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In quadratischen Gleichungen kommt die Unbekannte (meistens x) zur zweiten Potenz vor (oft als x²). Die graphische Darstellung
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einer quadratischen Gleichung führt zu einer Parabel. Auch
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viele physikalische Phänomene folgen einer quadratischen Gleichung, wie man an dieser Wurfparabel sehen kann. Kenngrößen
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einer Parabel sind der Scheitelpunkt (d e) und die Nullstellen (x(1) 0) und (x(2) 0). Während jede Parabel einen Scheitelpunkt hat, gibt es bei den Nullstellen die Möglichkeiten einer, zwei oder keiner Nullstelle.
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Es gibt drei grundlegende Möglichkeiten, quadratische Gleichungen darzustellen: - Wir haben einmal eine Form, in der der
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Scheitelpunkt (d e) vorkommt. (die Scheitelform) - Wir haben die Normalform y = ax² +bx +c und - wir haben eine Form, in der die Nullstellen
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vorkommen y = a (x - x(1)) (x - x(2)) Alle drei Formen sind
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gleichberechtigt und wir können die eine in die andere Form umwandeln.
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Diese blaue Parabel hat den Scheitelpunkt (5 -9) und die beiden Nullstellen x(1)=2 und x(2)=8 Die Scheitelform
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der Parabel würde also lauten: y = (x - 5)² - 9 Die Nullstellenform würde lauten y = (x - 2) (x - 8) und die Normalform
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würde lauten y = x² - 10 x + 16 y = x² - 10 x + 16 In der klassischen Normalform befinden sich 3 Summanden auf der rechten
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Seite. Der Faktor vor dem x² ist typischerweise eine 1. Den Faktor vor dem x nennen wir p (hier: p=-10) und den Faktor ohne x nennen wir q (hier q=16) Aus den Faktoren p und q können wir die sog. Diskriminante D ausrechnen D = p² - 4*q Wenn D größer ist als Null, besitzt die Parabel 2 Nullstellen;
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falls D gleich Null ist, finden wir nur eine Nullstelle; für D kleiner als Null existiert keine Nullstelle. Wie
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können wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion
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ermitteln? Wir können z.B. unsere Gleichung umformulieren: x² = 10 x 16 Graphisch gesehen entspricht die linke Seite der
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Gleichung eine Normalparabel (blau) und die rechte Seite der Gleichung entspricht einer Geraden (rot) Die Lösung dieser Gleichung entspricht den Schnittpunkten dieser beiden Graphen.
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(in unserem Beispiel bei x(1)=2 und x(2)=8) Die Nullstellen
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lassen sich auch rechnerisch ermitteln: Dazu verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. Wir formulieren die allgemeine Gleichung um und
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wollen aus der linken Seite eine binomische Formel erhalten: dazu muss a identisch sein mit
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x und b ist dann offensichtlich gleich p/2. Wenn wir jetzt (p/2)² ergänzen, erhalten wir eine
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binomische Formel (selbstverständlich muss (p/2)² auch auf der rechten Seite der Gleichung ergänzt werden) Die binomische
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Formel a²+2ab+b² wandeln wir um in die Form (a+b)², also (x + p/2)². Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel. Auf
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der linken Seite steht dann (x+ p/2), auf der rechten Seite
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kann entweder plus Wurzel(p²/4 - q) oder minus Wurzel(p²/4 - q) stehen.
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Wir lösen nach x auf und erhalten die bekannte p,q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung. nicht ein weiter x(1,2) = (- p/2) +- Wurzel(p²/4 - q) x(1,2) = (- p/2) +- Wurzel(p²/4 - q) x(1,2) = (- p/2) +- Wurzel(p²/4 - q)
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Wir können die Nullstellen auch aus der ganz allgemeinen Normalform y=ax²+bx+c ermitteln. Nach Umformen und quadratischer Ergänzung erhalten wir dann
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x(1,2)=((-b)+-Wurzel(b²-4ac))/2a x(1,2)=((-b)+-Wurzel(b²-4ac))/2a x(1,2)=((-b)+-Wurzel(b²-4ac))/2a Weil man sich an diese
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Gleichung zu jeder Tages- und Nachtzeit erinnern können sollte, heißt sie auch Mitternachtsformel.
