Vom Volumen und vom Oberfläche einer Kugel - Prinzip von CAVALLIERI

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Formal Metadata

Title
Vom Volumen und vom Oberfläche einer Kugel - Prinzip von CAVALLIERI
Title of Series
Part Number
21
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

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Subject Area
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Solid geometry Sphere Planimetrics
Volume Sphere
Cylinder (geometry) Radius Lecture/Conference Höhe Halbkugel Sphere
Volume Radius Höhe Halbkugel
Radius Höhe Circle Interface (chemistry) Halbkugel Physical quantity
Interface (chemistry) Annulus (mathematics) Halbkugel
Volume Surface Annulus (mathematics) Cone
Volume Lecture/Conference Halbkugel Sphere Sphere
Volume Höhe Solid geometry Division (mathematics) Mass Planimetrics Volume
Volume Lecture/Conference Meeting/Interview Sphere Diameter
Lecture/Conference Exponentiation
Nach dem Prinzip von CAVALIERI besitzen zwei Körper dann identische Volumina, wenn Schnittflächen parallel zur Grundfläche
gleich sind. Mit diesem Prinzip können wir das Volumen einer Kugel berechnen. Wir
benötigen hierzu einen Vergleichskörper, der dem Prinzip von CAVALIERI genügt, der uns Schnittflächen liefert, die genau so groß sind wie die Schnittflächen
der Kugel. Aus Gründen der Übersicht beschränken wir uns zunächst auf die Betrachtung einer Halbkugel. Vergleichskörper zu einer Halbkugel ist Der CAVALIERIsche ein Hohl-Zylinder. Der Zylinder hat einen
Radius und eine Höhe, die dem Radius der Kugel r entspricht. Das ausgehöhlte
Volumen entspricht einem Kegel mit der Höhe r und dem Radius r, der auf der Spitze steht. Hier sehen Sie die Halbkugel und
den Vergleichskörper in der Seitenansicht und in der Draufsicht. Wir betrachten
eine Schnittfläche der Halbkugel in der Höhe h; diese Schnittfläche entspricht einem Kreis mit dem Radius s. Die Größen s, h und r sind verknüpft über den Satz von PYTHAGORAS. Die Fläche der Schnittfläche
ist pi*s² oder pi*r²-pi*h²
Die Schnittfläche in unserem Vergleichskörper ist ein Kreisring. Dessen Fläche ist ebenfalls pi*r²-pi*h² Die Schnittflächen in unserer Halbkugel sind Kreise, die
Schnittflächen in unserem Vergleichskörper sind Kreisringe. Beide (gelb gekennzeichneten) Flächen sind gleich groß. Wir berechnen
das Volumen des Vergleichskörpers. Das Volumen des Gesamt-Zylinders ist pi*r³; das Volumen des ausgeschnittenen Kegels ist 1/3*pi*r³. Das Volumen des Vergleichskörpers
ist also pi*r³ minus 1/3*pi*r³ gleich 2/3*pi*r³. Nach dem Prinzip von
CAVALIERI ist dies auch das Volumen der Halbkugel. Die gesamte Kugel hat dann das Volumen 4/3*pi*r³. ^dd Wir wollen die Oberfläche einer Kugel berechnen.
Das Volumen einer Kugelschale ist 4/3*pi*(r(2)³ - r(1)³) 4/3*pi*(r(2)³ - r(1)³) Wenn wir ein
Maß für die Kugeloberfläche haben wollen, müssen wir dieses Volumen durch die Höhe der Kugelschale dividieren. Die Höhe der Kugelschale ist r(2)-r(1). Wir
dividieren durch r(2)-r(1) und erhalten diesen Ausdruck. Für den Grenzfall, dass die Kugelschale unendlich dünn wird, ist r(1) gleich r(2) und wir erhalten F gleich 4 * pi * r² für die Oberfläche einer Kugel.
Der Durchmesser der Erde beträgt etwa 12 756 km, der Durchmesser des Mondes etwa 3 476 km. Wie verhalten sich die Volumina von Erde und Mond? Das Volumen einer Kugel
ist 4/3*pi*r³; entsprechend verhalten sich die Volumina so wie die dritten Potenzen der Radien. Das Radien-Verhältnis
ist etwa 3,7 ; 3,7 zur dritten Potenz ergibt sich 49,4 als Volumenverhältnis.
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