So, dann mal ein herzliches Willkommen Ihnen allen zur heutigen Umkehrsatz-Show. Unser Programm für diese Vorlesung steht hier. Wir werden in dieser Vorlesung nichts anderes tun.

Genauer gesagt, ich bin froh, wenn ich es schaffe, bis zum Kästchen zu kommen. Wir wollen also diesen Umkehrsatz beweisen. Ich hatte im Vorbereiten der letzten Vorlesung schon Ihnen das Lämmer über die Neumann-Reihe gezeigt. Dass für jede Matrix A, der Norm kleiner 1 ist, die Matrix I-1 invertierbar ist und sich frech über die geometrische Reihe darstellen lässt.

Und das will ich jetzt in einem zweiten vorbereitenen Lämmer noch nutzen, um zu zeigen, dass die Inversion von Matrizen, also die Zuordnung, die einer invertierbaren Matrix, ihre Inverse zuordnet, dass das eine stetige Abbildung ist.

Und das erste Problem dabei ist ja erst mal, wenn ich jetzt eine invertierbare Matrix habe, gibt es dann nahebei überhaupt andere invertierbare Matrizen, sodass so etwas wie ein Grenzwert, Matrix gegen invertierbare Matrix, invertierbare Matrix gegen invertierbare Matrix Sinne macht.

Und die Antwort ist Ja. Das ist der erste Teil von dem Lämmer. Also es geht hier um die Stetigkeit der Matrix-Inversion. Wir schauen uns die Menge der invertierbaren Matrizen an.

Da gibt es jetzt alle möglichen Schreibweisen. Üblicherweise nennt man das Ding die allgemeine lineare Gruppe, general linear group, deswegen GL. Also das sind alle die D-Kreuz-D-Matrizen über R oder C. In dem Zusammenhang ganz egal, die invertierbar sind. Also die Menge aller Matrizen mit Determinante nicht null.

Und ich behaupte, diese Menge ist offen in K-D-Kreuz-D. Und zweitens die Inversionsabbildung, also die Abbildung, die eine Matrix nimmt und auf ihre Inverse schickt.

Diese Matrix, diese Abbildung ist stetig. Dass das Ding, diese Menge der invertierbaren Matrizen offen ist,

kann man jetzt entweder, so wie wir es am Ende vom Stetigkeitskapitel am Anfang der Vorlesung gemacht haben, so argumentieren, dass man sagt, das ist das Urbild der Menge R ohne Null unter der Determinante. Das sind genau die Matrizen, deren Determinante nicht null ist.

Also wenn ich mir die Determinantenfunktion anschaue, ist die Menge der invertierbaren Matrizen genau das Urbild von R ohne Null. R ohne Null ist offen und da muss man noch reinstecken, dass die Determinante stetig ist, dann kriegt man Offenheit von der Menge. Das ist erstens ein bisschen gemogelt, weil ich Ihnen noch nicht wirklich bewiesen habe, dass die Determinante was Stetiges ist.

Und zweitens will ich Ihnen eben den Weg über die Neumann-Reihe zeigen, weil das eine verallgemeinerbare Version ist. Also diesen Zugang, wie ich Ihnen jetzt zeige zur Stetigkeit der Matrixinversion, den können Sie auch für lineare Abbildungen auf unterlichdimensionalen Räumen verwenden, wo eine Determinante nicht funktioniert.

Deswegen hier ein bisschen aufwändigerer Beweis, der aber wie gesagt den Vorteil hat, dass er verallgemeinerbar ist. So, außerdem sieht man dann mal die Neumann-Reihe in Aktion und die taucht immer mal wieder auf.

Also was müssen wir tun? In einem ersten Schritt müssen wir zeigen, dass die Menge der invertierbaren Matrizen offen ist. Das heißt, wir müssen zeigen, jeder Punkt dieser Menge ist ein innerer Punkt. Wir nehmen uns eine invertierbare Matrix her und zeigen nun, es gibt eine Kugel um A, sodass alle Matrizen in dieser Kugel invertierbar sind.

Und der richtige Radius oder ein möglicher Radius für diese Kugel ist, Sie nehmen die Inverse von A, die Norm davon und davon das Inverse. Also eins durch die Norm von A auf minus eins. A auf minus eins gibt es, weil ja ein invertierbar ist. Und ich will jetzt zeigen, dass die Kugel um A mit diesem Radius nur aus invertierbaren Matrizen besteht.

Also das ist das erste Ziel in dem Beweis, zu zeigen, die offene Kugel um A mit diesem Radius Epsilon besteht nur aus invertierbaren Matrizen. Also die ist enthalten in der Menge der invertierbaren Matrizen. Wenn wir das haben, dann haben wir gezeigt, die Menge der invertierbaren Matrizen ist offen.

Also nehmen wir uns eine Matrix aus dieser Kugel um A her. Dann wissen wir, weil das Ding in der Kugel ist, dass der Abstand von B zu A kleiner ist als Epsilon und Epsilon ist eben das Inverse eins durch die Norm vom Inverse.

So, jetzt müssen wir irgendwie B zusammenbauen aus A und dem Abstand von A zu B, weil der Abstand von A zu B, der ist ja klein. Und der Trick, den man macht, ist gut, zuerst müssen wir mal den Abstand von A zu B ins Spiel bringen.

Also ist es wahrscheinlich sinnvoll, mal das A zu addieren und abzuziehen. Und jetzt kommt der Trick an der Sache. Klammern Sie mal das A aus diesem Ausdruck A plus B minus A nach links aus.

Warum? Weil es zum Ziel führt. Was passiert, wenn wir das machen? Kriegen Sie hier A mal Identität plus A hoch minus eins mal B minus A. Das ist einfach das A nach links ausgeklammert. Wenn Sie es wieder rein multiplizieren, sehen Sie, da bleibt übrig A plus B minus A.

So, der Vorteil an dieser Darstellung ist, wir können damit jetzt zeigen, dass B invertierbar ist. B ist jetzt das Produkt von zwei Matrizen. Produkt von zwei Matrizen ist invertierbar, wenn jeder Faktor invertierbar ist.

A ist invertierbar. Was ist mit dem Hinteren? Das Hintere ist von der Form I plus irgendwas. Also insbesondere I minus minus irgendwas. Wenn man es dann besser sieht. Also hier können Sie auch schreiben, das ist I minus minus das Ding. Und jetzt ist der Moment, wo die Neumannreihe uns hilft.

Um zu zeigen, dass dieser Teil da hinten invertierbar ist, müssen wir nur zeigen, dass die Norm von dem Minus A hoch minus eins mal B minus A kleiner als eins ist. Und genau so ist das Epsilon gemacht. Also was wir uns anschauen müssen, ist die Norm von dem A hoch minus eins mal B minus A.

Genauer gesagt die Norm vom Negativen davon, aber bei einer Norm ist das Minuszeichen. So. Und von der müssen wir zeigen, die ist kleiner als eins. Dann macht die Neumannreihe diese Matrix hier invertierbar. Und dann ist B ein Produkt von zwei invertierbaren Matrizen und damit invertierbar.

Gut. Rechnen wir es aus. Wie letztes Mal gesagt, diese Norm, die ich hier verwende auf dem Raum der Matrizen, soll bitte immer eine zu irgendeiner Norm auf dem Kd gehörige Matrixnorm sein. Das heißt, die Norm vom Produkt ist kleiner gleich das Produkt der Normen.

Also kann ich das hier abschätzen nach oben durch die Norm von A hoch minus eins mal die Norm von B minus A. Die Norm von B minus A ist so was gerade gemacht kleiner als eins durch die Norm von A hoch minus eins. Das steht hier. Und das ist eins.

Also es ist alles so hingebaut, damit es passt. Jetzt sagt die Neumannreihe, dass I plus A hoch minus eins mal B minus A invertierbar ist.

Und damit können Sie jetzt auch B invertieren. Bitte die Sockel-Schuhregel nicht vergessen. Die Inverse von B ist dann Einheitsmatrix plus A hoch minus eins mal B minus A hoch minus eins mal A hoch minus eins.

Also damit haben wir jetzt unser erstes Ziel erreicht. Jede Matrix in der Kugel um A mit Radius Epsilon ist invertiert. So bleibt die zweite Aussage zu zeigen, die Stetigkeit von der Inversionsabbildung. Also zweites Ziel, Stetigkeit von Inf.

Wir müssen zeigen, das Ding ist stetig in jedem Punkt. Also nehmen wir uns irgendein Punkt her. Wir nehmen uns in die Matrix A aus der Menge der invertierbaren Matrizen. Und dann müssen wir zeigen, wenn ich jetzt einen Punkt nebendran nehme, jetzt B nehme und B gegen A gehen lasse,

dann geht die Inverse von B gegen die Inverse von A. Charakterisierung von Stetigkeit über den Grenzwert, über den Funktionsgrenzwert. Also nehmen wir uns irgendein B her, das nah genug bei A liegt. Ich will natürlich von B die Inverse angucken.

Insofern sollte das B so nah bei A liegen, dass es invertierbar ist. Also nehmen Sie die Kugel von oben. Nehmen wir irgendein B aus U Epsilon von A. Und jetzt ist das Ziel zu zeigen, die Inverse von B geht gegen die Inverse von A. Dann haben wir Stetigkeit. Also die Inverse von B geht gegen die Inverse von A, wenn B gegen A geht.

Gut. Also schauen wir uns an, den Abstand von der Inversen von A zur Inversen von B. Wir zeigen, dieser Abstand geht gegen Null, wenn B gegen A geht. Schreiben wir es ein bisschen in gewohnterer Schreibweise hin. Das ist A hoch minus 1 minus B hoch minus 1.

So, jetzt kommt der Erweiterungstrick in dem Zusammenhang. Ich behaupte A hoch minus 1 minus B hoch minus 1 ist derselbe wie A hoch minus 1 mal B minus A mal B hoch minus 1. Sieht auf den ersten Blick seltsam aus.

