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Von Symmetrie, Steigung und Krümmung von Funktionen - Kurvendiskussion, konkav und konvex

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Wir wollen einige Eigenschaften von Funktionen
betrachten. Wenn die y-Achse eine Spiegelachse für den Graphen einer Funktion darstellt, nennen wir die Funktion achsensymmetrisch.
In diesem Fall ist der Funktionswert von (+x) gleich dem Funktionswert von (-x).
Die Funktion 4x²-x^4 ist achsensymmetrisch. Wenn der Funktionswert von (+x) gleich
minus dem Funktionswert von (-x) ist, sprechen wir von Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs. Die Funktion
y=x³ ist punktsymmetrisch. Wenn wir uns den Graphen der Funktion
y=x^(-2) anschauen, erkennen wir eine Spiegelachse. Für diese
Funktion gilt f(-x) = f(+x) Wir haben eine Achsensymmetrie. Das ist typisch für einfache Potenzfunktionen
mit geraden Exponenten. Wenn eine Vergrößerung
von x bei einer Funktion mit einer Vergrößerung von y einhergeht, sprechen wir von einer monoton steigenden Funktion. Im umgekehrten Fall sprechen wir von einer monoton fallenden Funktion. Bei einer monoton
fallenden Funktion ist die Steigung kleiner gleich Null. Bei einer monoton steigenden Funktion ist die Steigung größer gleich
Null. Wir untersuchen die Funktionen y=1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion enthält alle reellen Zahlen außer Null. Für negative reelle Zahlen ist die Funktion monoton fallend für positive reelle Zahlen ist die Funktion ebenfalls monoton fallend. Wenn
sich die Steigung einer Funktion ändert, sprechen wir von Krümmung. Wenn die Steigung kleiner wird, haben wir eine negative Krümmung oder eine Rechtskrümmung. Wenn man mit einem Fahrzeug auf der Funktion entlang fahren würde, müsste man das Lenkrad nach rechts einschlagen. Eine negativ gekrümmte
Kurve nennt man auch konkav. Eine Kurve mit
positiver Krümmung heißt linksgekrümmt oder konvex. Wenn man von den Eigenschaften konkav
oder konvex spricht, schaut man üblicherweise von unten auf den Graphen. Man kann die
Krümmung auch aus der Lage der Sekante ermitteln. Wenn die Sekante oberhalb des Graphen verläuft, haben wir eine positive Krümmung (eine konvexe Kurve). Wenn die Sekante unterhalb des Graphen verläuft, haben wir eine negative Krümmung (eine konkave
Kurve). Bei einer Sinusfunktion wechseln sich konkave und konvexe Krümmung ab. An den Wendepunkten - etwa bei x=pi oder x=2*pi ist die Krümmung gleich Null. Als Eselsbrücke
wird gerne der Spruch verwendet: "Konkav ist der Rücken vom Schaf". Für die Klassifizierung in konkav
oder konvex betrachten wir die Funktion von unten. Eine Sammellinse
ist konvex; eine Zerstreuungslinse ist
konkav. Wir analysieren die Funktion y=-x^(-2) Der Definitionsbereich dieser Funktion
umfasst die reellen Zahlen außer der Null. Wir haben zwei Äste. In beiden Ästen liegen
die Sekanten unterhalb des Graphen - die Funktion ist konkav bzw. rechtsgekrümmt.
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Punktsymmetrie
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz
Achsensymmetrie
Exponent
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz
Negative Krümmung
Krümmung
Reelle Zahl
Vorlesung/Konferenz
Kurve
Positive Krümmung
Vorlesung/Konferenz
Negative Krümmung
Krümmung
Kurve
Positive Krümmung
Krümmung
Vorlesung/Konferenz
Sinusfunktion
Krümmung
Kurve
Krümmung
Wendepunkt
Vorlesung/Konferenz
Konvexer Körper
Krümmung
Sammellinse
Vorlesung/Konferenz
Konvexer Körper
Reelle Zahl
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Symmetrie, Steigung und Krümmung von Funktionen - Kurvendiskussion, konkav und konvex
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 23
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17873
Herausgeber Lauth, Günter Jakob
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 03:20

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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