Präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal herzlich willkommen. Wir waren in der letzten Vorlesung in die Parameterintegrale eingestiegen und ich hatte so gerade noch erklärt,

was die Problematik ist und Ihnen dann noch anhand der Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung, anhand des Gausskerns gezeigt, dass diese Parameterintegrale sind keine akademische Spielerei, sondern die haben ganz realen Hintergrund und hauchen an verschiedensten Stellen auf.

Und wir wollen uns jetzt also heute in der Vorlesung mit den Beastern ein bisschen beschäftigen. Nochmal, um was ging es? Ich schreibe vielleicht einfach noch mal die beiden Beispiele auf, die wir letztes Mal hatten. Zum Beispiel eine Funktion, die gegeben ist als Integral von 1 bis 2 über y e hoch xy dy.

Das ist erstmal eine Integrale. Wenn Sie das y weg integrieren, dann bleibt die x-Variable übrig. Also dieses Integral können Sie für jedes x in R ausrechnen und das können wir dann g von x nennen.

Es gibt eine neue Funktion g in einer Variablen und Fragestellungen in dem Zusammenhang sind, was ist jetzt Integral von 5 bis 8 über g von x dx oder wenn es denn funktioniert, ist g differenzierbar und was ist g Strich von x? Das sind typische Fragestellungen im Zusammenhang mit Parameterintegralen.

Und ich hatte Ihnen dann noch ein besonders scheußliches Parameterintegral hingeschrieben. Das war das Integral von minus und endlich bis unendlich. 1 durch 4 pt, die Wurzel vorne, e hoch minus Betrag x minus y Quadrat durch 4t,

u0 von y dy und das ist eben diese Lösung der Wärmeleitungsgleichung.

Also wenn Sie zum Zeitpunkt t gleich 0, Wärmeverteilung u0 haben, dann gibt Ihnen das Ding an, wie die Wärmeverteilung zum Zeitpunkt t ist, homogener konstanter Wärmeleitkoeffizient vorausgesetzt.

Um nachzuweisen, dass das Ding tatsächlich eine Lösung der zugehörigen partiellen Differenziergleichung ist, die Ihnen sagt, wie sich die Wärme verteilt, muss man eben nachweisen, dass die Zeitableitung von dieser Funktion gleich die zweimalige Ortsableitung von der Funktion ist. Und wenn Sie das tun, sehen Sie, das t steht im Integral und davor, das x steht im Integral und Sie müssen hier mächtig integrieren.

Und dann differenzieren, also Sie müssen solche Parameterintegrale differenzieren und unter anderem damit werden wir uns jetzt heute beschäftigen.

Also wir haben Programm integrieren von so Dingern, differenzieren fangen wir mit dem einfacheren an, das ist das integrieren. Integrieren ist immer die freundlichere Variante, also Abschnitt 1.3 integrieren von Parameterintegralen.

So dazu brauchen wir vier Integrationsgrenzen a, b, c und d. a und b, die Integrationsgrenze des Parameterintegrals und dann kommt eine Funktion raus, die wollen wir dann von c bis d integrieren.

Also worum es geht ist, wir haben jetzt eben allgemein so ein Parameterintegral, Integral von a bis b, f von x, y, dy und wollen dieses Ding jetzt noch in x integrieren. Das kann man natürlich machen, erster einfacher Fall, Sie können dieses Integral da

tatsächlich ausrechnen, dann haben Sie die Funktion in g, die können Sie wieder integrieren. Das ist das, was normalerweise, wenn alles gut geht, klappt und dann brauchen Sie sich über Parameterintegrale keine Gedanken zu machen. Unangenehm wird die Sache dann, wenn g so definiert ist, aber dieses Integral, so wie es da steht, sich nicht, sich dem ausrechnen widersetzt.

Als wir über Integrale letztes Jahr geredet haben, oder letztes Semester geredet haben, habe ich Ihnen auch erklärt, das passiert. Es gibt reichlich Integrale, die Sie gut hinschreiben können, wo die Theorie sagt, das ist auch alles berechenbar, aber konkret geht es ja nicht. Also sowas kann passieren und dann sitzt man in der Tinte und dann hilft das folgende Resultat über das Integrieren von Parameterintegralen.

Wir brauchen zunächst technische Voraussetzungen, die dafür sorgen, dass wir auch alles integrieren können, was wir wollen. Also es müssen zwei Dinge gelten. Für jedes feste x aus dem Intervall von c bis d müssen die Funktionen, wenn ich x festhalte und y variiere,

also die Funktion, die y abbildet auf f und x, y, stückweise stetig sein, als auch das gleiche genau andersrum.

Also für jedes y aus dem Intervall ab, über das ich das Parameterintegral bilde, muss jetzt die Funktion, wenn ich das y festhalte und das x variiere, also die Funktion x wird geschickt auf f und x, y,

auch die muss stückweise stetig sein. Das sind einfach technische Voraussetzungen, die dafür sorgen, dass ich alle Integrale, die ich jetzt hinschreiben will, hinschreiben kann. Im Normalfall ist das f in allen Variablen stetig oder mit differenzierbar oder sonst was, dann ist alles gut.

Dann gilt das, was jetzt kommt. So und dann, wenn die beiden technischen Voraussetzungen erfüllt sind, dann gilt das folgende. Wenn Sie also so eine Funktion f haben und g ist die Funktion, die rauskommt, wenn Sie das Parameterintegral ausrechnen.

Also g ist Integral a bis b f von x, y, dy. Dann können Sie jetzt das g von c bis d integrieren. Entweder, so wie gerade gesagt, wenn Sie wissen, was das Integral a bis b f von x, y, dy ist,

können Sie sich das Ding natürlich nehmen und nochmal von c bis d integrieren. Das ist klar, bis dahin brauchen wir kein Parameterintegral. Das Tolle ist jetzt, wenn die Voraussetzungen von oben gelten, dass also alles schön integrierbar ist, dann dürfen Sie die Integrationsreihenfolge hier vertauschen. Dann ist das das Gleiche, wie wenn Sie Ihre Funktion nehmen und zunächst mal von c bis d über x integrieren

und dann von a bis b über y. Das ist sozusagen dieses Gleich hier. Das Entscheidende an dieser Aussage, das erste Gleiche ist einfach das g eingesetzt.

Das Entscheidende ist, Sie dürfen hier die Reihenfolge vertauschen und das gibt Ihnen die Möglichkeit, unter Umständen Integral auszurechnen, das sich vorher wieder setzt hat. Wenn das Integral über f nach y hässlich ist, kann es passieren, dass Sie, wenn Sie zuerst zu b x integrieren, das ganz leicht ist und das dann, was rauskommt, sich plötzlich über y integrieren lässt.

Auf die Weise kann man manchmal solche Parameterintegrale integrieren, ohne dass man das f selbst integrieren kann. Ein billiges Beispiel ist das, was ich oben hingeschrieben habe, wobei bei dem, was ich oben hingeschrieben habe, beides funktioniert. Also schauen wir uns das mal als Beispiel an.

Also da hatten wir g von x ist das Integral von 0 bis 2y e hoch xy dy. Das ist definitiv ein Beispiel, bei dem Sie jetzt dieses g einfach ausrechnen können.

Einmal partiell integrieren, damit das y vorne wegfällt und dann kriegt man das hin. Das ist aber eine längere Rechnung und umgekehrt wird die Sache einfacher, immerhin, also das ist aus dem Beispiel 1, 2a von oben.

So, was ich jetzt haben will, ist das Integral von 0 bis 1 über das g. Das ist erstmal einfach nach Definition oder nach Einsätzen vom g, das Integral von 0 bis 1, Integral von 0 bis 2y e hoch xy dy dx.

Wie gesagt, könnte man jetzt im Prinzip ausrechnen. Das innere Integral per partielle Integration und dann das, was rauskommt nach x, wird lang, aber geht, oder man verwendet jetzt den Satz von oben.

Die Funktion, die da drin steht, erfüllt die technischen Voraussetzungen dicke, die ist stückweise stetig, egal in welcher Variable, die ist sogar 35 mal differenzierbar in beiden Variablen. Gar kein Problem, also wir können die Integrationsreihenfolge vertauschen und das ist das gleiche wie das Integral von 0 bis 2 über das Integral von 0 bis 1,

y, e hoch xy und jetzt umgekehrt, sagt umgekehrt und schreibt es nicht, dx dy und Sie sehen, der Vorteil ist jetzt, dass ich jetzt nur noch das, das y ist für das innere Integral eine Konstante, das können Sie rausziehen und Sie müssen nur noch e hoch xy integrieren. Eine Exponentialfunktion integrieren ist nicht so schwierig.

Das ist jetzt, bleibt übrigens, Integral von 0 bis 2. Das y ziehen wir vor, dann bleibt übrigens Integral, dann machen wir es ausführlich. Das y geht als Konstante raus, weil es nicht von x abhängt, 0 bis 1, e hoch xy, dx dy.

Dann können Sie das innere Integral ausrechnen, 0 bis 2y bleibt stehen. e hoch xy, Stammfunktion nach x, jetzt muss man mal aufpassen, jetzt haben Sie mehrere Variablen. Wir wollen die Stammfunktion nach x bestimmen, die ist 1 durch y, e hoch xy, x von 0 bis 1.

