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Von zusammengesetzten Funktionen und Geradengleichungen (Komposition von Funktionen)

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Eine Funktion f wandelt ein Argument x in einen Wert f(x) um. Dieser Wert kann seinerseits wieder ein Argument für eine weitere Funktion g sein und wir erhalten am Schluss g(f(x)). Wir sprechen hier von der Komposition
von Funktionen. wenn f(x) = x² und g(x) = Wurzel(x+1) ist, dann ist die Komposition "g nach f von x" gleich Wurzel(x²+1) Wurzel(x²+1) Wir können die Reihenfolge der Funktionen vertauschen.
Die Komposition "f nach g von x" entspräche (Wurzel(x+1))² (Wurzel(x+1))² Im Allgemeinen kommt es auf
die Reihenfolge an: "g von f von x" ist nicht unbedingt gleich "f von g
von x". Den Graph einer Komposition von sehr einfachen Funktionen sehen Sie hier: Der Funktion f(x)=x² wurde die Funktion g(x)=f(x)+1 nachgeschaltet.
In diesem Graph entsteht die blau gezeichnete Funktion durch Addition einer Konstanten aus der rot gezeichneten Funktion. f(x)=x h(x)=f(x)+4 (h(x)=x+4) Die Verknüpfung
kann multiplikativ erfolgen: f(x)=x² ; g(x)=f(x)*4
Der Graph dieser Funktion ist eine steile Parabel. In diesem Beispiel
wurde die Funktion f(x)=x² in g(x) mit einer negativen Konstante multipliziert g(x)=f(x)*(-2) Der blaue Graph beschreibt die Funktion f(x)=x in
g(x) wird die Konstante 1 abgezogen (rote Funktion). Wir multiplizieren g(x) mit dem Faktor 3 und erhalten h(x) (grüne Funktion). Dies sind drei
klassische Geradengleichungen. Die
allgemeine Formulierung lautet: f(x)=m*x + b f(x)=m*x + b m ist die Steigung der Geraden und lässt sich z.B. aus zwei Punkten (x1, f(x1)) und (x2, f(x2))
ermitteln b ist der Achsenabschnitt und entspricht dem Funktionswert
zum Argument Null. Wir wollen die Gleichung der hier gezeigten Geraden
Steigung m. Dazu zeichnen wird das sog. ermitteln. Wir bestimmen zunächst die Steigungsdreieck ein (in grüner Farbe). Die Differenz der Funktionswerte der beiden Punkte ist (4 minus 2 gleich) 2 Die Differenz der Argumente der beiden Punkte ist (8 minus 3 gleich) 5 Die Steigung beträgt also m = 2/5 = 0,4. Wir können den Achsenabschnitt
entweder aus der Grafik ablesen oder rechnerisch ermitteln, wenn wir die Geradengleichung nach b umstellen: Der Achsenabschnitt hat den Wert 0,8. Unsere Geradengleichung lautet
also f(x) = m * x + b f(x) = 0,4 * x + 0,8 Häufig besteht ein linearer Zusammenhang zwischen zwei physikalischen
Größen - etwa im HOOKEschen Gesetz zwischen der Dehnung einer Feder und der Kraft. Der physikalische
Zusammenhang ist also mit einer Gerade
beschreibbar. Aufgrund zufälliger Fehler werden die Messpunkte jedoch nicht alle exakt auf einer Gerade liegen. Man ermittelt in einem solchen Fall DIE Gerade, die am besten mit den gemessenen Punkten vereinbar ist ("lineare Trendlinie")
Zur Ermittlung der Trendlinie verwendet man die lineare
Regression: Die quadrierten und summierten Abstände der Messpunkte von der Trendlinie müssen minimalen sein. Die
meisten Tabellenkalkulationsprogramme beinhalten die Möglichkeit einer linearen Regression. Für die hier gezeigten Messpunkte ergibt sich beispielsweise die Geradenfunktionen f(x)=0,4994*x+0,0033 f(x)=0,4994*x+0,0033.
Für zusammengesetzte Funktionen gilt selbstverständlich die "Reihenfolge der Rechenoperationen" (1) Klammern werden zuerst berechnet, (2) dann Exponenten (3) schließlich die Multiplikation und Division (4) und am Ende die Addition und Subtraktion
"Klammern vor Punkt vor Strich" In diesem Term sind vier Funktionen
hintereinander geschaltet: Zunächst wird quadriert (f(x)=x²), dann wird 1 addiert (g(x)=f(x)+1), es wird durch 7 dividiert (h(x)=g(x)/7) und schließlich wird 2 abgezogen (i(x)=h(x)-1). Bei dieser
Komposition ist das Verlaufsdiagramm etwas komplexer: Zunächst wird 2
addiert (f(x)=x+2) dann wird auf der einen Seite für g(x) durch x dividiert (g(x)=f(x)/x) und auf der anderen Seite für h(x) x durch f(x) dividiert (h(x)=x/f(x)). Schließlich wird für i(x) g(x) und h(x) addiert. Hier sehen Sie die Komposition zweier Funktionen in der Mengendarstellung:
Jedem Element der Menge A (rot) wird genau ein Element der Menge B (grün) zugeordnet. Jedem Element der Menge B (grün) wird genau ein Element
der Menge C (blau) zugeordnet. Das
Verlaufsdiagramm für diesen Term sieht wie folgt aus: Zunächst addieren wir 5 zu x (f(x)=x+5) und dann bilden wir den Kehrwert von f(x) (g(x)=1/f(x)) Das Verlaufsdiagramm dieser zusammengesetzten Funktion sieht wie folgt
aus: Zunächst dividieren wir 5 durch x (f(x)=5/x), anschließend addieren wir 1 (g(x)=f(x)+1).
Gegeben sind zwei Funktionen: f(x) = 1/x; g(x)=x²+2 wir bilden die Komposition "g nach f von x" ((Wiederholung)) wir bilden die Komposition "g nach f von x" (1/x)...
(1/x)²+2 oder 1/x² + 2 Wir bilden die umgekehrte Komposition "f nach g von x" Kehrwert von.. x²+1 1/(x²+2)
Mathematische Größe
Faktorisierung
Subtraktion
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Multiplikation
Kraft
Term
Division
Multiplikation
Lineare Regression
Vorlesung/Konferenz
Addition
Gerade
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Addition
Lineare Regression
Graph
Exponent
Division
Kraft
Gleichung
Konstante
Menge
Zusammengesetzte Funktion
Punktrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von zusammengesetzten Funktionen und Geradengleichungen (Komposition von Funktionen)
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 24
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17874
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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