Habe ich auch drei Minuten drauf gestartet. Nein, nicht drei Minuten, aber eine gewisse Zeit. Also rückwärts ausmodifizieren. A hoch minus 1 mal B mal B hoch minus 1 gibt A hoch minus 1. Minus A hoch minus 1 mal A mal B hoch minus 1 gibt B hoch minus 1. Also von unten nach oben sieht man es, von oben nach unten ist es ein bisschen weniger klar. So, ist tatsächlich derselbe.

So, jetzt kommt wieder die Eigenschaft der Operator und der Matrixnorm. Das ist eine Norm von einem Produkt, kleiner gleich das Produkt der Einzelnormen ist.

Also können wir hier nach oben abschätzen durch die Norm von dem A hoch minus 1, die Norm von dem B minus A und die Norm von dem B hoch minus 1. So, das ist noch nicht perfekt, aber schon mal gut. Wenn B gegen A geht, geht die Norm B minus A in der Mitte schon mal gegen 0.

A hoch minus 1 ist eine Konstante. Die Norm von A hoch minus 1 ist okay. Das Problem ist noch die Norm von dem B hoch minus 1. Die könnte explodieren. Das können wir jetzt im Moment noch nicht ausschließen. Also müssen wir noch ein bisschen weiter arbeiten.

Und jetzt kommt wieder so ein, das hatten wir vor ein paar Wochen schon mal. Wir werden jetzt einen Teil von dieser rechten Seite nachher auf die linke rüber schaufeln. Wir versuchen jetzt auf der rechten Seite wieder einen Term zu produzieren,

der aussieht wie die linke. Also B hoch minus 1 minus A hoch minus 1. Oder A hoch minus 1 minus B hoch minus 1. Und zu diesem Behufe addieren wir dahinten eine geeignete Null. Also das ist gleich auch Norm A hoch minus 1 mal Norm B minus A mal Norm B hoch minus 1 minus Norm

minus A hoch minus 1 plus A hoch minus 1. Das ist nur eine Null addiert, eine Nahhafte. Jetzt die naheliegende Dreiecksungleichung. Das ist kleiner gleich Norm von A hoch minus 1 mal Norm von B minus A mal die Norm von B hoch minus 1 minus A hoch minus 1 plus die Norm von A hoch minus 1.

So, die Klammer dahinten multiplizieren wir aus. Dann kriegen wir die Norm von A hoch minus 1. Super.

Also die Norm von A hoch minus 1 mal die Norm von B minus A mal und dieses Norm von B hoch minus 1 minus A hoch minus 1. Das schreibe ich jetzt wieder, weil wir es hier auch gleich mit der linken Seite vergleichen wollen.

Das ist die Inverse von B minus die Inverse von A. So, was bleibt beim zweiten Summanden übrig? Da habe ich eine Norm von A hoch minus 1 und noch eine Norm von A hoch minus 1. Die Norm von A hoch minus 1² mal B minus A.

So, das Entscheidende hier ist jetzt, dass der Ausdruck, mit dem wir uns vorhin schon mal beschäftigt, der ist kleiner als 1. Das ist die Rechnung von hier oben, hier oben rechts.

Norm von A hoch minus 1 mal Norm von B minus A. Das ist, wenn das B näher als Epsilon an A liegt, was es hier tut, kleiner als 1. So, den bringen wir mal auf die andere Seite. Also das hier ist kleiner als 1. Dann kriegen wir 1 minus diesen Ausdruck, Norm von A hoch minus 1 mal B minus A,

mal die Norm von der Inverse von A minus der Inverse von B. So, das ist jetzt die linke Seite und rechts der erste Summand. Das ist kleiner als A hoch minus 1² mal die Norm von B minus A.

Und das Entscheidende ist jetzt, dass dieser Vorfaktor links 1 minus das Produkt der beiden Norms strikt positiv ist. Dadurch, dass das Produkt der beiden Norm kleiner als 1 ist, ist dieser Vorfaktor strikt positiv. Das heißt, den kann ich jetzt durchdividieren, ohne dass ich mich was an meinem Relationszeichen kaputtmache.

Ich behalte das Kleine gleich, wenn ich den durchdividiere. Und dann bleibt übrig der Abstand von der Inverse von A zur Inverse von B, ist kleiner als dem Quadrat von der Norm von A hoch minus 1,

mal die Norm von B minus A durch diesen Vorfaktor 1 minus Norm von A hoch minus 1 mal B minus A. So, und jetzt ist so lang drauf rumgeknetet, dass man jetzt mal nochmal schauen kann, was passiert, wenn B gegen A geht.

Was passiert jetzt, wenn B gegen A geht? In diesem Bruch, dann A hoch minus 1, Norm zum Quadrat ist irgendeine Zahl, B minus A in der Norm geht gegen 0, unten geht B minus A in der Norm auch gegen 0. Ist ein bisschen gefährlich, aber wir haben ja noch diese freundliche 1 vorne. Also der Zähler geht gegen 0, der Nenner geht gegen 1.

Wunderbar, das ganze Ding geht gegen 0. Also dieser Ausdruck hier, der geht, wenn Sie B gegen A schicken, gegen 0 durch 1, also gegen 0. Das Ding ist immer größer als 0. Sandwich-Satz sagt, dass der Limous, wenn Sie B gegen A schicken,

von Inversen von B gleich dem Inversen von A. Also eigentlich, Limous B gegen A von der Norm von Inversen von B minus Inversen von A gleich 0,

aber das ist gleichbedeutend damit, dass Inverse von B gegen Inverse von A. Gut, also haben wir, dass die Stetigkeit, die die Matrixinversion stetig ist. So, dann können wir uns jetzt der Hauptaufgabe für heute zuwenden.

Wir beweisen den Satz von der Umkehrfunktion. So wie er da steht, gegeben eine offene Teilmenge von Rd, ein Punkt da drin und eine stetig differenzierbare Funktion. Und dann sagt uns der Umkehrsatz, wenn ich an dem Punkt x0 eine invertierbare Ableitung habe,

invertierbar im Sinne von den Jahre Abbildungen oder wenn Sie lieber mögen Matrix, völlig egal, dann finden Sie eine Umgebung von x0 und eine Umgebung von y0, also vom Bild von x0, sodass, wenn Sie auf diese beiden Umgebungen einschränken, hier F-Diffiomorphismus ist,

also eine biaktive stetig differenzierbare Abbildung mit stetig differenzierbarer Inversen. So, da müssen wir hin und das Ganze machen wir schön schrittweise. Also Beweis von, das war nochmal 14.5, vom Umkehrsatz.

Um den Umkehrsatz zu beweisen, setzt man sich in einen auf den ersten Blick erstmal sehr speziellen Spezialfall. Wir schauen uns nämlich erstmal an, was passiert, wenn x0 0 ist und y0 0 ist auch 0. Und den allgemeinen Fall, den macht man dann später, indem man alles hin und her schiebt.

Dann werden wir sehen, machen wir ganz am Ende. Im Moment schauen wir uns einen Spezialfall an und der ist die Hauptarbeit an dem Beweis. Dieses hin und her schieben ist dann am Schluss auch nochmal 5 Minuten oder so, aber das ist nicht das Schwierige. Also der Spezialfall, den wir uns angucken wollen, ist, wir schieben das Ganze in die 0.

Also x0 ist 0, das y0, also das f von x0 ist f von 0, nehmen wir auch 0. Und als drittes gehen wir davon aus, dass die Ableitung von unserer Funktion an der Stelle 0, die muss ja eine invertierbare Matrix sein nach Voraussetzung.

Und dann nehmen wir die einfachste, schönste invertierbare Matrix, die wir kennen, nämlich die Einheitsmatrix. Also von jetzt ab ist immer x0 gleich 0, y0 gleich 0 und die Ableitung von f an der Stelle 0 ist die Identität. Und warum man sich darauf zurückziehen kann, darum kümmern wir uns ganz am Ende.

Die Hauptarbeit ist, für den Spezialfall den Satz hinzukriegen. So, ich habe den Beweis für den Spezialfall in ein paar Unterhäppchen geteilt. Überlegen wir uns erst mal, was wir eigentlich tun müssen.

Also in der Uvertüre von dem Beweis gucken wir mal, was ist die Methodik, wo wollen wir eigentlich hin? Also was ist unser Ziel? Wir brauchen zwei Umgebungen U und V, sodass das f, wenn ich es nur auf U anschaue, Diffiomorphismus wird.

Also wir müssen für jedes y, das in V liegt, also nahe bei y0, y0 ist in dem Fall 0, für jedes y nahe bei 0,

müssen wir dafür sorgen, dass das f in Diffiomorphismus ist, das heißt eine biaktive Abbildung. Das heißt wir müssen feststellen, erstens es gibt ein Urbild, das muss biaktiv sein, es gibt nicht nur ein Urbild, sondern es gibt genau ein Urbild, damit das f zwischen U und V sojektiv und injektiv ist. Also wir müssen ein genau ein x finden, das nahe bei x0 liegt, also bei x0 gleich 0, sodass f von x gleich y ist.

Und nahe bei, was heißt nahe bei, nahe bei ist zu definieren. Weil unsere Aufgabe ist, hier das U anzugeben, das V anzugeben, eigentlich müssen wir nur die beiden, müssen das U und das V angeben.

Und nachweisend, wenn wir das U und V so geschickt wählen, dann ist f zwischen U und V biaktiv und die inverse ist stetig differenzierbar. Dass die Funktion stetig differenzierbar ist, ist nicht schwer, weil das ist vorausgesetzt.

