Vom einfachen und partiellen Integrieren - Übungsaufgaben zur Integralrechnung

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Formal Metadata

Title
Vom einfachen und partiellen Integrieren - Übungsaufgaben zur Integralrechnung
Title of Series
Part Number
39
Author
Contributors
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Inversion (music) Sine Sine Lecture/Conference Integral calculus Antiderivative Derived set (mathematics)
Antiderivative
Inversion (music) Complex analysis Lecture/Conference Antiderivative Differential calculus Substitute good
Lecture/Conference Antiderivative Derived set (mathematics)
Lecture/Conference Integral calculus Antiderivative
Sine Lecture/Conference Antiderivative
Sine Interface (chemistry) Sine
Sine Sine Lecture/Conference Interface (chemistry)
Trigonometry Beta function Sine Lecture/Conference Nichtlineares Gleichungssystem
Sine Lecture/Conference
Sine Lecture/Conference Antiderivative
Lecture/Conference Antiderivative Derived set (mathematics)
Sine Lecture/Conference Integral calculus Antiderivative
Sine Lecture/Conference Interface (chemistry)
Lecture/Conference Interface (chemistry)
Sine Sine Lecture/Conference Integral calculus Interface (chemistry) Sine Derived set (mathematics)
Sine Sine Antiderivative
Sine Sine Lecture/Conference Interface (chemistry)
Sine Lecture/Conference Integration by parts Equation
Sine Lecture/Conference Equation
Metre Position Lecture/Conference Velocity Physik Square Nichtlineares Gleichungssystem Derived set (mathematics)
Lecture/Conference
Metre Lecture/Conference Velocity Equation
Lecture/Conference Velocity Strecke
Lecture/Conference Equation Strecke
Quadratic equation Lecture/Conference
Lecture/Conference
Lecture/Conference Equation
Lecture/Conference INTEGRAL Integration by parts
Lecture/Conference Integration by parts Function (mathematics)
Lecture/Conference Einfaches Integral
Force Federsteifigkeit Lecture/Conference
Force Logical constant Lecture/Conference
Lecture/Conference
Sine Lecture/Conference
Lecture/Conference
Lecture/Conference Absolute value
Lecture/Conference Integration by parts Exponentiation
Lecture/Conference Exponentiation Integration by parts
Lecture/Conference Exponentiation Factorization
Sine Lecture/Conference
Die Integration ist in wesentlichen die Umkehrung der Ableitung. Folgende Stammfunktionen sollten Sie auswendig können:
Aus x^n wird 1/(n+1) * x^(n+1) Aus 1/x wird ln(x) Aus sin(x) wird -cos(x) Aus cos(x) wird sin(x) e^x bleibt e^x und die
Stammfunktion von ln(x) lautet F(x)=x*ln(x)-x
F(x)=x*ln(x)-x (jeweils um die Integrationskonstante C erweitert) Die
Integration komplexerer Funktionen kann man sich mit der Substitution und der partiellen Integration vereinfachen. Die
Differentiation ist die Umkehrung der Integration. Dies können wir am Beispiel f(x)=ln(x) demonstrieren. Die Stammfunktionen von ln(x) lauten F(x)=x*ln(x)-x+C
Wir leiten diese Funktion mit Hilfe der Produktregel ab: u=x und v= ln(x) Es ergibt sich F´(x)=ln(x) + 1/x * x – 1 (ln(x) + 1/x * x) als Ableitung von x*ln(x). (-x) abgeleitet liefert (-1) Tatsächlich ergibt sich als Ableitung der Stammfunktion ln(x). Gesucht ist das Integral von x³-2x²+5 Wir integrieren
summandenweise: Aus x³ wird 1/4 x^4 Aus -2x² wird -2/3 * x³ und aus 5 wird 5x.
