Gut, also erst mal allen danke, dass Sie da sind. Die gestrige Aufzeichnung ist wohl abgebrochen, irgendwo in der Definition vom ersten unheimlichen Integral, in Definition 9.1 irgendwo in der Mitte, oder 28.1 irgendwo in der Mitte.

Das heißt, ich werde heute da einfach wieder einsetzen. Damit haben wir noch mal 10 Minuten doppelt, aber dann kann man das relativ einfach reparieren. Und Sie hören jetzt irgendwie manches Mal, wo Sie denken, das habe ich schon mal gehört. Aber es sind ungefähr, es ist eine Seite, es sind ungefähr 10 Minuten, knappe 10 Minuten.

Gut, in dem Sinne also eine ausführliche Erinnerung, was wir gemacht haben. Das geht ja gut los hier. Eine ausführliche Erinnerung an die Definition vom unheimlichen Integral.

Wir haben eine Funktion auf einem Intervall von a bis beta, a drinnen beta ausgenommen, mit der Idee, dass die Funktion, die man an der Stelle beta, aus irgendeinem Grund nicht eigentlich integrierbar ist, deswegen hier draußen,

nach r oder nach c. Und damit wir den Grenzprozess fürs unheimliche Integral machen können, soll die Sprung stetig sein auf allen Intervallen der Form a, t, für jedes t zwischen a und beta.

Und dann kann man eben für jedes t das Integral bestimmen. Und wir nennen f uneigentlich integrierbar, wenn dann der Grenzwert,

der Integrale für t gegen beta existiert. Also wenn der limes t, in dem Fall t von rechts gegen beta, von links in dem Fall gegen beta, von den Integralen von a bis t,

die ja jetzt alle wegen der Sprungstätigkeit sauber definiert sind, über f, wenn der existiert. Und dann nennt man das uneigentliche Integral, das man jetzt eben hinschreibt, rein formal, indem man da, wo oben t steht,

jetzt beta hinschreibt, also das steht dann das Integral von a bis beta über f, das nennt man dann convergent. Und wenn dieser Grenzwert nicht existiert, dann heißt das Integral divergent.

So, das ist der Fall fürs Integral, wenn die rechte Grenze missbaut, oder die rechte Grenze nur uneigentlich existiert. Dann der Fall, wenn die linke Grenze nur uneigentlich existiert,

dann haben wir eine Funktion von alpha bis b nach k, die muss sprungstätig sein, auf jedem Intervall der Form t bis b, für alle t aus alpha bis b, und man nennt es uneigentlich integrierbar, wenn jetzt der Grenzwert t gegen alpha von rechts,

von Integral t bis b, über f existiert, und dann heißt das uneigentliche Integral von alpha bis b über f, convergent. So, also dieses Integral ist eben dann gegeben durch den entsprechenden Dings.

So, damit haben wir jetzt den Fall von einem sogenannten doppelt uneigentlichen Integral, wo an beiden Ecken was passiert noch nicht, sondern nur Einzelfälle, nur jeweils entweder links oder rechts an der anderen Grenze muss das Integral, also muss die Funktion bis a bzw. b voll definiert sein.

So, Beispiele dazu. Die ersten zwei eben in Wiederholung von gestern, und dann noch ein drittes neues. Das erste Beispiel

war ein Integral von 0 bis 1 über 1 durch Wurzel 1 minus x Quadrat dx. Auch wenn es harmlos aussieht, ist es ein uneigliches Integral, weil wenn ich x gegen 1 schicke, geht die Wurzel unten gegen 0. Also dieser Integral hat eine Vohlstelle an der Stelle x gleich 1,

dann wird er beliebig groß und dementsprechend ist das ein uneigliches Integral, auch wenn es harmlos aussieht. Das heißt, wenn wir uns an das Kochrezept von oben halten, können wir nicht von 0 bis 1 integrieren, sondern nur von 0 bis t, für t, die kleiner sind als 1.

Nehmen wir uns also t her aus dem Intervall 0,1 und integrieren erstmal von 0 bis t über unsere Funktion, also über 1 durch Wurzel 1 minus x Quadrat. Dann ist die Frage,

wie man das Integral integriert. Das kann man sich mit Schaudern erinnern an das Integral über Wurzel 1 minus x Quadrat, an dem wir lange hackert haben. In dem Fall ist die Sache freundlicher. Wenn man in die Tabelle zurückguckt von den elementaren Stammfunktionen, steht man fest, die steht da drin, oder von den elementaren Ableitungen, die steht da drin. Das ist genau die Ableitung vom Akkusinus. Das Akkusinus ist eine mögliche Stammfunktion

von der Funktion. Also können wir hier den Akkusinus nehmen und auswerten zwischen 0 und t. Akkusinus von 0 ist 0, also kommt hier einfach Akkusinus von t raus. Und jetzt sagt uns das Kochrezept für wie rechne ich ein uneinges Integral aus.

Dieses Ding hier ausrechnen und dann den Grenzwert t gegen 1 von links. Wenn wir mit dem Akkusinus mit t gegen 1 gehen, dann ist der Akkusinus in 1 einfach eine stetige Funktion. Das heißt der Grenzwert geht gegen Akkusinus von 1. Also das Integral, jetzt das uneingegral

von 0 bis 1 über 1 durch Wurzel 1 minus x Quadrat ist nach Definition der Limous t gegen 1 von links von dem Integral 0 bis t 1 durch Wurzel 1 minus x Quadrat. Das haben wir gerade

ausgerechnet als den Akkusinus von t. Wegen der Stetigkeit davon ist das der Akkusinus von 1 und der ist p halbe. Damit ist das Integral und eigentlich Integral ein konvergentes Integral und der Wert ist p halbe.

So, zweites ähnlich gelagertes, aber ganz berühmtes Beispiel von einem uneigentlichen Integral. Integral von 0 bis unendlich 1 durch 1 plus x Quadrat. Das ist jetzt ein unendliches Integral von der Sorte, wo der Integrationsbereich

unbeschränkt ist, wo man bis unendlich integrieren. Und auch hier muss man also erstmal sich ein t, ein endliches t hernehmen und erstmal von 0 bis t integrieren. Also Integral von 0 bis t

1 durch 1 plus x Quadrat dx. Auch von 1 durch 1 plus x Quadrat wissen wir, dass es eine Stammfunktion gibt. Das ist genau die Ableitung vom Akkustangens. Also steht hier der Akkustangens in den Grenzen von 0 bis t.

Akkustangens von 0 ist wieder 0, also steht hier der Akkustangens von t. Jetzt kann man wieder den Grenzprozess machen. Lassen Sie t gegen unendlich gehen. Dann wird der Akkustangens gegen pi halbe. Also kommt auch hier pi halbe raus. Das heißt,

wir haben jetzt gezeigt, dieses unendliche Integral von 0 bis unendlich über 1 durch 1 plus x Quadrat dx ist konvergent und ist gleich pi halbe. wenn man jetzt

kann man noch zwei Möglichkeiten machen. Entweder man rechnet es nochmal durch oder man substituiert das x nach minus x. Dann kann man genauso das Integral auf der anderen Seite vom minus unendlich bis 0 über die gleiche Funktion ausrechnen. Die Funktion ist gerade. Also kommt dann dasselbe raus.

Das ist also auch konvergent und auch pi halbe. Wir haben gestern schon richtig festgestellt. Eigentlich ist man jetzt versucht, die beiden zusammenzukleben und zu sagen das Integral von minus unendlich bis unendlich über die Funktion muss dann pi sein. Ist auch so, aber müssen wir gleich erst definieren, was ein doppelt uneindliches Integral ist, weil da gibt es eine kleine Subtilität.

In diesem Kapitel, wo der Weg klar vor einem liegt, man will jetzt integrieren bis wohin man nicht kann und dann macht man so einen Grenzprozess, die einzig Stelle, wo man tatsächlich ein bisschen aufpassen muss beim Zusammenkleben von zwei so uneindlichen Integralen. Warum, werde ich dann zeigen.

