Von Gleichungen mit mehreren Unbekannten - Wie löst man lineare Gleichungssysteme?
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Formal Metadata
Title |
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Title of Series | ||
Part Number | 35 | |
Number of Parts | 44 | |
Author | 0000-0002-4319-5413 (ORCID) | |
Contributors | ||
License | CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
Identifiers | 10.5446/17885 (DOI) | |
Publisher | 0000-0002-4319-5413 (ORCID) | |
Release Date | ||
Language |
Content Metadata
Subject Area | |
Genre |
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ZahlEquationSet (mathematics)MathematicsVariable (mathematics)FactorizationDiagonalTermumformungAdditionSummationDivision (mathematics)MultiplicationChemical equationEquationPlane (geometry)SurfaceSchnittpunktLinear equationMatrix (mathematics)Nichtlineares GleichungssystemDrag (physics)Physical lawLösung <Mathematik>Solution setElectric currentModulformZahlExponentiationBerechnungGaussian eliminationSystem of linear equationsLine (geometry)Potenz <Mathematik>GAUSS (software)Lecture/ConferenceMeeting/Interview
Transcript: German
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Wir haben gesehen, dass wir Gleichungen mit einer Ungekannten ("x") oft durch Termumformungen lösen können. Heute wollen wir Gleichungen
mit mehreren Unbekannten lösen. Diese werden mit x(1), x(2), etc. durchnummeriert. Wir beschränken
uns auf lineare Gleichungen, d.h. unsere Unbekannten x werden maximal
den Exponenten 1 tragen. Die
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Funktion y = m*x + b (die Geradenfunktion) kann in gewisser Weise schon
als Gleichung mit 2 Unbekannten aufgefasst werden. Wenn wir sowohl x
als auch y als Unbekannte auffassen, und in x(1) und x(2) umbenennen,
sehen wir hier schon eine einfache
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Gleichung mit 2 Unbekannten. Üblicherweise stellt man diese Gleichung so um, dass auf der rechten Seite
eine 0 steht. Ein konkretes Beispiel: Die Gleichung 2*x(1) - x(2) + 4 = 0 ist
eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
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Es gibt unendlich viele
Lösungen dieser Gleichung Eine Lösung wäre z.B. die Kombination
x(1)=0 und x(2)=4. Eine weitere Lösung wäre x(1)=-2 und x(2)=0. Alle Lösungen der Gleichung liegen
auf einer Geraden (blau gezeichnet). Alle Lösungen einer linearen
Gleichung mit zwei Unbekannten
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lassen sich als Punkte auf einer
Geraden visualisieren. Wenn wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
haben, z.B. -x(1) - x(2) + 5 = 0 und 1/2 x(1) - x(2) + 2 = 0 haben
wir entsprechend zwei Geraden, die
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die Lösungsmengen dieser beiden
Gleichungen symbolisieren. Alle symbolisiert. Alle Lösungen der "roten" Gleichung werden durch die rote
Gerade symbolisiert. Lösungen der "blauen" Gleichung
werden durch die blaue Gerade Am Schnittpunkt der beiden Geraden, am
Punkt (2 3) sind beide Gleichungen wahr.
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x(1)=2, x(2)=3, das ist die Lösung
des Gleichungssystems. 3x(1) + 2x(2) + x(3) = 7 Das ist eine lineare
Gleichung mit drei Unbekannten. Alle Lösungen dieser Gleichung
liegen auf einer Ebene im Raum (hier
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rot gekennzeichnet) Bei mehreren
Gleichungen mit drei Unbekannten haben wir mehrere Ebenen im Raum. An den Schnittgeraden bzw. Schnittpunkten dieser Ebenen sind mehrere
Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Wie können wird die Lösung eines linearen Gleichungssystems finden?
