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Vom geraden und schiefen Zylindern, Pyramiden und Prismen (Prinzip von Cavallieri)

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Title
Vom geraden und schiefen Zylindern, Pyramiden und Prismen (Prinzip von Cavallieri)
Title of Series
Part Number
20
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CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
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Geometrischer Körper Volume Plane (geometry) Meeting/Interview Surface Planimetrics
Volume Pyramid (geometry) Lecture/Conference Höhe Surface Höhe
Geometrischer Körper Cylinder (geometry) Volume Cylinder (geometry) Lecture/Conference Höhe Cube Cuboid Solid geometry Cuboid Planimetrics Equation
Pyramid (geometry) Pyramid (geometry) Volume Cube Solid geometry Planimetrics
Pyramid (geometry) Volume Höhe Solid geometry Planimetrics Cone
Radius Angle Höhe Solid geometry Planimetrics
Pyramid (geometry) Lecture/Conference Kreisumfang Interface (chemistry) Length
Volume Radius Höhe
Volume Radius Höhe Interface (chemistry) Cone
Angle Lecture/Conference
Wenn wir einen Münzstapel seitlich verschieben, ändern wir zwar die Form des geometrischen Körpers, aber das Volumen bleibt gleich. Genau das sagt das Prinzip von CAVALIERI aus: Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene die gleichen Flächen haben. Diese
Schnittfläche muss nicht überall gleich sein; es muss mehr gelten, dass die Flächen für jede Höhe h übereinstimmen.
Das Volumen einer geraden Pyramide ist genauso groß wie das Volumen einer schrägen Pyramide (vorausgesetzt, das Prinzip vom CAVALIERI ist erfüllt).
Wichtige dreidimensionale geometrische Körper sind der Quader, der Zylinder und das Prisma. Ein Quader hat das Volumen a*b*c oder Grundfläche mal Höhe. (V=G*h) Diese Gleichung (V=G*h) gilt
aufgrund des Prinzips von CAVALIERI auch für andere geometrische Körper, vorausgesetzt, sie haben in jeder Höhe die gleiche Schnittfläche wie die Grundfläche. (z.B. ein Zylinder oder ein Prisma) Man kann einen Würfel in drei
gleich große Pyramiden unterteilen
dieser Pyramiden hat folglich das Volumen
1/3 Grundfläche mal Höhe. Aufgrund des
Prinzips von CAVALIERI gilt dies nicht nur bei quadratischen Grundflächen, sondern für Pyramiden mit jeder Art von Grundfläche. Ein Kegel besitzt eine kreisförmige Grundfläche (pi*r²) - auch das Volumen eines Kegels ist ein Drittel
Grundfläche mal Höhe. Der aufgerollte Kegelmantel ist ein Kreissegment.
Mit dem Satz von PYTHAGORAS können wir die Seitenlänge s eines Kegels ermitteln. Die Seitenlänge s entspricht dem Radius des Kreissegments Kegelmantels) Der Winkel des Kreissegmentes
(alpha) verhält sich zum Vollwinkel (360°) wie die Länge des Kreissegmentes (2*pi*r) zum gesamten Kreisumfang (2*pi*s). Entsprechend ergibt sich die Fläche des Kreissegmentes
zu pi * s² * (alpha) / 360° oder - mit der eben abgeleiteten Beziehung - F = r * s * pi Wir betrachten eine Pyramide mit der Grundfläche
pi*r² und dem Volumen 1/3*G*h. Wenn wir
den Radius r verdoppeln und die Höhe h gleich lassen, vervierfacht sich die Grundfläche und vervierfacht sich auch das Volumen. Wenn wir den Radius gleich lassen und die Höhe verdoppeln, bleibt die Grundfläche gleich und das Volumen verdoppelt sich. Wenn wir sowohl Radius als auch Höhe verdoppeln, vervierfacht sich die Grundfläche und verachtfacht sich
das Volumen. Wir betrachten einen Kegel (z.B. eine Eiswaffel) mit dem Radius 5 cm und der Höhe 12 cm. Die Grundfläche des Kegels ist pi*r², also 79 cm²; das Volumen des Kegels ist ein Drittel Grundfläche mal Höhe also 314 cm³.
Die Kegelfläche erhalten wir aus der Formel r mal s mal pi. s erhalten wir mit dem Satz von PYTHAGORAS als Wurzel aus (h² + r²) zu 13 cm. also ergibt sich die Fläche des Kegelmantels zu 204 cm². Quadratzentimeter.
Der ausgerollte Kegelmantel ist ein Kreissegment. Der Winkel dieses Segments entspricht alpha = 38°
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