Noch ein drittes Beispiel, weil es eine ganz wichtige Vergleichsgröße ist, zu vergleichen mit, wie gesagt, es gibt zwischen uneindlichen Integralen und der Konvergenz von Reihen

ganz viele Parallelen. Eine wesentliche Frage bei den Reihen waren ja diese Reihen über eins durch N hoch K oder eins durch N hoch S. Für welche S ist das konvergent und für welche S nicht. Und die entsprechenden bei den Integralen sind die Integrale über eins durch X hoch S.

Also nehmen Sie irgendeinen S größer Null her. S kleiner Null können Sie auch angucken, denn das ist aber langweilig. Und integrieren Sie von eins bis unendlich die Funktion eins durch X hoch S. Eins durch X hoch S. Die sehen alle

mehr oder weniger so aus. Je nach Einheiten ist das jetzt eins durch X hoch S für irgendeine S. Für irgendeine S. Diese Hyperbole-Äste, da gibt es jetzt zwei spannende uneigentliche Integrale. Von Null bis unendlich wäre so ein doppelt uneigentliches. Schneiden wir es irgendwo in der Mitte auf, zum Beispiel hier bei eins.

Dann ist sowohl die spannende Frage, wie es mit der Fläche hier unten aussieht, als auch, wie es mit der Fläche hier drüben aussieht. In dem Fall jetzt erstmal die schwarze Fläche. Also Integral von eins bis unendlich über eins durch X hoch S. Wann ist das konvergent? Wann ist das divergent?

Und das Schöne im Gegensatz zu den Reihen, wo man da ein teilweise ein bisschen ackern muss, ist, dass man beim Integral deutlich mehr Methoden hat und schlichtweg ausrechnen kann. Bei den Reihen haben wir uns am Anfang ziemlich abgekämpft. Für die harmonische konnte man relativ schnell überlegen, warum sie divergiert. Für die Reihe mit eins durch K Quadrat

hat man so ein bisschen Majorantenkriterium gemacht. Ich hatte Ihnen gesagt, da kommt P Quadrat Sechstel raus, aber begründet hatte ich es Ihnen noch nicht. Der Vorteil hier ist, wir können schlichtweg ausrechnen. So, das ist ein großer Vorteil von Integralen gegenüber Reihen.

Was ich erstmal rausziehen muss, ist der Fall S gleich 1. Wir sehen gleich, warum. S gleich 1 ist ein Sonderfall. Beim Integral rechnen wir jetzt Integral von 1 bis n ähnlich, als Integral von 1 bis t, für ein beliebiges t größer 1. Und dann

brauchen wir die Stammfunktion von 1 durch x, das ist der Logarythmus. Logarythmus von Betrag x eigentlich, aber in dem Fall haben wir ja positive x. Das ist der Logarythmus von t minus der Logarythmus von 1. Das ist der Logarythmus von t. Und wenn Sie jetzt t gegen und endlich schicken, dann ist der Logarythmus

zwar ein langsamer, aber er geht gegen und endlich. Also ist in dem Fall ein divergentes Integral. Die Fläche unter der Funktion 1 durch x ist zwischen 1 und endlich und endlich groß. Also divergent. Das ist dieses Integral,

das ist das Analogon zur harmonischen Reihe. Entspricht der Reihe über 1 durch k. Sie sehen auch, das Wachstum ist extrem langsam. Geht wie Logarythmisch gegen unendlich. Also wirklich langsam, aber es ist eben unendlich. Die Fläche ist unendlich

und damit ist das Integral divergent. Und genauso wie die harmonische Reihe bei den Reihen der Grenzfall ist, stellt sich jetzt raus, dass auch bei den Integralen, dass dieser Fall s gleich 1 der Grenzfall ist. Also wir rechnen es aus. Das Integral von 1 durch t über 1 durch x hoch s.

Wenn s nicht 1 ist, also das Integral, sieht man es vielleicht besser über x hoch minus s. Stammfunktion von sowas monommäßigem, 1 durch minus s plus 1 hoch x hoch minus s plus 1 in den Grenzen von 1 bis t. Jetzt sehen Sie, warum ich s gleich 1

ausschließen musste. Für s gleich 1 ist die Stammfunktion kein Monom, sondern eine Logarythmus. Und jetzt kann man es aber einfach einsetzen. Und es kommt raus,

also 1 durch, ich schreibe mal 1 minus s statt minus s plus 1 an der Stelle t hoch 1 minus s minus x gleich 1. Dann bleibt nur 1 durch 1 minus s stehen. So, was passiert jetzt, wenn Sie t gegen unendlich schicken?

Dann ist das Ding konvergent. Das kommt jetzt darauf an, ob der Exponent 1 minus s positiv oder negativ ist. Wenn 1 minus s positiv ist, dann geht t hoch 1 minus s wie Rakete ab. Dann ist hier nichts mit Konvergenz. Wenn 1 minus s negativ ist, dann geht der erste Sommand gegen 0 und es bleibt genau 1 durch s minus 1.

Das ist der Wert des Integrals. Also das Ding ist konvergent, genau dann, wenn 1 minus s negativ ist. Also 1 minus s kleiner 0, das heißt genau dann, wenn s größer ist als 1. Dann sehen Sie s gleich 1. Der Fall 1 durch x ist genau der Grenzfall, da ist es noch divergent,

aber für alle s größer 1 wird es ein konvergentes Integral. Und der Wert ist dann, also das Integral von 1 bis unendlich über 1 durch x hoch s ist dann 1 durch s minus 1

für s größer 1. Man könnte es auch für negative s angucken, aber die sind natürlich, dann ist es immer divergent. Dann integriert man über t hoch was Positives von 1 bis unendlich. Das wird natürlich

beliebig groß. Grundsätzlich auch wie bei Reihen, wenn Sie Integral von irgendwas bis unendlich haben und der Integral geht nicht gegen 0, dann können Sie es wie bei Reihen vergessen. So. Dann kommt, kann man sich die blaue Fläche angucken.

Das Rechnung ist genauso, das lende ich Ihnen jetzt nicht nochmal vor, sondern sag, was rauskommt. Sie dürfen es gerne nachrechnen. Also das Integral von 0 bis 1, 1 durch x hoch s ds. Und was da rauskommt, ist, das konvergiert jetzt genau in den anderen Fällen. Das konvergiert genau dann, wenn s kleiner 1 ist.

Und in dem Fall, in dem Fall gilt dann, dass das Integral von 0 bis 1 über 1 durch x hoch s ds genau, auch wieder der gleiche Ausdruck ist, 1 durch s minus 1. Habe ich s? Ja.

Das muss ein dx sein, genau. Im zweiten habe ich aufgepasst. Gut. Danke. Was also hier insbesondere rauskommt, ist, dass selbst wenn wir die Dinger zusammenkleben können, es nie was vernünftiges gibt. Die beiden Teile konvergieren nie gleichzeitig.

Entweder konvergiert, also für die Funktion 1 durch x, konvergieren sie beide nicht. Und für alle anderen konvergiert entweder der rechte, für s größer 1 oder der linke, für s kleiner 1. Aber nie beide. Also hier stellt sich diese Frage des Zusammenklebens nicht. Gut.

Dann machen wir uns mal da dran. Definieren wir den Fall von einem doppelt uneigentlichen Integral. Und diese Idee des Zusammenklebens ist genau die richtige. Wir sagen einfach so ein doppelt uneigliches Integral, also eins, wo zum Beispiel wie hier die blaue und die

schwarze zusammen, wir haben gerade festgestellt, in dem Fall kommt immer Divergent raus. Aber man könnte natürlich auch andere, sicher andere Funktionen vorstellen, wo beide Teilflächen ähnlich sind. So was nennt man ein doppelt uneigliches Integral.

was man jetzt eben sagt, ist, so ein doppelt uneigliches Integral nennt man Konvergent, wenn man es genauso zusammenkleben kann, wenn man das irgendwo in der Mitte schneiden kann, und das dadurch entstehend einfach- konvergente Integral links und das dadurch entstehend einfach-konvergente Integral rechts, einfach-uneiglich Integral rechts, ist jeweils ein konvergentes und dann klebt man es.