Wenn Sie es mir nicht glauben, differenzieren Sie das Ding wieder, 1 durch y, e hoch xy, es differenzieren, nach x springt die in den y runter, macht das 1 durch y weg, kommt genau e hoch xy raus. So, dann fehlt hier noch das dy.

So, und jetzt sehen Sie die ganze partielle Integriererei, andersherum können Sie sie sparen, weil freundlicherweise das 1 durch y das y hinforthebt. Und was übrig bleibt, ist ein Integral von 0 bis 2,

über x gleich 1, gibt e hoch y, minus x gleich 0, gibt 1. Das ist auch ein recht übersichtiges Integral, das ist e hoch y, minus y, in den Grenzen y von 0 bis y gleich 2, also e quadrat, minus 2, minus 1, plus 0.

Und das ist e quadrat, minus 3. Also man sieht, in dem Fall bringt es nur eine Vereinfachung der Rechnung,

was ja auch schon mal nicht zu verachten ist, im Allgemeinen kann es dazu führen, dass man so ein Integral überhaupt erst ausrechnen kann, und umgekehrt geht es gar nicht. Noch ein Hinweis oder Tipp zur Schreiberei, meistens schreibt man ja an diese ausgerechnete Stammfunktion,

an den Strich nur dran von 0 bis 5, das ist in dem Zusammenhang gefährlich, wenn ich an das erste Ding hier in der drittletzten Zeile, wo x gleich 0 bis x gleich 1 steht, wenn ich nur 0 bis 1 hingeschrieben hätte, und dann ruft ihr Kumpel an und sagt, lass uns erstmal essen gehen, und dann gehen sie in die Mensa und kommen hinterher zurück, ist die Gefahr durchaus nicht null,

dass sie danach y gleich 0 und y gleich 1 einsetzen und weiterrechnen, weil da viele Buchstaben stehen, lohnt es sich in dem Fall immer akribisch dazu zu schreiben, welchen Buchstaben sie jetzt hier gleich 0 und gleich einsetzen. In dem unteren Fall ist es jetzt überkandidelt, da steht eh nur noch ein y,

ich hoffe zumindest, dass niemand auf die Idee kommt, die 2 und die 0 für das e einzusetzen, da ist es okay, ich sage auch nicht, man muss das machen, aber es ist flaus zu tun, weil man sich nämlich sonst selber verwirrt. Das ist ja auch jetzt nur in zwei Variablen, stellen sich das Ganze in sieben Variablen vor, und spätestens wenn sie es dann nicht hinschreiben, ist Katastrophe groß.

So, ich will auch nochmal auf das zweite Beispiel zurückkommen, also auf diesen Wärmeleitungskern, weil wenn wir den mal integrieren, kommt dabei auch mal eine interessante Beobachtung raus, von der man hinterher sagt, nun ist ja eigentlich klar, wenn man sich überlegt, was es bedeutet,

aber machen wir das mal, eben wieder u von x ist das Integral, was wir vorhin hatten, also 1 durch Wurzel aus 4πt, Integral von minus unendlich,

e hoch minus x minus y Quadrat durch 4t, u0 von y dy, sieht schlimm aus, ist aber einfach Parameterintegral, mit einer einfachen, freundlichen, schönen Funktion, weil beliebig glatt,

und was ich jetzt machen will, ist, auch wieder dieses u zu integrieren, und zwar integriere ich auch dieses u, nochmal über die ganze reelle Achse, und will wissen, was ist dieses Integral hier, Integral von minus unendlich bis unendlich, u von tx dx, setzen wir das Ding da oben ein,

also das ist Integral von minus unendlich bis unendlich, über das Integral von minus unendlich, 1 durch Wurzel aus 4πt, die E-Funktion, e hoch minus Betrag von x minus y Quadrat durch 4t,

u0 von y dy, und dann das ganze noch dx, bis jetzt habe ich einfach nur eingesetzt, und der Punkt ist jetzt wieder, an der Stelle sieht man jetzt erstmal gar nichts,

rechnen Sie das mal in y aus, viel Erfolg, was wir machen können, ist wieder das gleiche wie vorher, diese Integrant ist, solang das u0 brav ist, schön stückweise gestätigt, das heißt ich darf die Integrationsreihenfolge umdrehen, und zuerst nach x und dann nach y integrieren,

und dann passiert etwas ähnliches wie vorhin, dass das Integral sich ein bisschen separiert, ich kriege ein Integral von minus unendlich bis unendlich, 1 durch Wurzel 4πt, e hoch minus x minus y Quadrat durch 4t,

mal u0 von y, aber u0 von y hängt von x überhaupt nicht ab, und das innere Integral ist jetzt das in x, das sieht man da vorne nicht so gut, aber wir drehen jetzt hinten die Differenziale um, Sie kriegen jetzt dx dy, und das u0 von y ist für dieses x Integral eine Konstante,

das dürfen Sie rausziehen, also ich habe die Reihenfolge der Integration vertauscht, dadurch integrieren wir innen über x und außen über y, und nicht mehr innen über y und außen über x, dadurch geht das u0 von y mal aus dem inneren Integral raus, und jetzt bleibt das innere Integral übrig,

und jetzt muss man halt ein bisschen was wissen, also das müssen Sie nicht wissen, also wenn Sie das wissen, ist gut, aber ich erwarte es nicht von Ihnen, über diese ominöse Gaussglockenfunktion, hatte ich Ihnen in der letzten Vorlesung ja das berühmte Bild auf dem 10 Mark Schein gezeigt, es ist eine ganz, ja eine Funktion,

die an vielen Stellen auftaucht, eine ganz wichtige Funktion, dass sie tatsächlich häufig braucht, sehen Sie schon daran, dass ich, wenn ich die hinschreiben muss, nicht mehr auf den Zettel gucke, die kann ich so, wundert mich auch immer wieder, und die hat ein paar schöne Eigenschaften, und eine ihrer hervorstellenden Eigenschaften ist,

dass man, obwohl es so riesenlang aussieht, eigentlich dieses Integral kennt, und dieses Integral hat einen relativ übersichtlichen Wert, das ist nämlich eins, hat verschiedene Gründe, der Hauptgrund ist, diese komische Konstante, eins durch Wurzel 4 pi T, da vorne ist genauso gemacht,

damit da eins rauskommt, und diese Funktion hat verschiedene Anschauungen, eine habe ich Ihnen schon gezeigt, sie sagt Ihnen, wie sich die Wärmeverteilung in einem eindimensionalen Gebilde verändert, wenn die Zeit läuft, hat aber noch eine zweite Bedeutung, es ist die Dichte der Normalverteilung

in der Wahrscheinlichkeitstheorie, also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, und wenn Sie über die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung integrieren, kriegen Sie raus, die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwas passiert, und die ist eins, dementsprechend muss dieses Ding also eins sein, versuchen Sie es nicht nachzurechnen, das ist mühsam,

dass da eins rauskommt, aber es kommt eins raus, das heißt, also das ist eine Eigenschaft der Gaussglocke, so ist die Gaussglocke genau gemacht, also wie gesagt dieser Vorfaktor, dieser Vorfaktor eins durch,

sehr gut, ich hatte das schon einmal, und dann hat er das wieder hergestellt,

mal gucken, wie weit das hat, alles noch da,

so, also das ist eine Eigenschaft der Gaussglocke, wenn wir die mal einsetzen, dann kommt hier raus, das ist das Integral von minus unendlich bis unendlich, u0 von y dy, das kann man natürlich nur ausrechnen,

wenn jemand verrät, was u0 ist, also wenn Sie wissen, wie die Temperaturverteilung am Anfang ist, trotzdem ist die Gleichung, die hier steht, interessant und physikalisch einfach zu interpretieren, was ist denn dieses Integral von minus unendlich bis unendlich, über das u0 anschaulich, das u0 ist die Temperatur

zum Zeitpunkt 0 an der Stelle x, und wenn ich die Temperatur über die ganze reelle Achse aufaddiere, dann ist das die Gesamtwärmeenergie, die da drin steckt, und was ist das hier oben, das ist gleiche zum Zeitpunkt t, das ist die Gesamtwärmeenergie, die in meinem System drin steckt, zum Zeitpunkt t, und was hier steht,

ist nichts anderes als Energieerhaltung, die Wärme zum Zeitpunkt t, das ist genau so viel wie zum Zeitpunkt 0, also diese Rechnung liefert nichts anderes als Energieerhaltung für die Wärmeleitungsgleichung.

