Vom Ableiten (mit Produkt- & Kettenregel) - Übungsaufgaben zur Differentialrechnung

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Formal Metadata

Title
Vom Ableiten (mit Produkt- & Kettenregel) - Übungsaufgaben zur Differentialrechnung
Title of Series
Part Number
37
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
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Differential calculus Lecture/Conference Function (mathematics) Sine Differential calculus
Summation Product (category theory) Differential calculus Lecture/Conference Quotient Factorization
Differential calculus Lecture/Conference Function (mathematics) Chain rule Factorization
Lecture/Conference Exponentiation
Lecture/Conference
Addition Lecture/Conference
Lecture/Conference Factorization
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Binomische Formel Differential calculus Lecture/Conference
Zahl Differential calculus Lecture/Conference
Lecture/Conference Function (mathematics)
Differential calculus Lecture/Conference Chain rule Exterior derivative
Differential calculus Lecture/Conference Exterior derivative
Differential calculus Lecture/Conference Chain rule Exterior derivative
Differential calculus Function (mathematics) Chain rule Exterior derivative
Greatest element Differential calculus Lecture/Conference Maximum (disambiguation)
Differential calculus Lecture/Conference Curve Chain rule
Differential calculus Lecture/Conference
Maxima and minima Differential calculus Lecture/Conference Curve sketching Function (mathematics) Equation Tangent
Point (geometry) Greatest element Differential calculus Lecture/Conference Maximum (disambiguation) Saddle point
Lecture/Conference Maximum (disambiguation) Curve
Lecture/Conference Maximum (disambiguation)
Differential calculus Lecture/Conference Velocity
Differential calculus Lecture/Conference
Metre Lecture/Conference Velocity Square
Harmonische Schwingung Differential calculus Sine Lecture/Conference Velocity
Differential calculus Sine Lecture/Conference Zusammenhang <Mathematik> Curve sketching
Maxima and minima Differential calculus Lecture/Conference
Differential calculus Lecture/Conference Equation Tangent
Maxima and minima Curvature Differential calculus Lecture/Conference Curve Lösung <Mathematik> Equation Differential calculus
Point (geometry) Lecture/Conference Maximum (disambiguation) Curve
Maxima and minima Greatest element Curvature Differential calculus Lecture/Conference Curve
Logical constant Metre Field (mathematics) Greatest element Lecture/Conference Velocity
Lecture/Conference Equation
Differential calculus Lecture/Conference Chain rule
Differential calculus Lecture/Conference
Metre Lecture/Conference
Hier noch einmal das Wichtigste zur Differentialrechnung im Überblick: Sie sollten folgende Ableitungen auswendig kennen: x^n gibt abgeleitet n*x^(n-1) sin(x) ergibt abgeleitet cos(x) cos(x) ergibt abgeleitet -sin(x) e^x bleibt abgeleitet e^x und ln(x) wird abgeleitet 1/x. Zur Ableitung komplizierterer Funktionen gibt es
einige Regeln: - Ein konstanter Faktor kann vor die Ableitung gezogen werden. - Summen oder Differenzen können summandenweise abgeleitet werden. - Für die Ableitung von Produkten gilt die
Produktregel (u * v)´= u´ * v + v´ * u - Für die Ableitung von Quotienten gilt die Quotientenregel (u / v)´= ( u´ * v - v´ * u ) / v² (u / v)´= ( u´ * v - v´ * u ) / v² - und für die
Ableitung von Kompositionen von Funktionen gilt die Kettenregel (u(v))´= u´(v) * v´ (u(v))´= u´(v) * v´ (Übungsaufgaben) Gegeben ist die Funktion f(x)=5x^6; wie lautet die Ableitung?
