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Von der Steigung und der Krümmung einer Funktion - Ableiten, Differenzialrechnung

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Die Steigung oder das Gefälle einer Funktion können wir quantifizieren, wenn wir eine Tangente an die Funktion anlegen und den Winkel alpha bezüglich der Horizontalen messen. Eine
alternative Möglichkeit zur Quantifizierung der Steigung ist die Angabe des Tangens dieses Winkels (üblicherweise mit m abgekürzt). In
unserem Beispiel ist der Winkel alpha ungefähr -10°, der Tangens von alpha entspricht 0,18. Auf eine Strecke von 100 m sinkt die Kurve um 18 m ab. Zur Ermittlung der Tangente an eine
Funktion ist eine Grenzwertbetrachtung notwendig. Wir skizzieren zunächst eine Sekante (das ist eine Gerade, welche die Funktion an zwei Punkten schneidet) und ermitteln deren Steigung.
Die beiden Schnittpunkte der Sekante mit der Funktion haben den horizontalen Abstand
delta(x). Wir lassen diesen Abstand delta(x) immer kleiner werden; der Grenzwert der Steigung der Sekante für delta(x) gegen 0 ist die Steigung der Tangente. Mathematisch berechnet sich die Steigung der
Sekante zu: (Funktionswert von (x°+delta(x)) minus Funktionswert von x°) dividiert durch delta(x). Wir bilden den Limes dieses Quotienten für delta(x) gegen
0. Die Steigung der Tangente nennen wir auch (f(Strich) von x) oder (d f von x nach dx) oder (Erste Ableitung von f von x).
Die Ermittlung der Steigung der Tangente nennen wir Differenzieren oder Ableiten.
Die Ableitungen der wichtigsten Funktionen sollte man auswendig
können. Wir betrachten eine Potenzfunktion f von x gleich x hoch n. Die erste Ableitung dieser Funktion ist f Stich von x gleich n mal x hoch n minus 1. Diese Rechenregel gilt für alle
n. Aus der Stammfunktion x Quadrat wird die abgeleitete Funktion 2 x. Aus der Stammfunktion x hoch (minus 2) wird die abgeleitete Funktion minus 2 mal x hoch minus 3. Aus der Stammfunktion x hoch ein halb wird die abgeleitete Funktion ein halb mal x hoch minus ein halb.
Die Ableitung von Sinus (x) ist Cosinus(x); die Ableitung von Cosinus(x) ist minus Sinus(x). Die Ableitung des Tangens(x) ist 1 durch
Cosinus²(x). Besonders einfach ist die Ableitung
der Exponentialfunktion. Aus f von x gleich e hoch x wird f Strich von x gleich e hoch x
(unverändert). Ln x abgeleitet wird 1 durch x. Für die Ableitung komplizierterer Funktionen
gibt es einige nützliche Regeln: Die Faktorregel besagt, dass
wir einen konstanten Faktor C vor die Ableitung ziehen können: (C mal u)´ gleich C mal u`. Eine
Summe wird abgeleitet, indem wir die Summanden separat ableiten:
(u+v)´=u´+v´. Ähnliches gilt für eine Differenz
(u-v)´=u´-v´. Zur Ableitung des Produktes zweier Funktionen u und v gilt folgende Regel: u*v´=u´*v+v´*u. (Zur Verdeutlichung wurden die abgeleiteten Funktionen mit roter Farbe markiert). Für Quotienten zweier Funktionen u und v gilt: (u/v)´=(u´*v-v´*u)/v². Wenn wir zwei Funktionen u und v verketten, wenden wir
die Kettenregel an: (u(v))´= u´(v)*v´. Produktregel,
Quotientenregel und Kettenregel lassen sich auch geometrisch veranschaulichen, wenn wir die Sekantendarstellung verwenden. Die erste
Ableitung (f´(x), blau) entspricht der Steigung der Funktion (f(x),schwarz) . Die zweite Ableitung (f´´(x), grün) entspricht der Krümmung der Funktion f(x). Entsprechend kann man
mit Ableitungen Kurvendiskussionen durchführen. Eine Funktion f(x) hat dort ein Maximum, wo eine horizontale Tangente vorliegt und wo die Krümmung negativ (konkav) ist, d.h. die erste Ableitung f´(x) muss gleich 0 sein und die zweite Ableitung f´´(x) muss negativ sein. Eine Funktion hat dort ein Minimum, wo die erste Ableitung gleich 0 ist (horizontale Tangente) und die Funktion positiv gekrümmt ist (konvex).