So, das ist einfach im Servicefall hier Beispiele dafür, dass das Integrieren und dann Vertauschen der Reihenfolge viel helfen kann, wenn Sie sich die Rechnung nochmal anschauen, wenn Sie oben die Reihenfolge nicht vertauschen, haben Sie überhaupt keine Chance irgendwie weiterzurechnen, weil das y sowohl in dem U0, wie auch in der komischen

Gaussglocke drin steht, und man überhaupt nicht weiß, was da jetzt rauskommt. So, das ist das erste Thema, Integrieren von Parameterintegralen, dass ein Integral zu integrieren jetzt nicht mehr so schlimm ist, kann man sich denken, wie sieht es denn aus, das Ding zu differenzieren, also wir wollen jetzt das

Integral differenzieren, also nächster Punkt, 1,5 ist die Differenz von Parameterintegralen, und Achtung, es geht, jetzt können Sie natürlich auf den, kann man auf den schnellen Trichter kommen, wenn ich sage, differenzieren von Integralen, das ist ja einfach, das ist ja einfach differenzieren, das ist umkehren von Integralen, alles wieder gut, nein, nein, das Integral integriert nach der Variable in y und Sie wollen nach der Variable

in x differenzieren. Also Sie wollen nicht das Integral rückgängig machen, sondern im Integral stehen x und y drin, Sie integrieren nach y und differenzieren dann nach x, und die Frage ist, was kommt raus, also das ist der 1,5, Differenziation von Parameterintegralen, das heißt,

wir haben wieder eine Funktion g, die definiert ist, also das Integral über f von x, y, also wir haben hier eine Funktion f,

die hat zwei Variable und geht nach r, und wir haben zwei Integrationsgrenzen a und b, und jetzt brauchen wir wieder die Voraussetzung wie oben, dass wir das f überhaupt integrieren können, also Minimalvoraussetzung

für jedes x aus r müssen die Funktionen, die das y auf f von x, y schicken, also x festgehalten, y läuft als Variable, die muss ich integrieren können, das heißt, die müssen Stückweise stetig sein, wie gesagt,

das ist die Minimalvoraussetzung, normalerweise ist alles stetig differenzierbar, sonst was, dann haben Sie kein Problem, also wenn wir die Voraussetzung haben, dann können wir das Parameter integral hinschreiben,

wie oben, g von x ist das Integral von a bis b, f von x, y, dy, das existiert jetzt, und die Frage ist jetzt, was ist die Ableitung von dem Ding nach x, jetzt gibt es wieder den schönen Fall, wenn Sie das Integral hier

einfach ausrechnen können, brauchen Sie sich keine weiteren Gedanken zu machen, rechnen Sie das Integral aus, kriegen Sie eine Funktion in x, differenzieren die und sind fertig, das Problem steht wieder dann auf, wenn dieses Integral so ist, dass man es nicht aus xen kann, dann

ist interessant, wie es weiter geht, und die neilingende Idee, die in dem Fall auch funktioniert, ist, naja, Sie wollen diese Funktion da nach x ableiten, das x steht nur im Integral drin, man hat sozusagen das Differenzieren, außen am Integral und man könnte hoffen, dass man das Differenzieren

am Integral vorbeischieben kann, das f im Integral differenzieren und danach integrieren, das ist nicht klar, dass man das kann, weil was man dabei tut, ist, man vertauscht zwei Grenzübergänge, differenzieren ist ein Limes, integrieren ist ein Limes, und wenn man zwei Limiten vertauscht,

zwei Limitenbildungen vertauscht, das ist immer gefährlich, das geht im Allgemeinen nicht, und das Schöne ist, hier geht es, zumindest unter einigermaßen vernünftigen Voraussetzungen, und die Voraussetzung ist im Wesentlichen, dass nach dem Vertauschen, was rauskommen muss, was Sinn macht, das heißt, wenn Sie das g differenzieren wollen, dann dürfen Sie das f differenzieren

und danach integrieren, wenn das f differenzierbar und die Ableitung wieder integrierbar ist, also das f muss diese Prozedur akzeptieren, wenn das f so ist, dass das geht, dann ist die Message von diesem Abschnitt, dann dürfen Sie das, also was brauchen wir?

Sie brauchen, dass zusätzlich das f nach der Variablen x stetig partiell differenzierbar ist, also Sie müssen das f überhaupt erstmal nach x ableiten können, kein Wunder, sonst braucht man

wahrscheinlich auch das g nicht ableiten, und diese Ableitung muss noch stetig sein, dann kommt raus, dann ist auch das g differenzierbar und Sie können die Ableitung vom g ausrechnen, indem Sie das f innendrin im Integral differenzieren und danach integrieren,

also Sie kriegen die Ableitung von g, hier darf ich jetzt Strich schreiben, weil g ist eine wunderbare Funktion in einer Variablen, das ist eine Mathe-1-Ableitung, kriegen Sie indem Sie die partielle Ableitung von f nach x bilden und die nach y integrieren, was hier passiert ist, ist eben Vertauschung des Ableitens

mit dem Integral, wir haben zwei Grenzprozesse vertauscht und dass das geht ist nicht selbstverständlich, aber in dem Zusammenhang geht es gut, also was hier passiert ist, Differenziation und Integration dürfen dann vertauscht werden,

so auch das an einem Beispiel,

folgendes Parameter Integral g von x ist Integral von 1 bis 2,

e hoch xy minus e hoch y durch y, ich habe jetzt nicht drauf geguckt und nicht ausprobiert, ob man das Ding elementar integrieren kann, möglich, auch gut möglich, dass es nicht geht,

weil ich habe so in Erinnerung, ich glaube e hoch x durch x ist so ein hässliches Teil, wenn es geht, ist es auf jeden Fall nicht geradeaus, ist aber auch egal, ich will das Ding gar nicht integrieren und dann ableiten, sondern ich will den Satz von oben verwenden, ich will die Ableitung von g ausrechnen, indem ich innen drin differenziere und dann integriere,

das ist hier okay, jetzt müsste man wieder die Voraussetzungen überprüfen, also wir müssen schauen, dass das was innen drin steht stetig nach x partiell differenzierbar ist, wie man sieht steht da oben die Exponentialfunktion, das ist nicht nur stetig partiell differenzierbar, das ist beliebig oft so viel sie wollen differenzierbar,

das ist also kein Problem, also diese Funktion f, die da innen drin steht, e hoch xy minus e hoch y durch y ist auf dem Intervall von 1 bis 2 stetig partiell differenzierbar nach x, da brennt nichts an,

wenn sie das machen, kriegen sie zumindest für x ungleich 0 das folgende, wie gesagt die Ableitung von g

kriegen sie, indem sie das Parameterintegral nehmen und differenzieren und das dürfen sie differenzieren, indem sie die Ableitung ins Integral reinziehen, also sie leiten hier partiell nach x ab, die Funktion e hoch xy minus e hoch y durch y, machen wir das, steht eh nur

ein x drin, das ist relativ übersichtlich, dieses Integral von 1 bis 2, 1 durch y, können wir als Konstante vorziehen, da müssen wir differenzieren, e hoch xy minus e hoch y, wenn wir e hoch xy nach x differenzieren, kriegen wir ein y, e hoch xy,

und wenn wir e hoch y nach x differenzieren, bleibt nicht viel übrig, das heißt das war's schon, das ist diese partielle Ableitung und jetzt sehen sie, in dem Fall fällt jetzt alles in Wohlgefallen zusammen,

das Integral, das da oben, wie gesagt, ist theoretisch möglich, dass man es elementar hinkriegt, aber ich prophezeihe Ihnen, wenn Sie es versuchen, sitzen Sie 3 Stunden und haben hinterher 5 Blatt Schmierpapier verballert, kann sein, dass es danach da steht, aber es ist nicht geradeaus, so rum ist es überhaupt kein Problem,

was jetzt übrig bleibt, ist ein Integral, das sich beliebig leicht lösen lässt, die beiden y fallen genau weg, Sie haben ein Integral von 1 bis 2, e hoch xy, dy, das ist 1 durch x, e hoch xy, in den Grenzen y gleich

1 bis y gleich 2, an der Stelle sehen Sie auch, warum ich oben vorsichtshalber schon mal hingeschrieben habe, dass x nicht 0 ist, für x gleich 0 müsste man jetzt hier einen Sonderfall aufmachen, und wenn Sie hier einsetzen, kriegen Sie 1 durch x, e hoch 2x minus e hoch x,

und das ist die Ableitung von der Funktion oben, und das Tolle ist, die Funktion oben war bei einem Parameterintegral gegeben, dass man im Prinzip nicht richtig ausrechnen kann, die Ableitung aber können Sie ausrechnen, die kriegen Sie konkret, und

damit kriegen Sie jetzt sogar einen Ausdruck, wenn Sie jetzt wieder zurück integrieren, kriegen Sie einen Ausdruck für das ursprüngliche Parameterintegral, das direkt auszurechnen hoffnungslos war. Das ist ein gar nicht so selten auftretender Effekt, der manchmal auch helfen kann, Integrale auszurechnen.

Also in diesem Sinne ist das ein sehr starkes Wissen, solange alles Sinn macht, dürfen Sie nach einem Parameter in einem Integral differenzieren, also die Differenzation ins Integral reinziehen.

So, damit können wir jetzt Parameter Integrale integrieren und differenzieren und können im Prinzip das Kapitel beenden. Und ich will aber noch ein weiteres Beispiel in dem Kapitel machen, nach dem Prinzip, es gibt nichts, was man nicht noch unübersichtlicher und komplizierter machen kann.

Im Prinzip wissen Sie schon alles, was wir brauchen, um dieses Problem zu lösen, sofern können Sie mich jetzt auf den Standpunkt stellen, muss ich Ihnen nicht zeigen, aber ich behaupte mal, wenn man den Trick, der jetzt kommt, nicht schon mal gesehen hat, dann kommt man nicht selber drauf und deswegen mache ich noch ausführlich ein weiteres

Beispiel und das Problem ist, dass ich jetzt dazu packe Variable Integrations Grenzen. Also wir nehmen die gleiche Funktion wie oben, das gleiche Parameter Integral, also wir haben wieder g von x,

ist ein Integral über diese Funktion, e hoch xy, minus e hoch y, durch y dy. Aber jetzt integriere ich nicht langweilig von 1 bis 2, sondern jetzt integriere ich das Ding von x plus 1 bis x².