Und um dieses für jedes y findet sich genau ein x hinzukriegen, schauen wir uns einen Stapel von Funktionen an. Und zwar für jedes y Rd schauen wir uns an eine Funktion phi mit Index y, die ist definiert auf g und geht nach Rd

und ordnet jedem x zu den Ausdruck y plus x minus f von x. Kann man ja mal definieren. Für jedes y ist das eine Funktion, für y von x ist y plus x minus f von x.

Schauen wir uns mal an, was diese Funktion tut, was hat diese Funktion um Himmels willen mit unserem Problem zu tun. Was wir ja eigentlich suchen, ist zu jedem y ein x mit y gleich f von x.

Was hat y gleich f von x mit unserem Problem zu tun, mit unserem phi zu tun? Ich behaupte, es ist y gleich f von x genau dann, wenn phi von x gleich phi y von x gleich x ist. Schauen Sie es mal kurz an, also von links nach rechts, wenn y gleich f von x ist, dann ist phi

y von x gleich y plus x minus f von x, aber y ist gleich f von x, also gleich x. Umgekehrt, wenn phi y von x gleich x ist, ist y plus x minus f von x gleich x, ist y minus f von x gleich 0, ist y gleich f von x.

Also, das ist tatsächlich ein genau dann, wenn unser x wird auf y abgebildet, genau dann, wenn phi y von x gleich x ist. Oder noch etwas suggestiver formuliert, unser x wird auf y abgebildet, genau dann, wenn x ein Fixpunkt ist von dieser Abbildung phi y.

Unser Ziel kann man also so umformulieren, für jedes y nahe bei y0 muss dieses phi y genau einen Fixpunkt haben, weil die Fixpunkte von phi y sind genau die Lösungen von y gleich f von x.

Na ja, jetzt sind hoffentlich genug Buzzwords gefallen. Wir suchen genau einen Fixpunkt von einer Abbildung, dass die Idee jetzt nahe liegt, was wir verwenden. Wir verwenden den bahnarschen Fixpunktsatz. Der bahnarsche Fixpunktsatz liefert genau das.

Wir wollen nachweisen, dass das phi y für y nahe genug bei y0 die Voraussetzung vom bahnarschen Fixpunktsatz erfüllt. Dann sagt uns der, für jedes y, für das die Bedingungen erfüllt sind, hat das phi y genau einen Fixpunkt und genau einen Fixpunkt haben, heißt genau, es gibt genau eine Lösung für y gleich f von x.

So, das ist, sagen wir mal, das Grundziel der Angelegenheit. So, um den bahnarschen Fixpunktsatz anzuwenden, brauchen wir einen vollständigen metrischen Raum.

Wir sind hier in Rd. Der Rd ist ein wunderschöner Raum. Wir können uns noch eine Norm wählen. Und weil es die Rechnungen ab jetzt einfacher macht, rechne ich ab jetzt grundsätzlich mit der unendlichen Norm.

Und wenn ich den bahnarschen Fixpunktsatz, wenn ich anwende auf eine Teilmenge von Rd, die unendliche Norm gibt mir auf dem Rd eine schöne Metrik bezüglich der dieser Raum vollständig ist und auch jeder Teilraum ist dann ein vollständiger metrischer Raum. Also haben wir die Voraussetzungen vom bahnarschen Fixpunktsatz schon mal erfüllt.

So, das ist also die Idee, wo wollen wir hin. Wir wollen von jedem dieser Funktion phi y nachweisen, zumindest für y nah bei y0, nachweisen, dass die strikte Kontraktionen sind, damit wir den bahnarschen Fixpunktsatz anwenden können. Das ist jetzt die erste Aufgabe, der erste Akt des langen Dramas.

Also der erste Akt wird es sein, ein Rho größer Null zu finden, sodass wenn ich mir dieses phi y anschaue auf dem Abschluss der Kugel um Null mit Radius 2 Rho in die gleiche Menge,

in den Abschluss der Kugel um Null mit Radius 2 Rho, dass das Ding dann eine strikte Kontraktion ist für alle y in der Kugel um Null mit Radius Rho. Das ist meine Behauptung im ersten Akt.

Mit welchem Ziel, wenn ich das zeigen kann, dann habe ich zumindest für alle y nahe bei y0 gleich Null, näher als Rho, gezeigt, dass meine phi y einen vollständigen metrischen Raum, nämlich diese abgeschlossene Einheitskugel, in sich selbst abbilden. Erste wichtige Voraussetzung vom bahnarschen Fixpunktsatz.

Ich habe eine Selbstabbildung, der Stadtplan von Darmstadt liegt nicht in Köln. Und zweitens, das Ding ist eine strikte Kontraktion. So, das wollen wir zeigen. Dieses Rho müssen wir jetzt rauskriegen. Das Rho werden wir jetzt kriegen. Im Moment gehen wir mal mit allen y in Rd los.

Und schauen uns eben diese Abbildungen phi y an, von denen wir nachweisen müssen diese strikte Kontraktion. Zunächst mal sind die alle stetig differenzierbar. Warum? Na ja, weil sie eine Summe von stetig differenzierbaren Funktionen sind.

y ist eine Konstante, x ist Identität, f ist stetig differenzierbar. Man kann auch leicht die Ableitung hinschreiben. Das ist die Ableitung von dem phi y an einer Stelle x. Na ja, die konstante y fällt weg.

Das x hat als Ableitung die Identität auf dem Rd. Minus f von x, na ja, gibt die Ableitung von f. Und das gilt für alle x in g. Und ist es an der Stelle fürs weitere interessant oder sehr angenehm zu beobachten, diese Ableitung ist unabhängig von y.

Was da liegt, ist das phi in y, was lineares ist. Und wenn sie das lineares ableiten, kommt was Konstantes raus. So, was affines, was affines, nicht linear, affine in y. Wenn sie es nach y ableiten, ist es konstant.

So, warum ist die Ableitung von dem phi y interessant? Wenn Sie sich erinnern an den Schrankensatz, dann habe ich Ihnen gesagt, eine wesentliche Aufgabe des Schrankensatzes ist es, Lippstädigkeit nachzuweisen bzw. Lippstädigkeit mit Konstante kleiner 1, sprich stricte Kontraktion.

Was muss man tun, um den Schrankensatz anzuwenden, um mit dem Mittelwertsatz, mit dem Schrankensatz stricte Kontraktion nachzuweisen? Man muss zeigen, die Ableitung von der Funktion ist stricte kleiner 1, hat Norm stricte kleiner 1. Deswegen gucke ich mir die Ableitung von dem phi y an. Und jetzt ist zu zeigen, die

Ableitung, das Ding hier, wenn ich die Norm davon anschaue, dann bleibt die kleiner gleich q, kleiner 1. Dann können wir mit dem Schrankensatz stricte Kontraktion anweisen. Das ist jetzt das Programm. Also, schauen wir uns diese Ableitung genauer an. Da die E von y unabhängig ist, können wir uns auch phi 0 angucken, ist völlig egal.

Was noch entscheidend ist, ist sich anzuschauen, was ist die Ableitung von dem phi y in 0. 0 ist ja unsere spannende Stelle, der Mittelpunkt unserer ganzen Aktion.

Was passiert, wenn Sie hier x gleich 0 setzen, dann kriegen Sie Identität auf rd minus die Ableitung von f an der Stelle 0. Und die Ableitung von f an der Stelle 0 hatten wir im aktuellen Spezialfall als die Identität auf rd festgetackert.

Was hier also rauskommt, ist die Ableitung von phi y in 0 ist die Nullerbildung. So, warum ist das gut? Und das ist super gut, weil was wollen wir zeigen? Wir wollen zeigen, die Ableitung von dem phi y in der Nähe von 0 ist klein. Naja, die Ableitung von dem phi y ist stetig und sie ist an der Stelle 0,0. Also, sie ist in der Nähe von 0,0 klein.

Klassisches Stetigkeitsargument. Das machen wir jetzt. Also, die Ableitung an der Stelle 0 ist 0 und das gilt für egal welches y in rd, weil wie gesagt, die Ableitung ist e von y unabhängig. Also, jetzt schauen wir uns d phi 0 an. Die Ableitung ist stetig auf g. Also, die Ableitung, die jedes x auf d phi 0 von x schickt, ist stetig auf g.

Und g ist offen. Also finden wir jetzt unser rho größer 0. Das soll zwei Dinge auf einmal erfüllen.

Erstens soll es so klein sein, dass die Kugel mit Radius 3 rho um 0 noch ganz in g liegt. Das geht einfach, weil g offen ist. 0 ist ein Punkt in g. x0 ist im Moment 0. Also, 0 ist ein Punkt in g und g ist offen. Also finde ich

eine Kugel um 0 mit Radius irgendwas, die drin liegt und dieses irgendwas nenne ich jetzt mal 3 rho. Und zweitens soll das rho aber noch was erfüllen. Deshalb müssen wir das rho jetzt noch mal kleiner machen. Und zwar eben genau die Überlegung von gerade eben. Ich weiß, meine Ableitung ist an der Stelle 0,0. Sie ist stetig.

Also gibt es eine Kugel um 0, in der diese Ableitung nie normgrößer ein halb hat. Und so baue ich mir mein rho also, sodass die Norm der Ableitung, ich nehme die Zeilensummenorm von der Jacobi-Matrix.

Also die Jacobi-Matrix ist ja die Matrix zu der Ableitung. Davon die Zeilensummenorm. Ich schatte mit dieser Norm den Raum der linearen Abbildung hier aus. Dann ist das das gleiche wie die Norm von der Jacobi-Matrix von Phi0, weil die Jacobi-Matrix ist eh nicht von y abhängig.

So und ich kann jetzt das rho so wählen, dass diese Norm immer kleiner gleich ein halb ist, für alle x aus dieser Menge u3 rho von 0.

Und für alle y netti. Das geht eh, weil das Ding von uns noch unabhängig ist. Und das ist ein Stetigkeitsargument. Ich weiß, meine Ableitung an der Stelle 0 ist 0. Also finde ich eine kleine Kugel drumrum, wo sie Norm kleiner gleich ein halb hat, weil sie stetig ist.

