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Von Symmetrie, Steigung und Krümmung von Funktionen - Kurvendiskussion, konkav und konvex

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Title Von Symmetrie, Steigung und Krümmung von Funktionen - Kurvendiskussion, konkav und konvex
Title of Series Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Part Number 23
Author Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors Lauth, Anika (Medientechnik)
License CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI 10.5446/17873
Publisher SciFox
Release Date 2013
Language German

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Subject Area Mathematics
Series
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Transcript
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Wir wollen einige Eigenschaften von Funktionen
betrachten. Wenn die y-Achse eine Spiegelachse für den Graphen einer Funktion darstellt, nennen wir die Funktion achsensymmetrisch.
In diesem Fall ist der Funktionswert von (+x) gleich dem Funktionswert von (-x).
Die Funktion 4x²-x^4 ist achsensymmetrisch. Wenn der Funktionswert von (+x) gleich
minus dem Funktionswert von (-x) ist, sprechen wir von Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs. Die Funktion
y=x³ ist punktsymmetrisch. Wenn wir uns den Graphen der Funktion
y=x^(-2) anschauen, erkennen wir eine Spiegelachse. Für diese
Funktion gilt f(-x) = f(+x) Wir haben eine Achsensymmetrie. Das ist typisch für einfache Potenzfunktionen
mit geraden Exponenten. Wenn eine Vergrößerung
von x bei einer Funktion mit einer Vergrößerung von y einhergeht, sprechen wir von einer monoton steigenden Funktion. Im umgekehrten Fall sprechen wir von einer monoton fallenden Funktion. Bei einer monoton
fallenden Funktion ist die Steigung kleiner gleich Null. Bei einer monoton steigenden Funktion ist die Steigung größer gleich
Null. Wir untersuchen die Funktionen y=1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion enthält alle reellen Zahlen außer Null. Für negative reelle Zahlen ist die Funktion monoton fallend für positive reelle Zahlen ist die Funktion ebenfalls monoton fallend. Wenn
sich die Steigung einer Funktion ändert, sprechen wir von Krümmung. Wenn die Steigung kleiner wird, haben wir eine negative Krümmung oder eine Rechtskrümmung. Wenn man mit einem Fahrzeug auf der Funktion entlang fahren würde, müsste man das Lenkrad nach rechts einschlagen. Eine negativ gekrümmte
Kurve nennt man auch konkav. Eine Kurve mit
positiver Krümmung heißt linksgekrümmt oder konvex. Wenn man von den Eigenschaften konkav
oder konvex spricht, schaut man üblicherweise von unten auf den Graphen. Man kann die
Krümmung auch aus der Lage der Sekante ermitteln. Wenn die Sekante oberhalb des Graphen verläuft, haben wir eine positive Krümmung (eine konvexe Kurve). Wenn die Sekante unterhalb des Graphen verläuft, haben wir eine negative Krümmung (eine konkave
Kurve). Bei einer Sinusfunktion wechseln sich konkave und konvexe Krümmung ab. An den Wendepunkten - etwa bei x=pi oder x=2*pi ist die Krümmung gleich Null. Als Eselsbrücke
wird gerne der Spruch verwendet: "Konkav ist der Rücken vom Schaf". Für die Klassifizierung in konkav
oder konvex betrachten wir die Funktion von unten. Eine Sammellinse
ist konvex; eine Zerstreuungslinse ist
konkav. Wir analysieren die Funktion y=-x^(-2) Der Definitionsbereich dieser Funktion
umfasst die reellen Zahlen außer der Null. Wir haben zwei Äste. In beiden Ästen liegen
die Sekanten unterhalb des Graphen - die Funktion ist konkav bzw. rechtsgekrümmt.
Achsensymmetrie
Function (mathematics)
Lecture/Conference
Point reflection
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Achsensymmetrie
Lecture/Conference
Exponentiation
Lecture/Conference
Curvature
Lecture/Conference
Real number
Negative Krümmung
Lecture/Conference
Curve
Positive Krümmung
Curvature
Curvature
Lecture/Conference
Curve
Positive Krümmung
Negative Krümmung
Inflection point
Curvature
Sine
Curvature
Lecture/Conference
Curve
Curvature
Lecture/Conference
Sammellinse
Lecture/Conference
Real number
Lecture/Conference
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