Als Probe können wir die Stammfunktion ableiten und erhalten tatsächlich die ursprüngliche Funktion. Wenn wir ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen ((Wiederholung)) Wenn wir das bestimmte Integral zwischen den Grenzen x=1 und x=2 ermitteln sollen. ((Wiederholung)) Wenn wir das bestimmte Integral zwischen den Grenzen 1 und 2 ermitteln sollen, müssen wir in die Stammfunktion die beiden x-Werte einsetzen und die Differenz bilden. ((Wiederholung)) Wir wollen das bestimmte Integral zwischen den Grenzen 1 und 2 bilden. Der Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle x=2 ist
1/4*2^4-2/3*2³+5*2 (=26/3=104/12) der Funktionswert an der Stelle x=1 ist 1/4*1^4-2/3*1³+5*1 (=55/12) ist 1/4*1^4-2/3*1³+5*1 Wir bilden die Differenz und erhalten
als Endergebnis 49/12 oder 4 1/12. Wir
sollen die Sinusfunktion zwischen 0 und pi/2 integrieren. Wir setzen die beiden Grenzen in die Stammfunktion ein:
-cos(pi/2) -(-cos(0)) Der Cosinus von pi/2 (90°) ist 0, der Cosinus von 0 ist 1. Wir erhalten 1 als Ergebnis. Die rot gekennzeichnete Fläche entspricht dem
Integral 1. Wenn wir den Sinus zwischen
0 und pi integrieren, ergibt sich entsprechend die doppelte Fläche, nämlich 2. Wenn wir den Sinus zwischen 0 und 2*pi
integrieren sollen, ergibt sich eine positive Teilfläche (rot) und eine
negative Teilfläche (grün); insgesamt ist das Integral gleich 0. Wir wollen die
Funktion sin² integrieren. Wir wandeln die
Funktion zunächst um. Aus der Trigonometrie wissen wir, dass cos(alpha+beta) = = cos(alpha)*cos(beta) - sin(alpha)*sin(beta) ist. Wenn alpha und beta gleich sind, folgt dann cos(2* alpha) = cos²(alpha) - sin²(alpha) Weiterhin gilt in der Trigonometrie cos²(alpha) + sin²(alpha) = 1 (ergibt sich aus dem PYTHAGORAS) Wenn wir beide Gleichungen kombinieren,
erhalten wir entweder cos(2*alpha)+1 = 2 cos²(alpha) cos(2*alpha)-1 = -2
sin²(alpha) Diese Beziehung können wir nach sin²(alpha) auflösen und erhalten sin²(alpha) = (1 - cos(2*alpha)) / 2 Unser
Ausgangsintegral sin²(x) wird umformuliert zu 1/2 (Integral(1 dx) - Integral(cos(2x)dx)) 1/2 (Integral(1 dx) - Integral(cos(2x)dx)) Die Stammfunktion von 1
ist x und das Integral cos(2x) schauen wir uns jetzt etwas näher an. Wir lösen das Integral cos(2x) mit Hilfe der Substitutionsregel. Wir substituieren u für
2x. Dann müssen wir auch dx substituieren; dies geschieht mit der Ableitung du/dx=2, also dx=du/2 dx=du/2. Das Integral cos(2x)dx ist also identisch zum
Integral 1/2 cos(u)du Integral 1/2 cos(u)du Die Stammfunktion von cos(u) ist -sin(u) Wir können jetzt rück-substituieren,
ausmultiplizieren und erhalten das Endergebnis 1/2 x - 1/4 sin(2x) 1/2 x -
1/4 sin(2x) Wir wollen das bestimmte Integral sin²(x) zwischen 0 und pi/2 ermitteln. Wir setzen in die Stammfunktion
die beiden Grenzen ein sin(pi) und
sin(0) sind 0. Wir halten also pi/4 als Endergebnis. Die rot gezeichnete Fläche
entspricht pi/4. Die Integration von sin²(x) zwischen 0 und pi liefert die doppelte
Fläche, also pi/2. Die Integration von
sin²(x) zwischen 0 und 2*pi liefert die vierfache Fläche nämlich pi. Wir sollen das bestimmte Integral sin(x)cos(x)dx
zwischen x=0 und x=pi/2 ermitteln. Wir ersetzen den Cosinus(x) durch die Ableitung des Sinus(x) und substituieren
sin(x) durch u. Auch die Grenzen werden jetzt entsprechend abgeändert. Wir
integrieren von u=0 bis u=1 Integral u du Wir setzen die beiden Grenzen in die Stammfunktion 1/2 u² ein und erhalten 1/2.
