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Von Vektoren und ihrem Skalarprodukt - Vektorrechnung Teil 1

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Die Arithmetik beschäftigt sich mit Zahlen; die Geometrie beschäftigt sich zum Beispiel mit Strecken, Geraden und Kreisen und in einem weiteren Bereich der Mathematik geht es um Vektoren. Vektoren will zunächst abstrakte mathematische Konstrukte,
die man sich aber ganz gut als Pfeile vorstellen kann. In der
Vektorrechnung lernen wir, mit diesen Pfeilen zu rechnen - sie zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren. Ein
Vektor ist ein mathematisches Element, welches aus mehreren Komponenten besteht, zum Beispiel aus x- und y-Komponente. Eine
Möglichkeit, einen Vektor a darzustellen, ist die Schreibweise
(a(x), a(y)) Wir formulieren dann folgendermaßen: Der Vektor a (symbolisiert durch einen kleinen Pfeil über dem Symbol) ist gleich ((a(x), a(y)). Wir können den Vektor graphisch als
Pfeil darstellen; die x- und y-Komponenten sehen wir dann auf
den Koordinatenachsen. Unter dem Betrag eines Vektors versteht man anschaulich die Länge des Pfeiles; nach PYTHAGORAS können wir formulieren Wurzel aus (a(x)² + a(y)²) gleich dem Betrag a .
In dieser Darstellung sehen wir zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum. Der rote Vektor hat die Koordinaten -2, - 3, 0 der blaue Vektor hat die Koordinaten -2, 0, +3 Wenn wir zwei Vektoren addieren oder subtrahieren, müssen die einzelnen Komponenten
addieren oder subtrahieren. Die Summe der Vektoren a und
b ergibt einen neuen Vektor mit der x-Komponente a(x)(rot) + a(x)(blau) und der y-Komponente a(y)(rot) + a(y)(blau) Einen
Vektor kann man durch einen Pfeil symbolisieren, aber es ist nicht festgelegt, wo der Fußpunkt dieses Pfeiles liegt. In unserer Abbildung haben wir willkürlich die Fußpunkte der Vektoren in den Ursprung gelegt. Dies ist jedoch nicht zwingend. Wir
können für einen Vektor einen beliebigen Fußpunkt im Raum wählen, ohne dass wir die Darstellung ((a(x), a(y)) ändern. Das
Produkt zweier Vektoren ist etwas komplizierter zu fassen; wir
unterscheiden hier zwei Fälle. Es gibt das Skalarprodukt, welches (wie der Name sagt) einen Skalar, also keinen Vektor darstellt - eine reine Zahl und es gibt das Vektorprodukt
(Kreuzprodukt), welches einen weiteren Vektor darstellt. Wir besprechen zunächst das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt (Vektor a * Vektor b) ist definiert als (a(x),a(y))*(b(x),b(y)) und entspricht einer Zahl, die sich aus den Komponenten wie folgt berechnet: a(x)*b(x) + a(y)*b(y). Die Komponenten werden also zeilenweise
multipliziert und dann die Summe gebildet.
((Wiederholung)) die Komponenten werden also zeilenweise multipliziert und anschließend wird die Summe gebildet.
Geometrisch entspricht dem Skalarprodukt folgender Ausdruck: Betrag von Vektor a mal Betrag von Vektor b mal Cosinus des eingeschlossenen Winkels alpha. Die Skizze zeigt zwei
Vektoren a und b, die in einer Ebene liegen. Ein rechtwinkliges Dreieck mit b als Hypotenuse ist alpha als Winkel ist mit eingezeichnet. Die Ankathete dieses rechtwinkligen Dreiecks entspricht dem Produkt Betrag des Vektors b mal Cosinus(alpha)
Das Skalarprodukt kann man geometrisch als Fläche eines
Rechtecks darstellen. Das Rechteck besitzt als lange Seite den Betrag des Vektors a und als
kurze Seite die Ankathete (hier grün eingezeichnet). Wenn die beiden Vektoren parallel sind, ist das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Beträge der Vektoren ( a * b ) Wenn die beiden
alpha gleich Null, dann verschwindet auch das Skalarprodukt. Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wird der Cosinus von Die Addition von zwei Vektoren lässt sich geometrisch sehr einfach darstellen: wir nehmen den Vektor a verschieben dann den Fußpunkt von Vektor b an die Spitze von Vektor a verbinden dann den Fußpunkt von a und die Spitze von b und erhalten die Summe der beiden Vektoren. Vektor c = Vektor a + Vektor b Wenn
wir das Quadrat von Vektor c nehmen, also das Quadrat von (a
+ b), können wir nach der binomischen Formel umformulieren Quartal des Vektors c gleich Quadrat des Vektors a plus 2 mal Vektor a mal Vektor b plus Quadrat des Vektors b Das Skalarprodukt
Vektor a mal Vektor a entspricht dem Quadrat des Betrages von Vektor a Das Skalarprodukt von Vektor b mal Vektor b entspricht dem Quadrat des Betrages von Vektor b Das Skalarprodukt
a mal b entspricht a mal b mal cos(alpha) Wenn der Winkel alpha ein rechter Winkel ist,
ist der Cosinus von alpha gleich 0 das heißt wir erhalten
c² = a² + b² . Damit haben wir den Satz des PYTHAGORAS hergeleitet.
