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Die Integration ist in wesentlichen die Umkehrung der Ableitung. Folgende Stammfunktionen sollten Sie auswendig können:
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Aus x^n wird 1/(n+1) * x^(n+1) Aus 1/x wird ln(x) Aus sin(x) wird -cos(x) Aus cos(x) wird sin(x) e^x bleibt e^x und die
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Stammfunktion von ln(x) lautet F(x)=x*ln(x)-x
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F(x)=x*ln(x)-x (jeweils um die Integrationskonstante C erweitert) Die
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Integration komplexerer Funktionen kann man sich mit der Substitution und der partiellen Integration vereinfachen. Die
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Differentiation ist die Umkehrung der Integration. Dies können wir am Beispiel f(x)=ln(x) demonstrieren. Die Stammfunktionen von ln(x) lauten F(x)=x*ln(x)-x+C
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Wir leiten diese Funktion mit Hilfe der Produktregel ab: u=x und v= ln(x) Es ergibt sich F´(x)=ln(x) + 1/x * x 1 (ln(x) + 1/x * x) als Ableitung von x*ln(x). (-x) abgeleitet liefert (-1) Tatsächlich ergibt sich als Ableitung der Stammfunktion ln(x). Gesucht ist das Integral von x³-2x²+5 Wir integrieren
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summandenweise: Aus x³ wird 1/4 x^4 Aus -2x² wird -2/3 * x³ und aus 5 wird 5x.
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Als Probe können wir die Stammfunktion ableiten und erhalten tatsächlich die ursprüngliche Funktion. Wenn wir ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen ((Wiederholung)) Wenn wir das bestimmte Integral zwischen den Grenzen x=1 und x=2 ermitteln sollen. ((Wiederholung)) Wenn wir das bestimmte Integral zwischen den Grenzen 1 und 2 ermitteln sollen, müssen wir in die Stammfunktion die beiden x-Werte einsetzen und die Differenz bilden. ((Wiederholung)) Wir wollen das bestimmte Integral zwischen den Grenzen 1 und 2 bilden. Der Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle x=2 ist
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1/4*2^4-2/3*2³+5*2 (=26/3=104/12) der Funktionswert an der Stelle x=1 ist 1/4*1^4-2/3*1³+5*1 (=55/12) ist 1/4*1^4-2/3*1³+5*1 Wir bilden die Differenz und erhalten
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als Endergebnis 49/12 oder 4 1/12. Wir
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sollen die Sinusfunktion zwischen 0 und pi/2 integrieren. Wir setzen die beiden Grenzen in die Stammfunktion ein:
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-cos(pi/2) -(-cos(0)) Der Cosinus von pi/2 (90°) ist 0, der Cosinus von 0 ist 1. Wir erhalten 1 als Ergebnis. Die rot gekennzeichnete Fläche entspricht dem
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Integral 1. Wenn wir den Sinus zwischen
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0 und pi integrieren, ergibt sich entsprechend die doppelte Fläche, nämlich 2. Wenn wir den Sinus zwischen 0 und 2*pi
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integrieren sollen, ergibt sich eine positive Teilfläche (rot) und eine
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negative Teilfläche (grün); insgesamt ist das Integral gleich 0. Wir wollen die
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Funktion sin² integrieren. Wir wandeln die
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Funktion zunächst um. Aus der Trigonometrie wissen wir, dass cos(alpha+beta) = = cos(alpha)*cos(beta) - sin(alpha)*sin(beta) ist. Wenn alpha und beta gleich sind, folgt dann cos(2* alpha) = cos²(alpha) - sin²(alpha) Weiterhin gilt in der Trigonometrie cos²(alpha) + sin²(alpha) = 1 (ergibt sich aus dem PYTHAGORAS) Wenn wir beide Gleichungen kombinieren,
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erhalten wir entweder cos(2*alpha)+1 = 2 cos²(alpha) cos(2*alpha)-1 = -2
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sin²(alpha) Diese Beziehung können wir nach sin²(alpha) auflösen und erhalten sin²(alpha) = (1 - cos(2*alpha)) / 2 Unser
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Ausgangsintegral sin²(x) wird umformuliert zu 1/2 (Integral(1 dx) - Integral(cos(2x)dx)) 1/2 (Integral(1 dx) - Integral(cos(2x)dx)) Die Stammfunktion von 1
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ist x und das Integral cos(2x) schauen wir uns jetzt etwas näher an. Wir lösen das Integral cos(2x) mit Hilfe der Substitutionsregel. Wir substituieren u für
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2x. Dann müssen wir auch dx substituieren; dies geschieht mit der Ableitung du/dx=2, also dx=du/2 dx=du/2. Das Integral cos(2x)dx ist also identisch zum
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Integral 1/2 cos(u)du Integral 1/2 cos(u)du Die Stammfunktion von cos(u) ist -sin(u) Wir können jetzt rück-substituieren,
