Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?
Add to Watchlist
Video in TIB AV-Portal:
Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?
Formal Metadata
| Title |
Von logarithmischen Auftragungen und Skalen - Was sind Dezibel und pH-Wert?
|
| Title of Series | |
| Part Number |
30
|
| Author |
|
| Contributors |
|
| License |
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. |
| Identifiers |
|
| Publisher |
|
| Release Date |
2013
|
| Language |
German
|
Content Metadata
| Subject Area |
00:00
Oscillation
Physical quantity
00:13
Logical constant
Exponential function
Kennzahl
Function (mathematics)
Line (geometry)
00:47
Calculation
01:03
Quotient
Square
Factorization
01:21
Logarithm
Exponentiation
01:35
Logarithm
Method of lines
Factorization
02:30
Calculation
Function (mathematics)
Equation
03:06
Exponential function
Line (geometry)
Equation
03:18
Equation
03:41
Logarithm
Inverse function
Exponential function
Calculation
04:04
Logarithm
Addition
Logarithm
Exponentiation
Summation
Multiplication
04:20
Logarithm
Addition
Logarithm
Natürlicher Logarithmus
Multiplication
Natürlicher Logarithmus
00:00
Häufig finden wir in der Wissenschaft exponentielle Abhängigkeiten von Größen (oft mit der Zeit), beispielsweise beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingverhalten einer Schwingung. Man kann
00:15
derartige Funktion daran erkennen, dass die Halbwertszeit tau eine Konstante darstellt. Weiterhin kann man solche Funktionen daran erkennen, dass sie bei logarithmischer Auftragung gegen die Zeit Geraden ergeben. Diese Vorgehensweise ist in der
00:32
Wissenschaft üblich: Man "biegt sich eine Funktion gerade" und kann dann aus den Kenngrößen der Gerade (Achsenabschnitt und Steigung) die ursprüngliche Funktion präzisieren. Zum "Geradebiegen" einer Exponentialfunktion benötigt man die
00:48
logarithmische Darstellung. Wenn eine Größe in der Natur oder in der Technik innerhalb eines sehr großen Bereichs variieren kann, dann kann es sinnvoll sein, diese Größe logarithmisch aufzuteilen.
00:59
Das menschliche Ohr kann sehr leise und sehr laute Vorgänge
01:04
wahrnehmen. Es kann Schalldrücke, die um den Faktor 100000 differieren, zuordnen. Deshalb hat sich für die Lautstärke eine logarithmische Skala durchgesetzt - die Dezibel-Skala. Da die
01:14
empfundene Lautstärke mit dem Quadrat des Schalldruckes korreliert, hat man folgende Definition gewählt. Der Quotient aus
01:23
Schalldruck und Hörschwelle (20 µPa) wird quadriert, anschließend wird dekadisch logarithmiert und mit 10 multipliziert. Der
01:30
Exponent kann vor den Logarithmus gezogen werden, dann erhält
01:36
man 20 log (p/p°) Sechs Dezibel Lautstärkeunterschied bedeutet eine Verdoppelung des Schalldruckes 100 Dezibel Lautstärkeunterschied steht für einen Faktor 100000 der Schalldrücke. das
01:47
schreibt In der Chemie wässriger Lösungen spielt die Protonenkonzentration eine wichtige Rolle. In neutralen Wasser befinden sich 10^(-7) mol Protonen pro Liter, in Säuren wie Zitronensaft sind es etwa 10^(-2) mol /L und in basischen Medien (Ammoniak) sind es 10^(-11) mol/L. Auch hier hat sich eine logarithmische Skala durchgesetzt - die pH-Skala. Der pH-Wert ist definiert als negativer dekadischer Logarithmus der Protonenkonzentration (in der Einheit Mol pro Liter). Neutrales Wasser hat also den pH-Wert 7, Zitronensaft den pH-Wert 2 und die Ammoniak-Lösung den pH-Wert 11. Man kann mit Hilfe
02:31
logarithmischer Darstellung bestimmte Funktionen in eine Geradenform überführen - "gerade biegen" Wenn wir bei einer
02:38
Potenzfunktion y=x^n beide Seiten der Gleichung logarithmieren und dann log(y) gegen log(x) auftragen, erhalten wir eine Nullpunktsgerade, deren Steigung n entspricht. Die Funktion y=x² hat
02:54
in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 2; die Funktion y = (dritte Wurzel aus) x hat in der doppelt-logarithmischen Auftragung die Steigung 1/3 (ein Drittel). Auch eine
03:07
Exponentialfunktion (y=a^x) können wir mathematisch in eine Gerade überführen, wenn wir eine einfache logarithmische
03:14
Auftragung wählen. In diesem Fall erhalten wir aus der Steigung der Geraden die Basis a. Die Gleichung für eine Zerfallsfunktion
03:22
I=I°*exp(-t/tau) soll nach der Halbwertszeit tau aufgelöst werden.
03:26
Wir dividieren zunächst beide Seiten der Gleichung durch I°, so dass wir den Exponentialterm auf der rechten Seite isolieren. Jetzt logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten links ln(I/I°) ln(I/I°) und auf der rechten Seite (minus t durch tau). Wir bringen den Logarithmusausdruck nach rechts
03:43
und die Halbwertszeit tau nach links, indem wir entsprechend dividieren. Wir erhalten dann tau gleich minus t durch ln(I durch I°) Wir können das Argument des Logarithmus invertieren und erhalten dann t durch ln(I°/I) (Zusammenfassung Logarithmus)
04:02
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
04:06
das bedeutet Logarithmus von (a hoch x) gleich x ebenso ist a hoch (Logarithmus von x) gleich x. Der Logarithmus kann ein
04:16
Produkt in eine Summe verwandeln, und eine Potenz in ein Produkt
04:21
Wichtig ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (den man
04:26
mit ln abkürzt). Wir können jeden Logarithmus von einer Basis