Hier haben wir einen konstanten Faktor (5) und eine Funktion der Form x^n Aus n^6 wird 6*x^5 Zusammen mit dem konstanten Faktor ergibt sich f´(x)=30*x^5 Gegeben ist die Funktion f(x)=5-te
Wurzel aus x^4 Wie lautet die Ableitung? Wir schreiben zunächst den Wurzelausdruck als Exponenten x^(4/5) Wir haben jetzt wiederum eine Funktion der Form x^n Aus x^(4/5) wird 4/5 * x^(4/5 - 1) oder 4/5 * x^(-1/5) Wir können
die Exponentenschreibweise zurück in die Wurzelschreibweise überführen Wir erhalten dann f´(x)=(4/5)/(5-te Wurzel aus x) Gegeben ist
die Funktion f(x)=Wurzel(x). Wie lautet die Ableitung? Wurzel aus x ist gleich x hoch 1/2, eine Funktion der Form x^n. Aus x^(1/2) wird 1/2 * x^(1/2 - 1) oder 1/2 * x^(-1/2) oder in Wurzel-Schreibweise f´(x)=1/(2*Wurzel(x)) Gegeben ist die Funktion f(x) = -5x^5 + 3x^4 – 7 *(x^0)
Wir können die Summanden separat ableiten Aus x^5 wird 5*x^(5-1) aus x^4 wird 4*x^(4-1)
und aus x^0 wird 0*x^(0-1)=0 Zusammen mit den
konstanten Faktoren ergibt sich f´(x) = -25x^4
+ 12x³ Gegeben ist die Funktion f(x)=5*(4-te Wurzel aus x^6)-3e^x +cos(x) Wir wandeln
zunächst die Wurzelschreibweise in die Exponentenschreibweise um: Aus (4-te Wurzel aus x^6) wird x^(6/4) Jetzt leiten wir summandenweise
ab aus x^(6/4) wird 6/4*x^(6/4 - 1) e^x bleibt e^x und cos(x) wird zu -sin(x) Ausmultipliziert
ergibt sich f´(x)=30/4*x^(2/4) -3*e^x-sin(x) Gegeben ist die Funktion f(x)=(5x^4-3x²+2)*(x³-5x+2)
f(x)=(5x^4-3x²+2)*(x³-5x+2) f(x)=(5x^4-3x²+2)*(x³-5x+2) Wir können diese Aufgabe mit der Produktregel lösen
(uv)´=u´v+v´u Die Funktion u ist die erste Klammer (5x^4-3x²+2) abgeleitet 20x³-6x die Funktion v ist die zweite Klammer (x³-5x+2) v´=3x²-5 Wir wenden die Produktregel an (uv)´=u´v+v´u Wir können auch ausmultiplizieren und zusammenfassen und erhalten
f´(x)=35x^6-140x^4+51x²+40x³+12x-10 f´(x)=35x^6-140x^4+51x²+40x³+12x-10 f´(x)=35x^6-140x^4+51x²+40x³+12x-10
Gegeben ist die Funktion f(x)=cos(x)*sin(x) Wie lautet die Ableitung? Wir können die Lösung mit der Produktregel finden. Wir definieren u als cos(x); u´ wird dann -sin(x); v als sin(x); v´ wird dann cos(x). Die Anwendung der Produktregel ergibt f´(x)=-sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x) f´(x)=-sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x) oder f´(x)=cos²(x)-sin²(x) f´(x)=cos²(x)-sin²(x)
Gegeben ist die Funktion f(x)=5*x*ln(x). Wie lautet die Ableitung? Ein Fall für die
Produktregel. Wir definieren u als 5x; u´ wird dann 5; v als ln(x); v´ wird dann 1/x. Wir wenden die Produktregel an und erhalten f´(x)=5*ln(x)+(1/x)*5x vereinfacht zu f´(x)=5ln(x)+5. Gegeben ist die Funktion f(x)=(6x^6-7x³+1)/(x²+2x+1)
Wir wenden die Quotientenregel an. Wir definieren die Funktion u als (6x^6-7x³+1); die Ableitung u´ wird dann 36x^5-21x² Der Nenner von f(x) ist die Funktion v = (x²+2x+1) und wird abgeleitet v´=2x+2 v´=2x+2 Wir setzen alles in die Formel für die Quotientenregel ein und erhalten diesen Ausdruck. Wir können mit der binomischen Formel zusammenfassen und ausklammern
und erhalten diesen etwas komplizierteren Ausdruck als Lösung für f´(x) Gegeben ist die
Funktion f(x)=x³/ln(x); die Ableitung ist ein Fall für die Quotientenregel. Der Zähler ist u=x³; u´ wird dann 3x²; der Nenner ist v; v´ wird entsprechend 1/x; eingesetzt in die Formel der Quotientenregel und ausmultipliziert ergibt sich f´(x)=x²*(3ln(x)-1)/ln²(x) f´(x)=x²*(3ln(x)-1)/ln²(x) Wir sollen die Funktion f(x)=4*(3x²+2x-1)^4 ableiten. Hier haben wir
offensichtlich zwei Funktionen hintereinander
geschaltet (Komposition von Funktionen) Wir haben
die Funktion v(x) in der Klammer (blau) und wir haben die Funktion u(v) als v^4 (schwarz)
Zur Ableitung wenden wir die Kettenregel an: äußere Ableitung (u´(v)) mal innere Ableitung
(v´(x)). Wir definieren v als 3x²+2x-1 v=3x²+2x-1
wir definieren u als u=4v^4 Die innere Ableitung ist v´=6x+2 die äußere Ableitung ist u´=4*4v³ Das Produkt (äußere Ableitung) mal (innere Ableitung) ergibt f´(x)=4 * 4v³ * (6x+2)
Wir substituieren das v durch (3x²+2x-1) und erhalten die Lösung. Gegeben ist die Funktion
f(x)=2*sin(20t-pi/7) f(x)=2*sin(20t-pi/7) Wir wenden die Kettenregel an zur Ableitung. Die innere Funktion lautet v=20t-pi/7 Die äußere Funktion lautet u(v)=2sin(v) Die innere Ableitung wird v´=20; die äußere Ableitung wird u´(v)=2cos(v). Nach der Kettenregel ergibt sich f´(x)=2cos(v)*20 Wir substituieren das v zurück und erhalten als Lösung f´(x)=40cos(20t-pi/7) f´(x)=40cos(20t-pi/7)
Gegeben ist die Funktion f(x)=3ln(x^4-5x²) Auch hier haben wir eine Verkettung von Funktionen; die Ableitung ergibt
sich nach der Kettenregel Die innere Funktion lautet v=x^4-5x² und die äußere Funktion lautet u(v)=3*ln(v). Die innere Ableitung wird v´=4x³-10x; die äußere Ableitung wird u´(v)=3/v. Nach der Kettenregel ergibt sich dieser Ausdruck als Ableitung; nach Rück-Substitution von v erhalten wir dieses Endergebnis. Wir sollen
die Funktion f(x)=x*e^(-2x) diskutieren, das heißt, wir wollen herausfinden: Wo besitzt diese Funktion ein Maximum ? (bzw. ein Minimum).
