält sondern die Triathletin Cream Rauch zum Beispiel also man hat schon Interesse auf andere Basen zu wechseln und wenn man sich jetzt mal so umschaue was Basen gibt stellt man fest wahnsinnig viel und davon gibt schönere weniger schön nicht wie denn jetzt noch 2 also eine bis anderthalb wesentliche er Sorten von besonders schönen Basen vorstellen und der Begriff
ist der der Autor nochmal Basis wunderbar gedrechseltes fremd waren wir nähern uns dem also Situation dass wir die ganze Zeit wärmen Vektorraum V denken Sie R 3 und wir haben der Basis gut ist wenn ich jetzt B 1 bis B N schreibe denken Sie eben in gleich 3 oder denken Sie doch n also dieses besten Basis von Frau zum Beispiel die Standard Basis er nennt man
diese Basis ende Oktober guten eine Basis das ist noch nicht das Wort aus der Überschrift sondern ein Zwischenschritt wenn eine oktogonale Basis wenn das Geld was zu merken vielleicht an der Basis gilt das die Basis Vektoren alle paar paarweise zu einer senkrecht steht dann wenn sie ein kartesisches Kornaten Systemdenken da drüben wenn's die die Kontendaten Achsen paarweise aufeinander senkrecht es ist überhaupt kein muss mehr sondern das ist eine orthogonal Basis also die Koordinaten die Basisvektoren stehen
paarweise senkrecht was heißt das senkrecht stehen heißt es Ghanaer Produktes 0 also das Skalarprodukt von E mit DJ muss wohl sein zumindest immer dann wenn ihn nicht J also für alle ihr ungleich ist das Skalarprodukt von Wii mit PJ 0 wenn sich an der Basis ist das der Fall ist nur Auto Basis das ist überhaupt kein Problem die Basis in der 203 oder sonst wo anzugeben bei der die Achse nicht denke recht andächtig geht auch wieder Fälle wo das das Hey natürlich kommt nehmen Sie den Schattenwurf also wenn sie nein Schattenwurf berechnen wollen in der offenen auf der Leinwand und die Lichtfeld schräg ein er ist die natürliche Basiswahl gute ihrer Leinwand sie irgendwie 2 senkrechte Vektoren die Standard Dinger und die 3. Basis wenn sie leicht rächen wollen ist in Richtung des Lichteinfalls und nahm 7 schräge was dann kommt alles vor immer noch sehen aber es gibt eben einige Dinge in den orthogonal Basen und Auto normal war so schön sind das wegen in wir die gesondert
draußen wenn immer man kann wird man auch eine solche nebenbei mit den kaum besonders schön rechnen also ein orthogonal Basis ist eine
wo die Basis paarweise senkrecht stehen das heißt ihre ihre Kundendaten Achsen sind paarweise einander senkrecht so und jetzt habe ich aber das Ganze mit Auto normal Basis überschrieben was man jetzt noch machen kann es zusätzlich fordern oder dafür sorgen das jeder Basis Vektor ich nur senkrecht in andern steht sondern auch noch selbst länger 1 hat also falls 1. so was ist der Autor
normal Basis als 1. mehr orthogonale Basis ist das heißt die Basis Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht eine ihren gleicher Art und wenn Sie in die Länge von einem Vektor anschauen als die Norm von B bejaht Norm von DJ es ist Quadratfuß Skalarprodukt und es soll ein Zeichen können Sie auch so schreiben dass das Skalarprodukt 1 ist also Norm von CDs gar Produkt von mit sich selbst 1 für eine dann nennt man das eine Auto nochmal Basis also ein Auto normal Basis eine orthogonal Basis mit auf 1 normierten was es Sektor also viel länger als man in Basel wieder Beispiel Standard Basis die Sterne Basis die 1 0 0 0 1 7 0 und so weiter Was ist diesen alle paar bei senkrecht und jeder hat man als also es wäre ein autonomer was da noch kurz falls eben dieses Symbol
mal über also so entgegenläuft diese beiden Bedingungen hier Produkt ist wohl wenn i um gleich J und S 1 für die gleiche also für die gleiche Ort die werden oft in einer Formel zusammengefasst und da kommt eine Schreibweise vor von der ich denke schadet nicht sind sich sicher schon mal gesehen haben vielleicht ich schon einer andern Vorlesungen und entgegengekommen also die fasst man oft in einer Zeile zusammen und zwar in dem man schreibt das Skalarprodukt von B I mit B Ort soll sein Delta J das kann Sie zu Recht fragen was ist denn das für ein komisches Ding das Delta E J ist das sogenannte Chroniker Delta und das ist nichts als der hochgestochene Schreibweise für das was oben drüber steht das Delta I J ist die Kurzschreibweise für 0 weil sie ungleich J und 1 falls sie gleich also in dieser Zeit Idioten steht genau das Gleiche wie oben mehr das Produkt ist 0 wenn die beiden Indizes verschieben sind uneins wenn sie gleich sehen aber es ist handlicher so und Vereine die Physiker lieben das Delta also wenn Sie es mit der Innern Mechanik oder besiegt Vorlesung irgendwann sitzen dann werden Ihnen dann Patent das um die Ohren fliegen denn man nennt es den wie gesagt Chroniker Delta