Die rot gekennzeichnete Fläche unter der Funktion sin(x)cos(x) besitzt das
Integral 1/2. Wir können das Integral cos(x)sin(x)dx auch durch partielle
Integration lösen. Dazu wählen wir cos(x) als f´(x) f´(x)=cos(x) und sin(x)=g(x). Entsprechend ergibt sich f(x)=sin(x) und g´(x)=cos(x). Nach dem Einsetzen in die
Gleichung für die partielle Integration ergibt sich folgender Ausdruck: In diesem
Ausdruck kommt zweimal der gleiche Integral-Term vor; wirr fassen diese
zusammen: 2 * Integral cos(x)sin(x)dx = sin²(x) (zwischen den Grenzen a und e)
Wir müssen diese Gleichung nur noch durch 2 dividieren und erhalten Integral = 1/2 sin²(x) von 0 bis pi/2. Wir setzen die beiden Grenzen ein: 1/2 sin²(pi/2)
- 1/2 sin²(0) ergibt 1/2. Ein Fahrzeug
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (v°=30 m/s) von links nach rechts. Bei der grün gekennzeichneten Position wird die Bremse betätigt, hierauf erfährt der Pkw eine konstante Verzögerung von 2 Meter pro Sekunde Quadrat. (a=-2 m/s²)
Für eine beschleunigte Bewegung kennen wir aus der Physik folgende Gleichungen: - Die Geschwindigkeit v ist die erste Ableitung des Ortes s (s(Punkt) oder ds/dt). - Die Beschleunigung a ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit (also dv/dt). Umgekehrt ist die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung (Integral a dt), also v(t) = a*t + v° v(t) = a*t + v° Wenn wir die Ortsfunktion
s(t) wissen wollen, müssen wir die Geschwindigkeitsfunktion integrieren Integral v(t) dt = Integral (a*t + v°) dt = 1/2 * a * t² + v° * t + s° = 1/2 * a * t² + v° * t + s° Die Anfangsgeschwindigkeit
des Fahrzeugs beträgt 30 m/s (an der grün gekennzeichneten Stelle). Wie lange
dauert es, bis das Fahrzeug auch 80 Kilometer pro Stunde abgebremst wurde? Wir lösen die Gleichung für die Geschwindigkeit nach t auf, erhalten t=(v(t)-v°)/a 80 Kilometer pro Stunde ungerechnet in Meter pro Sekunde ergibt 22,22 m/s. Wir setzten die Werte in die Gleichung ein. v(t)=22,22 m/s; v°=30m/s und a=-2m/s²
Wir erhalten t=3,89 s Nach 3,89 s
beträgt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs 80 Kilometer pro Stunde. Welche Strecke hat das Fahrzeug zurückgelegt? Dazu setzen will die Zeit t=3,89 s in die
Gleichung für die Strecke s(t) ein. s(t) = -1/2 * 2m/s² * (3,89s)² + 30m/s * 3,89s s(t) = -1/2 * 2m/s² * (3,89s)² + 30m/s * 3,89s ergibt 101,6 m. Nach welcher
Zeit hat das Fahrzeug 100 m zurückgelegt? Dazu müssen wir die Orts-Zeit-Gleichung
nach t auflösen. Es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung - wir
verwenden die a,b,c-Formel (Mitternachtsformel), um t zu erhalten: t = 3,82 s.
