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Vom Volumen und vom Oberfläche einer Kugel - Prinzip von CAVALLIERI

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Nach dem Prinzip von CAVALIERI besitzen zwei Körper dann identische Volumina, wenn Schnittflächen parallel zur Grundfläche
gleich sind. Mit diesem Prinzip können wir das Volumen einer Kugel berechnen. Wir
benötigen hierzu einen Vergleichskörper, der dem Prinzip von CAVALIERI genügt, der uns Schnittflächen liefert, die genau so groß sind wie die Schnittflächen
der Kugel. Aus Gründen der Übersicht beschränken wir uns zunächst auf die Betrachtung einer Halbkugel. Vergleichskörper zu einer Halbkugel ist Der CAVALIERIsche ein Hohl-Zylinder. Der Zylinder hat einen
Radius und eine Höhe, die dem Radius der Kugel r entspricht. Das ausgehöhlte
Volumen entspricht einem Kegel mit der Höhe r und dem Radius r, der auf der Spitze steht. Hier sehen Sie die Halbkugel und
den Vergleichskörper in der Seitenansicht und in der Draufsicht. Wir betrachten
eine Schnittfläche der Halbkugel in der Höhe h; diese Schnittfläche entspricht einem Kreis mit dem Radius s. Die Größen s, h und r sind verknüpft über den Satz von PYTHAGORAS. Die Fläche der Schnittfläche
ist pi*s² oder pi*r²-pi*h²
Die Schnittfläche in unserem Vergleichskörper ist ein Kreisring. Dessen Fläche ist ebenfalls pi*r²-pi*h² Die Schnittflächen in unserer Halbkugel sind Kreise, die
Schnittflächen in unserem Vergleichskörper sind Kreisringe. Beide (gelb gekennzeichneten) Flächen sind gleich groß. Wir berechnen
das Volumen des Vergleichskörpers. Das Volumen des Gesamt-Zylinders ist pi*r³; das Volumen des ausgeschnittenen Kegels ist 1/3*pi*r³. Das Volumen des Vergleichskörpers
ist also pi*r³ minus 1/3*pi*r³ gleich 2/3*pi*r³. Nach dem Prinzip von
CAVALIERI ist dies auch das Volumen der Halbkugel. Die gesamte Kugel hat dann das Volumen 4/3*pi*r³. ^dd Wir wollen die Oberfläche einer Kugel berechnen.
Das Volumen einer Kugelschale ist 4/3*pi*(r(2)³ - r(1)³) 4/3*pi*(r(2)³ - r(1)³) Wenn wir ein
Maß für die Kugeloberfläche haben wollen, müssen wir dieses Volumen durch die Höhe der Kugelschale dividieren. Die Höhe der Kugelschale ist r(2)-r(1). Wir
dividieren durch r(2)-r(1) und erhalten diesen Ausdruck. Für den Grenzfall, dass die Kugelschale unendlich dünn wird, ist r(1) gleich r(2) und wir erhalten F gleich 4 * pi * r² für die Oberfläche einer Kugel.
Der Durchmesser der Erde beträgt etwa 12 756 km, der Durchmesser des Mondes etwa 3 476 km. Wie verhalten sich die Volumina von Erde und Mond? Das Volumen einer Kugel
ist 4/3*pi*r³; entsprechend verhalten sich die Volumina so wie die dritten Potenzen der Radien. Das Radien-Verhältnis
ist etwa 3,7 ; 3,7 zur dritten Potenz ergibt sich 49,4 als Volumenverhältnis.
Mathematische Größe
Kugel
Radius
Kreis
Exponent
Durchmesser
Zylinder
Kreisring
Besprechung/Interview
Fläche
Ruhmasse
Planimetrie
Division
Kegel
Kugel
Flächentheorie
Volumen
Höhe
Stereometrie
Vorlesung/Konferenz
Volumen
Halbkugel

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Volumen und vom Oberfläche einer Kugel - Prinzip von CAVALLIERI
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 21
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17871
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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