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Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?

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Häufig finden wir in der Wissenschaft exponentielle Abhängigkeiten von Größen (oft mit der Zeit), beispielsweise beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingverhalten einer Schwingung. Man kann
derartige Funktion daran erkennen, dass die Halbwertszeit tau eine Konstante darstellt. Weiterhin kann man solche Funktionen daran erkennen, dass sie bei logarithmischer Auftragung gegen die Zeit Geraden ergeben. Diese Vorgehensweise ist in der
Wissenschaft üblich: Man "biegt sich eine Funktion gerade" und kann dann aus den Kenngrößen der Gerade (Achsenabschnitt und Steigung) die ursprüngliche Funktion präzisieren. Zum "Geradebiegen" einer Exponentialfunktion benötigt man die
logarithmische Darstellung. Wenn eine Größe in der Natur oder in der Technik innerhalb eines sehr großen Bereichs variieren kann, dann kann es sinnvoll sein, diese Größe logarithmisch aufzuteilen.
Das menschliche Ohr kann sehr leise und sehr laute Vorgänge
wahrnehmen. Es kann Schalldrücke, die um den Faktor 100000 differieren, zuordnen. Deshalb hat sich für die Lautstärke eine logarithmische Skala durchgesetzt - die Dezibel-Skala. Da die
empfundene Lautstärke mit dem Quadrat des Schalldruckes korreliert, hat man folgende Definition gewählt. Der Quotient aus
Schalldruck und Hörschwelle (20 µPa) wird quadriert, anschließend wird dekadisch logarithmiert und mit 10 multipliziert. Der
Exponent kann vor den Logarithmus gezogen werden, dann erhält
man 20 log (p/p°) Sechs Dezibel Lautstärkeunterschied bedeutet eine Verdoppelung des Schalldruckes 100 Dezibel Lautstärkeunterschied steht für einen Faktor 100000 der Schalldrücke. das
schreibt In der Chemie wässriger Lösungen spielt die Protonenkonzentration eine wichtige Rolle. In neutralen Wasser befinden sich 10^(-7) mol Protonen pro Liter, in Säuren wie Zitronensaft sind es etwa 10^(-2) mol /L und in basischen Medien (Ammoniak) sind es 10^(-11) mol/L. Auch hier hat sich eine logarithmische Skala durchgesetzt - die pH-Skala. Der pH-Wert ist definiert als negativer dekadischer Logarithmus der Protonenkonzentration (in der Einheit Mol pro Liter). Neutrales Wasser hat also den pH-Wert 7, Zitronensaft den pH-Wert 2 und die Ammoniak-Lösung den pH-Wert 11. Man kann mit Hilfe
logarithmischer Darstellung bestimmte Funktionen in eine Geradenform überführen - "gerade biegen" Wenn wir bei einer
Potenzfunktion y=x^n beide Seiten der Gleichung logarithmieren und dann log(y) gegen log(x) auftragen, erhalten wir eine Nullpunktsgerade, deren Steigung n entspricht. Die Funktion y=x² hat
in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 2; die Funktion y = (dritte Wurzel aus) x hat in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 1/3 (ein Drittel). Auch eine
Exponentialfunktion (y=a^x) können wir mathematisch in eine Gerade überführen, wenn wir eine einfache logarithmische
Auftragung wählen. In diesem Fall erhalten wir aus der Steigung der Geraden die Basis a. Die Gleichung für eine Zerfallsfunktion
I=I°*exp(-t/tau) soll nach der Halbwertszeit tau aufgelöst werden.
Wir dividieren zunächst beide Seiten der Gleichung durch I°, so dass wir den Exponentialterm auf der rechten Seite isolieren. Jetzt logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten links ln(I/I°) ln(I/I°) und auf der rechten Seite (minus t durch tau). Wir bringen den Logarithmusausdruck nach rechts
und die Halbwertszeit tau nach links, indem wir entsprechend dividieren. Wir erhalten dann tau gleich minus t durch ln(I durch I°) Wir können das Argument des Logarithmus invertieren und erhalten dann t durch ln(I°/I) (Zusammenfassung Logarithmus)
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
das bedeutet Logarithmus von (a hoch x) gleich x ebenso ist a hoch (Logarithmus von x) gleich x. Der Logarithmus kann ein
Produkt in eine Summe verwandeln, und eine Potenz in ein Produkt
Wichtig ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (den man
mit ln abkürzt). Wir können jeden Logarithmus von einer Basis
Mathematische Größe
Schwingung
Konstante
Kennzahl
Vorlesung/Konferenz
Exponentialfunktion
Gerade
Funktion <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Quadrat
Faktorisierung
Quotient
Vorlesung/Konferenz
Logarithmus
Exponent
Vorlesung/Konferenz
Linienmethode
Faktorisierung
Logarithmus
Linienmethode
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Funktion <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Exponentialfunktion
Gleichung
Gerade
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Umkehrfunktion
Logarithmus
Vorlesung/Konferenz
Exponentialfunktion
Summe
Multiplikation
Logarithmus
Exponent
Logarithmus
Vorlesung/Konferenz
Addition
Umkehrfunktion
Lag
Multiplikation
Logarithmus
Logarithmus
Natürlicher Logarithmus
Vorlesung/Konferenz
Addition
Umkehrfunktion
Natürlicher Logarithmus

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 30
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17880
Herausgeber Lauth, Günter Jakob
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 04:29

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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