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Von den Umkehrfunktionen von Sinus und Co - geniometrische Gleichungen, Arcussinus und Arcuscosinus

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Title
Von den Umkehrfunktionen von Sinus und Co - geniometrische Gleichungen, Arcussinus und Arcuscosinus
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33
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CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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Publisher
Release Date
2013
Language
German

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Trigonometry Sine Sine Inverse function Angle Lecture/Conference Function (mathematics) Sine
Inverse function Lecture/Conference Trigonometric functions
Inverse function Angle Lecture/Conference Sine Trigonometric functions
Sine Uniqueness quantification Nichtlineares Gleichungssystem Variable (mathematics)
Inverse function Lecture/Conference Equation
Addition Angle Lecture/Conference Equation
Addition Angle Lecture/Conference Equation
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Sinus, Cosinus und Tangens sind Funktionen - zu jedem beliebigen Winkel gibt es genau EINEN Wert für f(x).
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
sind jedoch nicht eindeutig, Die Umkehrfunktionen der
trigonometrischen Funktionen nennt man Arcus-Funktionen - die Umkehrfunktion des Cosinus demnach Arcuscosinus
Eine Umkehrfunktion (blau) ergibt sich durch Spiegelung des Graphen (rot) an der ersten Winkelhalbierenden (schwarz). Man erkennt, dass zu einem Cosinuswert von 1 nicht nur der Winkel 0° gehört, sondern auch der Winkel 360°, der Winkel 720°, usw. Nur wenn wir den
Definitionsbereich einschränken, werden auch Arcusfunktionen eindeutig. Geniometrische Gleichungen sind Gleichungen
wie a=sin(x), bei denen die Variable als Argument einer trigonometrischen Funktion vorkommt. sin(x)=1/2
ist demnach eine einfache geniometrische Gleichung.
Um die Gleichung zu lösen, müssen wir die Umkehrfunktion (Arcussinus) anwenden: Zu einem Sinuswert von 1/2
gehört der Winkel von 30° und der Winkel von 150° sowie unendlich viele weitere Winkel, die sich durch Addition von 360° zu diesem "Grundwinkeln" ergeben.
Allgemein können wir die Lösung der Gleichung sin(x)=1/2 wie folgt formulieren: Der Winkel x(1) ist gleich ein Sechstel pi plus 2*pi*k. (im Bogenmaß) und der Winkel x(2) ist gleich fünf Sechstel pi plus 2*pi*k.
Wenn cos(x)=1/2 sein soll, gibt es die Möglichkeit, dass der Winkel x gleich pi/3 ist oder (minus pi/3) (plus die entsprechende Addition von Vollwinkeln). Eine Lösung der geniometrischen Gleichung
(im Gradmaß) ist demnach 60° (plus k*360°); eine
weitere Lösung ist 300° (plus k*360°). (Aufgabe:)
Cos(phi)=1/2*Wurzel(2) Der Arcuscosinus von 1/2*Wurzel(2) ich entweder 45° oder 315°.
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