Das kann mir keiner verbieten, das ist eine interessante Funktion. Das ist ja Integrieren von x plus 1 bis x² über die Funktion und jetzt haben Sie den Parameter des x, nicht nur im Integral, sondern auch noch in beiden Integrationsgrenzen und die freundliche,

freundlich vorgetragene Frage ist, und was ist die Ableitung? Das ist eine schöne Funktion, g von x. Wie differenziert man jetzt das Ding? Wenn die beiden Integrationsgrenzen da nicht variabel wären, genauso wie gerade eben, aber so steht man normalerweise erstmal wieder ox vor dem Berg und weiß gar nicht,

was man tun soll. Und deswegen will ich Ihnen einen Trick zeigen, der in allen solchen Zusammenhängen zum Ziel führt. Die Formel, die dabei rauskommt, findet man in vielen Formelsammlungen auch fertig vorgefertigt. Die ist allerdings so

bekloppt, kompliziert, dass, also im Allgemeinen, wenn man sie allgemein für F und die Allgemeinfunktion F hinschreibt, gibt das so ein Ding, und das kann sich keiner merken. Und deswegen will ich Ihnen jetzt nicht diese Formel herleiten. Und damit man was zum Kopfbimsen hat, so nicht will ich Ihnen zeigen, wo sie herkommt. Und dann brauchen Sie sich die Formel überhaupt nicht merken, sondern können jederzeit für den Spezialfall

das Ding nachrechnen. Und sind damit auch, sind damit allemal schneller als erstmal wieder die Formelsammlung aufzuschlagen und dieses riesen Ding rauszusuchen. So, was passiert hier? Also gesucht ist wieder g' von x.

Und wir haben jetzt eben das x überall. Innen, drinnen, oben, unten. An viel mehr Stellen kann es nicht mehr stehen. Ich kann es nirgendwo mehr zusätzlich stehen. Und jetzt ist die Frage, wie differenziert man das? Und wir haben vorhin gesehen, alles ist gut, wenn diese Integrationsgrenzen nicht von x abhängen.

Und man kann das tatsächlich in Maßen auf diesen Trick zurück, auf diesen Fall zurückspielen. Das Problem ist, dass das x überall steht und alles mit allem gekoppelt ist. Und diese Kopplung heben wir jetzt erstmal auf. Also der Standard Trick für solche Fälle ist der folgende. Sie definieren sich eine neue Funktion,

die nicht nur von x abhängt, sondern gleich von drei Variablen. Die kann man jetzt nennen, wie man will. Ich nenne sie mal x, u und v. Also wir definieren uns eine Funktion g von x, u und v.

Und ersetzen mal manche von den x durch u und manche durch v. Also das ist das Integral von u bis v e hoch x, y minus e hoch y durch y, dy. Warum mache

ich das? Weil dieses groß g jetzt das Problem nicht mehr hat. Wenn ich das groß g jetzt nach x differenzieren soll, u und v, irgendwelche Konstanten, geht das genau wie oben. Geht genau wie wir es schon gerade gemacht haben. Das x steht nur noch als Parameter. In drin ist ein normales

Parameterintegral. Kann ich differenzieren. Aber wenn ich das groß g habe, komme ich jederzeit aufs klein g zurück. Weil wir hängen groß g und klein g zusammen. Na ja, klein g ist groß g an der Stelle x, x plus eins, x quadrat. Wenn ich u wieder x plus eins setze und v

wieder x quadrat, dann steht wieder klein g da. Also die Idee ist, Sie nehmen diese Kopplung von Parameter innen und x im Rand, nehmen sie auseinander und nennen die drei Dinge sozusagen drei verschiedene xe.

Gelbe, grün und rote xe. Hier habe ich es jetzt nicht gelb, grün und rot, sondern x, u und v. Und tun also erstmal so, als wären das verschiedene Zahlen oder verschiedene Variablen. Und am Schluss müssen Sie halt wieder u gleich x plus eins und v gleich x quadrat setzen. Ganz so kann das natürlich jetzt nicht gut gehen, weil die

Dinger sind gekoppelt. Wenn ich die einfach entkopple und so tue, als wären sie verschieden und hinterher wieder einsetze, wieso soll das stimmen? Klar stimmt das nicht gerade aus, sondern man muss jetzt aufpassen, dass man die Kopplung nicht verliert. was uns jetzt hilft, ist die Kettenregel.

Was haben wollen wir haben? Wir wollen die Ableitung von g haben. Wir hängen die Ableitung von g und von groß g jetzt zusammen. Und da sehen Sie schon die Kettenregel um die Ecke kommen. Wir müssen also dieses groß g von x, x plus eins, x

Quadrat differenzieren. Also was ist g Strich, das was wir haben wollen. Das ist die Ableitung von dem groß g an der Stelle x, eins plus x, x Quadrat. Nach Kettenregel ist das die äußere Ableitung von dem g, also das ist in dem Fall der Gradient von dem groß g.

An der Stelle x, an der Stelle der eingesetzten Funktion, also an der Stelle x, x plus eins, x Quadrat. Mal die innere Ableitung die innere Ableitung nach x, also x nach x ableiten, x plus eins nach x ableiten, x Quadrat nach x

ableiten, gibt eins, eins, zwei x. Das ist die Kettenregel im R3. Also Sie sehen wir brauchen jetzt sozusagen die ganzen letzten 5 Wochen, um dieses eine Problem zu lösen. Also die Ableitung vom klein g ist der Gradient vom groß g an der Stelle x,

x plus eins, x Quadrat, mal die innere Ableitung eins, eins, zwei x. So und damit steht das Programm im Prinzip da. Was wir jetzt noch ausrechnen müssen, ist der Gradient von g an der Stelle x, x plus eins, x Quadrat. Aber im Gradient

von g haben wir jetzt das Problem entkoppelt. Der Gradient von g ist die Ableitung von diesem Integral da oben zunächst nach x, das haben wir gerade gemacht, dann nach u und dann nach v. Jetzt haben Sie sozusagen diese 3, die Sie sonst auf einmal differenzieren müssen, sequenziert. Sie müssen zuerst

nach dem x, dann nach der unteren Grenze, dann nach der oberen Grenze differenzieren. Das müssen wir noch machen. Also wir müssen die partiellen Ableitungen von dem g nach x nach u und nach v bestimmen. Gut, fangen wir mit der ersten

an. Machen wir die partielle Ableitung von g nach x, u und v. Das ist die partielle Ableitung nach x von dem Ding da oben. Das ist jetzt wieder die normale Ableitung von einem Parameterintegral. Da können wir wieder unseren Satz eins, sechs ziehen.

Und können die Integration und die Differenziation vertauschen. Und kriegen das Integral von u bis v von der partiellen Ableitung nach x von e hoch xy minus e hoch y durch y und das ganze dy.

Hier oben steht noch das groß g. Und das ist jetzt genau die gleiche Rechnung wie vorher, nur mit Grenzen u, v statt 1, 2. Also was tut man wieder? Man differenziert in dem Integral d nach dx, also nach dem x.

Das gibt wieder 1 durch y mal y mal e hoch xy dy. Also Integral von u bis v e hoch xy dy. Das ist 1 durch x e hoch xy y gleich u bis y

gleich v. Gleiche Rechnung wie oben. Also wenn man jetzt die beiden Grenzen einsetzt, gibt es e hoch xv minus e hoch xu

geteilt durch x. Das ist die partielle Ableitung nach x. Von unserer Funktion g, schreibe ich hier gerade nochmal hin, was das g war. g von x und u, v war das Integral von u bis v

e hoch xy minus e hoch y durch y dy. Was wir noch brauchen ist die partielle Ableitung nach u und die partielle Ableitung nach v. Also wir brauchen dg nach du

von x, u und v. Das heißt, was müssen wir tun? Wir müssen dieses Ding da nach u differenzieren. Da hat man jetzt entweder gleich die richtige Idee und sagt, ist ja total klar, oder man fragt sich, hä? Das haben wir noch nie gemacht.

Da unten differenzieren. Lassen Sie mich mal erst, da ist es vielleicht übersichtlicher, die Ableitung nach v machen. Dann kommt es Ihnen vielleicht bekannter vor. Also wir differenzieren dieses Ding da oben nach v. Was tun wir? Wir differenzieren nach der Integrationsgrenze.

Und das ist entweder komisch oder klar. Das ist nichts anderes als der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der uns sagt, wenn Sie eine Funktion integrieren und dann wieder nach der Integrationsgrenze differenzieren, dann machen Sie genau rückwärts, was Sie vorher gemacht haben.