Und die Kugel mache ich, das rho mache ich jetzt so klein, dass beides gleichzeitig gilt. Also zum einen u3 rho von 0 ist eG. Das brauche ich schon, damit ich das alles hinschreiben kann. Und zweitens die Ableitung bleibt da in einer Norm kleiner gleich ein halb. Und diesen halb ist jetzt das, was uns gleich die Kontraktivität liefert, weil jetzt kommt der Schrankensatz. Sie sehen, alles, was wir die letzten Wochen und Monate gemacht haben, läuft hier zusammen.

Der Schrankensatz sagt uns, wenn ich mir jetzt zwei beliebige x1, x2 aus dieser Kugel hier hernehme. Man beachtet diese Kugel ist auch so, dass die Verbindungsstrecke von den beiden Punkten immer drin ist. Eine Kugel enthält jede Verbindungsstrecke.

Dann können sie den Abstand von phi y in x1 zu phi y von x2 in der Unendlch-Norm. Wir wollten den mit der Unendlch-Norm anschauen. Nach oben abschätzen durch das Supremum über die Ableitung j phi y von x in der Zeilen-Summen-Norm.

Und zwar für alle x in der Menge, die wir uns anschauen. Also u3 rho von 0 mal den Abstand der Argumente x1 minus x2 in Unendlch-Norm.

Das war die Form vom Schrankensatz, die ich Ihnen bewiesen habe. Der Schrankensatz war allgemein für beliebige Normen formuliert. Aber den Beweis habe ich für die Unendlch-Norm und die Zeilen-Summen-Norm gemacht. Und dann am Schluss gesagt, für beliebige Normen kriegen Sie jetzt halt Äquivalenzkonstanten. Das ist das, was wir wirklich im Beweis des Schrankensatzes bewiesen haben. Der Abstand der Bilder ist kleiner als das Supremum über alle Normen der Ableitung in der Zeilen-Summen-Norm mal den Abstand der Argumente.

Gut. Und dieses Supremum da ist aber kleiner als ein halb. Also steht hier kleiner als ein halb mal Norm von x1 minus x2.

Und da steht schon unsere Kontraktion. Was jetzt da steht, ist diese Abbildung phi y ist kontrahierend auf der Menge u3 rho von 0. Wenn Sie jetzt oben gucken, ich war überhaupt nie von u3 rho die Rede. Ich brauche das auf u2 rho. Naja, aber dann habe ich es da erst recht.

Also erst recht. Insbesondere ist das richtig für alle x1 und x2 aus u2 rho von 0 Abschluss. Das ist in der Kugel mit Radius 3 rho drin.

So, wenn man jetzt guckt, wo man eigentlich hin will, dann können jetzt zwei verschiedene Dinge auffallen. Entweder sehen Sie gleich, was noch fehlt, oder Sie wundern sich, warum ich denn da oben geschrieben habe, wir wollen das nur für alle y in der kleinen Kugel um 0 und bisher geht das für alle y.

Warum brauche ich jetzt, an welcher Stelle geht jetzt ein, das y Kleines? Bisher gar nicht. Das kommt erst jetzt. Wir sind immer noch nicht fertig. Wir haben jetzt festgestellt, unser phi y erfüllt eine Kontraktionsbedingung auf dieser Menge. Aber was wir noch nicht festgestellt haben, ist, dass unser Stadtplan nicht aus Versehen in Köln liegt. Was wir noch versicherstellen müssen, ist, dass die Abbildung eine Selbstabbildung ist,

sprich, dass das phi y seine Werte hier drin annimmt. Das fehlt noch. Also das ist noch zu zeigen. Um den ersten Akt abzuschließen, müssen wir noch zeigen.

Und jetzt brauchen wir es, wenn y nah bei 0 liegt, dann will ich zeigen, dann bildet diese Abbildung phi y die Kugel um 0 mit Radius 2 Rho Abschluss ab in die Kugel um 0 mit Radius 2 Rho Abschluss. Das haben wir bisher noch nicht gezeigt.

So, was müssen wir dafür tun? Also wir geben uns einen y vor in der Kugel um 0 mit Radius Rho. Und wir geben uns einen x vor in der Kugel um 0 mit Radius 2 Rho Abschluss. Und jetzt müssen wir zeigen, phi y von x liegt in derselben Kugel, in derselben abgeschlossenen Kugel.

Also müssen wir uns anschauen, wie groß ist der Abstand von phi y von x zum Ursprung, also wie groß ist die Norm von phi y von x. Ziel, das Ding soll bitte schön kleiner gleich 2 Rho. Wenn das kleiner gleich 2 Rho ist, sind wir in der richtigen Kugel.

Gut, müssen wir uns überlegen, müssen wir mal einsetzen, was das phi y ist, weil das Philpsen nur noch länger auftaucht und es hier bald verschwindet, ist das hier auf der Folie. Mittlerweile ist alles schon, alles was hier auf der Folie ist schon an der Tafel. Also was ich hier notiert habe, sind einfach ein paar Dinge, die ich jetzt im ersten Akt mache und nachher im fünften brauche.

Bis dahin ist das alles schon weg. Deswegen, also jetzt nochmal die Definition von dem phi wiederholt. Das können Sie gerade noch vergleichen, dass ich nicht mogel. Dann die Erkenntnis, die wir hier hatten, das Rho ist so gewählt, dass für alle x in der Umgebung, in der Kugel um 0 mit Radius 3 Rho

die Zeilensummenorm der Jacobi-Matrix von dem phi 0 kleiner gleich in halb ist. Das war die Wahl von Rho und daraus haben wir gefolgert, wenn y ein Rd ist und x1, x2 aus der Kugel, dann ist das phi y darauf, ich drückte Kontraktion mit Faktoren halb.

So, wir wollen uns jetzt die Norm da angucken, also müssen wir uns überlegen, da einsetzen, was phi y ist. Das machen wir noch nicht, sondern wir vergleichen mal mit dem phi y von 0 und ziehen das wieder ab.

Also phi y von 0, dann ist der nächste Schritt die Dreiecksunggleichung, phi y von x minus phi y von 0 plus phi y von 0 jeweils unendlich genommen.

Und das Ziel ist immer noch am Ende kleiner gleich 2 R.

Jetzt haben wir hier eine Differenz von phi y von x minus phi y von 0 und sowohl x als auch 0 sind in der Kugel um 0 mit Radius 3 Rho.

Also in der Kugel mit Radius 2 Rho, aber entsprechend in 3 Rho. Das heißt, ich kann das hier verwenden. Mein phi y ist für dieses x und diese 0 kontraktiv, also das ist kleiner gleich in halb mal der Abstand von x zu 0 hinter unendlich Norm plus. Und jetzt kommt hier hinten das phi y von 0, da setzen wir die Definition vom phi y ein.

4y von 0 ist einfach y minus f von x. y und x ist in dem Fall 0, also y minus f von 0. Das ist 4y von 0. f von 0 kennen wir aber, f von 0 ist 0.

Also was hier steht ist ein halbes Norm x plus Norm y. f von 0 ist 0 nach Spezialfall. So, was wissen wir über die Größe von x und von y? Das x liegt in der Kugel um 0 mit Radius 2 Rho, hat also Betrag höchstens 2 Rho.

Das y liegt in der Kugel um 0 mit Radius Rho, und zwar in der offenen Kugel. Das heißt, ich kriege hier sogar ein echt kleiner, echt kleiner plus Rho. Genauere Betrachtung liefert, dass das genau das ist, was es soll, sogar noch ein Ticken besser.

Wir kriegen der Abstand von, also die Länge von 4y von x ist echt kleiner als 2 Rho. Das heißt, ich kriege hier drüben sogar eine Inklusion, dass das 4y den Abschluss der Kugel ins Innere der Kugel abfällt.

Das können wir gleich nochmal gewinnbringend verwenden. Also was wir jetzt gezeigt haben ist, dass 4y von x enthalten ist im Abschluss der Kugel um 0 mit Radius 2 Rho. Das ist das, was wir zeigen mussten. Und es lohnt sich, an der Stelle zu bemerken, es ist nicht nur im Abschluss der Kugel, sondern es ist sogar in der offenen Kugel.

So, das war der erste Akt. Wir haben gezeigt, es gibt so ein Rho, sodass wenn ich das y klein genug mache,

nämlich weniger als Rho vom Ursprung weg, dann ist diese Abbildung 4y eine strikte Kontraktion auf einem schönen, vollständigen, metrischen Raum. Und jetzt ist es Zeit, den Banachschen Fixpunktsatz anzuwerfen. Das ist der zweite Akt des Beweises. Also Anwendung Banachscher Fixpunktsatz.

Im Prinzip müssen wir jetzt nur kurz die Voraussetzungen von Banachschen Fixpunktsatz zusammensuchen. Vieles habe ich schon gesagt. Also, unsere Abbildung ist definiert in dieser Menge, von dieser Menge in sich selbst.

Diese Menge ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des RD. Nämlich eine abgeschlossene Kugel, insbesondere ist eine kompakte Teilmenge des RD. Und jetzt gibt es einen schönen Satz im Kapitel über metrische Räume, der da sagt, wenn Sie einen kompakten, metrischen Raum haben, ist der immer vollständig.

Also ein vollständiger, metrischer Raum. Das ist doch schon mal gut. Also dieser Satz, den ich gerade erwähnt habe, wer es nachschauen will, ist 4,7. Jeder kompakte, metrische Raum ist vollständig. Dann haben wir gerade eben im ersten Akt gezeigt, dass 4y ist eine Kontraktion, eine strikte Kontraktion mit einem halben.

Gut, dass ein halb war natürlich willkürlich. Wir haben halt das ro so gewählt, dass dann halb rauskommt. Strikte Kontraktion in diesem kompakten, metrischen Raum. Und das gilt, wann immer das y aus der Kugel um 0 mit Radius riss.

