Bei dieser Gleichung befindet sich die Variable x an mehreren Positionen. Die berührt jedoch nicht die Regeln, die wir für das Lösen von Gleichungen anwenden dürfen. Zunächst ziehen wir (2x) von beiden Seiten der Gleichung ab; dann ziehen wir (7) von beiden Seiten der Gleichung ab und erhalten x = (-5). (Übungsaufgabe)

5 Wurzel(t) - Wurzel(4t) = 12 Wir vereinfachen zunächst die linke Seite der Gleichung: Aus Wurzel(4t) wird Wurzel(4) mal Wurzel(t). aus Wurzel(4) wird 2. Wir klammern aus bzw. fassen

zusammen: 5*Wurzel(t) minus 2*Wurzel(t) gleich 3*Wurzel(t). Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch (3) und erhalten Wurzel(t)=4. Quadrieren beider Seiten liefert t=16. Bei Termumformungen müssen wir den Definitionsbereich beachten.

Die Gleichung (x-1)/(x-1)=x besitzt als Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer der 1; folglich hat diese Gleichung keine Lösung. Die sehr einfache Gleichung 1=x besitzt als Definitionsbereich alle reellen Zahlen und die Lösung x=1.

Bei folgenden Termumformungen ist Vorsicht geboten: - Erweitern oder Kürzen mit 0 ist für Termumformungen nicht gestattet. - Beim Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten erhalten wir evt. (Übungsaufgabe) (u-1)(u+1)=48 Nach der dritten binomischen Formel eine Scheinlösung (Probe nicht vergessen).

ergibt das u²-1 = 48 Wir addieren (1) zu jeder Seite, und erhalten u²=49 und ziehen die Wurzel. Wir unterscheiden zwei Fälle: Für u>0 ist die Lösung u(1)=7 für u<0 ist die

Lösung u(2)=(-7) Vorsicht bei Termumformungen mit Funktionen mit Definitionslücken (wie z.B. 1/z oder Wurzel(z))- Wir wollen die Gleichung x*(x-3)=0 lösen. Wir dividieren durch x (d.h. wir wenden eine Funktion an, die eine Definitionslücke

bei x=0 besitzt) und erhalten x-3=0 Wir addieren (3) und erhalten die Lösung x=3. Diese Lösung ist korrekt, aber wir haben die weitere Lösung (x=0) durch unsere Termumformung verloren.

(Übungsaufgabe) x²=225 Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel (Vorsicht, denn die Wurzelfunktion hat Definitionslücken; sie ist nur für positive reelle Zahlen definiert) Wir erhalten die Lösung x=15, können uns aber die weitere Lösung x=(-15) erarbeiten.

(Übungsaufgabe) 4*Wurzel(4s+1)=3*Wurzel(7s+2) Wir quadrieren beide Seiten, die Wurzeln fallen weg, aus 4² wird 16, aus 3² wird 9, Wir multiplizieren aus, ziehen auf beiden Seiten (63s) und (16) ab und erhalten s=2.

Vielleicht erinnern Sie sich an die Aufgabe mit dem Seil, welches wir über den Äquator spannten. Dieses Seil hatte eine etwas größere Länge als der Äquatorumfang, hatte also überall am Äquator einen gewissen Abstand h von der Erdoberfläche. Diesen Abstand h konnten wir mit der Gleichung (U´-U)/(2*pi) leicht ermitteln.

Diese Gleichung ist "analytisch lösbar" - man kann sie nach h auflösen. Wir können das Seil jetzt so weit wie möglich anheben und erhalten schließlich eine Situation wie hier gezeigt: Das Seil liegt jetzt über eine Strecke z am Äquator an; die restliche Länge des Seiles bildet ein

Dreieck. Wenn wir den weitesten Abstand des Seiles vom Äquator berechnen wollen, dann können wir dafür diese Gleichung entwickeln. Diese Gleichung ist aber analytisch nicht lösbar; wir können sie nicht nach h auflösen. Die einzige Möglichkeit,

einen Wert für h zu ermitteln, ist auszuprobieren (Werte für h einzusetzen und zu sehen, ob die Gleichung stimmt). Wir raten h=10 m, die Gleichung stimmt nicht sehr gut (deutliche Differenz: linke Seite-rechte Seite) Für h=20m stimmt

die Gleichung schon besser, für h=30m noch besser, für h=40m noch besser. 100m ist zu viel; es ergibt sich eine negative Abweichung. Wir können iterativ die Höhe verändern und sehen, dass für h=70m die Gleichung sehr gut erfüllt ist. Die Lösung 70m wurde durch planvolles Probieren ("iterativ")

ermittelt - analytisch ist die Gleichung nicht lösbar.