(Sekunde). Wir werfen einen Gegenstand im Schwerefeld der Erde senkrecht nach
oben. Die Anfangsgeschwindigkeit des Gegenstands beträgt v°=50 m/s nach oben Die Erdbeschleunigung beträgt (g=) a=-9,81 m/s² Nach welcher Zeit erreicht der
Gegenstand seine größte Höhe? Wenn wir
die Geschwindigkeits-Zeit- Gleichung nach t auflösen und v(t) gleich 0 setzen, erhalten wir als Ergebnis t = 5,09 s. Wir setzen diesen Wert in die
Weg-Zeit-Beziehung ein und erhalten eine Steighöhe s von 127,4 m. Viele Integrale lassen sich durch partielle Integration
vereinfachen. Wir wollen das Integral x*e^x
dx lösen durch partielle Integration. Wir setzen u(x)=x Und v´(x)=e^x. Damit
ergibt sich v(x)=e^x und u´(x)=1. Wir setzen die entsprechenden Funktionen in die Vorschrift für die partielle
Integration ein und erhalten nur noch das einfachere Integral e^x auf der rechten Seite. Dieses können wir leicht lösen und als Endergebnis ergibt sich e^x *
(x-1) e^x * (x-1). Nach dem HOOKEschen Gesetz ist die Auslenkung einer Feder s und die dazu notwendige Kraft F direkt
proportional. F(s) = - D * s D ist die Federkonstante. Die Arbeit, die wir
benötigen, um eine Feder auszulenken ist - Integral F ds W = - Integral(F(s)ds) ("Arbeit = Kraft mal Weg") Wir setzen für
F das HOOKEsche Gesetz ein, können die Konstante vor das Integral ziehen und
insgesamt ergibt sich die Federarbeit zu -1/2 * D * s² W = -1/2 * D * s². Zwei
wichtige Beziehungen aus der Elektrotechnik lauten R=U/I (Widerstand = Spannung durch Stromstärke) und P=U*I (Leistung = Spannung mal Stromstärke). Wir betrachten einen Wechselstrom I(t)=I°*sin(omega*t)
(rot) Die Kreisfrequenz omega ist 2*pi*nü und konstant. Die Spannung U
ist mit der Stromstärke in Phase und lässt sich als U(t)=R*I°*sin(omega*t)
beschreiben (blau) Entsprechend ist die Leistung dieses Wechselstroms P = U * I
P = R * I°² * sin²(omega*t) Genau wie sich Stromstärke (rot) und Spannung (blau)
periodisch ändern, ändert sich auch die Leistung dieses Wechselstroms (grün). Wir können eine mittlere Leistung
P(quer) definieren (gelb) ((Wiederholung)) Wir können eine mittlere Leistung P(quer) über der Periode T definieren als 1/T Integral P dt von 0 bis T. Das Integral sin²(omega*t) von 0 bis T kennen
wir schon (es hat den Betrag T/2), entsprechend erhalten wir als mittlere
Leistung P(quer)=1/2*R*I°² P(quer)=1/2*R*I°² Wir können das Integral (x^n * e^(a*x)
dx) vereinfachen durch partielle Integration. Dazu wählen wir als v´(x)=e^(a*x) u(x)=x^n (x zur n-ten Potenz)
u´(x) besitzt dann die um 1 verminderte Potenz (n-1): u´(x) = n * x^(n-1) Ein
solches Integral, in welchem x zur n-ten Potenz vorkommt, können wir mit partieller Integration zu einem Integral, in welchem x nur noch zur (n-1)-ten Potenz vorkommt, umwandeln. Wenn wir diese
Prozedur mehrfach durchführen, kommen wir schließlich zur 0-ten Potenz - wir können also den Faktor x eliminieren. Aus dem
Integral (x² cos(x)) wird auf diese Art und Weise Integral (2x * sin(x)) Aus dem
Integral (2x * sin(x)) wird auf gleiche Art und Weise das Integral (2 cos(x)).
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