Man könnte sich, komme ich nachher noch zu, andere Methoden vorstellen, die sind aber ein bisschen kitzlig. Also wir haben jetzt eine Funktion auf einem offenen Intervall, Alphabetter, dann haben wir jetzt an beiden Seiten eine uneigentliche Integration.

Damit wir die Grenzprozesse machen können, muss das Ding natürlich auf allen abgeschlossenen Intervallen im Inneren vernünftig sein, also sprungstätig auf jedem Intervall abgeschlossenen Intervall Xi, Eta, für alle, Alpha, Kleiner, Xi,

Kleiner, Eta, Kleiner, Beta und dann dann nennt man das F auf dem Intervall Alpha, Beta

uneigentlich integrierbar, wenn man ganz genau sein will, doppelt uneigentlich integrierbar, wenn man irgendwo in der Mitte auseinanderschneiden kann und zwei uneigentliche Integrale im vorherigen Sinn übrig bleiben, also wenn es einen C gibt, irgendwo zwischen Alpha und Beta,

sodass das Integral von Alpha bis C über F und das Integral von C bis Beta über F konvergieren im Sinne der ersten Definition. Also im Sinne

von 28,1. Das ist genau diese Zusammenklebidee

und dann auch der gleiche Nachsatz wie vorher, dann nennt man das doppelt uneigentliche Integral, wobei, wenn man ehrlich ist, so genau, dass immer genau unterschieden wird zwischen doppelt und

uneigentlichen ist man im Realfall nicht, also Sie werden auch oft nur das uneigentliche Integral von Minus und Endig bis Endig lesen, dieses doppelt ist sehr genau, wird aber oft weggelassen, also das doppelt uneigentliche Integral von Alpha bis Beta über F, das dann definiert ist, als das

einfach-uneigentliche von Alpha bis C über F plus das einfach-uneigentliche von C bis Beta über F, das nennt man dann konvergent. Und wenn nur eins von dem beiden nicht existiert, dann nennt man das ganze Integral die Weggel.

Die Definition ist, wenn man sie so liest, hat die Angriffspunkte. Man müsste mal

sicherstellen, dass diese Frage der Existenz der Integrale erstmal von dem C nicht abhängt. Ich sage nur, es muss so einen C geben, sodass man da aufschneiden kann und wenn beide Hälften funktionieren, dann ist gut. Jetzt kann jeder von Ihnen ein anderes C wählen. Wir hätten ja hier vorne auch nicht bei 1, sondern bei 5 auftrennen können.

Dann sollte, damit die Definition sinnvoll ist, bitte schön jedes Mal dasselbe passieren. Und insbesondere sollte die Summe dieser beiden Integrale, egal wo sie aufschneiden, gleich sein. Dass das so ist, ist jetzt nicht wahnsinnig verwunderlich, weil unterwegs zwischen Alpha und Beta sind das ja alles schöne, brave Integrale.

Und die sind wunderbar additiv. Aber es lohnt sich schon, sich das einmal kurz zu überlegen. Wobei ich an der Stelle hier jetzt kneife und im Skript eine schöne Übungsaufgabe dazu drinstehen. Also die für die Definition

28.3 die ist tatsächlich davon unabhängig, wo sie ihr C wählen. Und deswegen damit ist erst gerechtfertigt, dass man hier so einfach

sagen kann, wenn es so ein C gibt, dann ist alles gut. Es ist tatsächlich egal, wo sie das C wählen. Wenn es für einen C tut, tut es für alle. So geht es andere auch. Und die Summe von den Integralen ist auch immer gleich. Liegt im Wesentlichen einfach an der Additivität der Integral. Gut.

Warum man das mit dem Doppelton eigentlich so macht und nicht anders, will ich am Ende der Vorlesung noch kurz was sagen. Jetzt will ich erst ein bisschen Beispiele machen. Und dann so ein paar Sätze sammeln, ein paar Kriterien, mit denen man Integrale auf Konvergenz oder nicht Konvergenz untersuchen kann.

Also, gut, das eine Beispiel ist schon angelegt. Oder nein, die beiden Beispiele, die ich betrachten will, haben wir schon vorher angelegt. Klassisches Beispiel für ein doppelt unabhängiges Integral. Integral von Minus und Endlich bis und Endlich. 1 durch 1 plus x² dx.

Hatten wir vorhin gesehen, sowohl das Integral von 0 bis und Endlich über die Funktion, als auch das Integral von Minus und Endlich bis 0 über die Funktion existieren beide, sind beide uneigentlich integrierbar. Beide sind pi halbe. Also haben Sie hier ein doppelt unabhängiges

Integral, das Sinn macht. Und die Summe der Integralwert ist pi. Solche Funktionen, die, wenn Sie sie von Minus und Endlich bis und Endlich durch integrieren, was Endliches geben, wenn Sie im dritten Semester in der Wahrscheinlichkeitstheorie

viele sehen, Wahrscheinlichkeitsdichten sind ein ganz typisches Beispiel dafür. Das ist eine. Dann hatten wir die Funktion 1 durch x hoch s und hatten festgestellt, da können Sie so viel doppelt uneigentlich Integrale hinschreiben, wie Sie wollen. Das existiert nie.

Also es doppelt uneigentlich Integral von 0 bis und Endlich 1 durch x hoch s d x ist ein konvergentes genau dann, wenn für den Teil von 1 bis und Endlich s größer 1 ist und für den Teil von 0 bis und Endlich s kleiner 1.

Also genau dann, wenn pi gleiche ist. Also nie. Ganz egal. Tut einfach nicht. So. Jetzt habe ich Ihnen ein paar Beispiele gezeigt

von uneigentlich integrierbaren Funktionen. Die waren alle insofern ein bisschen in der Lebensrealität vorbei, dass es der schöne Fall war, wo man die Integrale einfach ausrechnen kann. Die Integrale, wo man sich ein kleineres Intervall nimmt und dann die Grenze gegen die Problemstille schiebt, rechnet das kleinere Intervall einfach das Wert aus,

rechnet den Grenzwert aus. Das ist hübsch, das funktioniert, solange die Funktionen nicht allzu ätzend sind, das wahre Leben ist aber die Funktionen sind zu ätzend. Also üblicherweise kann man diese blöden Integrale halt nicht ausrechnen und interessiert sich aber trotzdem dafür, ob das uneigentliche Integral jetzt endlich ist oder nicht.

Im Sinne des Beispiels aus der letzten Vorlesung kann man aus dem Gravitationsfeld rausfliegen oder nicht. Ist die genötige Energie endlich oder unendlich, will man wissen. Man will vielleicht gar nicht so genau wissen, wie viel man braucht, aber man will zumindest theoretisch wissen, ob es geht. Und dann ist man wieder im gleichen

Fahrwasser, wie bei den Reihen auch. Bei Integralen kann man ein bisschen mehr ausrechnen, aber auch da ist bald Schicht. Und dann kann man sich überlegen, was man so alles da schon gemacht hat an Techniken und stellt auch fest, die kann man ziemlich eins zu eins übertragen.

Deswegen jetzt ein Stapel von Kriterien, wohin die Namen alle bekannt vorkommen, für die Konvergenz von uneigentlichen Integralen. Da kommen Ihnen nicht nur die Namen bekannt vor, da kämen Ihnen vielleicht mit ein bisschen Rückerinnerung auch die Beweise

bekannt vor, weil auch die kann man von den Reihen einfach rüber ziehen. Deswegen werde ich die hier auch jetzt ruchlos weglassen. Und ich schreibe die Sätze jetzt auf, immer nur für den Fall von einem einfach uneigentlichen Integral von a bis beta. Funktioniert aber natürlich alles, wenn man es

entsprechend ummodelt, auch für alpha bis b und für doppelt uneigentliche muss man es eh in die zwei Teile zerlegen. Also kriegt man mit den Sätzen alle Fälle hin. Also für das, was jetzt kommt, f und g, jeweils Funktionen auf so einem Intervall a bis beta

und sprungstätig auf jedem kleineren Intervall, also sprungstätig auf a bis t für alle t im Intervall von a bis beta. Und wie gesagt, wenn Sie einen uneigentlichen Integral von alpha bis b haben, dann muss man

jetzt halt immer die Voraussetzungen entsprechend ummodeln. Erste Aussage, erstes Kriterium für Konvergenz, wenn man sonst nichts hat, außer der Definition, ist immer mal den Herrn Cauchy zu aktivieren.

