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Von Gleichungen mit mehreren Unbekannten - Wie löst man lineare Gleichungssysteme?

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Wir haben gesehen, dass wir Gleichungen mit einer Ungekannten ("x") oft durch Termumformungen lösen können.
Heute wollen wir Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen. Diese werden mit x(1), x(2), etc. durchnummeriert. Wir beschränken uns auf lineare Gleichungen, d.h.
unsere Unbekannten x werden maximal den Exponenten 1 tragen. Die
Funktion y = m*x + b (die Geradenfunktion) kann in gewisser Weise schon als Gleichung mit 2 Unbekannten aufgefasst werden. Wenn wir sowohl x als auch y als Unbekannte auffassen,
und in x(1) und x(2) umbenennen, sehen wir hier schon eine einfache Gleichung mit 2 Unbekannten.
Üblicherweise stellt man diese Gleichung so um, dass auf der rechten Seite eine 0 steht. Ein konkretes Beispiel:
Die Gleichung 2*x(1) - x(2) + 4 = 0 ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
Es gibt unendlich viele Lösungen dieser Gleichung Eine Lösung wäre z.B. die Kombination x(1)=0 und x(2)=4. Eine weitere Lösung wäre x(1)=-2 und x(2)=0. Alle Lösungen der Gleichung liegen auf einer Geraden (blau gezeichnet). Alle Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten
lassen sich als Punkte auf einer Geraden visualisieren. Wenn wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten haben, z.B. -x(1) - x(2) + 5 = 0 und 1/2 x(1) - x(2) + 2 = 0 haben wir entsprechend zwei Geraden, die die Lösungsmengen dieser beiden Gleichungen symbolisieren. Alle symbolisiert. Alle Lösungen der "roten" Lösungen der "blauen" Gleichung werden durch die blaue Gerade Gleichung werden durch die rote Gerade symbolisiert.
Am Schnittpunkt der beiden Geraden, am Punkt (2 3) sind beide Gleichungen wahr.
x(1)=2, x(2)=3, das ist die Lösung des Gleichungssystems. 3x(1) + 2x(2)
+ x(3) = 7 Das ist eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten.
Alle Lösungen dieser Gleichung liegen auf einer Ebene im Raum (hier rot gekennzeichnet) Bei mehreren Gleichungen mit drei Unbekannten
haben wir mehrere Ebenen im Raum.
An den Schnittgeraden bzw. Schnittpunkten dieser Ebenen sind mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Wie können wird die Lösung eines linearen Gleichungssystems finden? Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine davon ist das
Beim Gleichsetzungsverfahren lösen wir jede Gleichung nach derselben Variablen auf und setzen beide Gleichungen gleich. Auf diese Art und Weise erhalten wir eine Gleichung, die eine
Variable weniger enthält als die ursprünglichen Gleichungen. Durch
Äquivalenzumformungen können wir dann die Lösung erhalten. In unserem Beispiel wird x(2)=3
Eingesetzt in eine der oberen Gleichung liefert x(1) = 2.
Ein weiteres Verfahren ist das Einsetzungsverfahren. Wir lösen eine Gleichung nach x(1) auf und setzten diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. Auf diese Art und Weise haben wir die Anzahl der Variablen reduziert. Wir können dann durch Termumformungen x(2) berechnen. Wir erhalten identische Lösungen. Ein ganz besonderes
Verfahren ist das Additionsverfahren Dabei addieren wir geschickt Gleichungen, so dass eine Variable wegfällt. In unserem Beispiel müssen wir die Gleichung gar nicht modifizieren, sondern können direkt beide Gleichungen addieren. Die Summe der beiden Gleichungen enthält eine Variable weniger. Nach Äquivalenzumformungen erhalten wir
auch hier die Lösungen x(1) = 2 und x(2) = 3. In den meisten Fällen
müssen wir die Gleichungen, bevor wir sie addieren, in geschickter Weise modifizieren (etwa durch Multiplikation oder Division mit einem Faktor) In der Chemie ist es
wichtig, dass die Reaktionsgleichungen stöchiometrisch korrekt sind.
Ammoniak verbrennt z.B. mit Sauerstoff zu Stickoxid und Wasser. Die hier gezeigte Gleichung ist jedoch stöchiometrisch nicht abgeglichen: Links und rechts sind unterschiedliche Mengen an Wasserstoffatomen und Sauerstoffatomen vorhanden. Die
stöchiometrisch richtige Gleichung können wir zunächst mit vier Unbekannten x(1), x(2), x(3) und x(4) formulieren und wir können folgende Beziehungen zwischen den Unbekannten aufstellen: Weil links
und rechts der Gleichung identische Anzahl Stickstoffatome vorhanden sein müssen muss x(1) = x(3) sein. Weil links und rechts die gleiche
Anzahl Wasserstoffatome vorliegen müssen, ist 3 x(1) gleich 2 x(4)
Weil links und rechts die gleiche Anzahl Sauerstoffatome vorliegen müssen, ist 2 x(2) gleich x(3) plus x(4) Wir haben für unsere vier
Unbekannten jetzt drei Gleichungen. Das reicht noch nicht zur eindeutigen Festlegung aller Variablen. Wir können jedoch x(1) zunächst auf 1 fixieren. Wie können wir dieses
lineare Gleichungssystem mit vier unbekannten lösen? Hierfür hat der berühmte Mathematiker GAUß ein Lösungsverfahren entwickelt: Wir bringen zunächst alle Gleichungen in eine einheitliche Form, in der
nur auf der linken Seite die Variablen stehen. Aus x(1)=1 wird 1 x(1) + 0 x(2) + 0 x(3) + 0 x(4) = 1 aus x(1) = x(3) wird 1 x(1) + 0 x(2) - 1 x(3) + 0 x(4) = 0 und so weiter. Man kann sich die Schreibarbeit vereinfachen, wenn
man das Gleichungssystem in einer Matrix-Schreibweise formuliert. In
dieser Schreibweise entsprechen die ersten vier Spalten den Faktoren vor den Variablen. Beim GAUß-Verfahren formt man jetzt die Gleichungen so
lange um, wenn in jeder Zeile nur noch eine Variable steht. In der ersten Zeile x(1), in der zweiten Zeile x(2), in der dritten Zeile x(3), in der vierten Zeile x(4) Das
macht sich dann in der Matrix-Schreibweise dadurch bemerkbar, das in den ersten vier Spalten nur noch jeweils eine 1 steht und zwar auf einer Diagonalen. Wenn wir diese
Umformungen durchgeführt haben, stehen in der rechten Spalte die Lösungen für x(1) bis x(4). Für die Umformung der GAUßschen Matrix in
die Diagonalenform gelten folgende Regeln: - Zeilen dürfen vertauscht werden. - Zeilen dürfen mit einer Zahl multipliziert werden. - Zeilen dürfen addiert werden. Wie kommen wir von unserer Ausgangs-Matrix
zur Diagonalenform? Die erste Zeile passt schon optimal in die
Diagonalenform. Wir ziehen jetzt die erste Zeile von der zweiten Zeile
ab (und schreiben in die zweite Zeile das Ergebnis) Jetzt nehmen wir die dritte Zeile und ziehen davon dreimal die erste Zeile ab;
wir erhalten dann (als Ergebnis in der dritten Zeile)
Die vierte Zeile dividieren wir durch 2
Wir vertauschen einige Zeilen.