und so seltsames aussieht wie gesagt was dahinter steckt ist nichts als dieses das Chronik Delta S 1 wenn die beiden in gleich sind und nur wenn sie verschieben nur falls Ihnen das mal Reisebüro begegnet den haben sie es vielleicht schon mal gesehen wichtig für hier ist normal was ist eine Basis aus Beton Liebhaber senkrecht stehen und eine Länge 1 hat so auch die beiden Begriffe sind da noch mit auf der Folie drauf das ist nur noch mal die Wiederholung dessen was Karin geschrieben hatte mit weg Rauschen kann also orthogonal Basis ist der Basis über alle Vektoren paarweise senkrecht stehenden Auto normal Basis orthogonale orthogonal Basis mit normierten Eigenvektoren so Beispiele dazu mehr als eine haben schon gesehen
und taucht immer wieder auf die Standard Basis ist eben eine besonders schöne Basis deswegen nennt man sie gern also diese Vektoren E 1 bis E N sind eine Auto normale Basis das aber es gibt eben nicht nur die
normalen Beispiele mehr 3 also folgende Vektoren 1 1 1 1 minus 1 0 und 1 1 minus 2 behaupte ich ist eine orthogonal Basis das er 3 warum Hose nachrechnen 3 Skalarprodukt die werden erst mit dem zweiten multipliziere wenn erst mit dem dritten multiplizieren 2. mit dem 3. multiplizieren und dabei stellt man fest 1 3 Skalarprodukt ist bunt rund damit ist dessen orthogonal Basis da diese Basis anders entstanden ist muss die schon so ist kann sich vorstellen wie habe ich die Basis gebaut ich habe mit dem Wetter 1 1 1 angefahren zudem Vektor als 1 1 findet man schnell irgendein senkrechten 1 1 1 0 ist relativ offensichtlich senkrecht auf 1 1 1 x 1 x 1 plus 1 und minus 1 zu 7 0 und wie kommen Sie auf den 3. diese Erinnerung Frage Mathe 1 ja erst mit der Produkte nach Kreuzprodukt genau ja Kreuzprodukt vor beiden gut ist er so ist entstanden also der senkrecht auf die Arbeit gut er das ist also nur orthogonale Basis und wenn Sie mir orthogonal Basis haben und dass es hier
ein und auf den noch hinweisen will dann ist der Weg zu
einer Auto normal Basis immer nicht weit weil was unterscheidet eine Auto autonomer Basis die aus normal Basis hat auf 1 normiert Eigenvektoren Ärger auf 1 Turnierdirektoren das heißt was sie noch tun müssen ist normieren also was hat der 1. für die Länge 1 plus 1 plus 1 und die Wurzel draußen 2 zu 3 also wenn sie die mit 1 durch Wurzel 3 multiplizieren hat der Länge 1 der zweite hat Länge 1 plus 1 Wurzel raus also was 2 wenn sie den mit 1 durch Wurzel 2 normieren hatte auch länger 1 und der dritte O 1 plus 1 plus 4 6 also 1 durch Wurzel 6 mal 1 1 minus 1 so und das ist dann ein Auto normal Basis das 3 und da sehen Sie es gibt durchaus noch andere Ottonormalsparer sind als die Standard Basis dies auf die kommt man nicht einfach so geradeaus aus ja also wie gesagt wenn man irgendwie kann wenn die Geometrie die Ihres Problems es zulässt ist meist es gute Ideen Auto normal Basis zu wählen das kann man sich vorstellen dass es falsch wenn man alles senkrecht ist das ist nicht nur schön das ist im sehr sehr praktisch und ein Grund warum das praktisch ist ist der folgende es ist nämlich
ja wenn Sie jetzt Ihre Basis gewählt haben was ist dann der nächste Schritt wenn sie ihre Basis im Raum haben dann wollen Sie jetzt mit der Basis rechnen Sie wollen also ihren Raum aus dieser Basis aufbauen und das heißt sie wollen von jedem weckt im Raum wissen wie sich der aus der Basis kombinierte die Cortina wenn Sie den Basis haben wir sehen wollen müssen sie die Konsulate dieser was bestimmen wie macht man das wurden wesentliche muss man gleichen System lösen und das kann nervig sein und die Messe ist diese Nummer jetzt ist wenn sie der UN Massenauto normal was ist dann können Sie alle Belege über gleichen System in die Tonne treten wenn es ist super einfach die Kurden dazu bestimmen und das ist das folgende also wird morgens GPS-Koordinaten bezüglich der UN W gut also im Auto normal Basis von diesem Vektorraum also sei B B 1 bis B enden ein Auto normalerweise ist von den Vektorraum schreitet man von allen und dann Lektor drin was Sie jetzt brauchen zu diesem X sind die Koordinaten von der Basis also wie oft brauchen sie B 1 B 2 wie auf die 3 und so weiter bis sieht und das x zu bauen zunächst mal diese
