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Von den Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x) - Grundlagen der Integralrechnung

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Wir können die Integralrechnung nutzen, um eine Fläche (hier mit S gekennzeichnet) zwischen einer Funktionen und der x-Achse in den Grenzen a und b zu ermitteln. Wir sprechen dann von dem "bestimmten Integral". Wir kürzen folgendermaßen ab: Integral von a nach b der Funktion f(x) dx. Wir müssen
zur Berechnung die Stammfunktion F(x) ermitteln, in diese Stammfunktion die beiden Argumente a und b einsetzen und die Differenz F(b)-F(a) bilden. In der Wissenschaft ist es nicht selten,
dass man Flächen unter Kurven ermittelt, etwa bei diesem Gaschromatogramm (GC): Die sog.
Peak-Flächen sind ein Maß dafür, wie viel Analyt vorliegt. Zu einer gegebenen Funktion f(x) (hier blau gezeichnet) gibt es eine unendliche Menge von Stammfunktionen F(x) (rot gezeichnet). Die blaue Funktion ist die Ableitung jeder der roten Funktionen, gibt also
die Steigung der roten Funktionen an. Dort wo die blaue Funktion negative Werte besitzt, (etwa zwischen 3,2 und 6,2) zeigen die roten Funktionen eine negative Steigung. Dort wo die blaue Funktion positive Werte besitzt, (zwischen 0,2 und 3) zeigen die roten Funktionen eine positive Steigung.
Die roten Funktionen unterscheiden sich voneinander nur durch eine Konstante C, der sog. Integrationskonstante. Der
Ausdruck Integral f(x) dx heißt "unbestimmtes Integral" und besitzt als Lösungen die Funktionen F(x)+C. Die wichtigsten Stammfunktionen sollte man auswendig kennen: die Stammformationen für
f(x)=x^n lauten 1/(n+1) * x^(n+1) + C Diese Gleichung gilt für alle
Werte von n Außer für n=(-1).
Für n=(-1) – also die Funktion f(x)=1/x lauten die Stammfunktionen ln(x) + C Die Stammfunktionen des Sinus sind (- cos(x)) + C.
die Stammfunktionen des Cosinus sind sin(x)+C. Die Stammfunktionen
des Tangens sind (-ln cos(x) )+C.
Am einfachsten sind die Stammfunktionen der e-Funktion sie lauten e hoch x plus C. Die Stammfunktionen des natürlichen Logarithmus von x sind x*ln(x)-x+C. Ganz besondere Bedeutung haben die Integrale der GAUSSschen
Glockenkurven in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Funktionen
sind symmetrisch um den Mittelwert f(quer).
Wenn wir das gesamte Integral der Funktion (von minus unendlich bis plus unendlich) zu 100 % setzen, dann liegen in einem Intervall von (f(quer)-s) bis (f(quer)+s) 68 Prozent der Gesamtfläche. (s ist die sog.
Standardabweichung) Wenn wir das Intervall auf (f(quer)-2s) bis
(f(quer)+2s) ausdehnen, liegen schon 95,5 % der Gesamtfläche
im Intervall. und zwischen (f(quer)-3s) und (f(quer)+3s) liegen schon 99,7 % der Gesamtfläche. In der kinetischen Gastheorie
beschreibt die MAXWELL-BOLTZMANN-Gleichung die Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas. Durch Integration dieser Funktion können wir z.B. ermitteln, wie viele Teilchen eine gewisse Mindestgeschwindigkeit besitzen. Für die Integration
komplizierterer Funktionen gibt es einige Regeln: Es gilt die Additionsregel - Integral (u(x)+v(x)) dx = Integral u(x) dx
+ Integral v(x) dx Man hat also summandenweise integrieren. Es
gilt die Faktorregel: Integral (C * u(x) dx) gleich C * Integral (u(x) dx) Einen konstanten
Faktor kann man vor das Integral ziehen.
Häufig kann man sich die Integration durch Substitution erleichtern.
Gegeben ist eine Funktion u(v). Wir wollen das Integral u(v) dx ermitteln. Die Ableitung dv/dx ist v´. Umgestellt
nach dx ergibt sich dx = dv/v´ Eingesetzt in das ursprüngliche Integral haben wir die Integrationsvariable dx durch die Integrationsvariable
dv substituiert. Aus der Produktregel für die Differentiation können wir eine Regel für die Integration ableiten - die sog. partielle Integration: Wenn wir eine Funktion als u(x) *
v´(x) formulieren können, dann gilt Integral (u(x) * v´(x)) gleich u(x) * v(x) minus Integral (u´(x) * v(x)) (Zusammenfassung: Integrationsrechnung) Hier noch einmal das Basis-Handwerkszeug für die Integration: Sie sollten die wichtigsten Stammfunktionen auswendig kennen (die Stammfunktionen von x hoch n, von 1 durch x, von Sinus, Cosinus und Tangens, von e hoch x und ln(x). Sie sollten die Faktorregel, die Substitutionsregel und das partielle Integrieren beherrschen.
Fläche
Integralrechnung
Integral
Bestimmtes Integral
Fläche
Integralrechnung
Integral
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Stammfunktion
Kurve
Flächentheorie
Berechnung
Vorlesung/Konferenz
Fläche
Integralrechnung
Unendliche Menge
Integral
Stammfunktion
Ruhmasse
Stammfunktion
Ableitung <Topologie>
Konstante
Negative Zahl
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Integralrechnung
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Unbestimmtes Integral
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Integral
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Stammfunktion
Vorlesung/Konferenz
Kosinusfunktion
Stammfunktion
Vorlesung/Konferenz
Integralrechnung
Stammfunktion
Wahrscheinlichkeitsrechnung
E-Funktion
Vorlesung/Konferenz
Gauß-Funktion
Natürlicher Logarithmus
Funktion <Mathematik>
Integral
Mittelwert
Vorlesung/Konferenz
Integral
Vorlesung/Konferenz
Standardabweichung
Kinetische Gastheorie
Geschwindigkeitsverteilung
Vorlesung/Konferenz
Geschwindigkeit
Boltzmann-Gleichung
Integralrechnung
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Integral
Integralrechnung
Faktorisierung
Vorlesung/Konferenz
Substitution
Substitution
Integral
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Integral
Integralrechnung
Partielle Integration
Differentiation <Mathematik>
Partielle Integration
Vorlesung/Konferenz
Kosinusfunktion
Stammfunktion
Vorlesung/Konferenz
Integral

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von den Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x) - Grundlagen der Integralrechnung
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 38
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17888
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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