Diese Stelle ist der Grund, warum ich oben das Ganze auf den Abschluss von u2 rho von 0 angucke. Nur auf den Abschluss kann ich den Banachischen Fixpunktsatz anwenden, weil er braucht einen vollständigen, metrischen Raum. Eine offene Menge ist nicht vollständig. So, deswegen den Querstrich drüber.

So, und jetzt haben wir eine strikte Kontraktion auf einem vollständigen, metrischen Raum. Also sagt uns der Banach. Also sagt der Banach. Für alle y, die nahe genug eben in dieser Kugel u rho von 0 ist, ist das eine strikte Kontraktion.

Also für alle die gibt es genau einen Fixpunkt. Gibt es genau ein x in der Kugel um 0 mit Radius 2 rho Abschluss. Mit 4y von x gleich x. Und wir haben uns vorhin überlegt, das heißt mit f von x gleich y.

Weil die Fixpunkte von 4y waren genau die Punkte mit f von x rechts. So, das sieht doch schon mal gut aus. Wir haben tatsächlich sogar mehr, minimal mehr, aber das ist nachher wichtig.

Dieses x, also ich gebe mir irgendein y in das u rho von 0 vor, dann sagt der Banach, dieses x ist im Abschluss, ist in dem Abschluss der Kugel um 0 mit Radius 2 rho. Aber wenn ich mir die Norm von dem x anschaue, dass x ein Fixpunkt ist, also die Norm von 4y von x,

dann haben wir gerade oben gesehen, hier, das ist strikt kleiner als 2 rho. Also das haben wir uns gerade überlegt. Also ist das x nicht nur im Abschluss von der Kugel um 0 mit Radius 2 rho, sondern eben in der offenen Kugel.

So, also halten wir mal das Ergebnis vom zweiten Akt fest. Wir haben gezeigt, für alle y in der Kugel um 0 mit Radius rho gibt es genau ein x in der Kugel um 0 mit Radius 2 rho,

sodass f von x gleich y ist. Das sieht doch gut aus, wenn Sie jetzt an unser Ziel denken. Unser Ziel ist zu zeigen, wenn ich meine Funktion auf eine kleine Umgebung von x0, also von 0 einschränke,

dann wird die dann die Firma Phismus. Was ich jetzt schon mal habe ist, wenn das Ding, ich klein genug einschränke, dann ist das Ding da bejektiv. Wenn ich die Mengen richtig wähle, dann kann man das machen. Aber es gibt für jedes Bild, für jedes mögliche Bild in der Nähe von 0, gibt es genau ein 0.

Die mathematische, hauptmathematische Substanz von dem Beweis steckt in diesem Argument. Selbstumkehrsatz fußt in seinem wesentlichen Substanz auf den beinachten Fixpunktsatz. Und alles, was wir jetzt in der restlichen Zeit machen, ist aufräumen und alles zusammenbauen und zeigen, dass die Konstruktion trägt. Und tatsächlich, jetzt müssen wir noch das richtige u definieren, das richtige v definieren, zeigen, dass alles zusammenpasst.

Aber die Substanz steht jetzt schon mal da. So, also definieren wir u und v. Das ist der dritte Akt. Definition von u, v und f-Dach.

Die Definition von f-Dach ist nicht so wahnsinnig spannend. Wenn wir mal u und v haben, dann ist f-Dach halt die Einschränkung von u. So, jetzt muss man da ein bisschen drauf rumgucken und überlegen, wie man das setzt.

Relativ klar ist, was v wird. v muss der Zielbereich von dem f-Dach sein, von der Einschränkung, die wir anschauen, von dem f. Was wir gezeigt haben ist, für jedes y in der Kugel um u0 mit Radius rho gibt es genau ein Urbild. Also die Kugel um 0 mit Radius rho ist ein gutes v. Für jedes y in der Kugel um 0 mit Radius rho gibt es genau ein Urbild.

v nehmen wir als u rho von 0. So, in welcher Situation sind wir jetzt? Also wir haben hier die 0, da drum unsere Kugel v. Dahin soll das f abbilden.

Hier ist die x00. Wir wissen, für jedes y in v finden wir ein eindeutiges Urbild in der Kugel um 0 mit Radius 2 rho. Ich suche das hier mal so ungefähr. Also das ist die Kugel um 0 mit Radius 2 rho.

Die Idee, u gleich Kugel um 0 mit Radius 2 rho zu nehmen, ist schlecht, weil niemand hat gesagt, dass bei dieser Aktion da oben sämtliche x in der Kugel getroffen werden. Falls nur für jedes y in v gibt es da drin ein Urbild.

Aber was eben sein könnte, ist, dass das f auf –1 von v hier nur irgendwo drin liegt. Also das da ist das f auf –1 von v, das Urbild von dem v. Das muss ja nicht die ganze Kugel ausfüllen. Für jedes y in v gibt es genau ein Urbild da drüben, aber das muss ja nicht alles ausfüllen.

Nächste Idee, wir nehmen u als f auf –1 von v. Auch keine gute Idee, denken Sie an die Polarkoordinatendarstellung. So ein v da drüben kann durchaus noch mehr Urbilder haben. So ein y in v kann durchaus noch mehr Urbilder haben.

Die müssen halt nicht nah bei 0 liegen, sondern irgendwo in dem Muktu. Aber es kann zum Beispiel sein, dass irgendwo hier draußen noch ein Stück f auf –1 von v ist. Wir haben hier nur gezeigt, für jedes y in v gibt es genau ein Urbild in dieser Kugel. Da kommt aber noch woanders welche.

Könnte passieren. Also was ist die richtige Idee für u? Wir müssen beides kombinieren. Wir nehmen u2 rho von 0 geschnitten mit dem Urbild von v. Das ist das, was wir haben wollen. Das ist dieses Stück hier. Das diskriminiert den Teil hier. Das diskriminiert die Teile von der Kugel, die wir nicht haben wollen.

Das nimmt genau das Stück raus, was wir brauchen. So, also damit haben wir v, damit haben wir u. Die setzen wir so.

Und das war ja auch unsere Hauptaufgabe für den Satz. Wir müssen zeigen, solche Dinger gibt es. Und was wir jetzt noch zeigen müssen, ist, die tun es. Ich bemühe mich immer bei diesen weiteren Überlegungen dringend nicht zu sagen, was wir jetzt nur noch zeigen müssen.

Weil, wenn Sie auf die Uhr gucken, sehen Sie, wir haben noch einiges vor uns. Es ist, was wir noch zeigen müssen. Aber wir können ja mal forschen anfangen. Also wir haben dieses u, wir haben dieses v. Was müssen wir jetzt mal feststellen? Wir müssen feststellen, erstens das u ist die Teilmenge von g.

Es ist eine offene Umgebung von x0, also von 0. Und das v, na gut, die Teilmenge von rd ist von selber. Aber wir müssen noch zeigen, es ist eine offene Umgebung von y. Also fangen wir mal an. Wie sieht es dann mit u Teilmenge g aus? Das u ist der Schnitt von der Kugel um 0 mit Radius 2 rho und dem F0-1 von v.

Ist aber garantiert eine Teilmenge von der Kugel um 0 mit Radius 2 rho. Die ist, brutale Abschätzung, enthalten in der Kugel um 0 mit Radius 3 rho. Und das rho war am Anfang so gewählt, dass die Kugel in g liegt.

Also da sind wir schon mal auf der sicheren Seite. Dann, wenn u und v offene Umgebungen sein sollen, wäre es mal gut festzustellen, dass die beiden auch offen sind. Die beiden offen, naja, das u ist eine offene Kugel, das v ist eine offene Kugel.

Das ist offen, Beispiel irgendwas am Anfang der Vorlesung. Das mit dem u, das ist ein Schnitt von zwei Mengen. Die erste Menge ist eine offene Menge, weil es eine offene Kugel ist. Die zweite Menge ist ein Urbild von einer offenen Menge oder einer stetigen Funktion. Also auch offen. Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen, also ist es auch eine offene Menge.

Und v sind also offene Mengen in Rd. u ist eine Teilmenge von g. Jetzt ist noch zu klären, beide sind Umgebungen von 0. Das heißt wir müssen mal feststellen, dass 0 in u und 0 in v ist. Auch da ist v die übersichtlichere Menge. Klar, 0 ist der Mittelpunkt von der Kugel.

Was ist mit 0 in u? Ich behaupte, 0 ist auch in u, weil ich weiß, dass f von 0 gleich 0 ist. Wenn mit u in 0 ist, muss es in der Kugel sein, das ist der einfache Teil. Warum ist es in f auch minus 1 von v? Naja, weil 0 in v ist und f von 0 gleich 0. Also ist 0 im Urbild von v.

Gut, also ist 0 auch in u. So, damit haben wir jetzt, wenn wir das alles zusammennehmen, schon große Teile von dem, was wir müssen. U ist eine Teilmenge von g. Ist eine offene Umgebung von x0 gleich 0. Und v ist eine Teilmenge von Rd, das ist es von selber.

Und es ist eine offene Umgebung von y0 gleich 0. So, warum haben wir das Ganze gemacht?

Weil wir jetzt wissen, für jedes y in v gibt es genau ein x in u. Also gibt es genau ein x in dieser Kugel, aber wenn das x auf y abgebildet werden soll, dann muss es ja nicht nur in der Kugel, sondern auch in dem Urbild von v liegen. Also für jedes y in v gibt es genau ein x in u mit f von x gleich y.

Das heißt, unser f, wenn wir es auf u einschränken, ist biaktiv. Unsere Ergebnisse vom zweiten Akt sagen, wenn ich jetzt fdach nehme als die Einschränkung von f nach u, dann ist das eine Abbildung, deren Bild in v liegt.