Cauchy-Kriterium, wenn Sie sich an eine Reihenkonvergenz erinnern, Cauchy-Kriterium hieß, wenn man sich das n0 groß genug, also für folgendes epsilon kriegt man n0, sodass so ein Reihenstück, wenn Sie von den n-ten bis zum

n-ten Summand addieren, für n und m beide größer als n0, dann wird das kleiner als epsilon. Und so ähnlich sieht das hier auch aus. Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale sagt, das Integral von a bis beta über f, das uneigentliche Integral ist ein

konvergentes, genau dann, wenn Sie für jedes epsilon größer 0 weit genug rausgehen können oder nah genug an beta rangehen können, also es ein c gibt, das ist natürlich jetzt ein c von epsilon, für jedes epsilon ist c in dem Intervall von a bis beta,

sodass der Beitrag, der noch kommt von dem Intervall zwischen u und v kleiner ist als epsilon, solange nur u und v näher als c an beta dran liegen.

Also denken Sie im Geiste beta gleich unendlich, dann sind Sie am ehesten in diesem Reinfahrwasser drin, für jedes epsilon gibt es da eine große Zahl, sodass wenn Sie das außen, das weit draußen der Beitrag klein wird. Also wenn wir die

Pfeilbetter gleich unendlich machen, jetzt wieder sowas von der Form 1 durch x hernehmen, dann sagt Cauchy, wenn Sie in epsilon vorgeben, dann muss es hier irgendwo draußen ein c geben, sodass egal welches Intervall Sie hier draußen addieren, machen der Beitrag immer kleiner als epsilon.

So, wie gesagt, Beweiss, nehmen Sie sich den Beweiss für das Cauchy Kriterium für Reihen her, ersetzen Sie die Reihen durch Integral und es rauscht genau so durch. Da steckt eine tiefere Wahrheit dahinter, die wir aber auch erst im

vierten Semester sehen, weil in gewissem Sinne sind Reihen auch nur Integral. Das ist nur eine Frage, bezüglich welcher Maßfunktion man die reellen Zahlen ist. In gewisser Weise sind Reihen auch nur Integral. Kann man aber im Moment noch nicht

sehen, müssen wir den Integralbegriff erst für ausweiten. dann kommt die nächste Parallele.

Wenn man sich so ein konvergentes Integral anguckt, passiert das Gleiche wie bei Reihen. Es kann zwei Gründe geben, warum so ein uneiges Integral konvergiert. Einmal eben, wie gerade angedeutet, wir haben so eine Fläche und die Funktion geht schnell genug gegen Null, sodass die Fläche endlich bleibt.

Zweite Variante, die Flächen sind nicht unbedingt, also gehen langsamer gegen, also die Funktion darf langsamer gegen Null gehen, ist aber mal positiv und mal negativ und es hebt sich viel weg. Das erinnert sich an die Konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen.

Auch den gleichen Effekt gibt es hier. Deswegen gibt es hier auch den Begriff der absoluten Konvergenz. Gleiche Idee. Definition 28.7. So ein uneiges Integral von A bis Beta über F

heißt absolut konvergent, wenn es eben nicht deswegen konvergiert, nur deswegen konvergiert, weil die Vorzeichen viel wegheben, sondern wenn es auch konvergiert, ohne Hilfe der Vorzeichen, also wenn auch das Integral von A bis Beta über Betrag F

konvergent ist. Gleiche Definition wie bei Reihen, eine Reihe ist absolut konvergent, wenn die Reihe über Betrag A entkonvergiert, ist das gleiche hier. Tatsächlich gibt es Funktionen, gibt es uneides Integrale, die konvergieren, aber nicht absolut konvergieren.

Ein Beispiel für konvergent, aber nicht absolut konvergent, wäre, das ist in einem Sinne ein doofes Beispiel, aber wäre das Ding hier

Sinus von x durch x dx. Das ist in einem Sinne ein doofes Beispiel, weil, oder auch ein gutes, weil das keins ist, wo man einfach mit Rechnen durchkommt. Sie dürfen gerne mal den Bronstein aufschlagen

und gucken, was da beim Thema Sinus von x durch x als Stammfunktion steht. Dann steht da so eine Fußnote, diese Funktion wird normalerweise bezeichnet als Integralsinus, also die Funktion Integral von 1 bis T, Sinus von x durch x dx, ist der Integralsinus von T, ist nicht elementar hinschreibbar und hat folgende Potenzialentwicklung.

Ist eine von diesen Sauereifunktionen, das heißt, an der Stelle kann man mit Rechnen nicht durch. Man kann sich aber schon vorstellen, was hier passiert, qualitativ passiert, dieses Integral macht im Sinne eines uneigentlichen Integrals Sinn,

aber eben deswegen, weil der Sinus durch seinen Vorzeichen laufend was weghebt, wenn sie in Betrag drum schreiben, hilft der Sinus nicht mehr und dann verhält sich das wie ein Integral über 1 dx. Nur so ganz grob. So,

was man jetzt erwartet, ist der Satz aus absoluter Konvergenz vor Konvergenz, den kriegen Sie sofort, und zwar aus der Dreiecksungleichung, also aus der Dreiecksungleichung fürs bestimmte Integral, die dann bis sich zum Grenzwert

rüberzieht, also Satz 28.8, das nennt man dann hier wieder Dreiecksungleichung, Dreiecksungleichung fürs unbestimmte, nicht fürs unbestimmte, fürs uneigentliche Integral, das Integral von a bis beta, wenn Sie so ein absolut konvergentes Integral haben,

dann ist das Integral auch konvergent und Sie dürfen den Betrag reinziehen, also der Betrag von a bis beta über f, vom Integral über f, ist dann immer kleiner gleich dem

Integral über Betrag. Dreiecksungleichung gilt also genauso fürs uneigentliche Integral, solange es ein konvergentes Integral, ein absolut konvergentes Integral. Man kann im Prinzip auch sagen, Dreiecksungleichung gilt auch für ein nicht absolut konvergentes Integral, dann sagt die Ungleichung nur, es ist kleiner gleich und ähnlich,

das ist dann sozusagen eine leere Aussage. Aber solange man nicht mit unendliches Rechnen will, was man ja tun dies unterlassen sollte, also unter der Voraussetzung, wenn das Integral absolut konvergent ist, dann gilt die Dreiecksungleichung. Und hier auch hier wie bei allem anderen wie gesagt, genauso für uneigentliche Integrale an der

unteren Grenze oder verdoppelte uneigentliche. Ich schreibe es jetzt hier eben aus, damit ich mich nicht allzu viel wiederholen muss, jeweils nur für diese Sorte uneigentliche Integrale. So, was hatten wir noch? Also und wie gesagt, auch hier Beweis,

einfach die Ungleichung durch den Grenzprozess durchziehen, beziehungsweise nehmen Sie sich den Beweis für die Reihen her, dann sieht er genau so aus. So, was haben wir bei Reihen noch gemacht? Wir hatten verschiedene Kriterien für die Konvergenz. Wir hatten

Vergleichskriterien, Majoranten, Minoranten Kriterium. Und wir hatten so Tempomesskriterien, Quotientenwurzelkriterium. Im Prinzip sind beide Methoden hier genauso zulässig und genauso gut.

