Von den Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x) - Grundlagen der Integralrechnung

621 views

Formal Metadata

Title
Von den Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x) - Grundlagen der Integralrechnung
Title of Series
Part Number
38
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Loading...
INTEGRAL Integral calculus Interface (chemistry) Integral calculus Interface (chemistry) Integral calculus Function (mathematics)
Lecture/Conference Surface Berechnung Curve Parameter (computer programming) Antiderivative
Infinite set Interface (chemistry) Integral calculus Antiderivative Mass Function (mathematics) Antiderivative Derived set (mathematics)
Logical constant Lecture/Conference Negative number Function (mathematics)
Unbestimmtes Integral Lecture/Conference INTEGRAL Integral calculus Lösung <Mathematik> Function (mathematics) Antiderivative Equation
Sine Lecture/Conference Antiderivative
Sine Lecture/Conference Antiderivative Sine
Probability theory Lecture/Conference INTEGRAL Integral calculus Function (mathematics) Antiderivative Exponential function Normal distribution Natürlicher Logarithmus
Lecture/Conference Average INTEGRAL
Standard deviation Lecture/Conference
Kinetische Gastheorie Geschwindigkeitsverteilung Velocity Lecture/Conference Boltzmann equation
Lecture/Conference Integral calculus Function (mathematics)
Lecture/Conference INTEGRAL
Lecture/Conference INTEGRAL Integral calculus Factorization Substitute good Substitute good
Lecture/Conference INTEGRAL Derived set (mathematics)
Integration by parts Lecture/Conference Integral calculus Integration by parts Differential calculus
Sine Lecture/Conference INTEGRAL Antiderivative Sine
Wir können die Integralrechnung nutzen, um eine Fläche (hier mit S gekennzeichnet) zwischen einer Funktionen und der x-Achse in den Grenzen a und b zu ermitteln. Wir sprechen dann von dem "bestimmten Integral". Wir kürzen folgendermaßen ab: Integral von a nach b der Funktion f(x) dx. Wir müssen
zur Berechnung die Stammfunktion F(x) ermitteln, in diese Stammfunktion die beiden Argumente a und b einsetzen und die Differenz F(b)-F(a) bilden. In der Wissenschaft ist es nicht selten,
dass man Flächen unter Kurven ermittelt, etwa bei diesem Gaschromatogramm (GC): Die sog.
Peak-Flächen sind ein Maß dafür, wie viel Analyt vorliegt. Zu einer gegebenen Funktion f(x) (hier blau gezeichnet) gibt es eine unendliche Menge von Stammfunktionen F(x) (rot gezeichnet). Die blaue Funktion ist die Ableitung jeder der roten Funktionen, gibt also
die Steigung der roten Funktionen an. Dort wo die blaue Funktion negative Werte besitzt, (etwa zwischen 3,2 und 6,2) zeigen die roten Funktionen eine negative Steigung. Dort wo die blaue Funktion positive Werte besitzt, (zwischen 0,2 und 3) zeigen die roten Funktionen eine positive Steigung.
Die roten Funktionen unterscheiden sich voneinander nur durch eine Konstante C, der sog. Integrationskonstante. Der
Ausdruck Integral f(x) dx heißt "unbestimmtes Integral" und besitzt als Lösungen die Funktionen F(x)+C. Die wichtigsten Stammfunktionen sollte man auswendig kennen: die Stammformationen für
f(x)=x^n lauten 1/(n+1) * x^(n+1) + C Diese Gleichung gilt für alle
Werte von n Außer für n=(-1).
Für n=(-1) – also die Funktion f(x)=1/x lauten die Stammfunktionen ln(x) + C Die Stammfunktionen des Sinus sind (- cos(x)) + C.
die Stammfunktionen des Cosinus sind sin(x)+C. Die Stammfunktionen
des Tangens sind (-ln cos(x) )+C.
Am einfachsten sind die Stammfunktionen der e-Funktion sie lauten e hoch x plus C. Die Stammfunktionen des natürlichen Logarithmus von x sind x*ln(x)-x+C. Ganz besondere Bedeutung haben die Integrale der GAUSSschen
Glockenkurven in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Funktionen
sind symmetrisch um den Mittelwert f(quer).
Wenn wir das gesamte Integral der Funktion (von minus unendlich bis plus unendlich) zu 100 % setzen, dann liegen in einem Intervall von (f(quer)-s) bis (f(quer)+s) 68 Prozent der Gesamtfläche. (s ist die sog.
Standardabweichung) Wenn wir das Intervall auf (f(quer)-2s) bis
(f(quer)+2s) ausdehnen, liegen schon 95,5 % der Gesamtfläche
im Intervall. und zwischen (f(quer)-3s) und (f(quer)+3s) liegen schon 99,7 % der Gesamtfläche. In der kinetischen Gastheorie
beschreibt die MAXWELL-BOLTZMANN-Gleichung die Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas. Durch Integration dieser Funktion können wir z.B. ermitteln, wie viele Teilchen eine gewisse Mindestgeschwindigkeit besitzen. Für die Integration
komplizierterer Funktionen gibt es einige Regeln: Es gilt die Additionsregel - Integral (u(x)+v(x)) dx = Integral u(x) dx
+ Integral v(x) dx Man hat also summandenweise integrieren. Es
gilt die Faktorregel: Integral (C * u(x) dx) gleich C * Integral (u(x) dx) Einen konstanten
Faktor kann man vor das Integral ziehen.
Häufig kann man sich die Integration durch Substitution erleichtern.
Gegeben ist eine Funktion u(v). Wir wollen das Integral u(v) dx ermitteln. Die Ableitung dv/dx ist v´. Umgestellt
nach dx ergibt sich dx = dv/v´ Eingesetzt in das ursprüngliche Integral haben wir die Integrationsvariable dx durch die Integrationsvariable
dv substituiert. Aus der Produktregel für die Differentiation können wir eine Regel für die Integration ableiten - die sog. partielle Integration: Wenn wir eine Funktion als u(x) *
v´(x) formulieren können, dann gilt Integral (u(x) * v´(x)) gleich u(x) * v(x) minus Integral (u´(x) * v(x)) (Zusammenfassung: Integrationsrechnung) Hier noch einmal das Basis-Handwerkszeug für die Integration: Sie sollten die wichtigsten Stammfunktionen auswendig kennen (die Stammfunktionen von x hoch n, von 1 durch x, von Sinus, Cosinus und Tangens, von e hoch x und ln(x). Sie sollten die Faktorregel, die Substitutionsregel und das partielle Integrieren beherrschen.
Loading...
Feedback

Timings

  446 ms - page object

Version

AV-Portal 3.9.2 (c7d7a940c57b22d0bc6d7f70d6f13fde2ef2d4b8)