Vom Umformen von Gleichungen - erlaubte und nicht erlaubte Termumformungen und Äquivalenzumformungen

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Title
Vom Umformen von Gleichungen - erlaubte und nicht erlaubte Termumformungen und Äquivalenzumformungen
Title of Series
Part Number
27
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

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Lecture/Conference Equation Variable (mathematics) Variable (mathematics)
Length of stay Lecture/Conference Equation Equation
Lecture/Conference Equation
Lecture/Conference Real number Equation Termumformung
Lecture/Conference Real number Termumformung
Binomische Formel Lecture/Conference Exponentiation Termumformung
Lecture/Conference Function (mathematics) Termumformung
Length of stay Lecture/Conference Equation
Lecture/Conference Termumformung
Lecture/Conference Real number
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Lecture/Conference Length Equation
Lecture/Conference Equation Strecke
Lecture/Conference Length Equation
Link (knot theory) Lecture/Conference Höhe Equation
Bei dieser Gleichung befindet sich die Variable x an mehreren Positionen. Die berührt jedoch nicht die Regeln, die wir
für das Lösen von Gleichungen anwenden dürfen. Zunächst ziehen wir (2x) von beiden Seiten der Gleichung ab; dann ziehen wir (7) von beiden Seiten der Gleichung ab und erhalten x = (-5). (Übungsaufgabe)
5 Wurzel(t) - Wurzel(4t) = 12 Wir vereinfachen zunächst die linke Seite der Gleichung: Aus
Wurzel(4t) wird Wurzel(4) mal Wurzel(t). aus Wurzel(4) wird 2. Wir klammern aus bzw. fassen
zusammen: 5*Wurzel(t) minus 2*Wurzel(t) gleich 3*Wurzel(t). Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch (3) und erhalten Wurzel(t)=4. Quadrieren beider Seiten liefert t=16. Bei
Termumformungen müssen wir den Definitionsbereich beachten. Die Gleichung (x-1)/(x-1)=x besitzt als Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer der 1; folglich hat diese
Gleichung keine Lösung. Die sehr einfache Gleichung 1=x besitzt
als Definitionsbereich alle reellen Zahlen und die Lösung x=1.
Bei folgenden Termumformungen ist Vorsicht geboten: -
Erweitern oder Kürzen mit 0 ist für Termumformungen nicht gestattet. - Beim Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten erhalten wir evt.
(Übungsaufgabe) (u-1)(u+1)=48 Nach der dritten binomischen Formel eine Scheinlösung (Probe nicht vergessen).
ergibt das u²-1 = 48 Wir addieren (1) zu jeder Seite, und erhalten u²=49 und ziehen die Wurzel. Wir unterscheiden
zwei Fälle: Für u>0 ist die Lösung u(1)=7 für u<0 ist die Lösung u(2)=(-7) Vorsicht bei Termumformungen mit Funktionen
mit Definitionslücken (wie z.B. 1/z oder Wurzel(z))- Wir wollen die Gleichung x*(x-3)=0 lösen. Wir dividieren durch x (d.h.
wir wenden eine Funktion an, die eine Definitionslücke bei x=0 besitzt) und erhalten x-3=0 Wir addieren (3) und erhalten die Lösung x=3. Diese Lösung ist korrekt, aber wir
haben die weitere Lösung (x=0) durch unsere Termumformung verloren.
(Übungsaufgabe) x²=225 Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel (Vorsicht, denn die Wurzelfunktion hat
Definitionslücken; sie ist nur für positive reelle Zahlen definiert)
Wir erhalten die Lösung x=15, können uns aber die weitere Lösung x=(-15) erarbeiten.
(Übungsaufgabe) 4*Wurzel(4s+1)=3*Wurzel(7s+2)
Wir quadrieren beide Seiten, die Wurzeln fallen weg, aus 4² wird 16, aus 3² wird 9, Wir multiplizieren
aus, ziehen auf beiden Seiten (63s) und (16) ab und erhalten s=2. Vielleicht erinnern Sie sich an die Aufgabe mit dem
Seil, welches wir über den Äquator spannten. Dieses Seil hatte eine etwas größere Länge als der Äquatorumfang, hatte
also überall am Äquator einen gewissen Abstand h von der Erdoberfläche. Diesen Abstand h konnten wir mit der Gleichung (U´-U)/(2*pi) leicht ermitteln.
Diese Gleichung ist "analytisch lösbar" - man kann sie nach h auflösen. Wir können das Seil jetzt so weit wie
möglich anheben und erhalten schließlich eine Situation wie hier gezeigt: Das Seil liegt jetzt über eine Strecke z
am Äquator an; die restliche Länge des Seiles bildet ein Dreieck. Wenn wir den weitesten Abstand des Seiles vom Äquator
berechnen wollen, dann können wir dafür diese Gleichung entwickeln. Diese Gleichung ist aber analytisch nicht lösbar; wir können sie nicht nach h auflösen. Die einzige Möglichkeit, einen Wert für h zu ermitteln, ist auszuprobieren (Werte für h einzusetzen und zu sehen, ob die Gleichung stimmt).
Wir raten h=10 m, die Gleichung stimmt nicht sehr gut (deutliche Differenz: linke Seite-rechte Seite) Für h=20m stimmt die Gleichung schon besser, für h=30m noch besser, für h=40m noch besser. 100m ist zu viel; es ergibt sich eine negative Abweichung. Wir können iterativ die Höhe verändern und sehen, dass für h=70m die Gleichung sehr gut erfüllt
ist. Die Lösung 70m wurde durch planvolles Probieren ("iterativ") ermittelt - analytisch ist die Gleichung nicht lösbar.
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