Gegeben ist ein Vektor a (2 -3) Den Vektor b ( -1 5) und den Vektor c (3 2) Wir sollen die Summe s = a + 2b - 5c ermitteln Wir starten mit dem
Vektor a verschieben den Vektor b an die Spitze von a ergänzen
einen weiteren Vektor b Wir nehmen den Vektor c verschieben
Vektor c an die Spitze unserer Vektorsumme wiederholen den
Vorgang fünfmal verbinden den Start unserer Vektorlinie mit dem Ende der Vektorlinie und erhalten den grünen Vektor als
Ergebnis Wir können das Ergebnis auch rechnerisch ermitteln:
Wir erhalten dann den Vektor s zu (-15, -3) Der Betrag dieses Vektors (die Länge des Pfeiles) ist gleich der Wurzel aus
(-15)² plus (-3)², also der Wurzel aus 234 Viele Größen in der Physik lassen sich als Vektoren darstellen, z.B. Kräfte. Wir
haben hier drei Kräfte F(1), F(2), F(3). Auch die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Hier haben wir
den schiefen Wurf unter dem Winkel alpha dargestellt. Der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit ist v°. Die x-Komponente der
Anfangsgeschwindigkeit ist v° * cos(alpha); die y-Komponente v° * sin(alpha) Der Vektor a (2,1) ist hier rot dargestellt;
der Betrag dieses Vektors (Wurzel(2²+1²)) beträgt Wurzel(5) Der
Vektor b soll der Einheitsvektor der x-Achse sein, hat also die Koordinaten (1, 0). sein Betrag ist definitionsgemäß gleich 1.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren errechnet sich zu 2*1+1*0=2 2*1+1*0=2 Wir können die Gleichung für das Skalarprodukt
umstellen und haben damit eine Möglichkeit, den Winkel alpha zu bestimmen. Es gilt: cos(alpha)=Skalarprodukt(a*b)/( a * b ) cos(alpha)=Skalarprodukt(a*b)/( a * b )
Damit ergibt sich der Winkel alpha als 26,56°.
Man kann 2D-Vektoren auch über ihren Betrag und den Winkel zur x-Achse darstellen. Die x-Komponente des Vektors ist dann
Betrag *cos(alpha) und die y-Komponente ist Betrag *sin(alpha).
Gegeben sind vier Kräfte in einer Ebene, die in dieser Art und Weise dargestellt sind.
Wenn wir alle vier Kräfte vektoriell addieren, erhalten wir die hier violett dargestellte resultierende Kraft Den
resultierenden Vektor können wir auch einfach berechnen Es ergibt sich 179 N als x-Komponenten und 324 N als y-Komponente (179 N 324 N) Der Betrag des Vektors Wurzel aus (179²+324²) = 370 N
Der Winkel alpha zur x-Achse ergibt sich aus der Gleichung cos(alpha) gleich x-Komponente durch Betrag gleich 0,48 Entsprechend ist alpha gleich 61° Hier haben wir drei Vektoren im
dreidimensionalen Raum. Wir sollen die Vektoren in folgender Art und
Weise addieren a + 2b -5c Wir formulieren zunächst ausführlich
unsere Vektorsumme s und addieren jede Komponente, erhalten
schließlich (28 -2 -19) (28 -2 -19) Arbeit ist gleich
Kraft mal Weg. genauer gesagt: das Skalarprodukt der Vektoren
F und s Der eine Vektor ist die Kraft F, der andere Vektor ist die Strecke P(1) nach P(2) ausführlich formuliert: (-10N
2N 5N) mal die Strecke P(1)-P(2), die wir zu (-1m 6m
1m) berechnen. Wir multiplizieren koordinatenweise aus:
(-10N)*(-1m)+(2N)*(6m)+(5N)*(1m) (-10N)*(-1m)+(2N)*(6m)+(5N)*(1m) und erhalten 27 Nm. als Arbeit. Die Arbeit entspricht nur dann (Kraft mal Weg), wenn die beiden Vektoren parallel sind
(also alpha gleich 0° ist) Wenn Kraft und Weg nicht parallel sind,
müssen wir das Skalarprodukt nehmen, so wie in diesem weiteren Beispiel: (-10N -4N -2N) ist die Kraft F die Strecke (-3m 18m 4m) Es ergibt sich eine Arbeit von 30Nm - 72Nm - 8 Nm oder - 50 Nm. Das negative
Vorzeichen der Arbeit bedeutet, diese Arbeit wird abgegeben.
Kreisfläche
Mathematik
Arithmetik
Geometrie
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Vorlesung/Konferenz
Betrag <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Einfach zusammenhängender Raum
Länge
Betrag <Mathematik>
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Summe
Vorlesung/Konferenz
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Summe
Quadrat
Skalarprodukt
Vorlesung/Konferenz
Quadrat
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
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Vektorrechnung
Kosinusfunktion
Rechter Winkel
Vorlesung/Konferenz
Summe
Länge
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Geschwindigkeit
Mathematische Größe
Kraft
Physik
Betrag <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Koordinaten
Betrag <Mathematik>
Besprechung/Interview
Kraft
Betrag <Mathematik>
Besprechung/Interview
Betrag <Mathematik>
Dreidimensionaler Raum
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Skalarprodukt
Kraft
Strecke
Kraft
Kraft
Berechnung
Strecke
Skalarprodukt
Kraft
Vorzeichen <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Vektoren und ihrem Skalarprodukt - Vektorrechnung Teil 1
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 40
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17886
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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