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Von Umkehrfunktionen und Definitionsbereichen - (f(g(x)) ist gleich x)

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Eine Funktion f wandelt ein Argument x in den Wert f(x) um; eine zweite Funktion g soll f(x) in den Wert f(g(x)) umwandeln. Wenn dieser Wert g(f(x)) wieder dem ursprünglichen Argument x entspricht, nennen wir die Funktion g die Umkehrfunktion von f(x). Die
Umkehrfunktion wird manchmal mit f hoch (-1) abgekürzt. Es gilt die Komposition g nach f von x gleich x Die Funktion f bildet jedes Element der Menge A auf
ein Element der Menge B ab; die Umkehrfunktion kehrt
diese Abbildung um. Wir verwandeln also nicht ein
Argument in einen Funktionswert, sondern suchen umgekehrt zu einem Funktionswert das Argument. In
gewisser Weise sind jetzt y-Achse und x-Achse vertauscht; der Definitionsbereich wird zum Wertebereich und
umgekehrt. Die Funktion y=x³ ordnet jedem Element der Definitions- Menge eineindeutig ein Element des Wertebereichs zu. Damit ist die Umkehrfunktion problemlos formulierbar: Sie lautet: x gleich dritte
Wurzel aus y. Bei der Funktion y=x² ist zwar jedem
x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet; die umgekehrte Zuordnung ist jedoch nicht mehr eindeutig: Zu einem
Funktionswert gehören hier zwei Argumente. In solchen
Fällen kann man nur für Teil-Definitionsmengen Umkehrfunktionen angeben. Für die Funktion f(x)=Wurzel(x)+1
(blau gezeichnet) ist die Funktion g(x)=x²-2x+1 (rot gezeichnet) die Umkehrfunktion. Wir sehen,
dass wir den Graphen der Umkehrfunktion aus dem Graphen der Funktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierende (grün gezeichnet) erhalten. Der
Definitionsbereich der Funktion f(x) sind die positiven reellen Zahlen. Entsprechend ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion eingeschränkt: er besteht aus den positiveren reellen Zahlen größer als 1. Wenn g(x)
die Umkehrfunktion von f(x) darstellt, muss g(f(x))=x sein. Wir prüfen das durch Einsetzen: (Wurzel(x)+1)² - 2(Wurzel(x)+1) + 1 Wir quadrieren die erste Klammer, (multiplizieren aus, fassen zusammen) und erhalten g(f(x))=x. g nach f von x muss gleich x sein.
Wenn g(x) die Umkehrfunktion von f(x) darstellt dann ist umgekehrt auch f(x) die Umkehrfunktion von g(x) - innerhalb der angegebenen Definitionsbereiche. Wir testen das durch Einsetzen: f(g(x))=Wurzel(x²-x+1) + 1 oder Wurzel(x-1)² +1 (zweite binomische Formel) f(g(x)) = x Es gilt also, dass auch f nach g
von x gleich x ist. Wir wollen die Umkehrfunktion der (hier blau gezeichneten) Funktion f(x) = 3/2 x ermitteln. Rechnerisch gehen wir wie folgt vor: Wir vertauschen x und y, multiplizieren dann mit 2/3 und
sehen, dass die Umkehrfunktion y= 2/3 x entspricht.
Erwartungsgemäß ist der Graph der Umkehrfunktion (grün) aus der ursprünglichen Funktion (blau) durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden (rot) zu erhalten. Wir betrachten die Funktion f(x)=(x-1)²+2 Es
handelt sich um die hier rote zeichnete Parabel. Wir schränken den Definitionsbereich auf reelle Zahlen größer gleich 1 ein und ermitteln die Umkehrfunktion (grün) graphisch durch Spiegelung an der ersten
Die grün gezeichnete Kurve entspricht der Umkehrfunktion Winkelhalbierenden (blau). g(x)=Wurzel(x-2)+1. Gegeben ist eine Funktion
f(x)=x³-1 (diese entspricht dem blauen Graphen) Die Umkehrfunktion erhalten wir durch Spiegelung diesen Graphen an der ersten Winkelhalbierenden (grün) Wir erhalten die rote Kurve, der Graph Funktion Dritte Wurzel aus (x+1).
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Metadata

Formal Metadata

Title Von Umkehrfunktionen und Definitionsbereichen - (f(g(x)) ist gleich x)
Title of Series Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Part Number 25
Author Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors Lauth, Anika (Medientechnik)
License CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI 10.5446/17875
Publisher SciFox
Release Date 2013
Language German

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Subject Area Mathematics

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