Das heißt, was hier rauskommt, was Sie dabei ausrechnen, ist die Ableitung der Stammfunktion. Also die Funktion selbst. Das heißt, was Sie einfach tun, ist, überall da, wo y steht, setzen Sie v ein und gut ist. Also das ist e hoch xv minus e hoch v durch v. Das ist der einfache Teil. Das ist der Hauptsatz der

Differential- und Integralrechnung, der Ihnen sagt, erst integrieren und dann wieder nach der Integrationsgrenze ableiten, gibt die Funktion selbst. So, und das Gleiche gilt für die partielle Ableitung nach u. Nur in dem Fall ist die Integrationsgrenze unten. Und wenn Sie jetzt die Integrationsgrenzen tauschen, sehen Sie, das gibt ein Minuszeichen. Also was hier rauskommt, ist genau das

Gleiche. Ersetzen Sie alle y durch u. Aber setzen Sie noch ein Minuszeichen davor. Das ist minus e hoch x u minus e hoch u durch u. Also das eigentlich Schwierige, das ist auch der Hauptsatz, eigentlich Schwierige ist die partielle Ableitung nach x. Also die hier,

das was wir vorhin schon ausgerechnet haben, das Parameterintegral zu differenzieren nach den beiden Grenzen zu differenzieren, ist mal einfach. So, jetzt haben wir ein bisschen, wollen wir gucken, dass wir den Faden nicht verlieren. Was war das Programm? Wir haben hier, als Gradient von groß g an der Stelle x x plus

1 x² multipliziert mit der inneren Ableitung. Übernehmen wir nochmal diese Gleichung von oben. Das war Schlussfolgerung aus der Kettenregel. Also unser Ziel war Bestimmung von g Strich. Und wir hatten schon gesehen, g Strich ist Gradient g von x x plus 1 x²

multipliziert mit dem Vektor der inneren Ableitung, 1 1 2 x. Und was wir jetzt ausgerechnet haben, ist der Gradient von g. Da oben steht gerade noch die partielle Ableitung nach x. Da steht die nach u, da steht die nach v. Und wir brauchen gar nicht

die gesamte, also wir brauchen gar nicht den Gradient von g in x u und v. Wir brauchen den Gradient von g in x x plus 1 x². Jetzt kommt also der Moment, jetzt ist alles ausgerechnet, jetzt können sie das u wieder durch x plus 1 und das v wieder durch x² ersetzen.

Und wenn man das macht, dann kommt was langes raus, aber es kommt hin. Also der Gradient von g, da oben ist er gerade rausgerutscht, die Ableitung nach x war 1 durch x mal e hoch

mal e hoch vx minus e hoch ux. Also e hoch x plus 1 x minus e hoch x plus 1 x. Das ist die Ableitung von g nach x an der Stelle x plus 1 x². So, jetzt kommt die Ableitung

von g nach u an der Stelle x, x plus 1 x². Das ist minus 1 durch u ist x plus 1 mal e hoch x u, also e hoch x mal x plus 1 minus e hoch u, also e hoch x plus 1.

Dritte Koordinate von diesem Krisengradienten ist die Ableitung nach v an der Stelle x, x plus 1 x², also e hoch x mal v, v ist x² minus e hoch v, e hoch x² und das Ganze mal 1 durch v, also das Ganze mal 1 durch x².

Das ist der Gradient von g und den jetzt multipliziert mit 1, 1, 2, x. Damit ist im Prinzip jetzt alles gelöst, aber jetzt ist es ruchgnadenlose Rechnerei. Jetzt bloß nicht mehr verrechnen. Wir können das ein bisschen Kosmetik

machen, ein bisschen zusammenfassen und dieses Skalarprodukt ausrechnen. Also hier steht jetzt ein Skalarprodukt von zwei Vektoren. Zeile mal Spalte. Also jetzt gibt es einen langen Ausdruck. Einmal die erste Koordinate, also 1 durch x, e hoch x hoch 3

minus e hoch x² plus x minus einmal den zweiten, 1 durch x plus 1 e hoch x² plus x minus e hoch x plus 1 plus 2x mal den dritten, also plus 2x durch x²

plus e hoch x hoch 3 minus e hoch x² Jetzt kann man noch ein bisschen aufräumen. Sie sehen hinten im letzten Term kürzt sich ein aus dem 2x durch x² gibt ein 2 durch x.

Und dann können Sie die beiden ersten und den letzten Term noch zusammenfassen. Gibt ein 1 durch x mal e hoch x hoch 3 plus 2e hoch x hoch 3 Dann gibt es 3e hoch x hoch 3 minus e hoch x²

mal das erste gibt ein e hoch x minus 2 Dann haben wir noch den zweiten Term übrig. Dann kann man e hoch x vorziehen. e hoch x durch x plus 1

mal e hoch x² minus e Das ist keine schöne Ableitung. Aber es ist eine explizit fertige Ableitung, ganz ohne Integral drin. Und für das Monster, von dem wir aus gestartet sind, ist das ein ganz gutes Ergebnis. Also wir hatten am Anfang Integral von variabler Grenze bis variabler Grenze

über Integrant, der von x abhängt. Und beim Rechnen sind jetzt alle Integrale weggefallen und das ist die Ableitung von dem Ding. Also nochmal zusammengefasst, wenn Sie so einen Fall haben, Parameterintegral mit zusätzlich variabler Grenze, definieren Sie sich eine

neue Funktion, die diese beiden Abhängigkeiten entkoppelt. Gelbe, grüne und blaue x oder xuv. Dann nehmen Sie sich diese Funktion in 3 variablen oder 5 oder wieviel es auch immer sind. Also es sind 2 oder 3. Entweder Sie haben den vollen Fall

innen drin und beide Grenzen oder Sie haben innen drin und eine Grenze. Also 2 oder 3 Variablen. Setzen da wieder richtig ein, wenden die Kettenregel drauf an und dann ist es stures Rechnen. Aber der Trick ist eben aus diesem eigentlich eindimensionalen Problem in einer Variablen ein Problem in 2 oder 3 Variablen zu machen und mit

der mehrdimensionalen Kettenregel drauf zu hauen. Und wenn man den Trick nicht gesehen hat, kann man, würde ich sagen, natürlich sagen, Sie wissen ja alles, was Sie brauchen. Es ist keine neue Mathematik, aber es ist ein Trick, den man, wenn man ihn nicht mal gesehen hat und nicht mal selber probiert hat, auf den kommt man nicht von selber. Oder der große

Genie ist schon, aber normalerweise nicht. Gut. Das war die Abteilung Parameterintegrale. Ist damit einigermaßen abgefrühstückt. Man kann jetzt natürlich anfangen mehr Variablen reinzupacken,

aber dabei passiert nichts Neues. Sie dürfen eben, die Message ist, Sie dürfen Differenziationen ins Parameterintegral reinschieben, solange alles, was dabei entsteht, Sinn macht. Und dann damit rechnen. Und ich will mich jetzt einer zweiten Thematik zuwenden,

die auftaucht, wenn Sie in mehreren Variablen integrieren. Und im Wesentlichen ist das immer noch ein eindimensionales Integral, aber im mehrdimensionalen Raum. Ein sogenanntes Kurvenintegral.

Und ich könnte mir gut vorstellen, dass das so ein Thema ist, wo uns die anderen Vorlesungen schon lang enteilt sind. Und dass Sie so ein Ding vielleicht irgendwo auch schon mal gesehen haben. Weil das taucht an verschiedensten Stellen in der Mechanik, in der Physik sonst wo auf.

Und ich will den Begriff des Kurvenintegrals hier motivieren und hier entlangarbeiten an dem Begriff der Arbeit, am Arbeitsintegral. Das ist einer der Bereiche, wo es am meisten vorkommt. Und ich meine Arbeit, was ist das?

Kurz gesprochen, Arbeit ist Kraft mal Weg. Also Sie müssen eben die Kraft, die Sie aufwenden, oder die Kraft, das Kraft fällt gegen das Sie anarbeiten oder das Ihnen hilft, multiplizieren mit der Weglänge. Und das ist auch alles schön, solange

der Weg eine schöne gerade Linie ist. Und ah, das ist der Z. Solange der Weg eine schöne gerade Linie ist, dann können Sie wunderbar entlang des Kraftfelds integrieren. Und dann sind wir in dem Zustand in der Situation von der Matte 1. Da hatten wir dieses

Arbeitsintegral schon mal debattiert. Also wenn der Weg eine gerade Linie ist, dann sind Sie beim normalen, eindimensionalen Integral und damit in der Matte 1. Da hatten wir das schon mal debattiert. Nun ist das Leben

leider nicht immer so, dass es gerade ausgeht, sondern es gibt auch manchmal Kurven und Windungen. Und insbesondere läuft man auch manchmal auf einem gebogenen Linie durch ein Kraftfeld, oder ein Teilchen fliegt durch ein Kraftfeld auf einer krummen Linie. Und dann sind Sie im Moment aufgeschmissen, die Gesamtarbeit zu berechnen. Weil wie soll man denn bitte in einer krummen Linie entlang

integrieren? Das ist im Prinzip jetzt die Aufgabe. Unser Teilchen fliegt hier durch den Hörsaal auf irgendeiner wilden Linie. Und wir wollen die Gesamtarbeit bestimmen, die dabei aufläuft. Und wir müssen also

über eine krumme Linie integrieren. Und das ist das Kurvenintegral. Also jetzt hier kommt jetzt der Fall, dass der Weg nicht gerade ist, sondern gewunden. Irgendwas wildes. Also eine Vorstellung wäre das Folgende.

Wir haben, also ich mal's mal zweidimensional, fällt mir leichter als in 3 oder 4. Wir haben hier ein Kraftfeld. Kraftfeld als Vektorfeld mal ich mal über so ein Pfeilbild. Also an jeder Stelle wirkt hier eine Kraft.

