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Vom Einheitskreis und wie man daran Sinus und Cosinus abliest - Periodizität der trigonometrischen Funktionen

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Sinus, Cosinus und Tangens sind Funktionen - zu jedem beliebigen Winkel gibt es genau EINEN Wert für f(x). Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
sind jedoch nicht eindeutig, Die Umkehrfunktionen der
trigonometrischen Funktionen nennt man Arcus-Funktionen - die Umkehrfunktion des Cosinus demnach Arcuscosinus
Eine Umkehrfunktion (blau) ergibt sich durch Spiegelung
des Graphen (rot) an der ersten Winkelhalbierenden (schwarz). Man erkennt, dass zu einem Cosinuswert von 1 nicht nur der Winkel 0° gehört, sondern auch der Winkel
360°, der Winkel 720°, usw. Nur wenn wir den Definitionsbereich einschränken, werden auch Arcusfunktionen
eindeutig. Geniometrische Gleichungen sind Gleichungen
wie a=sin(x), bei denen die Variable als Argument einer trigonometrischen Funktion vorkommt. sin(x)=1/2 ist demnach eine einfache geniometrische Gleichung. Um die Gleichung zu lösen, müssen wir die Umkehrfunktion
(Arcussinus) anwenden: Zu einem Sinuswert von 1/2
gehört der Winkel von 30° und der Winkel von 150°
sowie unendlich viele weitere Winkel, die sich durch
Addition von 360° zu diesem "Grundwinkeln" ergeben. Allgemein können wir die Lösung der Gleichung sin(x)=1/2
wie folgt formulieren: Der Winkel x(1) ist gleich ein Sechstel pi plus 2*pi*k. (im Bogenmaß) und der Winkel
x(2) ist gleich fünf Sechstel pi plus 2*pi*k. Wenn cos(x)=1/2 sein soll, gibt es die Möglichkeit, dass der Winkel x gleich pi/3 ist oder (minus pi/3) (plus die entsprechende Addition von Vollwinkeln).
Eine Lösung der geniometrischen Gleichung
(im Gradmaß) ist demnach 60° (plus k*360°); eine weitere Lösung ist 300° (plus k*360°). (Aufgabe:)
Cos(phi)=1/2*Wurzel(2) Der Arcuscosinus von 1/2*Wurzel(2) ich entweder 45° oder 315°.
Kosinusfunktion
Umkehrfunktion
Besprechung/Interview
Trigonometrische Funktion
Funktion <Mathematik>
Kosinusfunktion
Umkehrfunktion
Besprechung/Interview
Trigonometrische Funktion
Umkehrfunktion
Besprechung/Interview
Eindeutigkeit
Gleichungssystem
Sinusfunktion
Variable
Umkehrfunktion
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Sinusfunktion
Addition
Gleichung
Addition
Trigonometrische Funktion
Gleichung
Trigonometrische Funktion
Vorlesung/Konferenz
Sinusfunktion
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Einheitskreis und wie man daran Sinus und Cosinus abliest - Periodizität der trigonometrischen Funktionen
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 32
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17882
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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