Wir haben gesehen, dass wir Gleichungen mit einer Ungekannten ("x") oft durch Termumformungen lösen können. Heute wollen wir Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen. Diese werden mit x(1), x(2), etc. durchnummeriert. Wir beschränken uns auf lineare Gleichungen, d.h. unsere Unbekannten x werden maximal den Exponenten 1 tragen. Die

Funktion y = m*x + b (die Geradenfunktion) kann in gewisser Weise schon als Gleichung mit 2 Unbekannten aufgefasst werden. Wenn wir sowohl x als auch y als Unbekannte auffassen, und in x(1) und x(2) umbenennen, sehen wir hier schon eine einfache

Gleichung mit 2 Unbekannten. Üblicherweise stellt man diese Gleichung so um, dass auf der rechten Seite eine 0 steht. Ein konkretes Beispiel: Die Gleichung 2*x(1) - x(2) + 4 = 0 ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten.

Es gibt unendlich viele Lösungen dieser Gleichung Eine Lösung wäre z.B. die Kombination x(1)=0 und x(2)=4. Eine weitere Lösung wäre x(1)=-2 und x(2)=0. Alle Lösungen der Gleichung liegen auf einer Geraden (blau gezeichnet). Alle Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten

lassen sich als Punkte auf einer Geraden visualisieren. Wenn wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten haben, z.B. -x(1) - x(2) + 5 = 0 und 1/2 x(1) - x(2) + 2 = 0 haben wir entsprechend zwei Geraden, die

die Lösungsmengen dieser beiden Gleichungen symbolisieren. Alle symbolisiert. Alle Lösungen der "roten" Gleichung werden durch die rote Gerade symbolisiert. Lösungen der "blauen" Gleichung werden durch die blaue Gerade Am Schnittpunkt der beiden Geraden, am Punkt (2 3) sind beide Gleichungen wahr.

x(1)=2, x(2)=3, das ist die Lösung des Gleichungssystems. 3x(1) + 2x(2) + x(3) = 7 Das ist eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten. Alle Lösungen dieser Gleichung liegen auf einer Ebene im Raum (hier

rot gekennzeichnet) Bei mehreren Gleichungen mit drei Unbekannten haben wir mehrere Ebenen im Raum. An den Schnittgeraden bzw. Schnittpunkten dieser Ebenen sind mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Wie können wird die Lösung eines linearen Gleichungssystems finden?

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine davon ist das Beim Gleichsetzungsverfahren lösen wir jede Gleichung nach derselben Variablen auf und setzen beide Gleichungen gleich. Auf diese Art und Weise erhalten wir eine Gleichung, die eine

Variable weniger enthält als die ursprünglichen Gleichungen. Durch Äquivalenzumformungen können wir dann die Lösung erhalten. In unserem Beispiel wird x(2)=3 Eingesetzt in eine der oberen Gleichung liefert x(1) = 2. Ein weiteres Verfahren ist das Einsetzungsverfahren.

Wir lösen eine Gleichung nach x(1) auf und setzten diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. Auf diese Art und Weise haben wir die Anzahl der Variablen reduziert. Wir können dann durch Termumformungen x(2) berechnen. Wir erhalten identische Lösungen. Ein ganz besonderes Verfahren ist das Additionsverfahren Dabei addieren wir geschickt

Gleichungen, so dass eine Variable wegfällt. In unserem Beispiel müssen wir die Gleichung gar nicht modifizieren, sondern können direkt beide Gleichungen addieren. Die Summe der beiden Gleichungen enthält eine Variable weniger. Nach Äquivalenzumformungen erhalten wir

auch hier die Lösungen x(1) = 2 und x(2) = 3. In den meisten Fällen müssen wir die Gleichungen, bevor wir sie addieren, in geschickter Weise modifizieren (etwa durch Multiplikation oder Division mit einem Faktor) In der Chemie ist es wichtig, dass die Reaktionsgleichungen stöchiometrisch korrekt sind.

Ammoniak verbrennt z.B. mit Sauerstoff zu Stickoxid und Wasser. Die hier gezeigte Gleichung ist jedoch stöchiometrisch nicht abgeglichen: Links und rechts sind unterschiedliche Mengen an Wasserstoffatomen und Sauerstoffatomen vorhanden. Die stöchiometrisch richtige Gleichung können wir zunächst mit vier

Unbekannten x(1), x(2), x(3) und x(4) formulieren und wir können folgende Beziehungen zwischen den Unbekannten aufstellen: Weil links und rechts der Gleichung identische Anzahl Stickstoffatome vorhanden sein müssen muss x(1) = x(3) sein. Weil links und rechts die gleiche Anzahl Wasserstoffatome vorliegen müssen, ist 3 x(1) gleich 2 x(4)