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Dafür gibt es mehrere
Möglichkeiten. Eine davon ist das Beim Gleichsetzungsverfahren lösen wir jede Gleichung
nach derselben Variablen auf und setzen beide Gleichungen gleich. Auf diese Art und Weise erhalten
wir eine Gleichung, die eine
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Variable weniger enthält als die
ursprünglichen Gleichungen. Durch Äquivalenzumformungen können wir dann die Lösung
erhalten. In unserem Beispiel wird x(2)=3 Eingesetzt in eine der oberen
Gleichung liefert x(1) = 2. Ein weiteres Verfahren ist
das Einsetzungsverfahren.
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Wir lösen eine Gleichung nach x(1) auf und setzten
diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. Auf diese Art und Weise haben wir
die Anzahl der Variablen reduziert. Wir können dann durch
Termumformungen x(2) berechnen. Wir erhalten identische
Lösungen. Ein ganz besonderes Verfahren ist das Additionsverfahren
Dabei addieren wir geschickt
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Gleichungen, so dass eine Variable
wegfällt. In unserem Beispiel müssen wir die Gleichung gar nicht
modifizieren, sondern können direkt beide Gleichungen addieren. Die
Summe der beiden Gleichungen enthält eine Variable weniger. Nach
Äquivalenzumformungen erhalten wir
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auch hier die Lösungen x(1) = 2 und
x(2) = 3. In den meisten Fällen müssen wir die Gleichungen, bevor
wir sie addieren, in geschickter Weise modifizieren (etwa durch
Multiplikation oder Division mit einem Faktor) In der Chemie ist es wichtig, dass die Reaktionsgleichungen
stöchiometrisch korrekt sind.
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Ammoniak verbrennt z.B. mit Sauerstoff zu Stickoxid und Wasser. Die
hier gezeigte Gleichung ist jedoch stöchiometrisch nicht abgeglichen: Links und rechts sind unterschiedliche Mengen an Wasserstoffatomen
und Sauerstoffatomen vorhanden. Die stöchiometrisch richtige Gleichung
können wir zunächst mit vier
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Unbekannten x(1), x(2), x(3) und
x(4) formulieren und wir können folgende Beziehungen zwischen den
Unbekannten aufstellen: Weil links und rechts der Gleichung identische
Anzahl Stickstoffatome vorhanden sein müssen muss x(1) = x(3) sein.
Weil links und rechts die gleiche Anzahl Wasserstoffatome vorliegen
müssen, ist 3 x(1) gleich 2 x(4)
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Weil links und rechts die gleiche
Anzahl Sauerstoffatome vorliegen müssen, ist 2 x(2) gleich x(3) plus
x(4) Wir haben für unsere vier Unbekannten jetzt drei Gleichungen. Das reicht noch nicht zur eindeutigen
Festlegung aller Variablen. Wir können jedoch x(1) zunächst auf
1 fixieren. Wie können wir dieses
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lineare Gleichungssystem mit vier
unbekannten lösen? Hierfür hat der berühmte Mathematiker GAUß ein
Lösungsverfahren entwickelt: Wir bringen zunächst alle Gleichungen
in eine einheitliche Form, in der nur auf der linken Seite
die Variablen stehen. Aus x(1)=1 wird 1 x(1) + 0 x(2) + 0 x(3) +
0 x(4) = 1
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aus x(1) = x(3) wird 1 x(1) + 0 x(2)
- 1 x(3) + 0 x(4) = 0 und so weiter. Man kann sich die
Schreibarbeit vereinfachen, wenn
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man das Gleichungssystem in einer
Matrix-Schreibweise formuliert. In dieser Schreibweise entsprechen die
ersten vier Spalten den Faktoren vor den Variablen. Beim GAUß-Verfahren
formt man jetzt die Gleichungen so lange um, wenn in jeder Zeile nur
noch eine Variable steht. In der
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ersten Zeile x(1), in der zweiten
Zeile x(2), in der dritten Zeile x(3), in der vierten Zeile x(4) Das macht sich dann in der Matrix-Schreibweise dadurch bemerkbar, das
