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Häufig finden wir in der Wissenschaft exponentielle Abhängigkeiten von Größen (oft mit der Zeit), beispielsweise beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingverhalten einer Schwingung. Man kann
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derartige Funktion daran erkennen, dass die Halbwertszeit tau eine Konstante darstellt. Weiterhin kann man solche Funktionen daran erkennen, dass sie bei logarithmischer Auftragung gegen die Zeit Geraden ergeben. Diese Vorgehensweise ist in der
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Wissenschaft üblich: Man "biegt sich eine Funktion gerade" und kann dann aus den Kenngrößen der Gerade (Achsenabschnitt und Steigung) die ursprüngliche Funktion präzisieren. Zum "Geradebiegen" einer Exponentialfunktion benötigt man die
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logarithmische Darstellung. Wenn eine Größe in der Natur oder in der Technik innerhalb eines sehr großen Bereichs variieren kann, dann kann es sinnvoll sein, diese Größe logarithmisch aufzuteilen.
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Das menschliche Ohr kann sehr leise und sehr laute Vorgänge
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wahrnehmen. Es kann Schalldrücke, die um den Faktor 100000 differieren, zuordnen. Deshalb hat sich für die Lautstärke eine logarithmische Skala durchgesetzt - die Dezibel-Skala. Da die
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empfundene Lautstärke mit dem Quadrat des Schalldruckes korreliert, hat man folgende Definition gewählt. Der Quotient aus
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Schalldruck und Hörschwelle (20 µPa) wird quadriert, anschließend wird dekadisch logarithmiert und mit 10 multipliziert. Der
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Exponent kann vor den Logarithmus gezogen werden, dann erhält
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man 20 log (p/p°) Sechs Dezibel Lautstärkeunterschied bedeutet eine Verdoppelung des Schalldruckes 100 Dezibel Lautstärkeunterschied steht für einen Faktor 100000 der Schalldrücke. das
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schreibt In der Chemie wässriger Lösungen spielt die Protonenkonzentration eine wichtige Rolle. In neutralen Wasser befinden sich 10^(-7) mol Protonen pro Liter, in Säuren wie Zitronensaft sind es etwa 10^(-2) mol /L und in basischen Medien (Ammoniak) sind es 10^(-11) mol/L. Auch hier hat sich eine logarithmische Skala durchgesetzt - die pH-Skala. Der pH-Wert ist definiert als negativer dekadischer Logarithmus der Protonenkonzentration (in der Einheit Mol pro Liter). Neutrales Wasser hat also den pH-Wert 7, Zitronensaft den pH-Wert 2 und die Ammoniak-Lösung den pH-Wert 11. Man kann mit Hilfe
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logarithmischer Darstellung bestimmte Funktionen in eine Geradenform überführen - "gerade biegen" Wenn wir bei einer
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Potenzfunktion y=x^n beide Seiten der Gleichung logarithmieren und dann log(y) gegen log(x) auftragen, erhalten wir eine Nullpunktsgerade, deren Steigung n entspricht. Die Funktion y=x² hat
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in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 2; die Funktion y = (dritte Wurzel aus) x hat in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 1/3 (ein Drittel). Auch eine
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Exponentialfunktion (y=a^x) können wir mathematisch in eine Gerade überführen, wenn wir eine einfache logarithmische
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Auftragung wählen. In diesem Fall erhalten wir aus der Steigung der Geraden die Basis a. Die Gleichung für eine Zerfallsfunktion
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I=I°*exp(-t/tau) soll nach der Halbwertszeit tau aufgelöst werden.
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Wir dividieren zunächst beide Seiten der Gleichung durch I°, so dass wir den Exponentialterm auf der rechten Seite isolieren. Jetzt logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten links ln(I/I°) ln(I/I°) und auf der rechten Seite (minus t durch tau). Wir bringen den Logarithmusausdruck nach rechts
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und die Halbwertszeit tau nach links, indem wir entsprechend dividieren. Wir erhalten dann tau gleich minus t durch ln(I durch I°) Wir können das Argument des Logarithmus invertieren und erhalten dann t durch ln(I°/I) (Zusammenfassung Logarithmus)
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Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
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das bedeutet Logarithmus von (a hoch x) gleich x ebenso ist a hoch (Logarithmus von x) gleich x. Der Logarithmus kann ein
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Produkt in eine Summe verwandeln, und eine Potenz in ein Produkt
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Wichtig ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (den man
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mit ln abkürzt). Wir können jeden Logarithmus von einer Basis