Die kann irgendwie aussehen. Stellen Sie sich weiß ich nicht ein Wind vor. Eine elektrische Kraft. Irgendwas. Und jetzt haben wir, also das ist das Kraftfeld. F in dem Fall ein Vektorfeld von R2 nach R2.

Gibt Ihnen in jeder Punkt an, welche Kraft da wirkt. Denken Sie mal inwiegend an ein Magnetfeld, ein elektrisches Feld, irgendwas. Und jetzt haben Sie da ein Teilchen, das da durchfliegt und das auf dieses Feld anspricht. Also im Fall, wenn es ein magnetisches Feld ist, ein geladenes Teilchen. Oder wenn es ein Gravitationsfeld ist,

ein Teilchen, das eine Masse hat. Und das fliegt da jetzt gemeinerweise nicht geradeaus durch, sondern auf irgendeinem wilden Und die Frage, die ich jetzt sozusagen an Sie habe, ist, was ist die Gesamtarbeit in dem Zusammenhang?

Kraft mal Weg. Also was wir tun müssen, ist wir müssen das Kraftfeld aufintegrieren entlang dieses Weges. Alles ganz einfach. Von der Idee her nur bitteschön integriert man an so einem krummen Ding entlang. Und die Grundidee

ist das Folgende. So ein krummer Weg ist ja nichts an. Ist eigentlich nur ein verbogenes Stück reeller Achse. Also diesen Weg, von dem Punkt, wo das Teilchen ist, bis zum Beispiel hier.

Sie können sich so vorstellen, dass irgendein Riese hat sich ein Stück reeller Achse genommen und hat das verbogen und dann in den R2 geworfen. Und das ist auch die Grundidee des Kurvenintegrals und des Integrierens entlang von so einer Linie. Das ist eigentlich ein eindimensionales Integral. Und das Einzige, was wir jetzt beachten müssen, ist, was ist bei dieser Aktion, das Ding zu verbiegen und zu verdrehen,

mit dem Stück R eigentlich passiert. Das ist jetzt unsere Aufgabe. Also was wir tun müssen, ist F entlang dieser Linie integrieren.

Und dazu will ich jetzt erstmal diese Linie mathematisch fassen. Bevor wir da anfangen zu integrieren, müssen wir erstmal wissen, was ist denn so eine Linie überhaupt. Also außer, dass man das Ding hinmalen kann. Wie kann ich denn so eine Linie in eine Formel fassen? Wenn Sie am Schluss integrieren wollen, brauchen Sie eine Formel für die Linie.

Sonst können Sie nichts konkret rechnen. Also müssen wir diese Linie irgendwie in eine Formel fassen. Und das ist der erste Schritt. Und da kommt jetzt die gerade angesprochene Idee. Die Linie kann ich in eine Formel fassen, indem ich mir diesen Riesen vorstelle und sage, so eine Linie, das ist ein verbogenes Stück R.

Das ist ein verbogenes Stück R in R2. Beziehungsweise, wenn wir dabei sind, machen wir es gleich allgemein, ein verbogenes Stück R im Rn. Das ist die Idee hinter der nächsten Definition.

Und das ist die Definition einer sogenannten Kurve. So, und jetzt ist dieses Verbiegen, das will ich sehen als eine Funktion, eine Funktion, die ein Stück R nimmt, ein Intervall,

und dieses Intervall in den Rn abbildet. Und durch dieses Abbilden kann dieses Stück, das Abbilden ist sozusagen der Riese, der nimmt jetzt dieses Intervall und bildet es in den Rn ab und kann dieses Intervall, stellen sich das Intervall als eine Schnur vor, kann diese Schnur hier irgendwie so hinlegen. Und das ist eine Funktion,

die jedem Punkt auf der Schnur, jedem Punkt auf dem Intervall einen Punkt im Rn zuordnet. Und sowas nennt man eine Kurve. Also eine Funktion, üblicherweise mit Gamma-Kurven heißen aus irgendeinem mir nicht näher bekannten Grund traditionell immer Gamma.

Also eine Abbildung, die das Intervall ab, das ist das Stück R nimmt und nach Rn bringt. Und man will jetzt dem Riesen aber nicht alles erlauben. Also der darf sich das Stück R nehmen und darf es im Prinzip verbiegen, wie er mag.

Er darf es auch, insofern war die Schnur nicht das Richtige, sie müssen eine Gummi-Schnur nehmen. Er darf es auch länger machen und zusammendrücken, er darf es verzerren, das Stück, R. Sie haben eine ideale Gummi-Schnur, die sich beliebig lang ziehen lässt und beliebig zusammenschieben. Aber was wir dem Riesen nicht erlauben wollen, ist, er darf das Stück R nicht zerreißen.

Und er darf es nicht mit sich verkleben. Sondern er darf es nur verbiegen, auseinanderziehen, zusammendrücken. Aber es muss immer ein Stück bleiben. Also man darf es nicht zerreißen. Und das heißt, in Termen dieser Abbildung Gamma, die muss stetig sein. Das heißt im Wesentlichen, dass er sie nicht zerreißen darf.

Und ich will zusätzlich, damit alles, was hinterherkommt, noch voraussetzen, dass sie zumindest stückweise differenzierbar ist. Also der Riese darf dieses Stück R nehmen und mächtig malträtieren und nach Rn werfen.

Aber er darf es nicht zerreißen und er muss es so machen, dass es, er darf einen Knick reinmachen. Aber er darf es nicht überall knicken. Er darf da kein Fraktal draus machen oder sowas. Sondern er muss das zumindest stückweise glatt lassen. Also stückweise differenzierbar.

Und so eine Abbildung, so ein Gamma nenne ich eine Kurve in Rn. Ja, also eine Kurve ist eine Abbildung, die in ein Stück R nimmt und verbogen in den Rn wirft. Die Kurve ist die Abbildung. Was man sich meistens natürlich vorstellt, ist das, was ich vorhin hingemalt habe, die Linie im Rn.

Das ist formal gesehen nicht die Kurve und ja, die Kurve ist und bleibt eine Abbildung. Aber über diese Linie will man natürlich auch reden und diese Linie nennt sie Spur der Kurve. Geschrieben Spur von Gamma. Das ist das Bild, also das ist die Menge aller Gamma von T, wo T von A bis B läuft.

Das ist jetzt eine Teilmenge vom Rn, Gamma geht von R nach Rn. Die Menge aller dieser Punkte, das nennt sich die Spur der Kurve und das ist die Linie aus dem Bild oben.

Und dann noch zwei weitere Begriffe in dem Zusammenhang, die eigentlich ja ganz intuitiv sind. Diesen Punkt Gamma von A, den nennt man den Anfangspunkt der Kurve und den Punkt Gamma von B entsprechend den Endpunkt.

Man nimmt dieses Intervall AB, verbiegt und verdreht es, zerreißt es nicht, legt es nach Rn und dann ist Gamma von A eben der Anfangspunkt und Gamma von B der Endpunkt.

Eine gute Vorstellung für so eine Kurve ist das Bild von oben. Stellen Sie sich das T, den Parameter der Kurve, der von A bis B läuft, das ist die reelle Zahl, die das Intervall einmal abläuft. Stellen Sie sich das als eine Zeit vor, das heißt nicht umsonst T.

Dann ist Gamma von T der Ort, an dem ein Teilchen, unser Teilchen von oben, das durch das Kraftfeld fliegt, an dem das Teilchen zur Zeit T ist. Eine gute Vorstellung für so eine Kurve ist, man hat das Intervall in R und läuft in

A los, das T symbolisiert die Zeit und Gamma von T läuft dann irgendwo durch den Rn, läuft in Gamma von A los, zum Zeitpunkt T bin ich in Gamma von T und am Schluss lande ich in Gamma von B. Also, in dem Bild oben wäre das hier zum Beispiel Gamma von A, das hier Gamma von B und mein Teilchen fliegt jetzt eben diesen Weg entlang.

Hier haben Sie irgendwo das Intervall A, B in R und wenn das T hier rüber läuft, entspricht das dem, dass das Gamma von T einmal diesen Weg abläuft.

Das muss es nicht mit konstanter Geschwindigkeit tun, das ist die Freiheit, die der Riese hat, wie er das Ding staucht und streckt und verdreht, aber es muss eben einmal diesen Weg ablaufen. Was man normalerweise immer halt, ist nur die Spur von Gamma und nicht das Gamma selber.

So, machen wir mal ein paar Beispiele für Kurven.

Nehmen wir mal erstmal eine Kurve, die nicht so arg krumm ist, sondern relativ glatt oder relativ geradeaus ist. Nehmen Sie sich zwei beliebige Punkte x, y im Rn hin und das naheliegendste, um von x nach y zu kommen, wenn nichts gerade irgendwas im Weg ist, ist natürlich einfach auf der geraden Verbindungsstrecke da zu laufen.

Die kann man auch als Kurve interpretieren. Also, wenn Sie die Abbildung Gamma nehmen auf dem Intervall 0, 1, also hier ist A gleich 0 und B gleich 1 nach Rn. Die definiert ist als Gamma von T ist 1 minus T mal x plus T mal y, das ist eine relativ häufig vorkommende Kurve.

Dann entspricht das, die Spur davon ist die Verbindungsstrecke von x und y.

Was passiert jetzt hier, wenn das T von 0 nach 1 geht? Sie haben hier das x, da das y, irgendwo im Rn, x. Was passiert, wenn Sie mal T gleich 0 einsetzen?