Nach Definition, weil u ist eine Teilmenge vom Urbild von v. Und ich behaupte, wir haben im zweiten Akt gezeigt, das Ding ist biaktiv. Weil wir haben da gezeigt, für jedes y in v gibt es ein x. Erstmal in der Kugel u2 rho von 0 mit f von x gleich y. Aber weil f von x gleich y ist, ist x im Urbild von v.

Also für jedes y in v gibt es genau ein x in u mit f von x gleich y und das ist biaktiv. Weil es für jedes y eins gibt, ist so ejektiv, weil es für jedes genau eins gibt, ist ejektiv. So, was haben wir jetzt?

Wir haben zwei Umgebungen, u von x0, v von y0. Wir haben das fdach und das ist biaktiv. Das fdach ist auch ständig differenzierbar, weil fdach ist ja f. Und das einzige, was noch zu tun bleibt, ist dieses fdach. Die Umkehrfunktion von dem fdach ist ständig differenzierbar.

Also fdach auf minus eins gibt es zwei biaktive Abbildungen. Es ist eine Abbildung von v nach u. Und zu zeigen ist, das Ding ist ständig differenzierbar. Und der ganze Rest von dem Beweis, alles jetzt gleich nach der Pause, dreht sich nur darum, nachzuweisen, dieses blöde Ding ist ständig differenzierbar.

Gut, erstmal durchatmen und dann machen wir uns damit an. So, dann würde ich gerne weitermachen und mich eben um die stetige Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung kümmern. Das ist das einzige, was noch übrig ist. Und wir stürzen uns jetzt nicht direkt in diese stetige Differenzierbarkeit,

weil die ist relativ hart rauszukitzeln. Warum ist die so schwer rauszukitzeln? Naja, weil man dieses fdach hoch minus eins nicht explizit kennt. Das ist der Nachteil in dem Zugang über den Banachischen Fixpunktsatz.

Wo haben wir die Biaktivität hergekriegt? Aus dem Banachischen Fixpunktsatz, der uns sagt, diese Zuordnung ist biaktiv, aber wir haben keine Formel dafür an keiner Stelle. Geht auch im Allgemeinen nicht. Können Sie schon in R reichlich Funktionen hinschreiben, die umkehrbar sind? Von denen Sie nachweisen können, sind die umkehrbar,

aber man kann die blöde Umkehrfunktion nicht hinschreiben. Was anderes ist die Definition des natürlichen Algorithmus als dieses Problem. Man zeigt, die Exponentialfunktion ist biaktiv und dann weiß man, es gibt eine Umkehrfunktion und die kann man nicht hinschreiben und deswegen kriegt es einen neuen Namen. Das heißt, und weil wir halt keine Formel haben,

können wir sagen, es ist offensichtlich stetig differenzierbar. Können wir nicht, also müssen wir uns diese stetige Differenzierbarkeit irgendwie aus dem, was wir haben, zusammen glauben. Und ein guter Trick ist zunächst mal kleinere Brötchen zu backen und sich damit zu begnügen zu zeigen, das Ding ist erstmal stetig.

Also überhaupt erstmal stetig. Wir zeigen stetig. Also wir robben uns langsam an die Differenzierbarkeit ran. Das ist dann jetzt der vierte Akt nach der Pause. Also wir zeigen F Dach hoch minus eins als Abbildung von V nach U ist Lipschitz stetig. Lipschitz stetig hat man eine gute Hoffnung zu zeigen. Wir wissen ja was über Kontraktivität und so.

Wir kommen aus dem bandalen Fixpunkt ab. Da haben wir vielleicht Chancen auf Lipschitz stetig. Also was müssen wir tun? Wir müssen uns zwei Punkte Y1, Y2 in V hernehmen und müssen jetzt die übliche Lipschitz-Stetigkeitsabschätzung zeigen. Abstand der Bilder, kleiner gleich Konstante, mal Abstand der Urbilder.

Nennen Sie die Urbilder. Es gibt ja jeweils genau eins von den Dingern mal X1 ist F Dach hoch minus eins von Y1 und X2 ist F Dach hoch minus eins von Y2. Also X1, X2 sind die eindeutigen Dinger aus U, die auf Y1, Y2 abgebildet werden.

So, was müssen wir uns anschauen? Wir müssen uns anschauen. F Dach hoch minus eins von Y1 minus F Dach hoch minus eins von Y2. Oder mit den gerade eingeführten Notationen kürzer aufgeschrieben. X1 minus X2 in der Norm. Und zeigen, das ist kleiner gleich irgendeine Konstante. Dann mal die Norm.

von y1-y2. So, unser Link zwischen dem f und dem f auf minus 1 ist in gewisser Weise sind es diese Abbildungen phi y, weil die phi y liefern uns die Fick-Punkte, die zu der Umkehr-Abbildung führen. Also schauen wir uns das phi y mal an. Genauer gesagt schauen wir uns das phi 0 an. Was war phi 0? Wenn du mal erinnern,

phi 0 von x ist y-f von x. Also x-f von x. Das gilt für alle x in G. Das heißt wir können

die x hier ersetzen durch phi 0 von x plus f von x. Also hier steht phi 0 von x plus f von x minus phi 0 von x1 plus f von x1 minus phi 0 von x2 minus f von x2. F von x1 kennen wir,

weil x1 liegt ja in U. Wenn y1 in V liegt ist x1 in U und x2 auch in U. f' ist was, f' ist f auf U. Also das ist dasselbe wie f' von x1 und f' von x1 ist y1. Weil x1 war ja das Urbild,

f von x2 ist entsprechend y2. Also was hier steht, ist der Abstand von phi 0 von x1 minus phi 0 von x2 plus y1 minus y2. Jetzt machen wir da mal eine Dreiecksumgleichung rein. Das kleine

gleich phi 0 von x1 minus phi 0 von x2 in der Norm plus die Norm von y1 minus y2. Der zweite Summand dahinten, der fällt uns sehr in den. Lassen wir mal stehen. Den wollen wir ja haben.

Wollen zeigen, das ganze Ding ist kleiner gleich irgendeine Konstante mal die Norm von y1 plus y2. Der ist schon mal gut. Den rühren wir nicht mehr an. Jetzt müssen wir nur vorne noch ein bisschen was überlegen. Und der Schlüssel zum Erfolg steht mal wieder hier. Letzte Zeile. Egal, welche x1 und x2 sie in der Kugel Null mit Ratus 3Rho nehmen,

also insbesondere für alle in U, ist das phi y die strikte Kontraktion. Also das phi 0. Also kriegen wir hier kleiner gleich einen Halb x1 minus x2 in der unendlichen Norm plus y1

minus y2 in der unendlichen Norm. Das ist wieder diese wesentliche Ungleichung aus dem ersten Akt. Setzen wir die x1 minus x2 wieder ein. Steht hier ein Halb f' hoch minus 1 von y1 minus f' hoch minus 1 von y2 in der Norm plus die Norm von y1 minus y2. So und jetzt

kommt zum wiederholten Male der Trick. Das sehen Sie wahrscheinlich von weiter weg. Besser ist ich aus der Nähe. Wenn Sie sich jetzt die ganze Ungleichungskette anschauen, stellen Sie fest, rechts steht wieder das gleiche wie die links nur mit einem Vorfaktor kleiner als 1.

Also den Schlorum von rechts nach links. Im Englischen heißt so ein Argument ein Pullback Argument. Finde ich super. Da fehlt mir eine richtig deutsche Übersetzung für. Also Sie ziehen das Ding von rechts nach links zurück und kriegen ein halbes f' hoch minus 1 von y1

minus f' hoch minus 1 von y2 in der unendlichen Norm ist kleiner gleich y1 minus y2 in der unendlichen Norm. Der letzte Schritt schreibt sich jetzt geradezu von selbst hin. Der Abstand von f' hoch minus 1 in y1 zu f' hoch minus 1 von y2 ist kleiner gleich 2 mal Norm von

y1 minus y2. Lipschitzstädigkeit mit Faktor 2. Was jetzt hier 2 rauskommt, liegt natürlich dran, dass wir genau vorne eine halbe hatten. Auch dass es in gewisser Weise willkürlich ist, aber egal. Also wir sind uns zwar noch nicht stetig differenzierbar, aber

wir sind im Englischen Lipschitz stetig. So, noch ein vorbereitender Teil, bevor wir uns der stetigen differenzierbar von dem f' hoch minus 1 zuwenden. Ich behaupte, dass nicht nur nach

Voraussetzung ist df von x0 invertierbar und ich behaupte diese Invertierbarkeit, die geht in u nicht verloren. Für alle x in u behaupte ich, ist df von x invertierbar.

Das steckt in der Voraussetzung nicht drin, aber wir werden sehen, u ist so klein genug, dass wir nur invertierbare Ableitungen da drin haben. Wie zeigen wir das? Es gibt reichlich Möglichkeiten zu zeigen, dass eine lineare Abbildung invertierbar ist. Mal ist die eine

einfacher, mal die andere. In dem Fall ist es am angenehmsten zu zeigen, dass das Ding einen trivialen Kern hat. Also wir zeigen, der Kern von der linearen Abbildung besteht nur und zwar für alle x in u. Wenn wir das haben, ist das Ding injektiv und als lineare Abbildung vom Raum in sich selbst dann auch injektiv und dann invertierbar. So,

also nehmen wir uns irgendein x in u her und irgendein Kern V aus dem Kern der linearen Abbildung und dann müssen wir zeigen, dann ist V0. Das ist das Ziel der Angelegenheit. Also wir wissen, wir wollen zeigen, der Kern von df an der Stelle x ist nur

die 0. Also schauen wir uns mal df an der Stelle x an. Wir wissen f von x ist x minus V0 von x. Das ist wieder hier die Definition von Vy. Setzen Sie y gleich 0, kriegen Sie V0 ist x

minus f, also ist f x minus V0. So, also können wir die Ableitung von f mit der Hilfe von der Ableitung von V0 ausdrücken. Die Ableitung von f an der Stelle x ist die Identität auf Rd minus die Ableitung von dem V0 an der Stelle x. So, jetzt wissen wir aber, unser V ist ein

Element vom Kern von df von x. Also, wenn ich meine Jacobi-Matrix von dem f hernehme, also die Abbildungsmatrix, die zu df von x gehört und auf V anwende, dann kommt dann 0 raus.

