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Von der Fläche und vom Umfang eines Kreises - Kreiszahl Pi

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Wenn wir einen Münzstapel seitlich verschieben, ändern wir zwar die Form des geometrischen
Körpers, aber das Volumen bleibt gleich. Genau das sagt das Prinzip von CAVALIERI aus: Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn ihre
Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer
Grundebene die gleichen Flächen haben. Diese
Schnittfläche muss nicht überall gleich sein; es muss mehr gelten, dass die Flächen für
jede Höhe h übereinstimmen. Das Volumen einer geraden Pyramide ist genauso groß wie das Volumen einer schrägen Pyramide (vorausgesetzt, das Prinzip vom CAVALIERI ist erfüllt). Wichtige dreidimensionale
geometrische Körper sind der Quader, der Zylinder und das Prisma. Ein
Quader hat das Volumen a*b*c oder Grundfläche
mal Höhe. (V=G*h) Diese Gleichung (V=G*h) gilt aufgrund des Prinzips von CAVALIERI auch für
andere geometrische Körper, vorausgesetzt, sie haben in jeder Höhe die gleiche Schnittfläche wie die Grundfläche. (z.B. ein Zylinder oder
ein Prisma) Man kann einen Würfel in drei
gleich große Pyramiden unterteilen - jede
dieser Pyramiden hat folglich das Volumen 1/3 Grundfläche mal Höhe. Aufgrund des Prinzips von CAVALIERI gilt dies nicht nur bei
quadratischen Grundflächen, sondern für Pyramiden mit jeder Art von Grundfläche. Ein Kegel
besitzt eine kreisförmige Grundfläche (pi*r²) - auch das Volumen eines Kegels ist ein Drittel
Grundfläche mal Höhe. Der aufgerollte Kegelmantel ist ein Kreissegment. Mit dem Satz von PYTHAGORAS können wir die Seitenlänge s eines Kegels ermitteln. Die
Seitenlänge s entspricht dem Radius des Kreissegments (des abgerollten Kegelmantels) Der Winkel des Kreissegmentes
(alpha) verhält sich zum Vollwinkel (360°) wie
die Länge des Kreissegmentes (2*pi*r) zum
gesamten Kreisumfang (2*pi*s). Entsprechend ergibt sich die Fläche des Kreissegmentes zu pi * s² * (alpha) / 360° oder - mit der eben abgeleiteten Beziehung - F = r * s * pi
Wir betrachten eine Pyramide mit der Grundfläche
pi*r² und dem Volumen 1/3*G*h. Wenn wir den Radius r verdoppeln und die Höhe h gleich
lassen, vervierfacht sich die Grundfläche und vervierfacht sich auch das Volumen. Wenn wir den Radius gleich lassen und die Höhe
verdoppeln, bleibt die Grundfläche gleich und
das Volumen verdoppelt sich. Wenn wir sowohl
Radius als auch Höhe verdoppeln, vervierfacht sich die Grundfläche und verachtfacht sich das Volumen. Wir betrachten einen Kegel (z.B.
eine Eiswaffel) mit dem Radius 5 cm und der
Höhe 12 cm. Die Grundfläche des Kegels ist pi*r², also 79 cm²; das Volumen des Kegels ist ein Drittel Grundfläche mal Höhe also 314 cm³.
Die Kegelfläche erhalten wir aus der Formel r mal s mal pi. s erhalten wir mit dem Satz
von PYTHAGORAS als Wurzel aus (h² + r²) zu 13 cm. also ergibt sich die Fläche des Kegelmantels zu 204 cm². Quadratzentimeter. Der ausgerollte
Kegelmantel ist ein Kreissegment.
Der Winkel dieses Segments entspricht alpha = 38°
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Volumen
Flächentheorie
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Pyramide
Höhe
Dimension 3
Volumen
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Berechnung
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Zylinder
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Fläche
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Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von der Fläche und vom Umfang eines Kreises - Kreiszahl Pi
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 19
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17869
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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