Majoranten, Minoranten Kriterium kann man genauso formulieren wie bei Reihen auch. Die Idee ist auch die gleiche, wenn Sie ein uneigliches Integral

haben über eine Funktion. Ich mache es wieder für den Fall better gleich unendlich. Also es interessiert Sie, das unendliche Integral dieser Funktion hier. Und jetzt wissen Sie, Sie haben eine Funktion, die drüber liegt.

Und Sie wissen, die Fläche unter der blauen Kurve ist ähnlich. Dann haben Sie auch eine Fläche unter der schwarzen, die ähnlich ist. Das heißt, wenn Sie eine Funktion haben, die größer ist und das unendliche Integral darüber konvergiert, dann konvergiert auch Ihr gesuchtes umgekehrt. Wenn Sie wissen, das Integral unter der schwarzen Kurve ist schon unendlich groß, ist ein divergentes Integral, dann ist auch das

Integral über die blaue Kurve divergent. Das ist wieder die Idee vom Majoranten-Minoranten-Kriterium. Auch klar, diese ganze Vergleicherei geht nur, wenn die Funktionen reellwertig sind. Sonst kann man kein kleiner

Gleich hinschreiben. Also in dem Satz ist K bitte schön R. Wobei, das F könnte sozusagen komplexwertig sein, wenn man von dem Betrag anguckt. Betrag F von x überall kleiner gleich g von x. Für alle x im betrachteten

Intervall von a bis beta. Und Sie wissen, dass das Integral von a bis beta über g konvergent ist, dann kriegen Sie, dass das Integral von a bis beta über f, da wir Betrag f kontrolliert haben, sogar absolut konvergent ist.

Das ist das Majoranten-Kriterium. Das Integral hier nennt man dann wieder eine konvergente Majorante. Und genauso das Minoranten-Kriterium.

Wenn Sie wissen, dass Ihre Funktion f immer oberhalb von der Funktion g liegt und die liegt oberhalb von 0. Und auch das wieder für alle x zwischen a und beta. Und Sie wissen, das Integral, eigentlich

Integral über g, existiert nicht. Also das uneinig Integral über g ist divergent. Dann gilt dasselbe für das uneinig Integral über f. Jetzt könnten Sie noch sagen,

das ist doch wieder viel zu, das ist doch viel zu viel Voraussetzung. Wir hatten doch zum Beispiel auch bei Reihen schon, man braucht diese Ungleichung zwischen f und g oder zwischen a1 und b1 gar nicht für alle n, sondern nur für fast alle n. Und ich habe jetzt hier geschrieben, dass die Dinger müssen auf dem ganzen Integrationsbereich, muss das

g unter dem f liegen. Natürlich ist es, wenn wir in dem Beispiel von da oben sind und die blaue, wenn die blaue die blaue Linie nicht so liegt, nicht so liegt, sondern hier unten, hier hinten brav drüber

und dann hier so läuft, können Sie das Majorantenkriterium genauso anwenden, weil wie üblich interessiert nur das, was ganz weit draußen passiert. Aber das steckt in dem Satz mit drin, legen Sie Ihr a einfach da hin. Und für den Rest, nehmen Sie das da als a'

und für den Rest von a bis a' sind die Integrale ganz normale Integrale, können Sie einfach additiv dazuzählen. Das würde ich mal sagen,

schreibt der eine so hin und der andere so. Hauptsache ist die Integrale, die Funktion, die Majorante. Das war bei den Reihen genau schon so unscharf, oder? Da sagt man auch mal, a, n ist die Majorante und manchmal sagt man 3, a, n ist die Majorante.

Ich glaube, da macht sich keiner im Kopf drum. Aber wenn man natürlich jetzt formal sagen will, was finde ich sauberer? Also sauberer finde ich, zu sagen, ist die Majorante, weil nur das Integral konvergiert. Also zu sagen, g ist eine konvergente Majorante

ist ein bisschen seltsam, weil g konvergiert nicht. Aber also, ich fürchte, wenn man dadurch die Bücher geht, wird es durcheinander. Aber wenn Sie es sauber haben wollen, dann sagen Sie, das Integral ist die konvergente Majorante und die Reihe ist die konvergente Majorante, weil nur diesen konvergent.

Sie sehen, ich habe mir auch keine Gedanken drüber gemacht. Es ist auch mehr eine Sprechweise. Ich meine, der Begriff ist eine schöne Abkürzung für den Effekt. Ich habe eine Funktion, die größer ist als mein Betrag f und der

mit Integral konvergiert. Natürlich schon eine gute Frage. So, wollen wir das Ding mal in Aktion sehen?

Also ein Beispiel oder zwei Beispiele zum Majoranten-Minoranten-Kriterium für Rhein.

Das erste ist ein uneiniges Integral von eins bis unendlich über x durch Wurzel aus eins plus x hoch fünf. Das könnte man natürlich versuchen.

Also nach Definition, Integral von eins bis t über das Ding da ausrechnen. Ich habe keine Lust davon, jetzt die Stammfunktion auszurechnen. Die Frage ist ja doch in dem Moment überhaupt nicht, was kommt da raus? Die Frage ist nur, ist das ein konvergentes oder ein divergentes Integral? Ist der Wert ähnlich oder nicht? Und wenn man die Fragestellung nicht ist, was kommt raus, sondern ist das Ding konvergente oder divergent, dann würde ich immer, nein, nicht immer,

also dann guckt man sich die Funktion an. Und wenn die Funktion sich innerhalb von zwei Zeilen integrieren lässt, dann macht man es halt schnell. Das ist dann schon der schnellste Zugang. Wenn nicht, dann lohnt es sich, mal das Majoranten-Minoranten-Kriterium anzuschmeißen. Vorteil ist, man muss da nicht genau rechnen, sondern man darf abschätzen. Und abschätzen macht die Sache manchmal einfacher.

Was wäre hier eine naheliegende Idee? Was müssen wir tun? Wir müssen unsere Funktion hernehmen. Gut, jetzt muss man sich erstmal grundsätzlich entscheiden. Ist das Ding wahrscheinlich konvergent oder divergent? Wenn es divergent ist,

muss ich das Ding kleiner machen. Wenn es konvergent ist, muss ich es größer machen, um das Majoranten-Minoranten-Kriterium anzuwenden. Das ist wieder der Moment, wo ich alle im Saal aufrufe, wenn sie sie nicht schon aufhaben, die Physikbrille aufzusetzen. Und mal so... Was passiert für große X?

Für große X ist die 1 da unten eine ziemlich irrelevante Größe. Und unten steht im Wesentlichen X auf 5 halbe. Also so groß so modo geht das Ding wie X auf minus 3 halbe. Für große X. X auf 1 durch X auf 5 halbe gibt X auf minus 3 halbe. 3 halbe ist größer als 1. Also sollte das Ding wohl

konvergieren. Das machen wir jetzt sauber. Das heißt, wir wollen das Majoranten-Kriterium anwenden. Wir suchen also eine Funktion, die größer ist als das Ding. Und ein konvergentes Integral hat wahrscheinlich sowas wie X auf 3 halbe. Gut. Das heißt, wir wollen das Ding nach oben

abschätzen. Erste Überlegung, wir müssen es dann im Betrag nach oben abschätzen, weil wir im Majoranten-Kriterium stehen haben, Betrag F muss kleiner gleich G sein. Erste Überlegung, X ist zwischen 1 und unendlich. Alle beteiligten Größen sind positiv. Also schmeißen Sie mal den Betrag über die Wuppe.

Dann können wir auch gleich schreiben an der Stelle. So, und jetzt kann man die Idee, die gerade zu der Überlegung geführt hat, dass da, wo sowas wie X auf 3 halbe rauskommt, sogar 1 zu 1 übernehmen. Wir machen das ganze größer, indem wir den

Nenner kleiner machen. Und den Nenner machen wir kleiner, indem wir alles weglassen, was nervt. Und das ist die 1. Also das Ganze ist kleiner gleich X durch Wurzel aus X hoch 5. Und dann können wir genau das machen, wie gerade gesagt. Das ist X durch X hoch 5 halbe. Das ist X hoch minus 3 halbe.