Wir bilden zunächst die erste Ableitung der Funktion mit Hilfe der Produktregel. Wir definieren u=x und v=e^(-2x) u´ wird 1; v´ wird
e^(-2x)*(-2) (Kettenregel). Als erste Ableitung ergibt sich nach der Produktregel dieser Ausdruck.
Wir können e^(-2x) ausklammern und erhalten f´(x)=e^(-2x)*(1-2x) f´(x)=e^(-2x)*(1-2x) Bevor wir die Kurve diskutieren, wollen wir noch
die zweite Ableitung bilden. Dazu wenden wir ein weiteres Mal die Produktregel an. Wir definieren u=1-2x und v=e^(-2x) u´ wird zu (-2) v´ wird zu e^(-2x)*(-2) Nach Anwendung der
Produktregel erhalten wir einen Ausdruck, den wir vereinfachen können zu f´´(x)=e^(-2x) * (4x-4) f´´(x)=e^(-2x) * (4x-4) Jetzt folgt die
eigentliche Kurvendiskussion. An Extremwerten von Funktionen wird die erste Ableitung gleich Null. Wir können die entsprechende Gleichung f´(x)=e^(-2x)*(1-2x)=0 nach x auflösen und erhalten als Lösung x=1/2. Bei x=1/2 besitzt die Funktion eine horizontale Tangente. Wenn
wir zwischen den drei Fällen für f´(x)=0
(Maximum, Minimum und Sattelpunkt) unterscheiden wollen, müssen wir diesen x-Wert in die zweite
Ableitung einsetzen. Wir setzen x=1/2 in f´´(x)=e^(-2x)*(4x-4) ein. Am Punkt x=1/2 besitzt die zweite Ableitung den Wert -2/e. Die
zweite Abteilung ist hier negativ (die Kurve ist
negativ gekrümmt = konkav) und besitzt hier offensichtlich ein Maximum. Wir können
abschließend noch den Funktionswert f(x) für x=1/2 ausrechnen. Wir erhalten f(1/2)=1/(2e) f(1/2)=1/(2e) Die Funktion besitzt ein Maximum an der Stelle (1/2 1/2e) (1/2 , 1/2e). Wenn wir einen Gegenstand
fallen lassen, so verändert sich sein Ort mit der Zeit nach folgender Funktion f(x)=a*x²+b*x+c
bzw. s(t)=a*t²+b*t+c Im konkreten Fall ergab sich folgender Orts-Zeit-Funktion s(t)=(1,8m/s²) * t² + (4m/s) * t + (10m) s(t)=(1,8m/s²) * t² + (4m/s) * t + (10m) Die Geschwindigkeit v des Gegenstands ergibt sich als erste Ableitung dieser Funktion nach der Zeit s´(t) (auch mit s(Punkt) abgekürzt) v(t) = 2 *
(1,8m/s²) * t + (4m/s) v(t) = 2 * (1,8m/s²) * t
+ (4m/s) Die Beschleunigung a des Gegenstandes ergibt sich als zweite Ableitung der Funktion
nach der Zeit s´´(t) (auch mit s(Punkt)(Punkt) abgekürzt) a(t) = 2 * (1,8m/s²) Offensichtlich ist die Beschleunigung hier konstant. Wir
berechnen Ort s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a nach 10 Sekunden.
