Von Funktionen und ihren Graphen - Definitionsmenge, Wertemenge, Zuordnung

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Formal Metadata

Title
Von Funktionen und ihren Graphen - Definitionsmenge, Wertemenge, Zuordnung
Title of Series
Part Number
22
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
Identifiers
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

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Subject Area
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Zahl Lecture/Conference Codomain
Zahl Lecture/Conference Codomain Zahl
Zahl Lecture/Conference Object (grammar)
Element (mathematics) Set (mathematics)
Inversion (music) Zahl Lecture/Conference Graph (mathematics)
Depiction
Point (geometry) Lecture/Conference Diagram Linie
Point (geometry) Lecture/Conference Codomain Linie
Velocity Lecture/Conference Zusammenhang <Mathematik>
Lecture/Conference Velocity Square
Lecture/Conference Graph of a function Negative number
Zahl Inverse function Lecture/Conference Function (mathematics) Linie
Lecture/Conference
Lecture/Conference Real number Set (mathematics) Absolute value
Wir betrachten zwei Mengen - eine Definitionsmenge und eine Wertemenge. Wir ordnen jedem Element der
Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. Eine solche Zuordnung nennen wir "Funktion". Wir haben quasi eine Maschine, die Elemente auf dem Definitionsbereich entnimmt und sie in ein Element aus dem Wertebereich umwandelt. In unserem Beispiel sind die
Elemente Zahlen. Unsere Maschine entnimmt eine Zahl aus dem Definitionsbereich, verdoppelt diese, addiert 3 hinzu
und erhält eine Zahl des Wertebereichs. Aus 0,5 wird 4; aus 5 wird 13; usw. Die Zahl
aus dem Definitionsbereich heißt auch Argument x, die Funktion verwandelt dieses Argument in einen Funktionswert;
diesen Funktionswert nennen wir y oder f(x) (f von
x) Die Mengen müssen nicht unbedingt aus Zahlen bestehen; wir können auch andere Objekte zuordnen. Wichtig ist, dass wir bei einer Funktion eindeutig zuordnen.
Zu jedem Element der grünen Menge gehört genau ein Element der roten Menge. Die umgekehrte Aussage muss
nicht zutreffen: es kann durchaus sein, dass ein Element der roten Menge mehreren Elementen der grünen Menge
zugeordnet ist. Die Umkehrung der hier skizzierten Funktion ist also keine Funktion. Wenn wir Zahlen
zuordnen, können wir die Funktion sehr schön graphisch
darstellen: Wir zeichnen das Argument auf eine x-Achse und den Funktionswert auf eine y-Achse ("Graph der Funktion")
In diesem Graphen wird dem Argument x der Funktionswert (x²-3) zugeordnet:
Zu x=0 gehört y=(-3) Zu x=2 gehört y=1. Zu x=1 gehört y=(-2). Jeder Zuordnung entspricht ein Punkt im Diagramm; alle möglichen Zuordnungen
ergeben eine Linie im Diagramm. Hier sehen Sie ein
weiteres Beispiel eines Graphen: Der Definitionsbereich wird auf der x-Achse eingetragen; der Wertebereich wird auf der y-Achse eingetragen. Jeder Punkt
entspricht einer Zuordnung; alle Zuordnungen liegen auf einer Linie.
Wir können beispielsweise auch die Anfangsgeschwindigkeit und den Bremsweg eines Fahrzeugs gegeneinander auftragen und erhalten folgende Darstellung.
Offensichtlich folgt die Zuordnung einer Funktion,
die wir mathematisch als quadratischen Zusammenhang
formulieren können: Bremsweg s gleich Geschwindigkeit v zum Quadrat durch zweimal Beschleunigung a. Die Beschleunigung ist
hier der Geschwindigkeit entgegen gerichtet - es handelt sich also um eine Verzögerung. Die Verzögerung
hängt von der Reibung zwischen Fahrzeug und Untergrund ab und kann zwischen 0,5 und 8 m²/s variieren.
Wir wollen die Funktion y=Wurzel(x) graphisch darstellen. Unser Definitionsbereich sind die positiven Zahlen. Dem Argument 1 ordnen wir Wurzel(1) zu; dem Argument 4 ordnen wir Wurzel(4)=2 zu; dem Argument 9 ordnen wir Wurzel(9)=3 zu; alle Funktionswerte liegen auf
der rot gezeichneten Linie.
Die Graphen der Funktionen y=x hoch alpha unterscheiden sich, je nachdem ob alpha eine positive gerade Zahl ist, eine positive ungerade Zahl ist, eine negative gerade Zahl ist, oder eine negative ungerade Zahl ist. Entsprechend unterscheiden sich auch die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen, die Wurzelfunktionen.
Bei einer Funktion ordnen wir jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu.
Bei der Definitionsmenge dieser Funktion gibt es eine Einschränkung: Weil der Nenner nicht 0 werden darf, darf t weder (+1) noch (-1) betragen. Man
formuliert dies so, dass die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen enthält mit Ausnahme der beiden Elemente (-1) und (+1).
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