So. Das ist jetzt mein G. Also hier steht Betrag F. In der Schreibweise vom Majoranten-Kriterium, das ist das G. Diese Abschätzung geht sogar für alle positiven X, aber insbesondere für alle X im Integrationsbereich.

Wie gesagt, wenn es nicht für alle X im Integrationsbereich geht, lassen Sie sich davon nicht nerven. Wenn es für alle großen X tut, ist okay. Also alle X ab 15 hätte auch gereicht. Und dann kriegen wir das Integral über unser

gesuchtes unheiliges Integral. Jetzt müssen wir erst mal feststellen, dass das Ding wirklich eine konvergente Majorante ist und nicht eine der unbeliebten divergenten Majoranten. Also müssen wir uns das Integral von 1 durch X hoch 3 halbe anschauen.

Von dem wissen wir aber schon, dass es konvergent ist, weil so eins von der Form ist 1 durch X hoch S für S größer 1. Also ist unser untersuchtes Integral von 1 bis unendlich über X durch Wurzel 1 plus X hoch 5 auch konvergent, sogar absolut konvergent, was bei einem

positiven Integranten jetzt kein großes Hexenwerk ist. Und das sollte man auch immer mit bedenken, das Majoranten-Kriterium liefert einem nicht nur irgendeine Konvergenzaussage, die schon wertvoll genug ist, sondern sogar noch eine worst-case-Abschätzung,

weil es einem sagt, wir haben noch die Monotonie vom Integral zur Verfügung. Das heißt, wir können zwar jetzt noch nicht genau sagen, was bei dem Integral rauskommt, aber wir wissen zumindest mal, was höchstens rauskommt. Das Integral ist natürlich jetzt kleiner als das Integral

über unsere Funktion 1 durch X hoch 3 halbe und das hatten wir vorhin gesehen ist 1 durch S minus 1. Also 1 durch 3 halbe minus 1. 1 durch 1 halb ist 2. Also wir wissen nicht, was rauskommt,

aber irgendwas zwischen 0 und 2. Das ist schon mal nicht schlecht. Ähnliche Überlegungen für ein anderes Beispiel, Integral von 1 bis unendlich

über X durch X Quadrat plus 7x plus 10. Auch hier, also in dem Fall, gibt es eine auf jeden Fall funktionierende Methode von dem Ding, die Stammfunktion

auszurechnen. Man kann für jede gebrochen rationale Funktion die Stammfunktion ausrechnen. Das Zauberwart heißt Partialbruchzerlegung. Da decke ich ganz bewusst den Mantel des Schweigens drüber. Das ist eine riesen Viecherei. Wer es mal irgendwann braucht, merke sich vielleicht das Wort und schlage es dann nach.

Man kann jede gebrochen rationale Funktion elementar integrieren. Und da gibt es ein Verfahren für und wie gesagt, vor 40 Jahren hat man da noch jeden durchgejagt. Das erspare ich Ihnen und mir. Würde gehen, ist hier aber jetzt überhaupt nicht der Punkt. Wir wollen nur wissen, ob das unheimlich integral konvergiert

oder nicht. Und das heißt, wir müssen gar nicht exakt ausrechnen, was da passiert. Sondern wir wollen wieder Majoranten-Minoranten-Kriterium angucken. Und auch hier geht es wieder, erster Schritt, setzen Sie die Physikbrille auf.

Was macht die Funktion hier für große x? Für große x sind eigentlich immer nur vergleichen Sie Grenzwerte n gegen unendlich von der Form Polynom durch Polynom. Das Einzige, was zählt, sind die höchsten Exponenten. Also für große x

verhält sich dieser Ausdruck x² x durch x² plus 7x plus 10 im Wesentlichen wie x durch x², also wie 1 durch x. Das heißt, wir sind nah an der Kante. Aber es ist mal davon auszugehen, das Ding ist wahrscheinlich die weggehend.

Und was ich Ihnen an dem Beispiel zeigen will, ist eine Methode, jetzt sowas rigoros zu machen. Das ist ja so eine Qualitativüberlegung. Die sind meistens recht gut, aber man muss es natürlich dann noch rigoros nachweisen.

Und hier gibt es ein Hilfsmittel, das einem sehr, sehr oft dienlich ist. Und was zwar, was man jetzt machen kann, ist, also wir haben hier, das ist ja für das Majoranten-Minoranten-Kriterium unsere Funktion f. Das hier wird unsere

Vergleichsfunktion, grosso modo unsere Vergleichsfunktion g, nicht ganz, aber fast. Und was man jetzt, man wählt jetzt diese heuristische Überlegung, für große x ist f so gut wie g, irgendwie exakt machen.

Und was man dann machen kann, ist, man schaut sich mal den Grenzwert an, vom Quotienten von den beiden Funktionen. Also man schaut sich an den Grenzwert x gegen unendlich für den Quotient von diesem f mit diesem g. Also den Grenzwert für x gegen unendlich

von der Funktion, die im Integral steht, x durch x² plus 7x durch 10 geteilt durch die Funktion, von der man denkt, die ist eine gute Vergleichsfunktion. Das ist jetzt ein furchtbarer Doppelbruch. Den können wir mal ein bisschen vereinfachen.

Dann kommt hier raus, x gegen unendlich von x² durch x² plus 7x plus 7. Den Grenzwert kann man jetzt gut ausrechnen. Alte Trick, kürzen Sie durch die höchste Potenz. Dann stellt man fest, da kommt raus der Quotient von den Vorfaktoren von dem x². Also da kommt raus

1. Was ist jetzt damit gewonnen? Dass hier ein endlicher Grenzwert rauskommt, es muss jetzt nicht gerade 1 sein, es würde auch funktionieren, wenn hier 35 rauskäme, dass hier ein endlicher Grenzwert rauskommt, ist jetzt eine mathematisch exakte Formulierung dieser Aussage. Im unendlichen verhalten sich die beiden im Wesentlichen gleich.

Die können wir jetzt folgendermaßen ausschlachten. Wenn wir wissen, dass da ein endlicher Grenzwert rauskommt, heißt das, dass es ein C gibt, irgendwo größer 1, sodass der Quotient von den beiden f von x und g von x mal zumindest irgendwann, ab irgendwann muss der immer größer gleich ein halb sein.

Es gibt irgendwo eine Stelle, ab dem dieser Quotient immer größer gleich ein halb ist, weil da muss er gegen 1 gehen, dann kann er sich nicht irgendwo zwischen 0 und 1 halb rumvergnügen. Da muss er irgendwann über 1 halb springen. Die 1 halbe sind natürlich auch Wegschuhe, können sie einen Drittel nehmen, egal, auf jeden Fall etwas unter 1.

So, aber was nutzt uns das? Das heißt jetzt, nämlich, wenn Sie sich irgendeinen x in C, x größer als C hernehmen, der Pfeil ist nicht gut, für alle x größer in C als C ist dann

f von x, bringen Sie mal das g von x auf die andere Seite, größer gleich g von x halbe oder in unserem konkreten Fall 1 durch 2x größer 0. So, und was wir jetzt hier stehen haben, ist, was wir fürs Minoranten-Kriterium brauchen.

Für alle x größer als irgendein C ist f von x mehr als 1 durch 2x und das ist positiv. Und das ist genau die Ungleichung, das ist die Kette, die man braucht fürs Minoranten-Kriterium. f von x muss größer sein, er ist eine Funktion, über die das Integraldivergent ist.

1 durch 2x hat ein wunderbar divergentes Integral, 1 durch 2x ist positiv und dann können wir weiter schließen. Also jetzt sagt uns das Minoranten-Kriterium, das Minoranten-Kriterium sagt jetzt, weil das Integral von C bis unendlich

1 durch 2x divergiert, ist auch das Integral von C bis unendlich über f divergent. Na ja, wenn das Integral von C

bis unendlich, C könnte jetzt 3 Millionen 17 sein, ist mir aber egal, dann ist auch das Integral von 1 bis unendlich über f divergent. Da kommt jetzt halt noch das Integral von 1 bis C dazu, das ist eine Zahl, aber wenn das dann gar nicht existiert, kann die Zahl auch nichts mehr heim machen.