Für T gleich 0 steht da 1 mal x plus 0 mal y, also x, das heißt das x hier ist das Gamma von 0, der Anfangspunkt. Wenn Sie T gleich einsetzen, kriegen Sie den Endpunkt, kriegen Sie 0 mal x plus 1 mal y, also y, das heißt der Endpunkt ist y.

Und Gamma von T können Sie sehen als x plus T mal, schreiben Sie das nochmal anders hin, das ist x plus T mal y minus x. Jetzt müssen Sie sich wieder erinnern an die lineare Algebra, an die Geometrie, ganz am Anfang von der Matte 1.

Das ist die Parameterform einer Geradengleichung auf Punkt x plus reeller Parameter mal der Vektor y minus x. Der Vektor y minus x ist also der Richtungsvektor dieser Geraden. Das heißt, jeder Punkt Gamma von T liegt auf dieser Geraden durch x mit dem Richtungsvektor y minus x.

y minus x ist der Vektor, der y mit x verbindet. Das heißt, Gamma von T liegt immer auf der Geraden durch x, auf der auch y liegt. Und jetzt sehen Sie, was hier passiert ist, Gamma von T läuft einfach auf der geraden Verbindung von Gamma von 0 gleich x nach Gamma von 1 gleich y.

Deswegen Verbindungsstrecke, das ist eine Kurve. In dem Fall ist die Kurve sogar eine gerade Linie, das ist der schöne Fall. Also die Spur von Gamma ist in dem Fall die gerade Verbindungsstrecke von x zu y.

So, andere ganz wichtige Kurve, jetzt wollen wir mal was Gekurftes haben, soll ja schließlich nicht umsonst Kurve heißen, das ist die folgende, definiert auf dem Intervall von 0 bis 2pi nach R2 und Gamma von T ist Cosinus von T Sinus von T.

So, was macht das? Oder machen Sie noch ein R davor, R irgendeine positive reelle Zahl.

Was macht dieses Gamma? Versuchen wir es uns auch wieder aufzuzeichnen. Was sind Anfangs und Endpunkt? Was ist Gamma von 0? Wenn Sie T gleich 0 einsetzen, kriegen Sie R mal Cosinus von 0, also R mal 1 ist R. Und R mal Sinus von 0 ist 0, also den Punkt R0, das heißt der Anfangspunkt ist hier der Punkt R0.

Was ist mit dem Endpunkt? Wenn Sie 2pi einsetzen, sowohl Cosinus als auch Sinus sind 2pi periodisch, gibt also auch den Punkt R0, ist eine Kurve, bei der Anfangs- und Endpunkte übereinstimmen.

Und was passiert jetzt, wenn Sie das T größer werden lassen, dann kommen Sie zu den Punkten R mal Cosinus T und R Sinus T, die haben wir alle schon mal gesehen, das sind Punkte auf dem Kreis mit Radius R. R² Cosinus² T plus R² Sinus² T ist R².

Also alle diese Punkte Gamma von T liegen auf dem Kreis mit Radius R. Und wenn das T läuft, dann läuft diese Kurve einmal um diesen Kreis herum. Und hier ist dann wieder der Endpunkt, das ist Gamma von 0 und Gamma von 2pi.

Also diese Kurve läuft einmal um den Kreis mit Radius R außen rum. Auf die Weise kann man also einen Kreis beschreiben, das hier ist die Spur Gamma.

Deswegen braucht man diese Kurve häufiger, insbesondere den Fall A gleich 1, einmal über den Einheitskreis. In dem Zusammenhang, solche Kurven, bei denen Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, spielen eine wichtige Rolle

und kriegen deswegen einen eigenen Namen. Also eine Kurve Gamma auf einem Intervall ab nach Rn, für die Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen,

so wie hier bei dieser Kreiskurve zum Beispiel, das nennt man eine geschlossene Kurve, macht auch Sinn. Anfangspunkt und Endpunkt sind derselbe, das Ding läuft auf sich selbst zurück, nennt man geschlossene Kurve.

So, damit kann man jetzt noch ein bisschen rumspielen. Und ich will Ihnen jetzt noch einem weiteren Beispiel zeigen, dass man eben eine und dieselbe Spur,

also eine und dieselbe Linie, mit sehr verschiedenen Kurven realisieren kann. Vielleicht deswegen ist es wichtig, die Spur nicht mit der Kurve zu verwechseln. Sie können eine und dieselbe Spur, also dieselbe Linie mehr n, auf viele verschiedene Weisen durch Kurven darstellen, also sogenannt parametrisieren.

Und das will ich jetzt einmal an einem Beispiel machen. Ich will mal den oberen Halbkreis auf zwei ganz verschiedene Weisen parametrisieren. Also, wir parametrisieren den oberen Halbkreis.

Das können Sie auf ganz viele verschiedene Weisen machen. Ich zeige Ihnen zweieinhalb. Also, und ich nehme jetzt mal den Einheitskreis. Also die Spur, die ich realisieren will, ist die hier.

Also, der Anfangspunkt soll der Punkt 1,0 sein und der Endpunkt soll der Punkt minus 1,0 sein. Und ich will einmal auf dem Halbkreis oben rumlaufen. Eine Möglichkeit haben wir gerade schon gesehen.

Nehmen Sie unsere Parametrisierung oben vom ganzen Kreis und hören Sie nach der Hälfte der Zeit auf. Laufen Sie nicht von 0 bis 2π, sondern laufen Sie nur von 0 bis π. Das ist die eine Möglichkeit. Also, erste Möglichkeit, die Kurve von oben, aber jetzt nur auf dem Intervall von 0 bis π.

Und Gamma von t ist eben Cosinus t Sinus t. Dann ist für jedes t die Norm von diesem Gamma von t1.

Also, wir sind auf dem Einheitskreis. Weil Cosinus² plus Sinus² ist 1. Der Anfangspunkt Gamma von 0 ist der Punkt 1,0, weil Cosinus von 0 ist 1 und Sinus von 0 ist 0. Und wenn Sie π einsetzen, Cosinus von π ist minus 1, Sinus von π ist 0,

kriegen Sie den Punkt minus 1,0, sind Sie einmal halb rumgelaufen. Erste Möglichkeit. Jetzt gibt es eine Möglichkeit, wie Sie immer, wenn Sie so eine Darstellung von so einer Spur haben als eine Kurve, dann kriegen Sie immer mit Leichtigkeit daraus 3.287.718 andere und noch mehr.

Und zwar indem Sie umskalieren. Ich nenne das, was weiß ich, 1,1,1,5. Möglichkeit. Weil das ist noch keine wirklich ganz andere. Sie können Gamma-Schlange definieren, zum Beispiel indem Sie von 0 bis 2π laufen nach R2.

Und Gamma-Schlange von t, nehmen Sie Cosinus von t½, Sinus von t½. Was macht jetzt das?

Es hat ein doppelt so langes Definitionsbereich, läuft dafür aber mit halber Geschwindigkeit. Und am Ende kommt das Gleiche raus. Also was hier passiert ist, oben nehmen Sie das Intervall 0π und biegen es zu einem Kreis. Und unten nehmen Sie das Intervall 0,2π, stauen Sie es erstmal auf die halbe Länge zusammen und biegen es dann zum Kreis.

Kommt gleich heraus. Trotzdem, und das ist wichtig, sind es zwei ganz verschiedene Kurven. Die Spur ist dasselbe, Spur ist der halbe Einheitskreis. Aber die Kurve ist die Funktion, und das sind völlig verschiedene Funktionen, daran sieht, dass die völlig verschiedene Definitionsbereiche haben.

Die eine ist auf 0π definiert, die andere auf 0,2π, die haben auch eine andere Funktionsvorschrift. Aber die Bildmengen sind die gleichen, das haben beide dieselbe Spur. Das ist eine Möglichkeit, das geht immer. Wenn Sie eine Kurve haben, dann können Sie die immer so umskalieren, wie Sie wollen.

Die 2 ist natürlich völlig willkürlich. Sie können das Ganze auch auf dem Intervall 0 bis 25x anschauen und innen drin T25 schreiben. Deswegen sage ich, das gibt Ihnen beliebig viele Unparametrisierungen der gleichen Spur. Auf die Weise haben Sie viele verschiedene Möglichkeiten, die gleichen Spur zu erreichen mit verschiedenen Kurven.

Also an der Stelle nicht stressen, wenn die Aufgabe ist, nachher bestimmen Sie irgendein Kurvenintegral über die Einheitskreislinie mit sonst was. Und Ihre Kommilitonen haben eine ganz andere Kurve gamma genommen als Sie, das muss noch nichts heißen.

Die Kurve gamma ist durch die Spur bei weitem nicht festgelegt, gibt viele, viele Möglichkeiten, die aufzustellen. Und ich will in dem Fall zeigen, dass es sogar noch ganz andere Möglichkeiten gibt. Also nicht nur diese Möglichkeit, das Ding jetzt hier so umzuskalieren, sondern zum Beispiel

können Sie das, wenn wir das Beispiel von hier nehmen, von gerade eben nehmen, ist diese Spur sogar besonders einfach zu realisieren, weil Sie können dieses Ding hier auffassen als ein Grafen von der Funktion über der x-Achse.