in den ersten vier Spalten nur noch jeweils eine 1 steht und zwar auf
einer Diagonalen. Wenn wir diese Umformungen durchgeführt haben,
stehen in der rechten Spalte die
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Lösungen für x(1) bis x(4). Für die
Umformung der GAUßschen Matrix in die Diagonalenform gelten folgende Regeln: - Zeilen dürfen vertauscht werden. - Zeilen dürfen mit einer
Zahl multipliziert werden. - Zeilen dürfen addiert werden. Wie
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kommen wir von unserer Ausgangs-Matrix zur Diagonalenform? Die erste
Zeile passt schon optimal in die Diagonalenform. Wir ziehen jetzt
die erste Zeile von der zweiten Zeile ab (und schreiben in die zweite
Zeile das Ergebnis) Jetzt nehmen wir die dritte Zeile und
ziehen davon dreimal die erste Zeile ab;
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wir erhalten dann (als Ergebnis
in der dritten Zeile) Die vierte Zeile dividieren wir durch 2 Wir vertauschen einige Zeilen. Wir subtrahieren die Hälfte von
der Zeile drei von Zeile II
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Wir multiplizieren
Zeile III mit (-1) und dann subtrahieren wir ein Viertel der
vierten Zeile von der zweiten Zeile. Schließlich dividieren wir
Zeile IV durch (-2) und erhalten
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unsere Lösung: x(1)=1;
x(2)=1,25; x(3)=1; x(4)=1,5 1 NH3 + 1,25 O2 -> 1 NO + 1,5 H2O
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In der Chemie ist es üblich, dass man
gebrochene Umsatzzahlen vermeidet. Wir multiplizieren die Gleichung mit 4 und
erhalten dann 4 NH3 + 5 O2 -> 4 NO + 6 H2O Die Gleichung beschreibt übrigens das wichtige OSTWALD-Verfahren
zur Ammoniak-Verbrennung zur Herstellung von Salpetersäure.
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Das GAUß-Verfahren ist ganz universell anwendbar; wir
können damit z.B. die Ströme in einem komplizierteren Stromkreis ermitteln. Wir haben
drei Widerstände. R(2) und R(3) sind parallel geschaltet, R(1) ist
in Reihe geschaltet. Wir können das OHMsche Gesetz für alle drei
Widerstände formulieren. drei wie der
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Stelle definieren U = R * I Wenn
wir die KIRCHHOFFschen Gesetze (Maschen- und Knotenregel) anwenden,
erhalten wir folgende Gleichungen: I(1) = I(2) + I(3) U(1) + U(2) =
U Wir formulieren mit Hilfe der OHMschen Gesetze um und erhalten schließlich drei
Gleichungen mit drei Unbekannten I(1), I(2) und I(3)
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Wir bringen die drei Gleichungen
in die GAUßsche Standardform. I(1) - I(2) - I(3) = 0 R(1)I(1) + R(2)I(2) +
0I(3) = U R(1)I(1) + 0I(2) + R(2)I(3) = U
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Hier unter Verwendung der
Matrixschreibweise formuliert GAUßschen Algorithmus für beliebige Spannungen U und
Widerstände R(1) R(2) R(3) die Stromstärken ermitteln. Wenn wir ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten
haben, können wir die Lösung graphisch ermitteln - bei drei
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Gleichungen mit drei Unbekannten etwa als Schnittpunkt von
drei Ebenen im Raum. Bei einfachen Gleichungssystemen kann das
Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren zum Einsatz kommen. Bei komplexeren
Gleichungssystemen hat sich
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das Additionsverfahren - vor allem
in Form des GAUßschen Verfahrens etabliert. Wir bringen unser Gleichungssystem
in eine Matrixform, wandeln dann die Matrix (unter
Zuhilfenahme der GAUßschen Regeln) so lange um, bis wir eine Art
Einheitsmatrix erhalten (bei der nur noch 1en in der Diagonalen stehen).
Die Matrix auf der rechten Seite
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(b(1), b(2), b(3)) ist dann die
Lösung des Gleichungssystems.
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