Weil links und rechts die gleiche Anzahl Sauerstoffatome vorliegen müssen, ist 2 x(2) gleich x(3) plus x(4) Wir haben für unsere vier Unbekannten jetzt drei Gleichungen. Das reicht noch nicht zur eindeutigen Festlegung aller Variablen. Wir können jedoch x(1) zunächst auf 1 fixieren. Wie können wir dieses

lineare Gleichungssystem mit vier unbekannten lösen? Hierfür hat der berühmte Mathematiker GAUß ein Lösungsverfahren entwickelt: Wir bringen zunächst alle Gleichungen in eine einheitliche Form, in der nur auf der linken Seite die Variablen stehen. Aus x(1)=1 wird 1 x(1) + 0 x(2) + 0 x(3) + 0 x(4) = 1

aus x(1) = x(3) wird 1 x(1) + 0 x(2) - 1 x(3) + 0 x(4) = 0 und so weiter. Man kann sich die Schreibarbeit vereinfachen, wenn

man das Gleichungssystem in einer Matrix-Schreibweise formuliert. In dieser Schreibweise entsprechen die ersten vier Spalten den Faktoren vor den Variablen. Beim GAUß-Verfahren formt man jetzt die Gleichungen so lange um, wenn in jeder Zeile nur noch eine Variable steht. In der

ersten Zeile x(1), in der zweiten Zeile x(2), in der dritten Zeile x(3), in der vierten Zeile x(4) Das macht sich dann in der Matrix-Schreibweise dadurch bemerkbar, das in den ersten vier Spalten nur noch jeweils eine 1 steht und zwar auf einer Diagonalen. Wenn wir diese Umformungen durchgeführt haben, stehen in der rechten Spalte die

Lösungen für x(1) bis x(4). Für die Umformung der GAUßschen Matrix in die Diagonalenform gelten folgende Regeln: - Zeilen dürfen vertauscht werden. - Zeilen dürfen mit einer Zahl multipliziert werden. - Zeilen dürfen addiert werden. Wie

kommen wir von unserer Ausgangs-Matrix zur Diagonalenform? Die erste Zeile passt schon optimal in die Diagonalenform. Wir ziehen jetzt die erste Zeile von der zweiten Zeile ab (und schreiben in die zweite Zeile das Ergebnis) Jetzt nehmen wir die dritte Zeile und ziehen davon dreimal die erste Zeile ab;

wir erhalten dann (als Ergebnis in der dritten Zeile) Die vierte Zeile dividieren wir durch 2 Wir vertauschen einige Zeilen. Wir subtrahieren die Hälfte von der Zeile drei von Zeile II

Wir multiplizieren Zeile III mit (-1) und dann subtrahieren wir ein Viertel der vierten Zeile von der zweiten Zeile. Schließlich dividieren wir Zeile IV durch (-2) und erhalten

unsere Lösung: x(1)=1; x(2)=1,25; x(3)=1; x(4)=1,5 1 NH3 + 1,25 O2 -> 1 NO + 1,5 H2O

In der Chemie ist es üblich, dass man gebrochene Umsatzzahlen vermeidet. Wir multiplizieren die Gleichung mit 4 und erhalten dann 4 NH3 + 5 O2 -> 4 NO + 6 H2O Die Gleichung beschreibt übrigens das wichtige OSTWALD-Verfahren zur Ammoniak-Verbrennung zur Herstellung von Salpetersäure.

Das GAUß-Verfahren ist ganz universell anwendbar; wir können damit z.B. die Ströme in einem komplizierteren Stromkreis ermitteln. Wir haben drei Widerstände. R(2) und R(3) sind parallel geschaltet, R(1) ist in Reihe geschaltet. Wir können das OHMsche Gesetz für alle drei Widerstände formulieren. drei wie der

Stelle definieren U = R * I Wenn wir die KIRCHHOFFschen Gesetze (Maschen- und Knotenregel) anwenden, erhalten wir folgende Gleichungen: I(1) = I(2) + I(3) U(1) + U(2) = U Wir formulieren mit Hilfe der OHMschen Gesetze um und erhalten schließlich drei Gleichungen mit drei Unbekannten I(1), I(2) und I(3)

Wir bringen die drei Gleichungen in die GAUßsche Standardform. I(1) - I(2) - I(3) = 0 R(1)I(1) + R(2)I(2) + 0I(3) = U R(1)I(1) + 0I(2) + R(2)I(3) = U

Hier unter Verwendung der Matrixschreibweise formuliert GAUßschen Algorithmus für beliebige Spannungen U und Widerstände R(1) R(2) R(3) die Stromstärken ermitteln. Wenn wir ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten haben, können wir die Lösung graphisch ermitteln - bei drei

Gleichungen mit drei Unbekannten etwa als Schnittpunkt von drei Ebenen im Raum. Bei einfachen Gleichungssystemen kann das Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren zum Einsatz kommen. Bei komplexeren Gleichungssystemen hat sich

das Additionsverfahren - vor allem in Form des GAUßschen Verfahrens etabliert. Wir bringen unser Gleichungssystem in eine Matrixform, wandeln dann die Matrix (unter Zuhilfenahme der GAUßschen Regeln) so lange um, bis wir eine Art Einheitsmatrix erhalten (bei der nur noch 1en in der Diagonalen stehen). Die Matrix auf der rechten Seite

(b(1), b(2), b(3)) ist dann die Lösung des Gleichungssystems.