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Von Funktionen und ihren Graphen - Definitionsmenge, Wertemenge, Zuordnung

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Wir betrachten zwei Mengen - eine Definitionsmenge und eine Wertemenge. Wir ordnen jedem Element der
Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. Eine solche Zuordnung nennen wir "Funktion". Wir haben quasi eine Maschine, die Elemente auf dem Definitionsbereich entnimmt und sie in ein Element aus dem Wertebereich umwandelt. In unserem Beispiel sind die
Elemente Zahlen. Unsere Maschine entnimmt eine Zahl aus dem Definitionsbereich, verdoppelt diese, addiert 3 hinzu
und erhält eine Zahl des Wertebereichs. Aus 0,5 wird 4; aus 5 wird 13; usw. Die Zahl
aus dem Definitionsbereich heißt auch Argument x, die Funktion verwandelt dieses Argument in einen Funktionswert;
diesen Funktionswert nennen wir y oder f(x) (f von
x) Die Mengen müssen nicht unbedingt aus Zahlen bestehen; wir können auch andere Objekte zuordnen. Wichtig ist, dass wir bei einer Funktion eindeutig zuordnen.
Zu jedem Element der grünen Menge gehört genau ein Element der roten Menge. Die umgekehrte Aussage muss
nicht zutreffen: es kann durchaus sein, dass ein Element der roten Menge mehreren Elementen der grünen Menge
zugeordnet ist. Die Umkehrung der hier skizzierten Funktion ist also keine Funktion. Wenn wir Zahlen
zuordnen, können wir die Funktion sehr schön graphisch
darstellen: Wir zeichnen das Argument auf eine x-Achse und den Funktionswert auf eine y-Achse ("Graph der Funktion")
In diesem Graphen wird dem Argument x der Funktionswert (x²-3) zugeordnet:
Zu x=0 gehört y=(-3) Zu x=2 gehört y=1. Zu x=1 gehört y=(-2). Jeder Zuordnung entspricht ein Punkt im Diagramm; alle möglichen Zuordnungen
ergeben eine Linie im Diagramm. Hier sehen Sie ein
weiteres Beispiel eines Graphen: Der Definitionsbereich wird auf der x-Achse eingetragen; der Wertebereich wird auf der y-Achse eingetragen. Jeder Punkt
entspricht einer Zuordnung; alle Zuordnungen liegen auf einer Linie.
Wir können beispielsweise auch die Anfangsgeschwindigkeit und den Bremsweg eines Fahrzeugs gegeneinander auftragen und erhalten folgende Darstellung.
Offensichtlich folgt die Zuordnung einer Funktion,
die wir mathematisch als quadratischen Zusammenhang
formulieren können: Bremsweg s gleich Geschwindigkeit v zum Quadrat durch zweimal Beschleunigung a. Die Beschleunigung ist
hier der Geschwindigkeit entgegen gerichtet - es handelt sich also um eine Verzögerung. Die Verzögerung
hängt von der Reibung zwischen Fahrzeug und Untergrund ab und kann zwischen 0,5 und 8 m²/s variieren.
Wir wollen die Funktion y=Wurzel(x) graphisch darstellen. Unser Definitionsbereich sind die positiven Zahlen. Dem Argument 1 ordnen wir Wurzel(1) zu; dem Argument 4 ordnen wir Wurzel(4)=2 zu; dem Argument 9 ordnen wir Wurzel(9)=3 zu; alle Funktionswerte liegen auf
der rot gezeichneten Linie.
Die Graphen der Funktionen y=x hoch alpha unterscheiden sich, je nachdem ob alpha eine positive gerade Zahl ist, eine positive ungerade Zahl ist, eine negative gerade Zahl ist, oder eine negative ungerade Zahl ist. Entsprechend unterscheiden sich auch die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen, die Wurzelfunktionen.
Bei einer Funktion ordnen wir jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu.
Bei der Definitionsmenge dieser Funktion gibt es eine Einschränkung: Weil der Nenner nicht 0 werden darf, darf t weder (+1) noch (-1) betragen. Man
formuliert dies so, dass die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen enthält mit Ausnahme der beiden Elemente (-1) und (+1).
Vorlesung/Konferenz
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Wertevorrat
Zahl
Zahl
Vorlesung/Konferenz
Wertevorrat
Zahl
Objekt <Kategorie>
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Zahl
Menge
Vorlesung/Konferenz
Element <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Umkehrung <Mathematik>
Zahl
Darstellung <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Diagramm
Punkt
Vorlesung/Konferenz
Linie
Punkt
Vorlesung/Konferenz
Wertevorrat
Linie
Vorlesung/Konferenz
Zusammenhang <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Geschwindigkeit
Quadrat
Vorlesung/Konferenz
Positive Zahl
Vorlesung/Konferenz
Graphische Darstellung
Umkehrfunktion
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Funktion <Mathematik>
Linie
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Menge
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Funktionen und ihren Graphen - Definitionsmenge, Wertemenge, Zuordnung
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 22
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17872
Herausgeber Lauth, Günter Jakob
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 04:28

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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