V ist ja schließlich im Kern. Ich wechsle jetzt hier zwischen df und jf. Das soll um Himmels willen keine Verwirrung stiften. Ich weiß nicht, wie es besser ist. Entweder ich stifte, gehe mit der Notationdauer hin und her oder ich schmeiße lineare

Abbildungen und Abbildungsmatrix tausend durcheinander. Ist das der blöde Zielkonflikt an der Stelle. Also jf von x mal V ist jf von x die Abbildungsmatrix von dem df. Das ist also die andere Seite der gleichen Medaille. So, also V ist im Kern,

also kommt hier 0 raus. Jetzt nutzen wir diese Gleichheit. Dann steht hier, das ist V minus die Jacobi-Matrix von dem phi0 an der Stelle x angewandt auf V. Und was das heißt, ist, wenn sie die Gleichung umstellen, dieser Vektor V ist ein Eigenwert zum Eigenwert 1

von dieser Jacobi-Matrix von dem phi0 oder den Nullvektor. Aber auf jeden Fall gilt, die Jacobi-Matrix von phi0 auf V angewandt ist V. Und jetzt kommt der Punkt x ist in U, also nah bei

Null. Nah bei Null ist die Jacobi-Matrix von phi0 eine sehr kleine Matrix mit Zeilen zum Normen halb. Eine Matrix mit Zeilen zum Normen halb, die einen Eigenwert 1 hat,

die müssen wir noch finden. Das können wir jetzt zum Widerspruch führen bzw. wir können sagen, das Ding ist nicht ein echter Eigenvektor, sondern halt ein Nullvektor. Wie geht das?

So, also wir wissen, das Ding erfüllt die Eigenwertgleichung und ist entweder Null oder ein Eigenvektor. Wir wissen, die Unendlichnorm von dem V ist also gleich die Unendlichnorm von der Jacobi-Matrix von phi0 in x angewandt auf V. Jetzt können wir wieder Eigenschaft der

Zugehörigen-Matrix-Norm verwenden. Das ist kleinergleich der Zugehörigen-Matrix-Norm von Jf von x. Die Zugehörige-Matrix-Norm zur Unendlichnorm ist die Zeilen-Summennorm mal die Unendlichnorm von V. Von dem Ding wissen wir aus dem ersten Akt, dass das kleinergleichen halb ist. Also steht hier, weil x ist in U, also insbesondere in der Kugel um

Null mit Radius 3 O, also steht hier kleinergleichen halb Norm v Unendlich. Jetzt können Sie noch daran rumkneten und das auch sein lassen. Einen Vektor, der kleinergleich der Hälfte seiner eigenen Länge ist, davon gibt es nicht viele. Also ein Vektor, dessen Länge

kleinergleich die halbmal die eigene Länge ist, das ist der Nullvektor. Wenn Sie es nicht gleich sehen, bringen Sie es auf die andere Seite, dann steht da, ein halbmal die Länge von v ist kleinergleich Null. Dann spätestens gibt es nicht mehr viele Möglichkeiten. Einen

Vektor, also ist v gleich Null und wir haben gezeigt, der Kern ist nur trivial, das heißt dieses Ding ist invertierbar. Und Sie sehen auch hier, das Argument geht nur, weil das x nahe genug bei Null ist. Wenn wir mit dem x weiter weglaufen, könnte es schief gehen, aber nahe genug bei Null klappt es, weil dann eben die Ableitung von dem v Null klein genug ist.

So, jetzt können wir uns endgültig dem zuwenden, sozusagen dem vorläufigen Finale. Wir wollen zeigen, f' hoch minus eins ist stetig differenzierbar. Das war ja das, was uns noch fehlt.

Auf v. Und der Beweis, der jetzt kommt, der inspiriert sich direkt, wenn Sie es vergleichen, werden Sie es merken, aus dem Beweis für die Ableitung der Umkehrfunktion in der Anne 1. Was wir jetzt

zeigen wollen, ist die Umkehrfunktion, wir wollen jetzt die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen und das macht man im Prinzip so wie in der Anne 1. Und alles, was wir bisher gemacht haben, ist Vorbereitung für diese Teile. Also, was wollen wir machen? Wir wollen zeigen, das Ding ist stetig differenzierbar auf v, also nimmt man sich irgendeine Stelle in v her und zeigt, dass es stetig differenzierbar ist an dieser Stelle y. So, zu so einer

Stelle y in v gibt es ein zugehöriges eindeutiges Urbild x, also x nenne ich f' hoch minus eins von y. Das ist ein Element von u. So, das x brauche ich, weil ich muss das Ganze ja zurückspielen auf die Differenzierbarkeit von dem f. Jetzt nehme

ich mir ein kleines k, ein k in Rd, um dass ich das y variiere mit y plus k noch in v, damit ich in v bleibe. Das geht, also wenn k klein genug ist, geht das, weil v offen ist. Und zu diesem k betrachte ich ein hk als f' hoch minus eins von y plus

k minus f' hoch minus eins von y. Definiere ich so? Warum? Weil es funktioniert. Also man sieht nachher, wo es herkommt, aber im Moment ist es halt so definiert. So, was

passiert, wenn Sie das so definieren und sich jetzt anschauen, was ist f von x plus k? Das ist y plus k. y plus k interessiert uns, weil wir wollen ja nachher, wir wollen zeigen f' hoch minus eins ist in y differenzierbar. Das heißt, wir müssen f' hoch minus eins

von y plus k schreiben als f' hoch minus eins von y plus lineare Abbildung mal k plus rest nach Definition von totaler Differenzierbarkeit. Also y plus k ist, jetzt werfen wir unser f' hoch und f' hoch minus eins drauf, ist f' hoch angewandter auf f' hoch minus

eins von y plus k. Bisher ist nichts passiert. Ich habe die Identität angewandt. f' hoch minus eins von y plus k steht hier. Also das ist dasselbe wie f' hoch von hk plus

f' hoch minus eins von y. Das ist diese Gleichung hier eingesetzt. Also das setze ich da hin. So, und das kennen wir wieder, das ist x. Also hier steht f von x plus

hk. Und was wir hier kriegen ist, und so ist das hk gemacht. Das hk ist gemacht, das f von x plus hk dasselbe ist wie f von x plus k. Das hk ist genauso gemacht,

dass diese Rechnung geht. Gut, jetzt wissen wir, dass das f an der Stelle x total differenzierbar ist. Das f ist hier nach Voraussetzung stetig differenzierbar. Und das heißt, wir können

f von x plus hk minus f von x schreiben als die Ableitung von f an der Stelle x plus ein Rest von hk. Und dieser Rest erfüllt limes h gegen 0 Rest von h durch Norm h gleich

9. Das ist einfach Definition von total differenzierbar. Man kann f von x plus h schreiben als f von x plus Ableitung mal h plus Rest von h und der Rest erfüllt die

vom Gleichheitssteichen steht f von x plus hk minus f von x. Wenn man sich die Gleichungskette zwei Zeilen drüber anguckt, stellt man fest, das ist nichts anderes als k. Also was wir hier auf diese Weise gemacht haben, ist, wir haben unseren freundlichen kleinen Buchstaben k ausnehmen kompliziert geschrieben. Also k können Sie schreiben als die Ableitung von f an der

Stelle x mal hk plus diesen Rest. So, wenn wir jetzt in das reingehen, was wir eigentlich wollen, wir wollen nämlich f hoch minus eins differenzieren. Das heißt, wir müssen uns anschauen, f hoch minus eins von y plus k, der interessiert uns. Von dem müssen wir jetzt zerlegen in f

hoch minus eins von y plus lineare Abbildung angewandt auf k plus Rest. Und dann zeigen, der Rest geht gut genug gegen 0. Also nehmen wir das Ding und ziehen f hoch minus eins von

y ab. Dann müssen wir den Rest schreiben als lineare Abbildung angewandt auf k plus Rest. Das müssen wir jetzt schreiben als f hoch minus eins angewandt auf k plus Rest. So, wir haben gerade gesehen, f hoch minus eins von y oder so war es definiert. Dieser Ausdruck hier,

das ist genau unser hk. So war es hk definiert. So, jetzt pusten wir dieses hk mit der richtigen Null auf. Wir wissen aus dem fünften Akt, dass die lineare Abbildung df on x, also die Ableitung an der Stelle x von f, dass das eine invertierbare lineare Abbildung ist.

Also können wir deren Inverse ins Spiel bringen. Das machen wir, indem wir den Ausdruck df von x hoch minus eins, also die Inverse dieser linearen Abbildung, auf k angewandt dazuzählen und wieder abziehen. Warum machen wir das? Naja, das hier ist unser Kandidat für die

Morphismus ist. Dann ist die Ableitung gegeben durch die Inverse von der Ableitung von f. Also wenn irgendwas die Ableitung ist, dann das Ding. Ich habe jetzt also den Term, den ich

rechts haben will, Ableitung von f hoch minus eins mal k dazugefügt und der Rest gibt mein Rest. So, also das ist hk plus den Term, den ich haben will, df von x hoch minus eins mal k

minus, und jetzt setzen wir ein, was das k ist, df von x hoch minus eins mal, so das k, das haben wir auch schon mal irgendwo hingeschrieben. Ich hatte vorhin gesagt, wenn wir unser k jetzt ausnehmen, kompliziert geschrieben, k ist df von x mal hk plus Rest von hk. Also das ist df von x angewandt auf hk plus den Rest von hk. Jetzt sieht man schon,

das ist schön, da kann man ein bisschen aufräumen, da vereinfacht sich ein bisschen was. Hier die beiden schreien dazu, sich gegenseitig ins Nirwana zu befördern. Also da steht hk plus df von x hoch

minus eins mal k minus Inverse von df von x mal df von x ist Identität, also minus hk minus die Inverse von df von x mal der Rest von hk. So, dann fallen die beiden hk's raus.