(f´(x)=0, f´´(x)>0). Eine Funktion hat dort ihren Wendepunkt, wo die Krümmung gleich 0 ist (2 Ableitung f´´(x) gleich 0). Außerdem darf die dritte Ableitung f´´´(x) nicht
gleich 0 sein. Gegeben ist die Funktion 1/3 x³-2x²+3x. Wir sollen die erste Ableitung bilden. Wir haben hier eine Summe aus Potenzfunktionen. Wir können die Summanden einzeln ableiten: 1/3 x³ wird zu x², (-2x²) wird zu (-4x), und
3x wird zu 3. Die Stammfunktion ist hier in
Schwarz dargestellt; die erste Ableitung ist in blau dargestellt. Wir sehen, dass die
Nullstellen der ersten Ableitung und Extremwerte der Stammfunktion zusammenfallen. Wir bilden
die zweite Ableitung, also f´´(x)=2x-4 und
haben damit ein Maß für die Krümmung der Funktion
f(x). Die zweite Ableitung ist hier grün
dargestellt. Für x=2 ist die Krümmung 0 -- hier hat die Stammfunktion f(x) einen Wendepunkt. Für x<2 ist die Krümmung negativ -- f(x) ist hier konkav. Für x>2 ist die Krümmung positiv -- die Stammfunktion f(x) ist hier konvex.
Die zweite Ableitung kürzen wir entweder mit (f Strich Strich) oder mit (d Quadrat f von x nach d x Quadrat) ab. Der Krümmungsradius
einer Funktion an einem Punkt entspricht dem Kehrwert der zweiten Ableitung. In unserem Beispiel ist an diesem Punkt die Rechtskrümmung
(der „Lenkradausschlag nach rechts") maximal und an diesem Punkt die Linkskrümmung (der „Lenkradausschlag nach links") maximal und an diesem Punkt ist die Krümmung 0 (Wendepunkt). Ableitungen spielen z.B. in der Mess- und
Regeltechnik eine Rolle. Dort wird nicht nur eine Größe gemessen und daraus eine Stellgröße ermittelt; auch die Ableitung dieser Größe wird als Input verwendet zur Berechnung der Stellgröße. Viele Messgeräte bieten nicht nur die
Möglichkeit, ein Signal direkt darzustellen, sondern auch die erste Ableitung des Signales
darzustellen. Dadurch erscheinen Signale oft
deutlicher ausgeprägt. (Zusammenfassung Differentialrechnung) Die erste Ableitung entspricht
der Steigung der Tangente an eine Funktion. Für folgende Funktionen sollte man die Ableitungen auswendig kennen: x hoch n, sin(x), cos(x), e hoch x und ln(x). Außerdem sollte man Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel anwenden können.
Vorlesung/Konferenz
Horizontale
Tangente <Mathematik>
Strecke
Trigonometrische Funktion
Kurve
Winkel
Vorlesung/Konferenz
Quantifizierung
Tangente <Mathematik>
Punkt
Schnittpunkt
Graphische Darstellung
Vorlesung/Konferenz
Mathematik
Quotient
Vorlesung/Konferenz
Tangente <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Tangente <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Sinusfunktion
Ableitungsfunktion
Kosinusfunktion
Trigonometrische Funktion
Quadrat
Stammfunktion
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Trigonometrische Funktion
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Konstante
Faktorisierung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Summe
Summand
Vorlesung/Konferenz
Ähnlichkeitsgeometrie
Ableitungsfunktion
Kettenregel
Quotient
Vorlesung/Konferenz
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Differential
Krümmung
Kettenregel
Differentialrechnung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Maximum
Krümmung
Konvexer Körper
Minimum
Vorlesung/Konferenz
Kurvendiskussion
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Summe
Summand
Krümmung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Wendepunkt
Stammfunktion
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Stammfunktion
Extrempunkt
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Wendepunkt
Krümmung
Ruhmasse
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Krümmung
Stammfunktion
Krümmung
Wendepunkt
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Punkt
Krümmung
Wendepunkt
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Berechnung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Differentialrechnung
Vorlesung/Konferenz
Gravitationsgesetz
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Trigonometrische Funktion
Kettenregel
Differentialrechnung
Vorlesung/Konferenz
Tangente <Mathematik>
Trigonometrische Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von der Steigung und der Krümmung einer Funktion - Ableiten, Differenzialrechnung
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 36
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/17890
Herausgeber Lauth, Günter Jakob
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 07:18

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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