Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?

Video thumbnail (Frame 0) Video thumbnail (Frame 314) Video thumbnail (Frame 693) Video thumbnail (Frame 1181) Video thumbnail (Frame 1462) Video thumbnail (Frame 1576) Video thumbnail (Frame 1839) Video thumbnail (Frame 2022) Video thumbnail (Frame 2228) Video thumbnail (Frame 2364) Video thumbnail (Frame 2651) Video thumbnail (Frame 3761) Video thumbnail (Frame 3953) Video thumbnail (Frame 4282) Video thumbnail (Frame 4645) Video thumbnail (Frame 4846) Video thumbnail (Frame 4959) Video thumbnail (Frame 5144) Video thumbnail (Frame 5518) Video thumbnail (Frame 6000) Video thumbnail (Frame 6093) Video thumbnail (Frame 6319) Video thumbnail (Frame 6507) Video thumbnail (Frame 6625)
Video in TIB AV-Portal: Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?

Formal Metadata

Title
Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?
Title of Series
Part Number
30
Author
Contributors
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Oscillation Physical quantity
Logical constant Exponential function Kennzahl Function (mathematics) Line (geometry)
Calculation
Quotient Square Factorization
Logarithm Exponentiation
Logarithm Method of lines Factorization
Calculation Function (mathematics) Equation
Exponential function Line (geometry) Equation
Equation
Logarithm Inverse function Exponential function Calculation
Logarithm Addition Logarithm Exponentiation Summation Multiplication
Logarithm Addition Logarithm Natürlicher Logarithmus Multiplication Natürlicher Logarithmus
Häufig finden wir in der Wissenschaft exponentielle Abhängigkeiten von Größen (oft mit der Zeit), beispielsweise beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingverhalten einer Schwingung. Man kann
derartige Funktion daran erkennen, dass die Halbwertszeit tau eine Konstante darstellt. Weiterhin kann man solche Funktionen daran erkennen, dass sie bei logarithmischer Auftragung gegen die Zeit Geraden ergeben. Diese Vorgehensweise ist in der
Wissenschaft üblich: Man "biegt sich eine Funktion gerade" und kann dann aus den Kenngrößen der Gerade (Achsenabschnitt und Steigung) die ursprüngliche Funktion präzisieren. Zum "Geradebiegen" einer Exponentialfunktion benötigt man die
logarithmische Darstellung. Wenn eine Größe in der Natur oder in der Technik innerhalb eines sehr großen Bereichs variieren kann, dann kann es sinnvoll sein, diese Größe logarithmisch aufzuteilen.
Das menschliche Ohr kann sehr leise und sehr laute Vorgänge
wahrnehmen. Es kann Schalldrücke, die um den Faktor 100000 differieren, zuordnen. Deshalb hat sich für die Lautstärke eine logarithmische Skala durchgesetzt - die Dezibel-Skala. Da die
empfundene Lautstärke mit dem Quadrat des Schalldruckes korreliert, hat man folgende Definition gewählt. Der Quotient aus
Schalldruck und Hörschwelle (20 µPa) wird quadriert, anschließend wird dekadisch logarithmiert und mit 10 multipliziert. Der
Exponent kann vor den Logarithmus gezogen werden, dann erhält
man 20 log (p/p°) Sechs Dezibel Lautstärkeunterschied bedeutet eine Verdoppelung des Schalldruckes 100 Dezibel Lautstärkeunterschied steht für einen Faktor 100000 der Schalldrücke. das
schreibt In der Chemie wässriger Lösungen spielt die Protonenkonzentration eine wichtige Rolle. In neutralen Wasser befinden sich 10^(-7) mol Protonen pro Liter, in Säuren wie Zitronensaft sind es etwa 10^(-2) mol /L und in basischen Medien (Ammoniak) sind es 10^(-11) mol/L. Auch hier hat sich eine logarithmische Skala durchgesetzt - die pH-Skala. Der pH-Wert ist definiert als negativer dekadischer Logarithmus der Protonenkonzentration (in der Einheit Mol pro Liter). Neutrales Wasser hat also den pH-Wert 7, Zitronensaft den pH-Wert 2 und die Ammoniak-Lösung den pH-Wert 11. Man kann mit Hilfe
logarithmischer Darstellung bestimmte Funktionen in eine Geradenform überführen - "gerade biegen" Wenn wir bei einer
Potenzfunktion y=x^n beide Seiten der Gleichung logarithmieren und dann log(y) gegen log(x) auftragen, erhalten wir eine Nullpunktsgerade, deren Steigung n entspricht. Die Funktion y=x² hat
in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 2; die Funktion y = (dritte Wurzel aus) x hat in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 1/3 (ein Drittel). Auch eine
Exponentialfunktion (y=a^x) können wir mathematisch in eine Gerade überführen, wenn wir eine einfache logarithmische
Auftragung wählen. In diesem Fall erhalten wir aus der Steigung der Geraden die Basis a. Die Gleichung für eine Zerfallsfunktion
I=I°*exp(-t/tau) soll nach der Halbwertszeit tau aufgelöst werden.
Wir dividieren zunächst beide Seiten der Gleichung durch I°, so dass wir den Exponentialterm auf der rechten Seite isolieren. Jetzt logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten links ln(I/I°) ln(I/I°) und auf der rechten Seite (minus t durch tau). Wir bringen den Logarithmusausdruck nach rechts
und die Halbwertszeit tau nach links, indem wir entsprechend dividieren. Wir erhalten dann tau gleich minus t durch ln(I durch I°) Wir können das Argument des Logarithmus invertieren und erhalten dann t durch ln(I°/I) (Zusammenfassung Logarithmus)
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
das bedeutet Logarithmus von (a hoch x) gleich x ebenso ist a hoch (Logarithmus von x) gleich x. Der Logarithmus kann ein
Produkt in eine Summe verwandeln, und eine Potenz in ein Produkt
Wichtig ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (den man
mit ln abkürzt). Wir können jeden Logarithmus von einer Basis
Feedback