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Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?

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Formal Metadata

Title Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?
Title of Series Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Part Number 30
Author Lauth, Jakob Günter (SciFox)
0000-0002-4319-5413 (ORCID)
Contributors Lauth, Anika (Medientechnik)
License CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI 10.5446/17880
Publisher SciFox
Release Date 2013
Language German

Content Metadata

Subject Area Mathematics
Series
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Transcript
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00:00
Häufig finden wir in der Wissenschaft exponentielle Abhängigkeiten von Größen (oft mit der Zeit), beispielsweise beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingverhalten einer Schwingung. Man kann
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derartige Funktion daran erkennen, dass die Halbwertszeit tau eine Konstante darstellt. Weiterhin kann man solche Funktionen daran erkennen, dass sie bei logarithmischer Auftragung gegen die Zeit Geraden ergeben. Diese Vorgehensweise ist in der
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Wissenschaft üblich: Man "biegt sich eine Funktion gerade" und kann dann aus den Kenngrößen der Gerade (Achsenabschnitt und Steigung) die ursprüngliche Funktion präzisieren. Zum "Geradebiegen" einer Exponentialfunktion benötigt man die
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logarithmische Darstellung. Wenn eine Größe in der Natur oder in der Technik innerhalb eines sehr großen Bereichs variieren kann, dann kann es sinnvoll sein, diese Größe logarithmisch aufzuteilen.
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Das menschliche Ohr kann sehr leise und sehr laute Vorgänge
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wahrnehmen. Es kann Schalldrücke, die um den Faktor 100000 differieren, zuordnen. Deshalb hat sich für die Lautstärke eine logarithmische Skala durchgesetzt - die Dezibel-Skala. Da die
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empfundene Lautstärke mit dem Quadrat des Schalldruckes korreliert, hat man folgende Definition gewählt. Der Quotient aus
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Schalldruck und Hörschwelle (20 µPa) wird quadriert, anschließend wird dekadisch logarithmiert und mit 10 multipliziert. Der
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Exponent kann vor den Logarithmus gezogen werden, dann erhält
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man 20 log (p/p°) Sechs Dezibel Lautstärkeunterschied bedeutet eine Verdoppelung des Schalldruckes 100 Dezibel Lautstärkeunterschied steht für einen Faktor 100000 der Schalldrücke. das
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schreibt In der Chemie wässriger Lösungen spielt die Protonenkonzentration eine wichtige Rolle. In neutralen Wasser befinden sich 10^(-7) mol Protonen pro Liter, in Säuren wie Zitronensaft sind es etwa 10^(-2) mol /L und in basischen Medien (Ammoniak) sind es 10^(-11) mol/L. Auch hier hat sich eine logarithmische Skala durchgesetzt - die pH-Skala. Der pH-Wert ist definiert als negativer dekadischer Logarithmus der Protonenkonzentration (in der Einheit Mol pro Liter). Neutrales Wasser hat also den pH-Wert 7, Zitronensaft den pH-Wert 2 und die Ammoniak-Lösung den pH-Wert 11. Man kann mit Hilfe
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logarithmischer Darstellung bestimmte Funktionen in eine Geradenform überführen - "gerade biegen" Wenn wir bei einer
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Potenzfunktion y=x^n beide Seiten der Gleichung logarithmieren und dann log(y) gegen log(x) auftragen, erhalten wir eine Nullpunktsgerade, deren Steigung n entspricht. Die Funktion y=x² hat
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in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 2; die Funktion y = (dritte Wurzel aus) x hat in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 1/3 (ein Drittel). Auch eine
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Exponentialfunktion (y=a^x) können wir mathematisch in eine Gerade überführen, wenn wir eine einfache logarithmische
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Auftragung wählen. In diesem Fall erhalten wir aus der Steigung der Geraden die Basis a. Die Gleichung für eine Zerfallsfunktion
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I=I°*exp(-t/tau) soll nach der Halbwertszeit tau aufgelöst werden.
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Wir dividieren zunächst beide Seiten der Gleichung durch I°, so dass wir den Exponentialterm auf der rechten Seite isolieren. Jetzt logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten links ln(I/I°) ln(I/I°) und auf der rechten Seite (minus t durch tau). Wir bringen den Logarithmusausdruck nach rechts
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und die Halbwertszeit tau nach links, indem wir entsprechend dividieren. Wir erhalten dann tau gleich minus t durch ln(I durch I°) Wir können das Argument des Logarithmus invertieren und erhalten dann t durch ln(I°/I) (Zusammenfassung Logarithmus)
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Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
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das bedeutet Logarithmus von (a hoch x) gleich x ebenso ist a hoch (Logarithmus von x) gleich x. Der Logarithmus kann ein
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Produkt in eine Summe verwandeln, und eine Potenz in ein Produkt
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Wichtig ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (den man
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mit ln abkürzt). Wir können jeden Logarithmus von einer Basis
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Physical quantity
Oscillation
00:13
Logical constant
Exponential function
Kennzahl
Line (geometry)
Function (mathematics)
00:47
Calculation
01:03
Quotient
Square
Factorization
01:21
Logarithm
Exponentiation
01:35
Logarithm
Method of lines
Factorization
02:30
Calculation
Function (mathematics)
Equation
03:06
Exponential function
Line (geometry)
Equation
03:18
Equation
03:41
Logarithm
Inverse function
Exponential function
Calculation
04:04
Logarithm
Addition
Logarithm
Exponentiation
Summation
Multiplication
04:20
Logarithm
Addition
Logarithm
Natürlicher Logarithmus
Multiplication
Natürlicher Logarithmus
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