Wir subtrahieren die Hälfte von der Zeile drei von Zeile II
Wir multiplizieren Zeile III mit (-1) und dann subtrahieren wir ein Viertel der vierten Zeile von der zweiten Zeile.
Schließlich dividieren wir Zeile IV durch (-2) und erhalten
unsere Lösung: x(1)=1; x(2)=1,25; x(3)=1; x(4)=1,5
1 NH3 + 1,25 O2 -> 1 NO + 1,5 H2O In der Chemie ist es üblich, dass man gebrochene Umsatzzahlen vermeidet. Wir multiplizieren die Gleichung mit 4 und erhalten dann 4 NH3 + 5 O2 -> 4 NO + 6 H2O Die Gleichung beschreibt übrigens das wichtige OSTWALD-Verfahren zur Ammoniak-Verbrennung zur Herstellung von Salpetersäure.
Das GAUß-Verfahren ist ganz universell anwendbar; wir können damit z.B. die Ströme in einem komplizierteren
Stromkreis ermitteln. Wir haben drei Widerstände. R(2) und R(3) sind parallel geschaltet, R(1) ist in Reihe geschaltet. Wir können
das OHMsche Gesetz für alle drei Widerstände formulieren. drei wie der Stelle definieren U = R * I Wenn wir die KIRCHHOFFschen Gesetze
(Maschen- und Knotenregel) anwenden, erhalten wir folgende Gleichungen: I(1) = I(2) + I(3) U(1) + U(2) = U Wir formulieren mit Hilfe der OHMschen Gesetze um und erhalten schließlich drei Gleichungen mit drei Unbekannten I(1), I(2) und I(3)
Wir bringen die drei Gleichungen in die GAUßsche Standardform.
I(1) - I(2) - I(3) = 0 R(1)I(1) + R(2)I(2) + 0I(3) = U R(1)I(1) + 0I(2) + R(2)I(3) = U
Hier unter Verwendung der Matrixschreibweise formuliert
GAUßschen Algorithmus für beliebige Spannungen U und Widerstände R(1) R(2) R(3) die Stromstärken ermitteln.
Wenn wir ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten haben, können wir die Lösung graphisch ermitteln - bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten etwa als Schnittpunkt von drei Ebenen im Raum.
Bei einfachen Gleichungssystemen kann das Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren zum Einsatz kommen. Bei komplexeren Gleichungssystemen hat sich das Additionsverfahren - vor allem in Form des GAUßschen Verfahrens etabliert.
Wir bringen unser Gleichungssystem in eine Matrixform,
wandeln dann die Matrix (unter Zuhilfenahme der GAUßschen Regeln) so lange um, bis wir eine Art Einheitsmatrix erhalten (bei der nur noch 1en in der Diagonalen stehen). Die Matrix auf der rechten Seite
(b(1), b(2), b(3)) ist dann die Lösung des Gleichungssystems.
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Termumformung
Variable
Exponent
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Lösung <Mathematik>
Variable
Vorlesung/Konferenz
Lineare Gleichung
Gleichung
Gerade
Lösung <Mathematik>
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Gleichung
Lösungsraum
Punkt
Schnittpunkt
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Ebene
Lösung <Mathematik>
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Ebene
Schnittpunkt
Gleichungssystem
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Gleichung
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Lösung <Mathematik>
Berechnung
Vorlesung/Konferenz
Termumformung
Gleichung
Lösung <Mathematik>
Summe
Addition
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Gleichung
Summengleichung
Multiplikation
Faktorisierung
Vorlesung/Konferenz
Division
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Gauss <Rechenmaschine>
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Faktorisierung
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Lösung <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vorlesung/Konferenz
Termumformung
Diagonale <Geometrie>
Zahl
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz
Strom <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Strömungswiderstand
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Gauß-Algorithmus
Vorlesung/Konferenz
Strömungswiderstand
Ebene
Variable
Schnittpunkt
Gleichungssystem
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Matrizenmultiplikation
Vorlesung/Konferenz
Diagonale <Geometrie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Gleichungen mit mehreren Unbekannten - Wie löst man lineare Gleichungssysteme?
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 35
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17885
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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