Das geht beim ganzen Kreis schlecht, aber hier ist es noch, dieser Halbkreis ist ein Graf von der Funktion über der x-Achse. Und dann gibt es immer eine Möglichkeit, diesen Grafen zu parametrisieren, und zwar, ich nenne das Ding jetzt mal gamma-hut.

Das ist eine Funktion, die ist mal auf einem Intervall minus 1, 1 nach r². Und gamma-hut von t ist in jeder Stelle an der x-Achse einfach t. Sie starten an dem Punkt 1, 0 mit x gleich 1. Und gehen jetzt nach, also Sie starten an dem, habe ich jetzt Mist gebaut?

Habe ich es richtig rum? Ja, ich habe es richtig rum. Vorsichtig, hier brauchen Sie minus t, so. Sie starten an der Stelle 1, also für t gleich minus 1 haben Sie jetzt hier t gleich, minus t gleich 1.

Und dann für t immer den Punkt, der auf diesem Grafen liegt, also minus t und Wurzel aus 1 minus t². Das ist der Graf, der sich aus der Kreisgleichung ergibt. Und wenn Sie diese Kurve hernehmen und jetzt die Stelle mal minus 1 einsetzen, sehen Sie,

Sie sind an der Stelle, also rechnen wir es aus, dass das tatsächlich die gleiche Spur ist. Was ist der Anfangspunkt? Also gamma-hut von minus 1 ist dann der Punkt 1, Wurzel aus 1 minus minus 1² ist 0.

Und gamma-hut von 1 ist minus 1, 0. Also es ist tatsächlich eine Kurve, die in 1, 0 anfängt und in minus 1, 0 aufhört. Und jetzt müssen wir noch gucken, dass die Kurve nicht trickst und irgendwie einen anderen Weg nimmt.

Also was müssen wir gucken, dass jeder von diesen Punkten auf der positiven Halbkreislinie liegt. Also für alle t, abs aus minus 1, 1, gelten die folgenden zwei Dinge.

Erstens, die zweite Kommundente, gamma 2, dach von t, ist größer als 0, ist die Wurzel aus irgendwas Positives, also ist positiv. Das heißt, wir liegen auf jeden Fall in der oberen Hälfte.

Das ist nochmal die Spur, die wir haben wollen, hingemalt. Was wir schon wissen ist, das hier ist gamma-dach von minus 1, das ist gamma-dach von 1. Und was auch klar ist, gamma-dach von t liegt immer in der oberen Hälfte des Koordinatensystems.

Und was wir noch nachrechnen können, ist tatsächlich auch immer auf dem Einheitskreis. Also was ist gamma 1, Quadrat von t plus gamma 2, dach Quadrat von t, das ist t².

gamma 1 ist minus t, das ist zum Quadrat, also minus t² plus das Quadrat von der Wurzel 1 minus t². Und das ist t² plus 1 minus t² ist 1.

Also gamma-dach von t liegt tatsächlich immer genau auf der Kreislinie, und zwar im oberen Halbraum. Also läuft einmal diesen Kreis. So, also haben wir jetzt zwei komplett verschiedene Methoden, wie man diesen Halbkreis parametrisieren kann.

Also zu beachten ist hier die Spur von gamma, ist gleich der Spur von gamma-Schlange, ist gleich die Spur von gamma-Hut.

Aber alle Kurven sind verschieden. Also alle diese drei Kurven sind verschiedene Kurven, die nur die gleiche Spur beschreiben. Also es geht immer, die Kurve als solche liegt durch die Spur nicht

fest, im Gegenteil, der Friese hat eben sehr viele Möglichkeiten, sich seinen Intervall zurechtzubiegen. Jetzt habe ich lauter Beispiele im Zweidimensionalen gezeigt für Kurven, liegt natürlich daran, dass man die besonders angenehm zeichnen kann. Ich versuche mich noch an einem Beispiel im Dreidimensionalen von 0 bis, sagen

Sie mir irgendwas, meine Wegen 10π, 2π oder 6π oder auch irgendwie irgendwas anderes. Und mein Gamma von t ist R mal Cosinus von t, R mal Sinus von t, c mal t, wobei c größer 0 ist.

Und ist die Frage, was ist das? Ist das irgendeine Kurve im dreidimensionalen Raum? Und im Laufe der Zeit, wenn man mit den Dingern arbeitet, muss man so ein

bisschen ein Gefühl dafür entwickeln, aus den Formeln zu lesen, was tut so eine Kurve. Also Sie müssen beides lernen. Zum einen, wenn Ihnen jemand geometrisch eine Kurve gibt und sagt, meine Spur ist gegeben durch den zweimal durchlaufenden Einheitskreis in positiver Richtung

oder ist gegeben als einmal um das Dreieck mit folgenden Eckpunkten gelaufen, dann muss man, ist in der Lage sein, so eine Angabe in eine Formel zu übersetzen. Deswegen habe ich Ihnen so Sachen wie den Kreis gezeigt. Zum anderen muss man auch, oder die Verbindungsstrecke, die braucht man fürs Dreieck.

Zum anderen muss man umgekehrt, wenn Ihnen jemand so eine Formel hinwirft, die natürlich nicht so ein Ding ist, im Laufe der Zeit sehen, was macht diese Kurve denn, was beschreibt sie denn. Wenn man es gar nicht sieht, muss man sich einen Rechner setzen und sich mal den Grafen plotten lassen, dann sieht man, was passiert.

In dem Fall kann man sich es ein bisschen überlegen, weil die ersten zwei Koordinaten kennen wir schon. Wenn Sie mal die dritte Koordinate vergessen, was macht die Kurve, die das T schickt auf R cosinus T, R sinus T? Das war unser Kreis mit Radius R, läuft im Kreis rum. In dem Fall läuft das T jetzt von 0 bis 10 Pi.

Das heißt, ich laufe einmal rum bis 2 Pi, nochmal rum bis 4 Pi, nochmal rum bis 6 Pi, nochmal rum bis 8 Pi und ein fünftes Mal bis 10 Pi. Also die ersten zwei Koordinaten laufen einfach auf dem Kreis mit Radius R um den Ursprung in der XY-Ebene fünfmal rum. So, jetzt kommt die dritte Koordinate dazu. Was macht die dritte Koordinate?

Die sorgt dafür, dass in Z-Richtung am Anfang für T gleich 0, ist in Z-Richtung 0. Und wenn jetzt das T größer wird, wird die Z-Richtung auch immer größer und zwar einfach linear proportional zu T. Was macht also mein Teilchen? Das fängt im Punkt 1,0,0 an.

Die 1,0 in der XY-Ebene beim Kreis und 0 in Z-Ebene, läuft fünfmal im Kreis rum, überlagert mit einer Linie einfach gleichförmigen Bewegungen in Richtung Z-Achse nach oben. Das heißt, was das Teilchen macht, ist es läuft fünfmal im Kreis und schraubt sich dabei nach oben.

Es gibt eine Schraubenlinie, so heißt das Ding auch. Das ist die sogenannte Schraubenlinie mit Radius R und sogenannter Ganghöhe C.

Und das C gibt an, wie weit geht die Schraube rauf, wenn ich einmal rumlaufe. Wenn ich ein sehr kleines C habe, dann habe ich eine Schraube, die sehr wenig hochgeht. Wenn ich ein sehr großes C habe, dann bin ich, wenn ich einmal rumgelaufen bin, schon zehn Meter hoch. Das ist die sogenannte Ganghöhe. Und das Bild dazu, jetzt kommt das dreidimensionale Malen.

Jetzt mal schauen, also was passiert. Hier haben Sie die X-Achse, da haben Sie die Y-Achse, da haben Sie die Z-Achse. Das Teilchen startet hier im Punkt X gleich 1, Y gleich 0, Z gleich 0.

Läuft in der XY-Ebene fünfmal im Kreis und wird dabei linear hochgezogen. Also läuft hier im Kreis, wird dabei in Z-Richtung hochgezogen. Und was Sie kriegen, ist so eine Schraube nach oben.

In dem Fall, das reicht jetzt noch nicht, habe ich bis 10 Pi gemacht, also fünf Kreise linear hoch. Das ist das, was hier passiert. Und Sie sehen, man kann also mit diesen Kurven im Prinzip jedes verbogene Stück Linie im Rn darstellen.

Und warum haben wir das jetzt alles gemacht? Noch mal zurück an den Anfang, wir wollten das Wegintegral bestimmen, wenn man so eine Kurve entlanglaufen durch ein Kraftfeld. Und mein Punkt war, wenn Sie dieses Wegintegral ausrechnen wollen, dann müssen Sie dazu zunächst diese gebogene Linie irgendwie analytisch über eine Formel darstellen,

weil wir können nun mal nur Formeln integrieren und keine geometrischen Angaben. Ich kann schlecht integrieren die Schraubenlinie hoch, wenn ich für diese Schraubenlinie keine Formel habe. Und dazu sind diese Kurven da, die Kurven formalisieren eben solche Linien im Rn.

Und wir können uns dann, nachdem wir jetzt diesen Begriff der Kurve eingeführt haben, darum kümmern, wenn ich jetzt diese Schraubenlinie habe und habe jetzt ein Kraftfeld und mein Teilchen fliegt also diese Schraubenlinie hoch, wie integriere ich jetzt diese Linie entlang? Das ist das Thema für nächste Woche, für heute.

Danke Ihnen für die Aufmerksamkeit und wünsche Ihnen eine schöne Restwoche.