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ausmultiplizieren und erhalten das Endergebnis 1/2 x - 1/4 sin(2x) 1/2 x -
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1/4 sin(2x) Wir wollen das bestimmte Integral sin²(x) zwischen 0 und pi/2 ermitteln. Wir setzen in die Stammfunktion
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die beiden Grenzen ein sin(pi) und
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sin(0) sind 0. Wir halten also pi/4 als Endergebnis. Die rot gezeichnete Fläche
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entspricht pi/4. Die Integration von sin²(x) zwischen 0 und pi liefert die doppelte
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Fläche, also pi/2. Die Integration von
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sin²(x) zwischen 0 und 2*pi liefert die vierfache Fläche nämlich pi. Wir sollen das bestimmte Integral sin(x)cos(x)dx
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zwischen x=0 und x=pi/2 ermitteln. Wir ersetzen den Cosinus(x) durch die Ableitung des Sinus(x) und substituieren
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sin(x) durch u. Auch die Grenzen werden jetzt entsprechend abgeändert. Wir
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integrieren von u=0 bis u=1 Integral u du Wir setzen die beiden Grenzen in die Stammfunktion 1/2 u² ein und erhalten 1/2.
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Die rot gekennzeichnete Fläche unter der Funktion sin(x)cos(x) besitzt das
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Integral 1/2. Wir können das Integral cos(x)sin(x)dx auch durch partielle
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Integration lösen. Dazu wählen wir cos(x) als f´(x) f´(x)=cos(x) und sin(x)=g(x). Entsprechend ergibt sich f(x)=sin(x) und g´(x)=cos(x). Nach dem Einsetzen in die
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Gleichung für die partielle Integration ergibt sich folgender Ausdruck: In diesem
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Ausdruck kommt zweimal der gleiche Integral-Term vor; wirr fassen diese
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zusammen: 2 * Integral cos(x)sin(x)dx = sin²(x) (zwischen den Grenzen a und e)
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Wir müssen diese Gleichung nur noch durch 2 dividieren und erhalten Integral = 1/2 sin²(x) von 0 bis pi/2. Wir setzen die beiden Grenzen ein: 1/2 sin²(pi/2)
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- 1/2 sin²(0) ergibt 1/2. Ein Fahrzeug
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bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (v°=30 m/s) von links nach rechts. Bei der grün gekennzeichneten Position wird die Bremse betätigt, hierauf erfährt der Pkw eine konstante Verzögerung von 2 Meter pro Sekunde Quadrat. (a=-2 m/s²)
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Für eine beschleunigte Bewegung kennen wir aus der Physik folgende Gleichungen: - Die Geschwindigkeit v ist die erste Ableitung des Ortes s (s(Punkt) oder ds/dt). - Die Beschleunigung a ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit (also dv/dt). Umgekehrt ist die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung (Integral a dt), also v(t) = a*t + v° v(t) = a*t + v° Wenn wir die Ortsfunktion
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s(t) wissen wollen, müssen wir die Geschwindigkeitsfunktion integrieren Integral v(t) dt = Integral (a*t + v°) dt = 1/2 * a * t² + v° * t + s° = 1/2 * a * t² + v° * t + s° Die Anfangsgeschwindigkeit
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des Fahrzeugs beträgt 30 m/s (an der grün gekennzeichneten Stelle). Wie lange
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dauert es, bis das Fahrzeug auch 80 Kilometer pro Stunde abgebremst wurde? Wir lösen die Gleichung für die Geschwindigkeit nach t auf, erhalten t=(v(t)-v°)/a 80 Kilometer pro Stunde ungerechnet in Meter pro Sekunde ergibt 22,22 m/s. Wir setzten die Werte in die Gleichung ein. v(t)=22,22 m/s; v°=30m/s und a=-2m/s²
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Wir erhalten t=3,89 s Nach 3,89 s
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beträgt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs 80 Kilometer pro Stunde. Welche Strecke hat das Fahrzeug zurückgelegt? Dazu setzen will die Zeit t=3,89 s in die
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Gleichung für die Strecke s(t) ein. s(t) = -1/2 * 2m/s² * (3,89s)² + 30m/s * 3,89s s(t) = -1/2 * 2m/s² * (3,89s)² + 30m/s * 3,89s ergibt 101,6 m. Nach welcher
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Zeit hat das Fahrzeug 100 m zurückgelegt? Dazu müssen wir die Orts-Zeit-Gleichung
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nach t auflösen. Es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung - wir
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verwenden die a,b,c-Formel (Mitternachtsformel), um t zu erhalten: t = 3,82 s.
