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Vom Lösen quadratischer Gleichungen - pq-Formel und Mitternachtsformel und der Satz von VIETA

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In quadratischen Gleichungen kommt die Unbekannte (meistens x) zur zweiten Potenz vor (oft als x²). Die graphische Darstellung
einer quadratischen Gleichung führt zu einer Parabel. Auch
viele physikalische Phänomene folgen einer quadratischen Gleichung, wie man an dieser Wurfparabel sehen kann. Kenngrößen
einer Parabel sind der Scheitelpunkt (d e) und die Nullstellen (x(1) 0) und (x(2) 0). Während jede Parabel einen Scheitelpunkt hat, gibt es bei den Nullstellen die Möglichkeiten einer, zwei oder keiner Nullstelle.
Es gibt drei grundlegende Möglichkeiten, quadratische Gleichungen darzustellen: - Wir haben einmal eine Form, in der der
Scheitelpunkt (d e) vorkommt. (die Scheitelform) - Wir haben die Normalform y = ax² +bx +c und - wir haben eine Form, in der die Nullstellen
vorkommen y = a (x - x(1)) (x - x(2)) Alle drei Formen sind
gleichberechtigt und wir können die eine in die andere Form umwandeln.
Diese blaue Parabel hat den Scheitelpunkt (5 -9) und die beiden Nullstellen x(1)=2 und x(2)=8 Die Scheitelform
der Parabel würde also lauten: y = (x - 5)² - 9 Die Nullstellenform würde lauten y = (x - 2) (x - 8) und die Normalform
würde lauten y = x² - 10 x + 16 y = x² - 10 x + 16 In der klassischen Normalform befinden sich 3 Summanden auf der rechten
Seite. Der Faktor vor dem x² ist typischerweise eine 1. Den Faktor vor dem x nennen wir p (hier: p=-10) und den Faktor ohne x nennen wir q (hier q=16) Aus den Faktoren p und q können wir die sog. Diskriminante D ausrechnen D = p² - 4*q Wenn D größer ist als Null, besitzt die Parabel 2 Nullstellen;
falls D gleich Null ist, finden wir nur eine Nullstelle; für D kleiner als Null existiert keine Nullstelle. Wie
können wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion
ermitteln? Wir können z.B. unsere Gleichung umformulieren: x² = 10 x – 16 Graphisch gesehen entspricht die linke Seite der
Gleichung eine Normalparabel (blau) und die rechte Seite der Gleichung entspricht einer Geraden (rot) Die Lösung dieser Gleichung entspricht den Schnittpunkten dieser beiden Graphen.
(in unserem Beispiel bei x(1)=2 und x(2)=8) Die Nullstellen
lassen sich auch rechnerisch ermitteln: Dazu verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. Wir formulieren die allgemeine Gleichung um und
wollen aus der linken Seite eine binomische Formel erhalten: dazu muss a identisch sein mit
x und b ist dann offensichtlich gleich p/2. Wenn wir jetzt (p/2)² ergänzen, erhalten wir eine
binomische Formel (selbstverständlich muss (p/2)² auch auf der rechten Seite der Gleichung ergänzt werden) Die binomische
Formel a²+2ab+b² wandeln wir um in die Form (a+b)², also (x + p/2)². Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel. Auf
der linken Seite steht dann (x+ p/2), auf der rechten Seite
kann entweder plus Wurzel(p²/4 - q) oder minus Wurzel(p²/4 - q) stehen.
Wir lösen nach x auf und erhalten die bekannte p,q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung. nicht ein weiter x(1,2) = (- p/2) +- Wurzel(p²/4 - q) x(1,2) = (- p/2) +- Wurzel(p²/4 - q) x(1,2) = (- p/2) +- Wurzel(p²/4 - q)
Wir können die Nullstellen auch aus der ganz allgemeinen Normalform y=ax²+bx+c ermitteln. Nach Umformen und quadratischer Ergänzung erhalten wir dann
x(1,2)=((-b)+-Wurzel(b²-4ac))/2a x(1,2)=((-b)+-Wurzel(b²-4ac))/2a x(1,2)=((-b)+-Wurzel(b²-4ac))/2a Weil man sich an diese
Gleichung zu jeder Tages- und Nachtzeit erinnern können sollte, heißt sie auch Mitternachtsformel.
Zwei weitere Möglichkeiten dieser a,b,c-Formel sind hier aufgeführt. Wir können die Nullstellen einer
quadratischen Funktion aus der p,q-Form ermitteln oder aus der Nullstellenform. wenn wir ausmultiplizieren, erhalten wir x²
- (x*x(1))-(x*x(2))+(x(1)*x(2)) x² - x * (x(1)+x(2)) + (x(1)*x(2)) wir könnten x ausklammern und sehen dann, dass x(1)+x(2)
identisch ist mit (-p) und x(1)*x(2) identisch ist mit q. Das ist der Satz von VIETA. Mit Hilfe dieses Satzes kann man in einigen Fällen die
Nullstellen einer quadratischen Funktion sehr schnell ermitteln. (Übungsaufgabe) x²-7x-8=0 Nach VIETA ergeben die beiden Nullstellen addiert (-p) und die beiden Nullstellen multipliziert
(q). Durch Probieren kann man die Nullstelle x(1)=(-1) leicht
herausfinden. Die andere Nullstelle können wir nach VIETA
ausrechnen. Entweder aus dem Produkt x(1)*x(2)=q (dann ist die andere Nullstelle x(2)=(-8)/(-1)=8) oder aus der Summe
x(1) + x(2) = (-p) (x(2) = 7 - (-1) = 8) In jedem Fall ist
x(2) = 8. Wenn wir zwei Widerstände R(I) und R(II) parallel schalten, dann addieren sich die Kehrwerte dieser Widerstände zum Kehrwert des Gesamt- Widerstandes Nach den Rechenregeln
der Bruchrechnung können wir die Summe der Kehrwerte auch auf einen Bruch schreiben. R(I)*R(II) ist der gemeinsame
Nenner. R(I)*R(II)/(R(I)+R(II)) ist der Gesamtwiderstand.