Gut, also haben wir das Minoranten-Kriterium rausgekriegt, das Integral da oben macht eh keinen Sinn, also können wir alle absurden Parzellbruchzerlegungen in der Tasche lassen, wir können sie nicht ausrechnen. Dieses Verfahren mit dem Grenzwert,

ist ein ganz universelles Verfahren. Und das ist, wenn man so will, eine Entsprechung auf den uneinigen Integralen von sowas wie Wurzel- und Kurzentenkriterium.

Wenn man sich überlegt, wo das Wurzel- und Kurzentenkriterium herkam, wenn man sich die Beweise anguckt, dann ist das Wurzel- und Kurzentenkriterium am Ende ja zurückgeführt auf ein Majoranten-Minoranten-Kriterium und Vergleichskriterium mit der geometrischen Reihe. Und

was man sozusagen macht, ist man macht diesen Quotienten, oder man schaut sich an, das An muss schneller oder langsamer laufen als die geometrische Reihe, oder als die Summanden der geometrischen Reihe, und dann hat man Konvergenz oder Divergenz. Und hier vergleicht man jetzt nicht speziell mit einer Funktion, sondern man kann auf diese Weise

mit jeder beliebigen Funktion, von der man weiß, man muss eine Funktion nehmen, von der man verhalten für die Konvergenz zum Integral weiß, und mit der kann man dann über diesen Liebes-Trick vergleichen und kriegt Konvergenz oder Divergenz raus. Also, das noch als Bemerkung,

28.11,

das obige Verfahren aus diesem Beispiel B, das ist ziemlich universell einsetzbar. Also, wenn dieser Grenzwert blimes x gegen die Problemstelle beta,

von f von x durch g von x, wenn der existiert, wenn l ist, das strikt positiv ist. Wenn der 0 ist, tut es nicht. Wir sehen gleich warum. Wenn der 0 ist, heißt das ja auch, das g von x zieht irgendwie stärker gegen 0, als das f von, das f von x zieht stärker gegen 0, als das g von x für x gegen beta, dann haben die,

sind die verschieden stark. Aber wenn der Grenzwert existiert und echt größer 0 ist, dann sind die beiden im Prinzip gleich, dann gewinnt beim Tauziehen keiner, dann sind die beiden gleich stark und dann kriegt man ein identisches Verhalten, was das unheimlich Integral angeht.

Was heißt denn das, wenn dieser Grenzwert hier existiert und größer 0 ist, dann kann man sich wie gerade eben überlegen, dann gibt es irgendwo ein Punkt C zwischen a und beta, abdem dieser Quotient f durch g beliebig nah an l ist,

insbesondere so, dass f von x durch g von x zum einen nicht mehr größer wird als 3 halbe mal l und nicht mehr kleiner wird als ein halbes l. Wir haben jetzt vorhin diese Seite hier verwendet. l war bei uns 1. Wir haben ausgenutzt, wenn der Grenzwert 1 ist, dann ist der Quotient irgendwann immer größer ein halb.

Aber genauso kriegen Sie natürlich, der ist auch immer irgendwann kleiner als 3 halbe. Das können Sie auch gleichzeitig. Das heißt, Sie wissen, wenn dieser Grenzwert l ist, dann ist das f durch g irgendwann zwischen einem halben l und 3 halb l. Das Argument geht schief, wenn l 0 ist,

weil dann steht links und rechts 0, und Sie hören schlecht daraus, dass irgendwas gegen 0 geht, folgern, dass es 0 ist. Aber wenn das l eine positive Zahl ist, dann ist dieses Intervall von 1 halbe l bis 3 halbe l ein echtes Intervall um den Grenzwert herum. Und in dem muss der Quotient irgendwann drin liegen.

So, wenn Sie jetzt das wissen, dann kriegen Sie jetzt sowohl Minoranten als auch Majoranten-Kriterium, je nachdem, was Sie haben wollen. Also das kriegt man dann für alle x zwischen c und beta. Und jetzt können Sie, je nachdem, ob Sie Minoranten oder Majoranten-Kriterium haben wollen,

wir haben vorhin die linke Seite benutzt, dass das f von x größer ist als g von x mal l halbe. Dann haben Sie ein Minoranten-Kriterium. Sie können genauso das g auf die rechte Seite modifizieren. f von x ist immer kleiner als 3 halbe lg. Dann haben Sie eine Majorante. Also was man dann rauskriegt ist, je nachdem, ob Sie was Konvergentes oder was Divergentes haben,

können Sie jetzt das Minoranten-Majoranten-Kriterium drauf werfen und kriegen dann, dass das Integral von a bis beta über f Konvergent ist, genau dann, wenn das Integral von a bis beta über g Konvergent ist.

Das ist bei Integralen sozusagen die noch viel stärkere Version von solchen Kriterien, die Geschwindigkeiten messen. Also wie gesagt sozusagen das Analog- und Zuwurzeln- und Quizentenkriterium. Sie können mit jeder anderen Funktion vergleichen,

von der Sie wissen, ob das Integral konvergiert oder nicht. Und wenn dieser Grenzwert von Prozent existiert, dann haben die beiden das gleiche Konvergenzwahl. So, ich schließe ab mit zwei Warnungen zum Thema uneinliche Integrale.

Und ich will nochmal zurückkommen auf das doppelt uneinige Integral. Das ist, wenn man so will, in dem Kapitel die einzige Subtilität, wo was passiert, was vielleicht nicht ganz,

wo man sich verrennen kann. Und zwar gibt es eine Idee, die man haben kann, vor der ich warnen will. Was man nicht tun darf, ist, wenn man so ein doppelt uneiniges Integral hat, ich nehme mal Integral von minus unendlich bis unendlich über f. Das ist eine besonders häufige Form von doppelt uneinigen Integralen.

Gleiches Thema gilt aber auch für alle anderen doppelt uneinigen Integrale. Eine naheliegende Idee ist, die Arbeit ein bisschen zu vereinfachen. Was man eigentlich jetzt tun müsste, ist zu sagen, ich muss halt das uneinige Integral von minus unendlich bis null zum Beispiel angucken

und dann das uneinige Integral von null bis unendlich. Und die beiden einzeln untersuchen und die Ergebnisse ausrechnen oder feststellen, beide sind konvergent. Und dann kann ich sagen, dass doppelt uneinige sind konvergent. Und dann kann man auf die Idee kommen, das mache ich doch in einem. Was soll denn das? Ich mache einfach, ich schaue mir an, den Limits t gegen unendlich vom Integral von minus t bis t über f.

Naheliegender Gedanke. Ganz ungut. Ganz ungut, weil, also nicht so, sondern es nutzt alles nichts, es muss dabei bleiben, ist der Limits integral von minus unendlich bis unendlich über f,

ist der Limits t gegen minus unendlich vom Integral von t bis null über f, plus der Limits s gegen unendlich vom Integral von null bis s über f. Das ist die Definition und das ist auch ganz bewusst die Definition. Und irgendwelche Abkürzungen aller da oben sind gefährlich. Und jetzt erkläre ich Ihnen noch, warum die gefährlich sind

und warum man davon die Finger lässt. An einem ganz vielleicht ein bisschen blöden Holz haben wir ein Beispiel. Wir nehmen als Integral von minus unendlich bis unendlich über die Funktion x. Das ist kein konvergentes uneiniges Integral.

Das ist ein divergentes Integral und zwar aus gutem Grund. Erstmal nach unserer Definition ist es ein divergentes Integral, weil wenn sie es irgendwo aufschneiden, ob sie es bei null aufschneiden oder nicht, ist egal. Sowas existiert nicht. Das wird verdammt negativ.

Das ist wie bei Reihen auch der übliche Totschläger. Wenn Ihre Funktion x im Unendlichen nicht gegen null geht, dann brauchen Sie das Unendliche Integral nicht mehr angucken. Das ist die Begründung mit unserer Definition oben.

