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Vom Auflösen von Gleichungen - Variablen, Konstanten und Terme

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Der hier projizierte mathematische Ausdruck "t gleich Wurzel aus zwei h durch 9,81 Meter pro Sekunde Quadrat" ist
eine Gleichung. Die Größen "t" und "h" nennen wir Variablen, die Größen "2" und "9,81 m/s²" sind Konstanten. In
dieser Gleichung sind die Variablen und Konstanten zu mathematischen Ausdrücken zusammengefasst, und durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden.
Hier haben wir eine weitere Gleichung mit einer Variablen und zwei Konstanten. Eine Gleichung zu lösen heißt nun diejenigen Belegungen für die Variablen zu ermitteln, die die gegebene Gleichung zu
einer wahren Aussage macht. Dies ist hier sehr einfach: für
x=-2 wird die Gleichung zu einer wahren Aussage. Diese
Gleichung hat zwei Lösungen für die Variable x Diese Gleichung hat zwei Lösungen für die Variable x: Sowohl für x=1 als auch für x=2 führt die Gleichung zu einer wahren Aussage. Die am Anfang genannte Gleichung stammt aus der
Physik des freien Falls; es ist eine Beziehung zwischen der Fallzeit t und der Fallhöhe h.
Für eine Fallhöhe h von 1 Meter erhalten wir für eine Zeit von 0,45 Sekunden eine wahre Aussage. "0,45 Sekunden" ist die Lösung der Gleichung für eine Höhe von einem Meter. Eine Gleichung entspricht in gewisser Weise einer Waage
mit zwei Waagschalen; auf beiden Waagschalen lastet das gleiche Gewicht. Wenn wir eine Gleichung umformen, müssen wir darauf achten, dass dieses Gleichgewicht erhalten bleibt.
Hier haben wir eine Gleichung aus Variablen und Konstanten: "3x +1=x+7". Wenn wir die Gleichung umformen,
müssen wir darauf achten, dass wir nicht aus dem
Gleichgewicht kommen. Wenn wir die Konstante "1" auf der linken Seite wegnehmen, müssen wir sie auch auf der rechten Seite wegnehmen.
Wenn wir die Variable "x" auf der linken Seite wegnehmen, müssen wir sie auch auf der rechten Seite wegnehmen.
Wenn wir die linke Seite halbieren, müssen wir auch die rechte Seite halbieren. Man nennt diese erlaubten Umformungen "Äquivalenzumformungen".
Durch Äquivalenzumformungen können wir zur Lösung einer Gleichung gelangen. Die Lösung dieser Gleichung lautet: "x=3"
Eine Gleichung wird nicht verändert, wenn wir auf der einen oder anderen Seite Termumformungen durchführen. Eine Gleichung wird nicht verändert, wenn wir eine Funktion h() auf beide Seiten anwenden; vorausgesetzt, diese Funktion
h ist für alle Zahlen definiert und diese Funktion h besitzt eine Umkehrfunktion.
"-3=(z+1)²-(z²+z)-1"
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir nur die rechte Seite umformen.
Nach der 1. Binomischen Formel wird (z+1)² zu z²+2z+1;
wir ziehen das negative Vorzeichen in die Klammer; wir
sortieren die Terme auf der rechten Seite, und sehen, dass alles wegfällt bis auf z. "z=-3" ist die Lösung.
"2x=14" Wir dividieren die rechte und die linke Seite durch 2, d.h. wir wenden die Funktion "h(z) = z / 2" auf die Gleichung an. Wir erhalten links "x" und rechts "7"; "x=7" ist die Lösung der Gleichung. "1 + 5/x = 3/2" Wir subtrahieren
rechts und links die Zahl "1", d.h. wir wenden die Funktion
"h(z)=z-1" auf beide Seiten der Gleichung an. erhalten links "5/x" und rechts "1/2" Jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch "5" (wenden also eine weitere Gleichung
"i(z)=z/5" a auf die Gleichung an), erhalten "1/x=1/10" Jetzt invertieren wir beide Seiten der Gleichung, d.h. wir
wenden die Funktion "j(z)=1/z" auf die Gleichung an, und erhalten schließlich "x=10".
"(a-2)³-900=100" Wir addieren "900" auf beide Seiten, wir ziehen die dritte Wurzel
auf beiden Seiten, dies entspricht der Funktion i(z). Diese
Funktion i(z) ist problemlos anwendbar, denn sie ist im gesamten Bereich der reellen Zahlen definiert. Wir addieren
auf beiden Seiten "2" und erhalten die Lösung "a=12".
Quadrat
Meter
Vorlesung/Konferenz
Mathematische Größe
Konstante
Variable
Gleichheitszeichen
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Ausdruck <Logik>
Konstante
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Gleichung
Lösung <Mathematik>
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Gleichung
Physik
Höhe
Meter
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Konstante
Variable
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Konstante
Vorlesung/Konferenz
Variable
Vorlesung/Konferenz
Termumformung
Vorlesung/Konferenz
Termumformung
Termumformung
Gleichung
Umkehrfunktion
Vorlesung/Konferenz
Umkehrfunktion
Zahl
Vorlesung/Konferenz
Binomische Formel
Gleichung
Vorzeichen <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Term
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Zahl
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Reelle Zahl
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Auflösen von Gleichungen - Variablen, Konstanten und Terme
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 26
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17876
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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