(Übungsaufgabe) Der Gesamtwiderstand beträgt 0,375 Ohm und der Widerstand R(II) soll genau 1 Ohm größer sein als der Widerstand R(I). Mit dieser Gleichung können wir den Gesamtwiderstand
als Funktion von R(I) ausrechnen. Zunächst eliminieren wir den
Bruchstrich, indem wir mit dem Nenner multiplizieren. Wir erhalten eine quadratische Gleichung 0,75 * R(I) + 0,375 =
R(I)² + R(I) 0,75 * R(I) + 0,375 = R(I)² + R(I) Wir stellen diese Gleichung um und erhalten nach Multiplikation mit (-1) die Normalform der quadratischen Gleichung. Die Nullstellen können wir mit Hilfe der p,q-Formel
ermitteln (p=0,25 q= -0,375) Nach dem Einsetzen erhalten wir mathematisch die beiden Lösungen (- 0,125) +- 0,626 Ohm.
Die beiden Lösungen sind demnach 0,5 Ohm und (- 0,85) Ohm
Negative Widerstände machen physikalisch keinen Sinn - Der Widerstand R(I) besitzt also 0,5 Ohm Der Widerstand R(II) hat 1 Ohm mehr, also 1,5 Ohm. Wir bleiben bei der Elektrotechnik.
Bei einer Reihenschaltung von Widerständen addieren sich die
beiden Einzel-Widerstände R(I) und R(II) zum Gesamtwiderstand. Es gilt das OHMsche Gesetz U=R*I Wir legen 220 Volt an
unsere Widerstands-Schaltung an, messen einen Strom von 1 Ampere. Unsere Reihenschaltung besitzt demnach einen Gesamtwiderstand von 220 Ohm. Wenn wir dieselben Widerstände parallel
schalten und 220 Volt anlegen, fließt ein Strom von 4 Ampere; die Parallelschaltung besitzt einen Gesamtwiderstand von 55 Ohm.
Für eine Parallelschaltung haben wir die folgende Gleichung für den Gesamtwiderstand abgeleitet: R(I)*R(II)/(R(I)+R(II))
Bei Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand 55 Ohm; bei Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand 220 Ohm. Wir
können die 220 Ohm in den Nenner der linken Gleichung einsetzen und erhalten dann für das Produkt R(I)*R(II) 12 100 Ohm² (Ohm Quadrat) R(II) ist 220 Ohm minus R(I) (Reihenschaltung)
Das Produkt R(I)*R(II)
wird zu R(I)*(220 Ohm - R(I)) R(I)*(220 Ohm - R(I)) = 12 100 Ohm² R(I)*(220 Ohm - R(I)) = 12 100 Ohm² Nach Umformung erhalten wir eine quadratische
Gleichung R(I)² - R(I) * 220 Ohm + 12 100 Ohm² = 0 R(I)² - R(I) * 220 Ohm + 12 100 Ohm² = 0 R(I)² - R(I) * 220 Ohm + 12 (p = - 220 Ohm; q = 12 100 Ohm²)
Wir wenden die p,q-Formel an, errechnen
für R(I) entweder 100 Ohm oder 120 Ohm. R(II) war 220 Ohm minus R(I), also entweder 120
Ohm oder 100 Ohm. Das heißt, die Kombination, die wir als Lösung erhalten, besteht immer aus 100 Ohm und 120 Ohm für die beiden Einzel-Widerstände. (Zusammenfassung: quadratische
Gleichungen) Es gibt drei elementare Formulierungen für
eine quadratische Gleichung: Nullpunktsform, Scheitelform und Normalform. Die Nullstellen einer quadratischen Gleichung können
wir mit Hilfe der p,q-Formel oder der a,b,c-Formel (Mitternachtsformel) ausrechnen. Mit Hilfe des Satzes von VIETA können wir uns die Berechnung von Nullstellen in einigen Fällen erleichtern: Die Summe der Nullstellen ist –p und das Produkt der Nullstellen ist q.
Variable
Exponent
Quadratische Gleichung
Besprechung/Interview
Vorlesung/Konferenz
Graphische Darstellung
Nullstelle
Kennzahl
Physikalisches Phänomen
Vorlesung/Konferenz
Normalform
Quadratische Gleichung
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Homogenes Polynom
Vorlesung/Konferenz
Normalform
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Summand
Normalform
Vorlesung/Konferenz
Faktorisierung
Nullstelle
Diskriminante
Vorlesung/Konferenz
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Quadratische Funktion
Schnittpunkt
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Gerade
Vorlesung/Konferenz
Binomische Formel
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Binomische Formel
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Quadratische Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Normalform
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Nullstelle
Besprechung/Interview
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Quadratische Funktion
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Quadratische Funktion
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Summe
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Strömungswiderstand
Bruchrechnung
Summe
Gleichung
Multiplikation
Normalform
Quadratische Gleichung
Nullstelle
Gleichung
Lösung <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Reihe
Strömungswiderstand
Reihe
Strömungswiderstand
Gleichung
Quadrat
Gleichung
Gleichung
Termumformung
Quadrat
Gleichung
Normalform
Quadratische Gleichung
Nullstelle
Gleichungssystem
Summe
Nullstelle
Berechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Lösen quadratischer Gleichungen - pq-Formel und Mitternachtsformel und der Satz von VIETA
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 34
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17884
Herausgeber Lauth, Günter Jakob
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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