Aber wenn Sie jetzt Ihren Abkürzungstrick machen, also den Abkürzungstrick, auf den man kommen könnte, dann ist alles gut. Was ist das Integral von minus t bis t über x dx?

Die Stammfunktion kriegen wir hin. Halbes x Quadrat von minus t bis t, halb t Quadrat, minus und halb minus t Quadrat, das ist immer null. Ich meine, wenn man sich das hin malt, ist auch klar, was hier passiert. Was Sie hier ausrechnen ist diese Fläche.

Wenn Sie jetzt hier bei t und dabei t schneiden, heben sich der Positiv- und der Negativanteil. Jetzt lassen Sie t gegen Unendlich gehen, und dann kriegen Sie einen wunderbaren konvergenten Grenzwert. Grenzwert t gegen Unendlich von null kriegen wir hin. Das ist null.

Aber die Aussagekraft dieses Grenzwerts ist gleich seinem Wert. Das ist null. Aber dieser Wert ist einfach Unfug. Was Sie da gemacht haben, ist eine totale Willkür.

Sie koppeln die Frage, wie schnell Sie nach Unendlich laufen, an die Frage, wie schnell Sie nach Minusunendlich laufen. Sie sagen, die beiden müssen gleich schnell laufen. Zur gleichen Zeit loslaufen und sich genau gleich verhalten. Das ist reine Willkür. Sie können natürlich auch genauso sagen. Man könnte zum Beispiel sagen, warum nimmt man nicht den Grenzwert t gegen Unendlich

vom Integral von Minus t bis t plus eins. Eigentlich genauso gut oder schlecht wie Anna auch. Wenn Sie t gegen Unendlich jagen, steht das Integral von Minusunendlich bis Unendlich. Aber wenn Sie es so machen, dann passiert es sogar noch schlimmer,

als man so auf den ersten Moment annimmt. Was Sie dann machen, ist, hier haben Sie t plus eins. Also die rechte Fläche ist ein bisschen größer als die linke. Es hebt sich nicht mehr genau auf. Es wird sogar beliebig groß. Ein halb t plus eins Quadrat minus ein halbes Minus t Quadrat bleibt noch ein t übrig.

Wenn Sie t gegen Unendlich jagen, wird die Fläche beliebig groß. Also an der Stelle produziert man sich eine Willkür, die zu keiner vernünftigen Definition führt.

Dementsprechend darf man das mit dem Himmelswillen nicht so machen.

Diese Kopplung ist gefährlich und darf nicht gemacht werden.

Das gilt für alle doppelt uneinigen Integrale. Wenn Sie sowas von Null bis Unendlich mit doppelt uneinig haben, dann kommen Sie nicht auf die Idee zu sagen, das ist ein Linus t gegen Unendlich vom Integral von eins durch t bis t. Das bietet sich geradezu an, führt aber zu genau solchen Auslöschungseffekten, die man um Himmelswillen vermeiden muss.

So und das jetzt gesagt. Noch ein Disclaimer, den Sie am besten jetzt gleich wieder vergessen, aber vielleicht sich dann später daran erinnern, insbesondere je nachdem, was Sie machen, wird es allen hier passieren. In zwei, drei Jahren werden insbesondere Ihre Physikdozenten von Ihnen verlangen,

dass Sie genau das tun. Dass Sie genau das tun, dass Sie so ein Integral, so ein doppelt uneiniges Integral, das nicht existiert, in dem Sinne ausrechnen. Machen Sie es.

Es ist ein typischer Fall von was, was strikt verboten ist. Und wenn man es dann trotzdem tut, an manchen Stellen zu richtigen Ergebnissen führt und deswegen gern genutzt wird. Das nennt sich dann ein Cauchy-Hauptwert. Und kann auch mathematisch exakt formuliert werden.

Man kann auf der Weise, also kommt tatsächlich in der Quantenmechanik reihenweise vor, dass man ohne einen Integral, die eigentlich nicht existieren, auf die Weise mit einem Wert versehen kann, der dann tatsächlich eine physikalische Relevanz hat. So absurd das klingt. Und man kann das auch mathematisch sauber machen. Dafür müssen wir aber auch mathematisch noch ackern.

Wie gesagt, das Stichwort ist Cauchy-Hauptwert. Da muss man sich über Distributionen unterhalten. Das ist alles ein ziemlich kompliziertes Thema, kommt frühestens eher im Master. Ich sag nur, deswegen können Sie das gleich wieder vergessen. Nur will ich Ihnen ersparen, dass Sie in einer Physikübung sitzen

und sagen, das darf man noch nicht. Und die Leute sagen, klar, machen wir das seit 200 Jahren. Ja, ist so. Also wenn es dann irgendwann mal auftaucht, machen Sie es. Aber haben Sie immer im Hinterkopf. Das ist eine andere Theorie dahinter. Und man muss mit sowas höllisch aufpassen. Und es muss einem klar sein, dass man hier gerade

keinen doppelte Integral ausrechnet, sondern ein Cauchy-Hauptwert. Aber nur zur Beruhigung für später. Im Moment ist es strikt verboten. So, noch eine zweite kurze Warnung, weil es so eine beliebte schiefe Ebene ist.

Nehmen wir mal ein Integral, von dem wir schon genau wissen, was passiert. Integral von 0 bis 1 über Wurzel x, 1 durch Wurzel x dx.

Oder anders geschrieben, über 1 durch x hoch und halb dx. Wenn Sie sich erinnern, an die Diskussion der Funktion 1 durch x hoch S vorne. Wir sind jetzt hier im Fall von 0 bis 1. Also in dem Fall, wo die Funktion abhaut.

Da haben Sie ein konvergentes Integral, wenn das S kleiner als 1 ist. Also das ist ein wunderbar konvergentes und eigentliches Integral. Und dann haben wir schon gesehen, das Integral über 1 durch x. Es ist egal, warum Sie es drehen, immer an die Wurzel x. Das ist ein konvergentes.

Wenn das jetzt so dasteht, sagen Sie ja, und? Klar, ist so. Dieses Beispiel sollte und kann davon warnen, dass bitte schön die folgende Rechenregel, die gern mal benutzt wird, die aber einfach nicht stimmt,

eben nicht stimmt. Wenn Sie wissen, dass Sie zwei konvergente Integrale haben, also das Integral von a bis beta über f und das Integral von a bis beta über g, sind beide konvergent. Können Sie daraus im Allgemeinen nicht folgern, dass auch das Integral von a bis beta über f mal g konvergent ist.

Das wird gern mal gemacht und ist falsch. Man hat irgendwie so einen Kopf, wenn das Integral über f konvergiert und das über g, dann geht das f schnell genug gegen 0 und das g auch und dann auch f mal g. Vorsicht, nein. Also nehmen Sie f und g beide als 1 durch Wurzel x.

Dann ist man da oben. Fahrwasser, Vorsicht! Die Menge der uneigentlich integrierbaren Funktionen mag ein Vektoraum sein. Sie ist keine Algebra. Also man darf da drin nicht multiplizieren.

Gut, damit bin ich auf der letzten Seite. Es ist ziemlich genau die Stunde geworden, die ich dachte, dass es wird, bloß die 10 Minuten von der letzten Vorlesung. Jetzt sind wir endgültig

am Ende der Analysis 1. Im Skript gibt es noch das Kapitel über die Gammafunktion. Wer Lust hat, nehmen Sie es als esoterisches, schönes Beispiel für eine uneigendes Integral und lesen Sie es mal durch. Es ist jetzt aber nichts, worauf man nicht verzichten könnte. Die Gammafunktion wird Sie im späteren Studium im tabless Fall eh mal einholen.

Das ist etwas, was ich mit gutem Gewissen einfach weglassen kann. Ja, kann ich nur meine Wünsche von gestern wiederholen. Ihnen nochmal danken, dass Sie so früh aufgestanden sind. Ich glaube, es tut der Aufnahme gut. Und wir sehen uns dann spätestens Mitte April.

Gut.