Nach 10 Sekunden hat sich der Gegenstand um s=230 Meter vom Ausgangspunkt entfernt; seine Geschwindigkeit v nach 10 Sekunden beträgt v=40 Meter pro Sekunde und die Beschleunigung a ist nach wie vor konstant mit a=3,6 Meter pro Sekunde Quadrat.
Eine Masse, die an einer Feder befestigt ist, kann eine harmonische Schwingung ausführen. Für
den Ort der Masse als Funktion der Zeit ergibt sich die Funktion f(t)=A*sin(omega*t+phi) f(t)=A*sin(omega*t+phi) Die Geschwindigkeit v der Masse ergibt sich als zweite Ableitung dieser Funktion, also v(t)=f´(t)=omega*A*cos(omega*t+phi) die Beschleunigung a der Masse entspricht
der zweiten Ableitung dieser Funktion a(t)=f´´(t)=-omega²*A*sin(omega*t+phi) Wir sehen, dass zwischen Beschleunigung und Ort der einfache Zusammenhang f´´(t)=-omega²*f(t) besteht. Gegeben ist die Funktion f(x)=x²*e^(-0,5x).
Wir sollen eine Kurvendiskussion durchführen. Wir bilden zunächst die erste Ableitung Wir
definieren u=x² und v=e^(-0,5x) entsprechend ergeben sich u´=2x und v´=(-0,5)*e^(-0,5x) Nach der Produktregel folgt dann für die erste Ableitung f´(x)=e^(-0,5x)*(2x-0,5 x²)
f´(x)=e^(-0,5x)*(2x-0,5 x²) Zur Ermittlung der zweiten Ableitung nutzen wir ein weiteres Mal die Produktregel: Wir definieren u=2x+0,5x² und v=e^(-0,5x) Daraus folgen für u´=2-x und v´=(-0,5)*e^(-0,5x) v´=(-0,5)*e^(-0,5x). Die Anwendung der Produktregel ergibt für f´´(x) f´´(x)=e^(-0,5x)*(2-2x+0,25x²) f´´(x)=e^(-0,5x)*(2-2x+0,25x²) f´´(x)=e^(-0,5x)*(2-2x+0,25x²) Wo liegen die Extremwerte dieser Funktion? Dazu müssen wir die erste
Ableitung gleich 0 setzen (entsprechend einer
horizontalen Tangente) Wir formulieren die entsprechende Gleichung um und erhalten x * (2 - 0,5x)
= 0 Für diese Gleichung gibt es zwei Lösungen: Entweder ist x = 0 (x(1)=0) oder es ist (2 - 0,5x) = 0 in letzterem Fall ist x = 4. (x(2)=4) Wir überprüfen die Krümmung der Kurve an diesen beiden Extremwerten:
Für x=4 ist die zweite Ableitung negativ; die
Kurve ist konkav gekrümmt und besitzt hier ein Maximum. Wir errechnen den Funktionswert f(x)
an der Stelle x=4 und halten fest: Am Punkt (4 16/e²) besitzt die Funktion ein Maximum. Wir
errechnen die Krümmung am zweiten Extremwert bei
x=0. Die zweite Ableitung ist hier positiv, die
Kurve ist hier konvex gekrümmt und besitzt daher an dieser Stelle ein Minimum. Wir errechnen den Funktionswert für x=0 und stellen fest: An der Stelle (0 0) besitzt die Funktion ein
Minimum. Ein Körper A befindet sich zum Zeitpunkt 0 auf der x-Achse bei x= 15 Meter. Er bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von v(A)= -0,5 m/s (Meter pro Sekunde) auf der x-Achse nach links. Der Körper B befindet sich zum Zeitpunkt 0 auf der y-Achse bei y = 12 Meter. Er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v(B) = -0,6 m/s nach unten. Hier sind
die entsprechenden Orts-Zeit-Funktionen Wir können den Abstand d zwischen den beiden Körpern
A und B nach PYTHAGORAS ausrechnen d²=x²+y² Wir setzen für x und für y die entsprechenden
Gleichungen ein und kürzen d² mit z ab. Wir wollen wissen, zu welchem Zeitpunkt der Abstand d
(bzw. z) minimal ist Dazu bilden wir die erste Ableitung der Funktion. Wir benutzen zur
Ableitung zweimal die Kettenregel: Der Klammerausdruck ist u und v(u) ist jeweils u² Wir können
den entstehenden Ausdruck noch zusammenfassen und erhalten z´= 29,4 m²/s - 1,22 m/s² * t Bei
minimalem Abstand ist diese erste Ableitung gleich 0. Entsprechend wird t = 24,1 Sekunden
Wir errechnen z für 24,1 s , ziehen die Wurzel aus dem Ergebnis und erhalten d=3,8 Meter. So
sah die Anfangssituation aus; nach 24,1 Sekunden ist der Abstand der beiden Körper minimal.
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