Was übrig bleibt, ist die Ableitung, die wir haben wollen, df von x hoch minus eins mal k minus unser Rest df von x die Inverse von df von x mal der Rest von hk. So, was wir jetzt nur

zeigen müssen, langsam darf ich nur noch sagen, ist dass der Limes für k gegen 0 von diesem Rest, also von df von x hoch minus eins angewandt auf r von hk geteilt durch die Norm von k,

dass der gleich Null ist. Wenn wir das haben, dann können wir einen Haken hinter den sechsten Art machen, weil dann haben wir fo minus eins von y plus k geschrieben als fo minus eins von y plus die gewollte Ableitung mal k plus den Rest, der richtig gegen 0. So, also was ist das Problem,

oder wo ist doch die Schwierigkeit? Die Norm von k in die lineare Abbildung reinziehen ist nicht das Problem, dann steht der r von hk durch Norm k. Ich weiß aber nur was über r von hk durch

h Norm hk und nicht hk durch k. Ich muss noch irgendwie dieses hk da reinflicken. Also schauen wir uns mal an, was ist mit r von hk, wie hängen hk und k zusammen? Und das ist zum Glück sehr übersichtlich. Die Norm von dem hk, was ist hk? Warte, nein, wir addieren uns die

richtige Null, ist x plus hk minus hk, nö, x plus hk minus x, das ist jetzt muss die Umkehrfunktion ins Spiel kommen, das ist f da hoch minus eins von f von x plus hk minus f da hoch

minus eins von f von x. Komplizierter geht nicht mehr, aber wenn Sie es genauer angucken, stellen Sie fest, es steht genau das gleiche da wie vorher, weil die ganzen Umkehrfunktionen weggehen. So, warum schreibe ich das so bekloppt? Weil wir jetzt die Lipschitzstädigkeit benutzen

können. Wir haben ja auf dem halben Weg zur Differenzierbarkeit erst mal gezeigt, dass unser f da hoch minus eins Lipschitzstädig ist, wir hatten Lipschitzkonstante 2, da steht

f da hoch minus eins von irgendwas, minus f da hoch minus eins von irgendwas anderem. Also jetzt kommt der vierte Akt, Lipschitzstädigkeit von dem f da hoch minus eins, das ist dann ja gleich 2 von der Norm von f von x plus hk minus f von x und jetzt passt wieder alles

perfekt zusammen, weil was ist f von x plus hk minus f von x? Mal ganz an den Anfang zurück oder irgendwo zwischendrin, da steht es, zu blöd. Rechtsteil, drittunterste Zeile,

f von x plus hk minus f von x ist einfach k. Also das hier ist 2 mal Norm k. Was kriegen wir also raus? Die Norm von hk ist kleiner als 2 mal die Norm von k. Insbesondere kriegen

wir sofort, wenn Sie sich das hk angucken und k gegen 0 geht, dann geht auch hk gegen 0, weil k größer, länger ist als hk. Zweitens, was uns hier eigentlich interessiert,

ist der Limesk null geteilt durch Norm von k. Das ist das Ding, womit wir uns beschäftigen wollen. Hier steht, da steht es noch, nein, noch nicht ganz, müssen auch noch

die Inverse von dem df von x drumherum bringen. Das ist aber ein kleineres Problem. Das ist der Ausdruck, um den es hauptsächlich geht. So, wie können wir den kontrollieren? Wir haben gerade gesehen, Norm von k ist größer als ein halbes Norm von hk. Wenn

ich also unten im Nenner das Norm von k durch ein halbes Norm von hk ersetze, mache ich die Sache im Nenner kleiner, das heißt den ganzen Ausdruck größer. Das hier ist kleiner gleich Limesk gegen 0 Norm von r von hk hinter unendlichen Norm durch ein halbes Norm von hk. Ja, oder schöner geschrieben, zweimal Limesk gegen 0 Norm r von hk durch

Norm von hk. So, aber jetzt können wir verwenden, dass wir über unseren Rest was wissen. Hier unten steht es, Limesk gegen 0, r von h durch Norm h ist 0, zweimal 0 ist immer

noch 0. Das ist 0 und das hier ist größer gleich 0 und damit kriegen wir jetzt, was wir haben wollen. Also jetzt gehen wir wirklich diesen Grenzwert an, Limesk gegen 0, die

R von hk geteilt durch Norm k ist dasselbe wie Limesk gegen 0. Jetzt nutzen Sie Linearität dieser linearen Abbildung df von x hoch minus 1. Dann wenden Sie die an auf r von hk durch

Norm k hinter unendlichen Norm. Das ist 1 durch Norm, 1 durch unendlichen Norm von k ist ein Skalar, können Sie die lineare Abbildung reinziehen. Jetzt sind lineare Abbildungen stetige Funktionen auf dem rd, also ist das dasselbe wie df von x hoch minus 1 angewandt

auf den Limesk für k gegen 0, r von hk geteilt durch k in der Norm. Von dem haben wir hier oben bzw. von dessen Norm haben wir gezeigt, die geht gegen 0, aber deswegen geht das auch gegen 0. Also kriegen wir hier df von x in Invers mal 0. Naja, den jahre Abbildungen

schicken 0 auf 0, also ist das hier 0. So, jetzt ist man versucht aufzuhören, dürfen

wir aber noch nicht, weil was haben wir bisher gezeigt? Wir haben jetzt gezeigt, dieses f da hoch minus 1 ist differenzierbar. In jeder Stelle y aus v ist f da hoch minus 1 differenzierbar, hat eineinhalb Seiten gekostet, aber jetzt steht es da. Aber wir

wollen ja nicht nur differenzierbar, wir wollen differenzierbar, das heißt wir wollen stetig differenzieren. Nächstes Problem. Warum ist diese blöde Ableitung stetig? Zum Glück kann ich Ihnen versprechen, dauert das nicht ganz so lange, ist differenzierbar.

Warum ist diese Ableitung stetig? Also was wir jetzt haben ist f da hoch minus 1 ist in y differenzierbar. Und das Schöne ist, wir haben ja jetzt nicht nur differenzierbar gezeigt, sondern wir haben auch zumindest eine implizite Formel für die Ableitung gefunden. Was ist die Ableitung? Die Ableitung ist der Vorfaktor, die lineare Abbildung,

die vor dem k steht. Also df von x, die inverse von der Ableitung von f. So wie mein Immensland auch, die Ableitung der Umkehrfunktion ist 1 durch die Ableitung der Funktion.

So, beziehungsweise, jetzt stehen hier x und y, wir wollen es ja in x, in y ausdrücken, also das ist df an der Stelle f da hoch minus 1 von y und das Ganze hoch minus 1. Oder noch suggestiver hingeschrieben, das ist die inverse der Abbildung df f da hoch minus 1 von y. So, und was interessiert uns? Uns interessiert die Stetigkeit dieser Abbildung,

die y schickt auf df auf minus 1 von y und ich behaupte, die ist jetzt offensichtlich, was heißt offensichtlich, stetig, aber die ist jetzt stetig als Verkettung von stetigen Funktionen. So, warum sind jetzt alle Bausteine in dieser Ableitung stetige Funktion, dass

f auf minus 1 stetig ist, ist der vierte Akt. Da haben wir gezeigt, das Ding ist Lipschitz stetig, also insbesondere stetig. Dann kommt df, das ist Voraussetzung, Voraussetzung

war f ist stetig differenzierbar. Und dann kommt das Matrixinvertieren und das Matrixinvertieren, dass das stetig ist, weil Lema 14 sieht. So, damit ist der sechste Akt tatsächlich endgültig zu Ende. Und wir haben jetzt gezeigt, wir haben eine Umgebung u gefunden,

wir haben eine Umgebung v gefunden, sodass das f da ein Diffirmapher ist. So, und jetzt warten alle auf den befreienden Kasten und dann sage ich nein, wir haben keinen befreienden Kasten, ich weiß nicht, ob Sie es auch schon vergessen haben, ich hätte es gern vergessen, wir sind noch im Spezialfall. Der Spezialfall ist insofern

jetzt aufzuhören, ein bisschen blöd, weil die meisten, also die Funktionen, die sich daran halten, sind nicht so arg viele. Außerdem will man ja nicht immer nur Gleichungen lösen, deren Lösungen klein sind. Manchmal dürfen die Lösungen auch ein bisschen größer sein. Wir müssen da schon noch hin. Das ist das Finale von dem Beweis, das braucht mehr als 45 Sekunden, das kann ich Ihnen so sagen. Das nutzt alles

nichts, das müssen wir schieben. Ich dachte mir schon in der letzten Vorlesung, das Fehler war, dass ich die Matrixinversion nicht mehr geschafft habe. Ja, also das Ding ist wirklich, wenn man es ausführlich vorführt, 90 Minuten lang. Ich bringe

nächstes Mal die Folie nochmal mit und dann arbeiten wir uns noch durch das Finale durch. Das Finale ist eben nur noch diesen Spezialfall loszuwerden, durch geschicktes Hin und Her schieben. Da passiert inhaltlich nicht mehr wahnsinnig viel. Ich danke Ihnen heute allen für die lange, lange Aufmerksamkeitsspanne. Das ist so ziemlich eine der anstrengendsten Vorlesungen von der ANA 2. Ich weiß das für uns alle. Insofern jetzt schönen Feierabend

und vielen Dank für die Aufmerksamkeitsspanne.