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Von Dreiecken und Vierecken - elementare Planimetrie

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Bevor wir über Längen, Flächen und Volumina verschiedener geometrischer Körper sprechen, wollen wir generell etwas
zum Thema "Messen" sagen. Messen im physikalischen Sinne heißt Vergleichen. Wir vergleichen z.B.
die Länge einer Würfelkante mit der Zentimetereinheit und stellen fest: Die Länge des Würfels ist viermal so groß wie die Zentimeter-Einheit: die Länge beträgt 4 cm. Wir können daraus die Fläche einer Würfelseite berechnen - das sind 16 cm² Quadratzentimeter. Wir können das Volumen des Würfels berechnen: 64 cm³ (Kubikzentimeter)-
Länge, Fläche und Volumen sind physikalische Größen.
Diese bestehen in der Regel aus einem Zahlenwert - in geschrieben - und einer Einheit - in [eckigen Klammern] geschrieben. Die gesamte physikalische Größe ergibt sich als Produkt des mit der [Einheit]. Der
Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a und b ist a*b, der Umfang eines Rechtecks ist 2*(a+b). Der Flächeninhalt
eines Quadrates ist a*a oder a², der Umfang ist 4*a. Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu ermitteln,
erweitern wir das Dreieck zu einem ermitteln erweitern dann
drei zu einem Rechteck. Eine Seite des Rechtecks ist die Höhe h des Dreiecks, die andere Seite ist die Grundseite g. Wir erkennen, dass die Fläche des Dreiecks genau halb so groß ist wie die Fläche des Rechtsecks, d.h. die
Fläche eines Dreiecks berechnet sich zu 1/2*Grundseite*Höhe.
Wir können jede Seite des Dreiecks als Grundseite ansehen - entsprechend haben wir drei äquivalente Formulierungen.
Um die Fläche eines Parallelogramms zu ermitteln, verwandeln wir das Parallelogramm in ein flächengleiches
Rechteck. Wir müssen dazu lediglich auf der rechten
Seite ein Dreieck (blau) abtrennen und an der linken Seite wieder anlegen. Ein Parallelogramm besitzt die Fläche Grundseite mal Höhe (g*h).
Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen wir die beiden parallelen Seiten addieren, mit der Höhe multiplizieren und halbieren. Gegeben ist ein Trapez mit den
Seitenlängen 3 cm und 5 cm sowie einer Höhe von 2 cm. Die Fläche dieses Trapezes ist 1/2 * (3cm + 5cn) * 2cm also 8 cm² (Quadratzentimeter) Wir können das Trapez durch Verdoppeln
zu einem Parallelogramm ergänzen.
Dieses Parallelogramm hat die Seitenlänge (a+b)=8cm und die Höhe 2 cm - also die Fläche 16 cm².
Wie viel Quadratzentimeter entsprechen einem Quadratkilometer? Wir formulieren: 1 km = 1 000
m 1 cm = 0,01 m Wir setzen dies in die Gleichung 1
km²= x cm² ein und erhalten 1 000 000 m² = x * 0,000 1 m² 1 000 000 m² = x * 0,000 1 m². Es ergibt sich für x gleich 10^(10).
Wir wollen den Strahlensatz beweisen mit
Hilfe von Dreiecken und ihren Höhen: Die hier skizzierten Dreiecke (grün und rot) besitzen die gleiche Fläche,
Wir skizzieren ein weiteres Dreieck (blau): Fläche(blau)/Fläche(rot)- =Fläche(blau)/Fläche(grün).
Wir berechnen die Fläche des blauen Dreiecks: 1/2*SC*AF die Fläche des roten Dreiecks: 1/2*CD*AF
Wir berechnen die Fläche des blauen Dreiecks durch Ein halb*Grundseite*Höhe 1/2*SC*AF und die Fläche des roten Dreiecks durch Ein halb*Grundseite*Höhe 1/2*CD*AF aus Wir können die Fläche
des blauen Dreiecks auch als 1/2*SA*EC ausdrücken und die Fläche des grünen Dreiecks ergibt sich zu 1/2*AB*EC.
Die Höhen in beiden Brüchen können wir kürzen und erhalten SC/CD = SA/AB Wir stellen diese Gleichung um, addieren
auf beiden Seiten (1) - einmal in Form von CD/CD und einmal in Form AB/AB und erhalten den Strahlensatz.
Flächentheorie
Vorlesung/Konferenz
Geometrischer Körper
Planimetrie
Länge
Ungleichung
Würfel
Fläche
Vorlesung/Konferenz
Volumen
Mathematische Größe
Fläche
Physikalische Größe
Vorlesung/Konferenz
Zahlenwert
Volumen
Sierpinski-Dichtung
Quadrat
Flächeninhalt
Rechteck
Stereometrie
Vorlesung/Konferenz
Berechnung
Planimetrie
Umfang
Sierpinski-Dichtung
Rechteck
Höhe
Fläche
Stereometrie
Vorlesung/Konferenz
Dreieck
Berechnung
Planimetrie
Dreieck
Sierpinski-Dichtung
Fläche
Stereometrie
Vorlesung/Konferenz
Dreieck
Berechnung
Planimetrie
Rechteck
Fläche
Stereometrie
Vorlesung/Konferenz
Dreieck
Parallelogramm
Berechnung
Planimetrie
Trapezoid
Höhe
Fläche
Stereometrie
Parallelogramm
Berechnung
Planimetrie
Dreieck
Trapezoid
Fläche
Höhe
Parallelogramm
Fläche
Höhe
Vorlesung/Konferenz
Parallelogramm
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Sierpinski-Dichtung
Höhe
Vorlesung/Konferenz
Fläche
Stereometrie
Vorlesung/Konferenz
Planimetrie
Dreieck
Sierpinski-Dichtung
Fläche
Vorlesung/Konferenz
Sierpinski-Dichtung
Höhe
Fläche
Stereometrie
Bruch <Mathematik>
Gleichung
Planimetrie
Stereometrie
Planimetrie

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Dreiecken und Vierecken - elementare Planimetrie
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 18
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17868
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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