Kurden Daten gibt es natürlich weil das Ding Basis ist das war einer vollen gesehen es gibt eindeutige Koordinaten bezüglich dieser Basis gibt eindeutige Zahlen als ist eine verengen so dass sie ihr Ex schreiben können als Summe J gleich 1 ist n als Folge und des und das ist einfach nur besten Basis das Problem ist wie kommen Sie denn die als daran weil die wollen Sie wissen was da steht ist nicht schön das Gleichnis ist denn wir sie am Ende unbekannte und in Gleichung können Sie anfangen zu aufzulösen ist darf ich um meine messe ich hier ist wenn sie nur in B haben es ist ein System kriegen sie das Zeug geschenkt und was sie machen was die
Idee ist nehmen Sie mal diese Gleichung und multiplizieren also nimm sind Skalarprodukt gelegt und der rechten Seite mit dem was also wenn sich irgendein BKA her wenn jemand einen Index K irgendwas zwischen 1 und N und multiplizieren war das X mit dem
Basis Vektor B wir machen wissen wie unser X aussieht das ist das Skalarprodukt von Summe J gleich 1 bis n als J J mit BKA die Seite wollen die als verjagt haben die unter die reinkommen so ist das Skalarprodukt linear das klingt gar Produkt ist ja 1. 2. Argument das war eine der Erkenntnisse aus der weiter eines Vorlesung was hieße das dass es da Skalarprodukt von X plus Y X Z ist das Grab Produkt von x Marcel Plus es GrabCut mit Zlamal Z und Sie können Faktoren rausziehen und das bedeutet nichts anderes als das Skalarprodukt von denen ja Kombination ist die den ja Kombination das Skandal Produkte das heißt was Sie hier schreiben können ist das ist das selbe wie die Summe J gleich 1 bis n als J mal das Skalarprodukt von DJ mit bekannt so das Skalarprodukt von Beyond mit BK kennen Sie aber wenn dessen UND ist die B 1 bis B in den Norden normalerweise ist dass es dieses Skalarprodukt hier ist nicht ist 1. bekannt dass schon mal gut ist aber nicht nur bekannt sondern es hat noch den großen Vorteil ist es fast immer 0 ja das ist immer 0 wenn ich das Lob gerade zufällig gleicht dem K ist das heißt von dieser ganzen somit N Summanden N minus 1 zu machen nun das gibt ein einzigen so Summanden der nicht nur das und das ist der führt leicht K also diese ganze Summe stürzt in sich zusammen und übrig bleibt nur der Term das Skalarprodukt von BKA mit Decca eine also dieser Schritt hier ist es gehört Produktlinie ja und dieser Schritt hier ist B diesen orthogonal
Basis so und jetzt ist wenn ich würde orthogonal Basis und sogar der Autor noch einmal Basis das heißt hier steht eine H x 1 also gefragt so was kriegen Sie sie kriegen Golf 10. Alphakanal ihre Koordinate in der Karte Richtung einfach indem sie das X bekannt und zur machen das ist fix gerechnet wenn Sie alle Kundendaten haben wollen müssen sie halt X mit die 1 die 2. 2. PS-Gala multiplizieren das ging noch 20 mal schneller als das Billard wenn es denn zu lösen und das ist schöner Zusammenhang also noch mal
aufgeschrieben die Koordinaten sind damit leicht zu bestimmen sie kriegen die Koordinaten von Aids in der Basis B alles Al-Faqa und das alle ist einfach das Skalarprodukt von X mit dem Sektor BKA wobei K eben jetzt von einst ist das ist das Ergebnis dieser Nummer und das kann man immer mal wieder mit Freude benutzen und spart sich das eine oder andere gleich ist du nicht ich an der Stelle weiß extra nochmal hin das gilt aber nur für Orte normal nein also wenn Sie mir andere Basis haben die nicht Auto normal ist dann ist die Formel Quatsch wir sehen noch die Märkte bei der Herleitung aber das massiv verwendet das ist Auto normal Basis ist wenn diese lange so begabt und die Pracht plötzlich auf einen einzigen zusammen denn das geht einen Basis im Stich gut aber das soll noch mal zeigen warum also normalerweise wichtige Dinge sind und warum man versucht man über man kann wann immer das Problem bis zum letzten Orte normal Basen zu arbeiten und die beliebteste ist natürlich die Standard völlig klar gut an der Stelle sehen wir mit dem 1. Pragraphen durch nächstes Mal wenn wir uns mit den Jahren bei System beschäftigen haben Sie am vorgesehenen ja Client-Systeme tauchen hier ständig auf und wir wollen bei man die dauernd lösen muss das ein für alle Mal automatisieren und ein für alle Mal ein Verfahren finden wie man die löst das ist das Thema der nächsten Woche für heute bin ich damit am Ende und ich danke Ihnen für die auch kann
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