Vom Rechnen mit Logarithmen - Wie kann man log(a*b), log(a/b) und log(a^n) umformen?

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Title
Vom Rechnen mit Logarithmen - Wie kann man log(a*b), log(a/b) und log(a^n) umformen?
Title of Series
Part Number
28
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

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Subject Area
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Function (mathematics) Achse <Mathematik>
Function (mathematics)
Exponential function Meeting/Interview Equation
Logarithm Exponential function Lecture/Conference Exponentiation
Inverse function Logarithm Exponential function Lecture/Conference Negative number
Point (geometry) Logarithm Calculation Meeting/Interview Logarithm Exponentiation Curve Function (mathematics)
Addition Logarithm Product (category theory) Calculation Lecture/Conference Logarithm Exponentiation Quotient Factorization
Logarithm Inverse function Equation
Logarithm Lecture/Conference
Logarithm Zahl Inverse function Exponential function Lecture/Conference
Inverse function Logarithm
Addition Logarithm Binomische Formel Lecture/Conference Quotient Exponentiation Factorization
Lecture/Conference Summation
Bei den allermeisten graphischen Auftragungen von Funktionen sind üblicherweise die Achsen (x-Achse und y-Achse) linear skaliert. Beispielsweise bei diesen beiden Geradengleichungen y=2*x und y=(-9,5)*x+1 y=(-9,5)*x+1 In der Naturwissenschaft
ist es auch üblich, Daten logarithmisch aufzutragen. Man kann
damit bestimmte Funktionen sozusagen "gerade biegen" und sehr leicht als solche identifizieren. In dieser Auftragung ist
die x-Achse (Abszisse) logarithmisch und die y-Achse linear.
Was heißt Logarithmus? Betrachten wir die Exponentialfunktion y=a^x. Wir können diese Gleichung nach a auflösen - dann müssen wir die x-te Wurzel ziehen. Wir können diese Gleichung aber auch nach x auflösen, dann müssen wir logarithmieren. Der
Logarithmus ist die Unterfunktion der Exponentialfunktion - wir ermitteln damit den Exponenten x. Der Logarithmus von a^x
zur Basis a ist gleich x. Die Definitionsmenge von a ist
eingeschränkt: wir dürfen nur positive Zahlen für a einsetzen mit Ausnahme der 1. Hier sehen Sie den Graphen der
Exponentialfunktion y=2^x (rot). Die Umkehrfunktion (also die Logarithmusfunktion) ergibt sich durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden (schwarz) y gleich Logarithmus zur Basis 2 von x (blau). Jeden Exponentialfunktion
geht durch den Punkt (0,1). Also verläuft jede Logarithmusfunktion durch den Punkt (1,0) Der Logarithmus von 1 (log(1)) zu einer beliebigen Basis ist gleich 0. Ist die Basis a größer
als 1, erhalten wir monoton steigende Funktionen (wie hier die rote oder grüne Kurve). Liegt die Basis a zwischen 0 und 1, resultieren daraus monoton fallende Kurven (wie hier die blaue Funktion) Das Produkt zweier Potenzen ((Wiederholung))
Das Produkt zweier Potenzen ((Wiederholung)) Das Produkt zweier Potenzen ((Wiederholung)) Wenn man zwei Potenzen multipliziert, muss man die Exponenten addieren. Wenn man zwei Potenzen dividiert, muss man die Exponenten subtrahieren. und wenn man eine Potenz potenziert, muss man (nach der Bierkastenregel) die Exponenten multiplizieren. Entsprechend gelten folgende
Logarithmenregeln: Der Logarithmus des Produktes (a mal b) ist gleich dem Logarithmus von a plus Logarithmus von b (log(a*b)=log(a)+log(b)) Der Logarithmus des Quotienten (a durch b) ist gleich dem Logarithmus von a minus Logarithmus von b (log(a/b)=log(a)-log(b)) und der Logarithmus a hoch nü ist gleich nü mal Logarithmus a (man kann einen Exponenten im Argument des Logarithmus als Faktor vor den Logarithmus
ziehen) Wir wollen die Logarithmengesetze an einem Beispiel beweisen: x^u * x^v = x^(u+v) Wir ziehen rechts und links den Logarithmus zur Basis x
Auf der rechten Seite der Gleichung befinden sich Funktion und Umkehrfunktion hintereinander - wir erhalten also (u+v).
Für x^u schreiben wir kurz a; für x^v schreiben wir kurz b. Der Logarithmus von a ist dann u, und der Logarithmus von b ist dann v. Wir ersetzen (u+v) durch log(a)+log(b).
Auf der linken Seite substituieren wir log(a*b) und erhalten schließlich log(a*b)=log(a)+log(b). Wir wollen (ohne Taschenrechner) den Logarithmus
von 3*Wurzel(2) zur Basis 18 ermitteln. Der Logarithmus zur Basis 18 ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion 18^x. 18 hoch (welche Zahl)
ergibt 3*Wurzel(2) ? Wir formen 3*Wurzel(2) um: 3 entspricht Wurzel(9); Wurzel(9) mal Wurzel(2) gleich Wurzel(18) Und Wurzel(18) ist 18^(1/2) 18 hoch 1/2. Damit haben wir Funktion und Umkehrfunktion hintereinander: Die Lösung ist 1/2: 18 hoch 1/2 ergibt 3 * Wurzel (2).
(Übungsaufgabe) Logarithmus ((a²-b²)/c²) zur Basis a Wir ziehen nach den Logarithmenregeln das
Argument auseinander. Aus einem Quotienten wird eine Differenz. Wir spalten (a²-b²) nach der binomischen Formel auf und ziehen
beim zweiten Summanden den Exponenten 2 als Faktor vor den Logarithmus. log((a-b)(a+b))-2log(c) Wir verwandeln das Produkt
der beiden Kammern in eine Summe: log(a-b)+log(a+b)-2log(c) ist das Endergebnis.
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