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Von Sinus, Cosinus und Tangens, Sinussatz und Cosinussatz - Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

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Title Von Sinus, Cosinus und Tangens, Sinussatz und Cosinussatz - Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Title of Series Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Part Number 31
Author Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors Lauth, Anika (Medientechnik)
License CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI 10.5446/17881
Publisher SciFox
Release Date 2013
Language German

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Subject Area Mathematics
Series
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Transcript
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Mit Hilfe der Trigonometrie (der Dreieckslehre) können wir nicht nur auf der Erde unzugängliche Strecken vermessen: wir können auch im Weltall die Entfernungen zwischen Sternen ermitteln. Sie sehen hier
drei rechtwinklige Dreiecke, die im Winkel alpha übereinstimmen. Damit stimmen sie auch im Winkel beta überein - diese Dreiecke sind alle
ähnlich. Nach dem Strahlensatz sind somit die Seitenverhältnisse des blauen Dreiecks genauso groß wie die Seitenverhältnisse des schwarzen
und roten Dreiecks. Diese Seitenverhältnisse sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens.
Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck. Die lange Seite heißt Hypotenuse; die beiden kurzen Seiten heißen Katheten. Wenn wir den Winkel alpha als Bezugswinkel nehmen, unterscheiden wir die Ankathete (Seite
b) und die Gegenkathete (Seite a). Der Cosinus des Winkels alpha ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Der Sinus von alpha ist das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse. Und der Tangens von alpha ist Gegenkathete zu Ankathete. Bei einem
Dreieck mit der Hypotenusen-Länge 1 ist die Länge der Gegenkathete gleich sin(alpha) und die Länge der Ankathete gleich cos(alpha). Dies
wird besonders deutlich im Einheitskreis: Der Radius des Kreises (mit der Länge 1) entspricht der Hypotenuse beliebiger rechtwinkliger Dreiecke. Wenn wir einen Punkt auf dem
Einheitskreis betrachten, entspricht die x-Koordinate dieses Punktes dem Cosinus von alpha und die y-Koordinate des Punktes entspricht dem Sinus von alpha.
Nach dem Satz von PYTHAGORAS gilt, dass sin²(alpha) plus cos²(alpha) gleich 1 ist. In diesem rechtwinkligen Dreieck hat
die Gegenkathete die Seitenlänge 3 cm und die Ankathete die Seitenlänge 4 cm. Der Cotangens von alpha ist definiert als das Verhältnis Ankathete zu Gegenkathete (=1/tan(alpha)). cot(alpha)=4/3 oder 1,33. Wir betrachten einige spezielle Dreiecke: Ein gleichschenkliges rechtwinkliges
Dreieck besitzt den Winkel alpha gleich beta gleich 45°. Damit errechnet sich nach dem Satz von PYTHAGORAS die Hypotenuse zu Wurzel(2) mal a; der Sinus von 45° ist Wurzel aus Ein halb. Durch Halbieren eines
gleichseitigen Dreiecks erhalten wir zwei rechtwinklige Dreiecke mit alpha gleich 60°. Die Ankathete des rechtwinkligen Dreiecks (1/2
c) ist gleich c mal cos(60°); der cos(60°) ist also 1/2. Den Sinus von 60° erhalten wir mit Hilfe des Satzes von PYTHAGORAS: a² + (c/2)² = c²
Demnach ist a gleich c mal 1/2 Wurzel(3); entsprechend ist sin(60°) = 1/2 Wurzel(3). Man kann sich die trigonometrischen Größen der wichtigen
Winkel 0°, 30°, 45°, 60° und 90° wie folgt merken: Der Sinus von 0° ist Wurzel (0) durch 2. Der Sinus von 30° ist Wurzel (1) durch 2; der Sinus von 45° ist Wurzel (2) durch 2; der Sinus von 60° ist Wurzel (3) durch 2 und der Sinus von 90° ist Wurzel (4) durch 2 (= 1). Wir befinden
uns 500 m von einem Fesselballon entfernt: der Ballon erscheint zunächst unter einem Winkel von 30° zur Erdoberfläche. Nach einer gewissen Zeit sehen wir den Ballon unter einem Winkel von 60° im Bezug zur
Horizontalen. Welche Höhendifferenz hat der Ballon zurückgelegt? Der
Tangens des Betrachtungswinkels alpha ist gleich Gegenkathete zu Ankathete - also Höhe des Ballons zu horizontalem Abstand. Zum Zeitpunkt
1 ist tan(alpha(1))=h(1)/500m zum Zeitpunkt 2 ist tan(alpha(2))=h(2)/500m.
Wir lösen nach den jeweiligen Höhen auf und subtrahieren h(2)-h(1) h(2)-h(1)=500m * (tan(60°)-tan(30°)) also 577 Meter. Ein beliebiges Dreieck wird mit der Höhe h(c) in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. Der Sinus alpha ist h(c) durch b; der Sinus (beta) ist h(c) durch a.
Wir lösen beide Gleichungen nach h(c) auf, setzen gleich und erhalten dann a/sin(alpha)=b/sin(beta)
a/sin(alpha)=b/sin(beta). Dies ist der Sinussatz, den wir aus Symmetriegründen noch um c/sin(gamma) erweitern können. Wir betrachten erneut ein beliebiges Dreieck, welches durch Einzeichnen einer Höhe h in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt ist. Wir können zweimal den Satz des PYTHAGORAS formulieren: h²=b²-e² h²=b²-e² und c²=h²+d² d und e ergeben summiert die Dreieckseite a:
d²=(a-e)²=a²-2ae+e² d²=(a-e)²=a²-2ae+e²
Wenn wir diese drei Gleichungen kombinieren, erhalten wir für c² c²=b²+a²-2*a*e c²=b²+a²-2*a*e. (eine Art PYTHAGORAS für beliebige Dreiecke)
Die Strecke e können wir substituieren durch den Cosinus von gamma und die Strecke b und erhalten dann für c² c²=a²+b²-2*a*b*cos(gamma- )´c²=a²+b²-2*a*b*cos(gamma) c²=a²+b²-2*a*b*cos(gamma) (Cosinussatz)
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