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Vom natürlichen Logarithmus und der Zahl e - Wie kann man log(x) in ln(x) umwandeln?

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Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion y = (Basis) hoch x. Einige Basen haben besondere Bedeutung, z.B. die Basis
10 - wir sprechen dann beim Logarithmus vom Zehner-Logarithmus oder dekadischen Logarithmus (abgekürzt lg). Von besonderer
Bedeutung ist die EULERsche Zahl e als Basis - wir sprechen dann vom natürlichen Logarithmus ln. Weniger häufig
wird der Logarithmus zur Basis 2 verwendet (ld) Wenn
man im Ausdruck (1+1/n)^n die Zahl n immer größer werden lässt, dann erhält man als Grenzwert für n gegen unendlich die EULERsche Zahl 2,718 (gerundet). Auch in der Zinseszins-Formel befindet sich ein ähnlicher
Ausdruck (1+p/n)^n und in der Tat kann man sich die Zahl e mit Hilfe von Zinseszins-Betrachtungen veranschaulichen. Sie legen (rein hypothetisch) 1€ auf ein Bankkonto, auf welchem Sie 100 % Zinsen pro Jahr erhalten. Werden diese Zinsen einmal im Jahr ausgezahlt, dann besitzen wir
nach einem Jahr ein Kapital von 2 €. (berechnet mit der
Zinseszinsformel und n=1) Wenn bei gleicher Ausgangssituation (1 €, 100 % Zinsen im Jahr) die Zinsen zweimal im Jahr ausgeschüttet werden, dann erhalten Sie nach einem halben Jahr 50 Cent, nach einem weiteren halben Jahr erhalten Sie
50 % Prozent Zinsen auf die 1,50 €; das Kapital ist auf insgesamt 2,25 € angewachsen. (berechnet mit der Zinseszinsformel
und n=2) Wenn die Zinsen in immer kürzeren Abständen
ausgezahlt werden - monatlich - wöchentlich - stündlich...
dann wird die Summe, die Sie am Ende des Jahres auf dem Konto haben, immer größer werden; sie wird sich aber einem Grenzwert nähern. Dieser Grenzwert ist die EULERsche
Zahl e. Wenn Sie also jede Sekunde ihre Zinsen bekommen, haben sie am Ende des Jahres ein Kapital von 2,72 € 2,72
€. Zur Berechnung müssen wir in die Zinseszinsformel für n die Anzahl der Sekunden pro Jahr (ungefähr unendlich)
einsetzen. Wir können den Logarithmus von einer Basis a auf eine Basis b umrechnen. Gegeben ist der Logarithmus der Zahl r zur Basis a; gesucht ist der Logarithmus der Zahl r
zur Basis b. Wir suchen demnach die Zahl L, für die gilt B hoch L gleich r. In dieser Gleichung nehmen wir rechts
und links den Logarithmus zur Basis a: log(r) zur Basis a gleich log(b^L) zur Basis a. Wir ziehen den Exponenten L
vor den Logarithmus und ersetzen die Zahl L durch log(r) zur Basis b und erhalten eine Gleichung, mit deren Hilfe
wir Logarithmen beliebig von einer Basis auf die andere
umrechnen können. (Übungsaufgabe) log(1/(c^4*d)) zur Basis
c Wir ersetzen zunächst den Bruchstrich in der Klammer - formulieren statt 1 durch c hoch 4 c^(-4) und statt 1 durch d d^(-1). Wir spalten das Produkt in eine Summe: Im
ersten Term folgen Funktion und Umkehrfunktion hintereinander
- wir wollen jedoch ausführlich erst den Exponenten vor den Logarithmus setzen und dies auch für den zweiten Term tun. Dann setzten wir log(c) zur Basis c gleich 1 und erhalten das Endergebnis -4 - log(d) zur Basis c. Ein wichtiger Begriff in der Technik ist die Halbwertszeit: die
Zeit tau, nach der z.B. eine Intensität I auf die Hälfte des Ausgangswertes I° abgesunken ist. Wir können eine
Abklingkurve der Intensität mit Hilfe der Halbwertszeit tau formulieren: I = I° * (1/2)^(t/tau) (Ein halb hoch t durch Halbwertszeit tau) Wir wollen die Basis (1/2) durch die Basis e ersetzen: Die alte Basis (1/2) durch die neue Basis
(EULERsche Zahl e) substituieren. Gesucht ist x. Wir logarithmieren. (1/2) ist 2 hoch
(-1) entsprechend ist ln(1/2) gleich minus ln(2). Damit können wir die Abklingfunktion umformulieren in I = I° * exp(-ln(2)*t/tau) I = I° * exp(-ln(2)*t/tau)
Wir können jede Exponentialfunktion a hoch x in eine e-Funktion e hoch (x mal ln(a)) umformulieren.
Umkehrfunktion
Logarithmus
Stützpunkt <Mathematik>
Rechnen
Exponentialfunktion
Logarithmus
Vorlesung/Konferenz
Natürlicher Logarithmus
e <Zahl>
Logarithmus
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e <Zahl>
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Logarithmus
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Term
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E-Funktion
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Exponentialfunktion

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom natürlichen Logarithmus und der Zahl e - Wie kann man log(x) in ln(x) umwandeln?
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 29
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17879
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik
Schlagwörter EULERschen Zahl e

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