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Zwei weitere Möglichkeiten dieser a,b,c-Formel sind hier aufgeführt. Wir können die Nullstellen einer
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quadratischen Funktion aus der p,q-Form ermitteln oder aus der Nullstellenform. wenn wir ausmultiplizieren, erhalten wir x²
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- (x*x(1))-(x*x(2))+(x(1)*x(2)) x² - x * (x(1)+x(2)) + (x(1)*x(2)) wir könnten x ausklammern und sehen dann, dass x(1)+x(2)
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identisch ist mit (-p) und x(1)*x(2) identisch ist mit q. Das ist der Satz von VIETA. Mit Hilfe dieses Satzes kann man in einigen Fällen die
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Nullstellen einer quadratischen Funktion sehr schnell ermitteln. (Übungsaufgabe) x²-7x-8=0 Nach VIETA ergeben die beiden Nullstellen addiert (-p) und die beiden Nullstellen multipliziert
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(q). Durch Probieren kann man die Nullstelle x(1)=(-1) leicht
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herausfinden. Die andere Nullstelle können wir nach VIETA
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ausrechnen. Entweder aus dem Produkt x(1)*x(2)=q (dann ist die andere Nullstelle x(2)=(-8)/(-1)=8) oder aus der Summe
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x(1) + x(2) = (-p) (x(2) = 7 - (-1) = 8) In jedem Fall ist
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x(2) = 8. Wenn wir zwei Widerstände R(I) und R(II) parallel schalten, dann addieren sich die Kehrwerte dieser Widerstände zum Kehrwert des Gesamt- Widerstandes Nach den Rechenregeln
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der Bruchrechnung können wir die Summe der Kehrwerte auch auf einen Bruch schreiben. R(I)*R(II) ist der gemeinsame
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Nenner. R(I)*R(II)/(R(I)+R(II)) ist der Gesamtwiderstand.
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(Übungsaufgabe) Der Gesamtwiderstand beträgt 0,375 Ohm und der Widerstand R(II) soll genau 1 Ohm größer sein als der Widerstand R(I). Mit dieser Gleichung können wir den Gesamtwiderstand
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als Funktion von R(I) ausrechnen. Zunächst eliminieren wir den
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Bruchstrich, indem wir mit dem Nenner multiplizieren. Wir erhalten eine quadratische Gleichung 0,75 * R(I) + 0,375 =
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R(I)² + R(I) 0,75 * R(I) + 0,375 = R(I)² + R(I) Wir stellen diese Gleichung um und erhalten nach Multiplikation mit (-1) die Normalform der quadratischen Gleichung. Die Nullstellen können wir mit Hilfe der p,q-Formel
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ermitteln (p=0,25 q= -0,375) Nach dem Einsetzen erhalten wir mathematisch die beiden Lösungen (- 0,125) +- 0,626 Ohm.
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Die beiden Lösungen sind demnach 0,5 Ohm und (- 0,85) Ohm
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Negative Widerstände machen physikalisch keinen Sinn - Der Widerstand R(I) besitzt also 0,5 Ohm Der Widerstand R(II) hat 1 Ohm mehr, also 1,5 Ohm. Wir bleiben bei der Elektrotechnik.
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Bei einer Reihenschaltung von Widerständen addieren sich die
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beiden Einzel-Widerstände R(I) und R(II) zum Gesamtwiderstand. Es gilt das OHMsche Gesetz U=R*I Wir legen 220 Volt an
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unsere Widerstands-Schaltung an, messen einen Strom von 1 Ampere. Unsere Reihenschaltung besitzt demnach einen Gesamtwiderstand von 220 Ohm. Wenn wir dieselben Widerstände parallel
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schalten und 220 Volt anlegen, fließt ein Strom von 4 Ampere; die Parallelschaltung besitzt einen Gesamtwiderstand von 55 Ohm.
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Für eine Parallelschaltung haben wir die folgende Gleichung für den Gesamtwiderstand abgeleitet: R(I)*R(II)/(R(I)+R(II))
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Bei Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand 55 Ohm; bei Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand 220 Ohm. Wir
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können die 220 Ohm in den Nenner der linken Gleichung einsetzen und erhalten dann für das Produkt R(I)*R(II) 12 100 Ohm² (Ohm Quadrat) R(II) ist 220 Ohm minus R(I) (Reihenschaltung)
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Das Produkt R(I)*R(II)
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wird zu R(I)*(220 Ohm - R(I)) R(I)*(220 Ohm - R(I)) = 12 100 Ohm² R(I)*(220 Ohm - R(I)) = 12 100 Ohm² Nach Umformung erhalten wir eine quadratische
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Gleichung R(I)² - R(I) * 220 Ohm + 12 100 Ohm² = 0 R(I)² - R(I) * 220 Ohm + 12 100 Ohm² = 0 R(I)² - R(I) * 220 Ohm + 12 (p = - 220 Ohm; q = 12 100 Ohm²)
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Wir wenden die p,q-Formel an, errechnen
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für R(I) entweder 100 Ohm oder 120 Ohm. R(II) war 220 Ohm minus R(I), also entweder 120
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Ohm oder 100 Ohm. Das heißt, die Kombination, die wir als Lösung erhalten, besteht immer aus 100 Ohm und 120 Ohm für die beiden Einzel-Widerstände. (Zusammenfassung: quadratische
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Gleichungen) Es gibt drei elementare Formulierungen für
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eine quadratische Gleichung: Nullpunktsform, Scheitelform und Normalform. Die Nullstellen einer quadratischen Gleichung können
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wir mit Hilfe der p,q-Formel oder der a,b,c-Formel (Mitternachtsformel) ausrechnen. Mit Hilfe des Satzes von VIETA können wir uns die Berechnung von Nullstellen in einigen Fällen erleichtern: Die Summe der Nullstellen ist p und das Produkt der Nullstellen ist q.