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(Sekunde). Wir werfen einen Gegenstand im Schwerefeld der Erde senkrecht nach
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oben. Die Anfangsgeschwindigkeit des Gegenstands beträgt v°=50 m/s nach oben Die Erdbeschleunigung beträgt (g=) a=-9,81 m/s² Nach welcher Zeit erreicht der
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Gegenstand seine größte Höhe? Wenn wir
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die Geschwindigkeits-Zeit- Gleichung nach t auflösen und v(t) gleich 0 setzen, erhalten wir als Ergebnis t = 5,09 s. Wir setzen diesen Wert in die
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Weg-Zeit-Beziehung ein und erhalten eine Steighöhe s von 127,4 m. Viele Integrale lassen sich durch partielle Integration
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vereinfachen. Wir wollen das Integral x*e^x
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dx lösen durch partielle Integration. Wir setzen u(x)=x Und v´(x)=e^x. Damit
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ergibt sich v(x)=e^x und u´(x)=1. Wir setzen die entsprechenden Funktionen in die Vorschrift für die partielle
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Integration ein und erhalten nur noch das einfachere Integral e^x auf der rechten Seite. Dieses können wir leicht lösen und als Endergebnis ergibt sich e^x *
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(x-1) e^x * (x-1). Nach dem HOOKEschen Gesetz ist die Auslenkung einer Feder s und die dazu notwendige Kraft F direkt
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proportional. F(s) = - D * s D ist die Federkonstante. Die Arbeit, die wir
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benötigen, um eine Feder auszulenken ist - Integral F ds W = - Integral(F(s)ds) ("Arbeit = Kraft mal Weg") Wir setzen für
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F das HOOKEsche Gesetz ein, können die Konstante vor das Integral ziehen und
11:28
insgesamt ergibt sich die Federarbeit zu -1/2 * D * s² W = -1/2 * D * s². Zwei
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wichtige Beziehungen aus der Elektrotechnik lauten R=U/I (Widerstand = Spannung durch Stromstärke) und P=U*I (Leistung = Spannung mal Stromstärke). Wir betrachten einen Wechselstrom I(t)=I°*sin(omega*t)
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(rot) Die Kreisfrequenz omega ist 2*pi*nü und konstant. Die Spannung U
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ist mit der Stromstärke in Phase und lässt sich als U(t)=R*I°*sin(omega*t)
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beschreiben (blau) Entsprechend ist die Leistung dieses Wechselstroms P = U * I
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P = R * I°² * sin²(omega*t) Genau wie sich Stromstärke (rot) und Spannung (blau)
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periodisch ändern, ändert sich auch die Leistung dieses Wechselstroms (grün). Wir können eine mittlere Leistung
12:20
P(quer) definieren (gelb) ((Wiederholung)) Wir können eine mittlere Leistung P(quer) über der Periode T definieren als 1/T Integral P dt von 0 bis T. Das Integral sin²(omega*t) von 0 bis T kennen
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wir schon (es hat den Betrag T/2), entsprechend erhalten wir als mittlere
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Leistung P(quer)=1/2*R*I°² P(quer)=1/2*R*I°² Wir können das Integral (x^n * e^(a*x)
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dx) vereinfachen durch partielle Integration. Dazu wählen wir als v´(x)=e^(a*x) u(x)=x^n (x zur n-ten Potenz)
13:03
u´(x) besitzt dann die um 1 verminderte Potenz (n-1): u´(x) = n * x^(n-1) Ein
13:11
solches Integral, in welchem x zur n-ten Potenz vorkommt, können wir mit partieller Integration zu einem Integral, in welchem x nur noch zur (n-1)-ten Potenz vorkommt, umwandeln. Wenn wir diese
13:23
Prozedur mehrfach durchführen, kommen wir schließlich zur 0-ten Potenz - wir können also den Faktor x eliminieren. Aus dem
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Integral (x² cos(x)) wird auf diese Art und Weise Integral (2x * sin(x)) Aus dem
13:37
Integral (2x * sin(x)) wird auf gleiche Art und Weise das Integral (2 cos(x)).
