Von Dreiecken und Vierecken - elementare Planimetrie

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Formal Metadata

Title
Von Dreiecken und Vierecken - elementare Planimetrie
Title of Series
Part Number
18
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
Identifiers
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
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Geometrischer Körper Lecture/Conference Surface Planimetrics Length
Volume Lecture/Conference Cube Interface (chemistry) Inequality (mathematics) Length
Volume Lecture/Conference Interface (chemistry) Physical quantity Length Physical quantity Physical quantity
Area Sierpinski triangle Lecture/Conference Solid geometry Square Berechnung Planimetrics Rectangle Perimeter
Sierpinski triangle Lecture/Conference Höhe Interface (chemistry) Triangle Solid geometry Berechnung Planimetrics Rectangle Triangle
Sierpinski triangle Lecture/Conference Interface (chemistry) Solid geometry Berechnung Planimetrics Triangle
Lecture/Conference Interface (chemistry) Solid geometry Berechnung Planimetrics Rectangle Parallelogram Triangle
Höhe Trapezoid Interface (chemistry) Triangle Solid geometry Berechnung Planimetrics Parallelogram
Höhe Trapezoid Interface (chemistry) Parallelogram
Lecture/Conference Höhe Interface (chemistry) Parallelogram
Lecture/Conference Equation
Sierpinski triangle Lecture/Conference Höhe Interface (chemistry)
Lecture/Conference Interface (chemistry) Triangle Solid geometry Planimetrics
Sierpinski triangle Lecture/Conference Interface (chemistry)
Addition Sierpinski triangle Höhe Interface (chemistry) Bruch <Mathematik> Solid geometry Planimetrics Equation
Solid geometry Planimetrics
Bevor wir über Längen, Flächen und Volumina verschiedener geometrischer Körper sprechen, wollen wir generell etwas
zum Thema "Messen" sagen. Messen im physikalischen Sinne heißt Vergleichen. Wir vergleichen z.B.
die Länge einer Würfelkante mit der Zentimetereinheit und stellen fest: Die Länge des Würfels ist viermal so groß wie die Zentimeter-Einheit: die Länge beträgt 4 cm. Wir können daraus die Fläche einer Würfelseite berechnen - das sind 16 cm² Quadratzentimeter. Wir können das Volumen des Würfels berechnen: 64 cm³ (Kubikzentimeter)-
Länge, Fläche und Volumen sind physikalische Größen.
Diese bestehen in der Regel aus einem Zahlenwert - in geschrieben - und einer Einheit - in [eckigen Klammern] geschrieben. Die gesamte physikalische Größe ergibt sich als Produkt des mit der [Einheit]. Der
Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a und b ist a*b, der Umfang eines Rechtecks ist 2*(a+b). Der Flächeninhalt
eines Quadrates ist a*a oder a², der Umfang ist 4*a. Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu ermitteln,
erweitern wir das Dreieck zu einem ermitteln erweitern dann
drei zu einem Rechteck. Eine Seite des Rechtecks ist die Höhe h des Dreiecks, die andere Seite ist die Grundseite g. Wir erkennen, dass die Fläche des Dreiecks genau halb so groß ist wie die Fläche des Rechtsecks, d.h. die
Fläche eines Dreiecks berechnet sich zu 1/2*Grundseite*Höhe.
Wir können jede Seite des Dreiecks als Grundseite ansehen - entsprechend haben wir drei äquivalente Formulierungen.
Um die Fläche eines Parallelogramms zu ermitteln, verwandeln wir das Parallelogramm in ein flächengleiches
Rechteck. Wir müssen dazu lediglich auf der rechten
Seite ein Dreieck (blau) abtrennen und an der linken Seite wieder anlegen. Ein Parallelogramm besitzt die Fläche Grundseite mal Höhe (g*h).
Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen wir die beiden parallelen Seiten addieren, mit der Höhe multiplizieren und halbieren. Gegeben ist ein Trapez mit den
Seitenlängen 3 cm und 5 cm sowie einer Höhe von 2 cm. Die Fläche dieses Trapezes ist 1/2 * (3cm + 5cn) * 2cm also 8 cm² (Quadratzentimeter) Wir können das Trapez durch Verdoppeln
zu einem Parallelogramm ergänzen.
Dieses Parallelogramm hat die Seitenlänge (a+b)=8cm und die Höhe 2 cm - also die Fläche 16 cm².
Wie viel Quadratzentimeter entsprechen einem Quadratkilometer? Wir formulieren: 1 km = 1 000
m 1 cm = 0,01 m Wir setzen dies in die Gleichung 1
km²= x cm² ein und erhalten 1 000 000 m² = x * 0,000 1 m² 1 000 000 m² = x * 0,000 1 m². Es ergibt sich für x gleich 10^(10).
Wir wollen den Strahlensatz beweisen mit
Hilfe von Dreiecken und ihren Höhen: Die hier skizzierten Dreiecke (grün und rot) besitzen die gleiche Fläche,
Wir skizzieren ein weiteres Dreieck (blau): Fläche(blau)/Fläche(rot)- =Fläche(blau)/Fläche(grün).
Wir berechnen die Fläche des blauen Dreiecks: 1/2*SC*AF die Fläche des roten Dreiecks: 1/2*CD*AF
Wir berechnen die Fläche des blauen Dreiecks durch Ein halb*Grundseite*Höhe 1/2*SC*AF und die Fläche des roten Dreiecks durch Ein halb*Grundseite*Höhe 1/2*CD*AF aus Wir können die Fläche
des blauen Dreiecks auch als 1/2*SA*EC ausdrücken und die Fläche des grünen Dreiecks ergibt sich zu 1/2*AB*EC.
Die Höhen in beiden Brüchen können wir kürzen und erhalten SC/CD = SA/AB Wir stellen diese Gleichung um, addieren
auf beiden Seiten (1) - einmal in Form von CD/CD und einmal in Form AB/AB und erhalten den Strahlensatz.
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